RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Exercise 5.2

प्रश्न 1. निम्न सम्मिश्र संख्याओं के कोणांक ज्ञात कीजिए
(i) \( \frac { 1+i }{ 1-i } \)
(ii) \( -1+\sqrt{3}i \)
(iii) \( \frac { 5+i\sqrt{3} }{ 4-i2\sqrt{3} } \)
Answer:
(i) सबसे पहले, हम सम्मिश्र संख्या \( \frac { 1+i }{ 1-i } \) को सरल करते हैं। हर से काल्पनिक भाग हटाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी \( (1+i) \) से गुणा करते हैं।
\( \frac { 1+i }{ 1-i } = \frac { (1+i)(1+i) }{ (1-i)(1+i) } \)
\( \implies = \frac { (1+i)^2 }{ 1^2 - i^2 } \)
\( \implies = \frac { 1^2 + 2i + i^2 }{ 1 - (-1) } \)
\( \implies = \frac { 1 + 2i - 1 }{ 1 + 1 } \)
\( \implies = \frac { 2i }{ 2 } \)
\( \implies = i \)
इस सम्मिश्र संख्या को \( a+bi \) रूप में \( 0 + 1i \) लिख सकते हैं। यहाँ वास्तविक भाग \( a = 0 \) और काल्पनिक भाग \( b = 1 \) है। चूँकि \( a = 0 \) और \( b > 0 \) है, यह सम्मिश्र संख्या धनात्मक काल्पनिक अक्ष पर स्थित है। इस स्थिति में कोणांक \( \frac{\pi}{2} \) होता है।
कोणांक \( z = \tan^{-1} \left| \frac{b}{a} \right| = \tan^{-1} \left| \frac{1}{0} \right| = \tan^{-1} (\infty) = \frac{\pi}{2} \)
(ii) दी गई सम्मिश्र संख्या \( -1+\sqrt{3}i \) है। यहाँ वास्तविक भाग \( a = -1 \) और काल्पनिक भाग \( b = \sqrt{3} \) है। चूँकि \( a \) ऋणात्मक है और \( b \) धनात्मक है, यह सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में कोणांक ज्ञात करने के लिए सूत्र \( \pi - \tan^{-1} \left| \frac{b}{a} \right| \) का उपयोग करते हैं।
कोणांक \( z = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{\sqrt{3}}{-1} \right| \)
\( \implies = \pi - \tan^{-1} (\sqrt{3}) \)
हम जानते हैं कि \( \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \) होता है।
\( \implies = \pi - \frac{\pi}{3} \)
\( \implies = \frac{3\pi - \pi}{3} \)
\( \implies = \frac{2\pi}{3} \)
(iii) दी गई सम्मिश्र संख्या \( \frac { 5+i\sqrt{3} }{ 4-i2\sqrt{3} } \) है। हम इसे सरल करने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी \( (4+i2\sqrt{3}) \) से गुणा करते हैं।
\( \frac { 5+i\sqrt{3} }{ 4-i2\sqrt{3} } = \frac { (5+i\sqrt{3})(4+i2\sqrt{3}) }{ (4-i2\sqrt{3})(4+i2\sqrt{3}) } \)
अंश को गुणा करने पर:
\( (5)(4) + (5)(i2\sqrt{3}) + (i\sqrt{3})(4) + (i\sqrt{3})(i2\sqrt{3}) \)
\( = 20 + 10i\sqrt{3} + 4i\sqrt{3} + i^2 (2)(3) \)
\( = 20 + 14i\sqrt{3} - 6 \)
\( = 14 + 14i\sqrt{3} \)
हर को गुणा करने पर:
\( 4^2 - (i2\sqrt{3})^2 \)
\( = 16 - i^2 (4)(3) \)
\( = 16 - (-12) \)
\( = 16 + 12 \)
\( = 28 \)
तो, सरलीकृत सम्मिश्र संख्या है:
\( = \frac { 14 + 14i\sqrt{3} }{ 28 } \)
\( = \frac { 14 }{ 28 } + \frac { 14i\sqrt{3} }{ 28 } \)
\( = \frac { 1 }{ 2 } + i \frac { \sqrt{3} }{ 2 } \)
यहाँ वास्तविक भाग \( a = \frac{1}{2} \) और काल्पनिक भाग \( b = \frac{\sqrt{3}}{2} \) है। चूँकि दोनों \( a \) और \( b \) धनात्मक हैं, यह सम्मिश्र संख्या पहले चतुर्थांश में स्थित है।
कोणांक \( z = \tan^{-1} \left| \frac{b}{a} \right| = \tan^{-1} \left| \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} \right| \)
\( \implies = \tan^{-1} (\sqrt{3}) \)
हम जानते हैं कि \( \tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} \) होता है।
\( \implies = \frac{\pi}{3} \)
In simple words: किसी सम्मिश्र संख्या का कोणांक वह कोण होता है जो संख्या सम्मिश्र तल में धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। इसे खोजने के लिए, पहले सम्मिश्र संख्या को सरल करें, फिर वास्तविक और काल्पनिक भागों का उपयोग करके चतुर्थांश और \( \tan^{-1} \left| \frac{b}{a} \right| \) के आधार पर कोण ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: कोणांक ज्ञात करते समय, सम्मिश्र संख्या किस चतुर्थांश में है, यह निर्धारित करना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे कोणांक के सूत्र और मान पर सीधा प्रभाव पड़ता है।

प्रश्न 2. निम्न सम्मिश्र संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त कीजिए
(i) \( \frac { 1+i }{ \sqrt{2} } \)
(ii) \( \frac { 1+7i }{ (2-i)^2 } \)
(iii) \( \sin \frac{\pi}{3} + i\cos \frac{\pi}{3} \)
Answer:
(i) दी गई सम्मिश्र संख्या \( \frac { 1+i }{ \sqrt{2} } \) है, जिसे \( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) होता है। यहाँ \( r \) मापांक है और \( \theta \) कोणांक है।
हम वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते हैं:
\( r\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \) ...(1)
\( r\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:
\( (r\cos \theta)^2 + (r\sin \theta)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \)
\( r^2(1) = 1 \)
\( r^2 = 1 \)
\( \implies r = 1 \) (क्योंकि मापांक हमेशा धनात्मक होता है)
अब, समीकरण (2) को (1) से भाग देने पर:
\( \frac{r\sin \theta}{r\cos \theta} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} \)
\( \tan \theta = 1 \)
चूँकि वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग धनात्मक हैं, सम्मिश्र संख्या पहले चतुर्थांश में है।
\( \theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \)
अतः, ध्रुवीय रूप है: \( 1\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} \)
(ii) दी गई सम्मिश्र संख्या \( \frac { 1+7i }{ (2-i)^2 } \) है। सबसे पहले, हम इसे सरल करेंगे।
हर को सरल करें: \( (2-i)^2 = 2^2 - 2(2)(i) + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i \)
अब सम्मिश्र संख्या \( \frac { 1+7i }{ 3-4i } \) है। इसे सरल करने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी \( (3+4i) \) से गुणा करते हैं।
\( \frac { (1+7i)(3+4i) }{ (3-4i)(3+4i) } \)
अंश: \( (1)(3) + (1)(4i) + (7i)(3) + (7i)(4i) \)
\( = 3 + 4i + 21i + 28i^2 \)
\( = 3 + 25i - 28 \)
\( = -25 + 25i \)
हर: \( 3^2 - (4i)^2 \)
\( = 9 - 16i^2 \)
\( = 9 - (-16) \)
\( = 9 + 16 \)
\( = 25 \)
सरलीकृत सम्मिश्र संख्या है: \( \frac { -25 + 25i }{ 25 } = -1 + i \)
अब, \( -1 + i \) को ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) में बदलना है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
\( r\cos \theta = -1 \) ...(1)
\( r\sin \theta = 1 \) ...(2)
\( r \) ज्ञात करने के लिए, समीकरण (1) और (2) का वर्ग करके जोड़ें:
\( r^2 = (-1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2 \)
\( \implies r = \sqrt{2} \)
\( \theta \) ज्ञात करने के लिए, समीकरण (2) को (1) से भाग दें:
\( \tan \theta = \frac{1}{-1} = -1 \)
चूँकि वास्तविक भाग ऋणात्मक है (\( -1 \)) और काल्पनिक भाग धनात्मक है (\( 1 \)), सम्मिश्र संख्या दूसरे चतुर्थांश में है।
दूसरे चतुर्थांश में \( \theta = \pi - \tan^{-1} |-1| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)
अतः, ध्रुवीय रूप है: \( \sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right) \)
(iii) दी गई सम्मिश्र संख्या \( \sin \frac{\pi}{3} + i\cos \frac{\pi}{3} \) है। मानक ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) है।
इस संख्या को मानक रूप में बदलने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं:
\( \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \)
\( \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \)
तो, \( \sin \frac{\pi}{3} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
और \( \cos \frac{\pi}{3} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \)
इस प्रकार, सम्मिश्र संख्या बन जाती है: \( \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} \)
यह सीधे ध्रुवीय रूप में है, जहाँ मापांक \( r = 1 \) है और कोणांक \( \theta = \frac{\pi}{6} \) है।
In simple words: ध्रुवीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या को उसके मापांक (मूल बिंदु से दूरी) और कोणांक (धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण) का उपयोग करके दर्शाया जाता है। इसे \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) के रूप में लिखा जाता है।

🎯 Exam Tip: ध्रुवीय रूप में बदलने से पहले हमेशा सम्मिश्र संख्या को उसके सबसे सरल \( a+bi \) रूप में लाएँ। यह मापांक और कोणांक की गणना को बहुत आसान बना देता है।

प्रश्न 3. यदि \( z_1 \) तथा \( z_2 \) दो अशून्य सम्मिश्र संख्याएँ हों, तो सिद्ध कीजिए कि कोणांक \( (z_1/z_2) = \) कोणांक \( (z_1) - \) कोणांक \( (z_2) \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि यदि \( z_1 \) और \( z_2 \) दो गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो कोणांक \( (z_1/z_2) = \) कोणांक \( (z_1) - \) कोणांक \( (z_2) \)।
माना \( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) और \( z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)।
अब हम \( z_1/z_2 \) ज्ञात करते हैं:
\( z_1/z_2 = \frac{r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)}{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} \)
यह \( \frac{r_1}{r_2} \times \frac{\cos \theta_1 + i \sin \theta_1}{\cos \theta_2 + i \sin \theta_2} \) के बराबर है।
हर को मानक रूप में लाने के लिए, हम \( (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \) के संयुग्मी \( (\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \) से अंश और हर में गुणा करते हैं।
\( \implies z_1/z_2 = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)}{(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)} \)
\( \implies z_1/z_2 = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i (\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)}{\cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2} \)
चूँकि \( \cos^2 \theta_2 + \sin^2 \theta_2 = 1 \) होता है और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \) तथा \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \) का उपयोग करके, हम पाते हैं:
\( \implies z_1/z_2 = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
इस प्रकार, \( z_1/z_2 \) का कोणांक \( (\theta_1 - \theta_2) \) है।
क्योंकि \( \theta_1 = \) कोणांक \( (z_1) \) और \( \theta_2 = \) कोणांक \( (z_2) \) है,
\( \implies \) कोणांक \( (z_1/z_2) = \) कोणांक \( (z_1) - \) कोणांक \( (z_2) \)।
यह सिद्ध हो गया।
In simple words: जब आप दो सम्मिश्र संख्याओं को भाग देते हैं, तो परिणामी संख्या का कोण पहली संख्या के कोण में से दूसरी संख्या के कोण को घटाकर पाया जाता है। यह एक महत्वपूर्ण नियम है जो जटिल संख्याओं को समझने में मदद करता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों के लिए, सम्मिश्र संख्याओं को उनके ध्रुवीय रूप में \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) लेना सबसे अच्छा तरीका है, क्योंकि यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल हो जाता है।