RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ Exercise 5.1

Question 1. निम्नलिखित को सरलतम रूप में लिखिए
(i) \( i^{52} \)
(ii) \( \sqrt{-2}\sqrt{-3} \)
(iii) \( (1 + i)^5(1 - i)^5 \)
Answer:
(i) हम जानते हैं कि \( i^2 = -1 \) होता है। इसलिए, हम \( i^{52} \) को \( (i^2)^{26} \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( i^{52} = (i^2)^{26} \)
\( = (-1)^{26} \)
\( = 1 \) (क्योंकि किसी भी सम घात के लिए -1 का परिणाम 1 होता है)।
(ii) हम जानते हैं कि \( \sqrt{-1} = i \) होता है। इसलिए हम \( \sqrt{-2} \) को \( i\sqrt{2} \) और \( \sqrt{-3} \) को \( i\sqrt{3} \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( \sqrt{-2}\sqrt{-3} = (i\sqrt{2})(i\sqrt{3}) \)
\( = i^2\sqrt{2}\sqrt{3} \)
\( = -1 \times \sqrt{6} \)
\( = -\sqrt{6} \)
(iii) हम दिए गए व्यंजक को \( [(1+i)(1-i)]^5 \) के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) होता है।
\( (1+i)^5(1-i)^5 = [(1+i)(1-i)]^5 \)
\( = [1^2 - i^2]^5 \)
\( = [1 - (-1)]^5 \) (क्योंकि \( i^2 = -1 \) होता है)
\( = [1 + 1]^5 \)
\( = 2^5 = 32 \)
In simple words: हमने \( i \) की घातों के नियम और वर्गमूल के गुणों का उपयोग करके जटिल संख्याओं को सरल किया है। \( i^{52} \) को \( (i^2)^{26} \) में बदलकर \( (-1)^{26} = 1 \) प्राप्त किया। \( \sqrt{-2}\sqrt{-3} \) को \( i\sqrt{2} \times i\sqrt{3} \) में बदलकर \( i^2\sqrt{6} = -\sqrt{6} \) प्राप्त किया। और \( (1+i)^5(1-i)^5 \) को \( [(1+i)(1-i)]^5 \) में बदलकर \( (1 - i^2)^5 = (1+1)^5 = 2^5 = 32 \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: \( i \) की घातों को सरल करते समय हमेशा \( i^2 = -1 \) और \( i^4 = 1 \) के पैटर्न को याद रखें। ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल को गुणा करते समय \( \sqrt{-a} = i\sqrt{a} \) नियम का उपयोग करें, और \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग जटिल व्यंजकों को सरल बनाने के लिए करें।

Question 2. (ii) \( \frac{1}{3+4i} \)
Answer: हमें \( \frac{1}{3+4i} \) को \( a+ib \) के रूप में व्यक्त करना है। इसके लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर दोनों को गुणा करेंगे। \( 3+4i \) का संयुग्मी \( 3-4i \) होता है।
\( \frac{1}{3+4i} = \frac{1}{3+4i} \times \frac{3-4i}{3-4i} \)
\( = \frac{3-4i}{3^2 - (4i)^2} \)
\( = \frac{3-4i}{9 - 16i^2} \)
\( = \frac{3-4i}{9 - 16(-1)} \) (क्योंकि \( i^2 = -1 \))
\( = \frac{3-4i}{9 + 16} \)
\( = \frac{3-4i}{25} \)
\( = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \)
In simple words: किसी जटिल भिन्न को \( a+ib \) रूप में बदलने के लिए, हम हर के संयुग्मी (बीच का चिह्न बदलकर) से अंश और हर दोनों को गुणा करते हैं। ऐसा करने से हर में एक वास्तविक संख्या बन जाती है, और फिर भिन्न को आसानी से \( a+ib \) रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: जब हर में एक जटिल संख्या हो, तो उसे वास्तविक बनाने के लिए हमेशा उसके संयुग्मी से गुणा करें। यह \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग करता है, जो \( i^2 \) को \( -1 \) में बदल देता है।

Question 3. सम्मिश्र संख्या \( \frac{(2+i)^3}{3+i} \) की संयुग्मी संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: पहले हम \( (2+i)^3 \) का विस्तार करेंगे और फिर \( \frac{(2+i)^3}{3+i} \) को \( a+ib \) के रूप में सरल करेंगे, और अंत में इसका संयुग्मी ज्ञात करेंगे।
सूत्र \( (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 \) का उपयोग करने पर:
\( (2+i)^3 = 2^3 + i^3 + 3(2^2)(i) + 3(2)(i^2) \)
\( = 8 + i^2 \cdot i + 12i + 6i^2 \)
\( = 8 + (-1)i + 12i + 6(-1) \)
\( = 8 - i + 12i - 6 \)
\( = (8-6) + (-1+12)i \)
\( = 2 + 11i \)
अब, \( \frac{(2+i)^3}{3+i} = \frac{2+11i}{3+i} \)
हर के संयुग्मी \( 3-i \) से अंश और हर को गुणा करने पर:
\( \frac{2+11i}{3+i} = \frac{(2+11i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} \)
\( = \frac{2(3) + 2(-i) + 11i(3) + 11i(-i)}{3^2 - i^2} \)
\( = \frac{6 - 2i + 33i - 11i^2}{9 - (-1)} \)
\( = \frac{6 + 31i - 11(-1)}{9 + 1} \)
\( = \frac{6 + 31i + 11}{10} \)
\( = \frac{17 + 31i}{10} = \frac{17}{10} + \frac{31}{10}i \)
इस जटिल संख्या \( \left( \frac{17}{10} + \frac{31}{10}i \right) \) का संयुग्मी \( \frac{17}{10} - \frac{31}{10}i \) होगा।
In simple words: पहले हमने \( (2+i)^3 \) को \( a+ib \) रूप में खोला। फिर उस परिणाम को \( 3+i \) से भाग देने के लिए हर के संयुग्मी से गुणा किया ताकि पूरी संख्या \( a+ib \) रूप में आ जाए। अंत में, \( a+ib \) का संयुग्मी \( a-ib \) होता है, बस काल्पनिक भाग का चिह्न बदल दिया।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्या का संयुग्मी ज्ञात करने से पहले उसे हमेशा \( a+ib \) रूप में सरल करें। \( (a+b)^3 \) और \( (a+b)(a-b) \) जैसे बीजगणितीय सूत्रों का सही उपयोग महत्वपूर्ण है।

Question 4. निम्नलिखित के मापांक ज्ञात कीजिए
(i) \( 4 + i \)
(ii) \( -2 - 3i \)
(iii) \( \frac{1}{3-2i} \)
Answer: हम जानते हैं कि जटिल संख्या \( z = a+ib \) का मापांक \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) होता है।
(i) \( z = 4+i \)
यहाँ, \( a=4 \) और \( b=1 \)
\( |z| = \sqrt{4^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{16 + 1} \)
\( = \sqrt{17} \)
(ii) \( z = -2-3i \)
यहाँ, \( a=-2 \) और \( b=-3 \)
\( |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 9} \)
\( = \sqrt{13} \)
(iii) \( z = \frac{1}{3-2i} \)
पहले हम \( z \) को \( a+ib \) के रूप में सरल करेंगे। हर के संयुग्मी \( 3+2i \) से अंश और हर को गुणा करने पर:
\( z = \frac{1}{3-2i} \times \frac{3+2i}{3+2i} \)
\( = \frac{3+2i}{3^2 - (2i)^2} \)
\( = \frac{3+2i}{9 - 4i^2} \)
\( = \frac{3+2i}{9 - 4(-1)} \)
\( = \frac{3+2i}{9 + 4} \)
\( = \frac{3+2i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{2}{13}i \)
अब, इसका मापांक ज्ञात करने के लिए, यहाँ \( a=\frac{3}{13} \) और \( b=\frac{2}{13} \)
\( |z| = \sqrt{\left(\frac{3}{13}\right)^2 + \left(\frac{2}{13}\right)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{9}{169} + \frac{4}{169}} \)
\( = \sqrt{\frac{13}{169}} \)
\( = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{169}} = \frac{\sqrt{13}}{13} \)
In simple words: एक जटिल संख्या का मापांक उसकी मूल बिंदु से दूरी होती है। इसे \( \sqrt{a^2+b^2} \) सूत्र से निकाला जाता है। यदि संख्या पहले से \( a+ib \) रूप में नहीं है, तो उसे पहले उस रूप में बदलें, फिर मापांक का सूत्र लगाएं।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्या का मापांक हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होता है। गणना में \( a \) और \( b \) के चिह्नों का ध्यान रखें, क्योंकि \( a^2 \) और \( b^2 \) हमेशा धनात्मक होते हैं।

Question 5. यदि \( a^2 + b^2 = 1 \) तो \( \frac{1+b-ia}{1+b+ia} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \frac{1+b-ia}{1+b+ia} \) का मान ज्ञात करना है, जहाँ \( a^2 + b^2 = 1 \) दिया गया है।
दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करेंगे। हर \( (1+b)+ia \) का संयुग्मी \( (1+b)-ia \) है।
\( \frac{1+b-ia}{1+b+ia} = \frac{((1+b)-ia)}{((1+b)+ia)} \times \frac{((1+b)-ia)}{((1+b)-ia)} \)
\( = \frac{((1+b)-ia)^2}{(1+b)^2 - (ia)^2} \)
\( = \frac{(1+b)^2 - 2(1+b)(ia) + (ia)^2}{(1+b)^2 - i^2a^2} \)
\( = \frac{1 + 2b + b^2 - 2ia - 2iab + i^2a^2}{1 + 2b + b^2 + a^2} \) (क्योंकि \( i^2 = -1 \))
\( = \frac{1 + 2b + b^2 - a^2 - 2ia - 2iab}{1 + 2b + (a^2+b^2)} \)
यह दिया गया है कि \( a^2 + b^2 = 1 \)। इस मान का उपयोग करने पर:
हर: \( 1 + 2b + (a^2+b^2) = 1 + 2b + 1 = 2 + 2b \)
अंश: \( 1 + 2b + b^2 - a^2 - 2ia - 2iab \)
चूंकि \( a^2+b^2 = 1 \), तो \( b^2 = 1-a^2 \) और \( a^2 = 1-b^2 \)
अंश में \( b^2 - a^2 \) के स्थान पर \( (1-a^2) - a^2 = 1-2a^2 \) या \( b^2 - (1-b^2) = 2b^2-1 \) रखा जा सकता है।
आइए अंश को \( (1-a^2) + 2b + b^2 - 2ia - 2iab \) के रूप में लिखें
\( = b^2 + 2b + b^2 - 2ia - 2iab \) (क्योंकि \( 1-a^2=b^2 \))
\( = 2b^2 + 2b - 2ia(1+b) \)
\( = 2b(b+1) - 2ia(1+b) \)
अतः, \( \frac{2b(b+1) - 2ia(1+b)}{2(1+b)} \)
\( = \frac{2b(1+b)}{2(1+b)} - \frac{2ia(1+b)}{2(1+b)} \)
\( = b - ia \)
In simple words: हमने दिए गए जटिल भिन्न को हर के संयुग्मी से गुणा करके सरल किया। \( (a-b)^2 \) और \( (a+b)(a-b) \) के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हमने व्यंजक को विस्तारित किया। अंत में, \( a^2+b^2=1 \) के मान का उपयोग करके, हमने इसे सबसे सरल रूप \( b-ia \) में लाया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( a^2+b^2=1 \) जैसी शर्त का उपयोग अंश और हर दोनों में सरल बनाते समय करें। संयुग्मी से गुणा करने के बाद, \( i^2 = -1 \) को ध्यान से प्रतिस्थापित करें।

Question 6. यदि \( a = \cos\theta + i\sin\theta \) तब \( \frac{1+a}{1-a} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( a = \cos\theta + i\sin\theta \) दिया गया है। हमें \( \frac{1+a}{1-a} \) का मान ज्ञात करना है।
\( \frac{1+a}{1-a} = \frac{1 + (\cos\theta + i\sin\theta)}{1 - (\cos\theta + i\sin\theta)} \)
\( = \frac{(1+\cos\theta) + i\sin\theta}{(1-\cos\theta) - i\sin\theta} \)
अब, हम त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करेंगे:
\( 1+\cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
\( 1-\cos\theta = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
\( \sin\theta = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
इन सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\left(2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}{2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\left(2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} \)
अंश से \( 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \) और हर से \( 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( = \frac{2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} \)
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - i\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} \)
हर में \( i \) से गुणा और भाग करने पर:
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{i\left(\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{i} - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} \)
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{i\left(-i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) - \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} \) (क्योंकि \( \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i \))
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{i(-1)\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} \)
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \frac{1}{-i} \)
\( = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \times i \) (क्योंकि \( \frac{1}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = i \))
\( = i\cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \)
In simple words: हमने \( a \) के मान को भिन्न में रखा और फिर त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग किया। अंश और हर को सरल करने के बाद, हमने \( 2\cos(\theta/2) \) और \( 2\sin(\theta/2) \) को उभयनिष्ठ लिया। अंत में, \( \cot(\theta/2) \) और \( i \) को अलग करके अंतिम मान \( i\cot(\theta/2) \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में \( 1+\cos\theta, 1-\cos\theta \) और \( \sin\theta \) के आधे-कोण (half-angle) के सूत्रों को याद रखना बहुत जरूरी है। अंतिम सरलीकरण के लिए \( \frac{1}{i} = -i \) और \( \frac{1}{-i} = i \) का ध्यान रखें।

Question 7. समीकरण \( \frac{(1+i)x-2i}{3+i} + \frac{(2-3i)y+i}{3-i} = i \) को हल कीजिए।
Answer: हमें दिए गए समीकरण को हल करके \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात करने हैं।
पहले हम प्रत्येक भिन्न को सरल करेंगे।
पहली भिन्न:
\( \frac{(1+i)x-2i}{3+i} = \frac{(x+ix-2i)}{3+i} \times \frac{3-i}{3-i} \)
\( = \frac{(x+(x-2)i)(3-i)}{3^2 - i^2} \)
\( = \frac{3x - ix + 3(x-2)i - i^2(x-2)}{9 - (-1)} \)
\( = \frac{3x - ix + 3ix - 6i + (x-2)}{10} \)
\( = \frac{(3x+x-2) + (-x+3x-6)i}{10} \)
\( = \frac{4x-2 + (2x-6)i}{10} = \frac{4x-2}{10} + \frac{2x-6}{10}i \)
दूसरी भिन्न:
\( \frac{(2-3i)y+i}{3-i} = \frac{2y-3yi+i}{3-i} \times \frac{3+i}{3+i} \)
\( = \frac{(2y+(-3y+1)i)(3+i)}{3^2 - i^2} \)
\( = \frac{3(2y) + (2y)i + 3(-3y+1)i + (-3y+1)i^2}{10} \)
\( = \frac{6y + 2yi - 9yi + 3i - (-3y+1)}{10} \)
\( = \frac{6y + 3y-1 + (2y-9y+3)i}{10} \)
\( = \frac{9y-1 + (-7y+3)i}{10} = \frac{9y-1}{10} + \frac{-7y+3}{10}i \)
अब समीकरण में मान रखने पर:
\( \left( \frac{4x-2}{10} + \frac{2x-6}{10}i \right) + \left( \frac{9y-1}{10} + \frac{-7y+3}{10}i \right) = i \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर:
वास्तविक भाग: \( \frac{4x-2}{10} + \frac{9y-1}{10} = 0 \)
\( 4x - 2 + 9y - 1 = 0 \)
\( 4x + 9y - 3 = 0 \)
\( \implies 4x + 9y = 3 \) ... (1)
काल्पनिक भाग: \( \frac{2x-6}{10} + \frac{-7y+3}{10} = 1 \) (क्योंकि समीकरण के दाहिने हाथ में \( i \) का गुणांक 1 है)
\( 2x - 6 - 7y + 3 = 10 \)
\( 2x - 7y - 3 = 10 \)
\( \implies 2x - 7y = 13 \) ... (2)
अब, समीकरण (1) और (2) को हल करने पर:
समीकरण (1) को 7 से गुणा करें: \( 28x + 63y = 21 \)
समीकरण (2) को 9 से गुणा करें: \( 18x - 63y = 117 \)
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
\( (28x + 63y) + (18x - 63y) = 21 + 117 \)
\( 46x = 138 \)
\( x = \frac{138}{46} \)
\( x = 3 \)
\( x = 3 \) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 4(3) + 9y = 3 \)
\( 12 + 9y = 3 \)
\( 9y = 3 - 12 \)
\( 9y = -9 \)
\( y = -1 \)
अतः, \( x=3 \) और \( y=-1 \)
In simple words: हमने पहले समीकरण के दोनों जटिल भिन्नों को \( a+ib \) रूप में बदला। इसके लिए, हमने हर के संयुग्मी से गुणा किया। फिर हमने वास्तविक भागों को एक साथ और काल्पनिक भागों को एक साथ लेकर दो अलग-अलग समीकरण बनाए। अंत में, उन दो सरल समीकरणों को हल करके \( x \) और \( y \) के मान प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: जटिल समीकरणों को हल करते समय, पहले हर को वास्तविक संख्या में बदलें और फिर समीकरण के दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करें। इससे दो रैखिक समीकरण प्राप्त होंगे जिन्हें आप आसानी से हल कर सकते हैं।

Question 8. यदि \( z_1 \) तथा \( z_2 \), कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि \( |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \)
Answer: हम जानते हैं कि किसी जटिल संख्या \( z \) के लिए \( |z|^2 = z \bar{z} \) होता है, जहाँ \( \bar{z} \) उसका संयुग्मी है।
सबसे पहले, \( |z_1 + z_2|^2 \) को हल करते हैं:
\( |z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) \)
\( = (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) \)
\( = z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2} \)
\( = |z_1|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + |z_2|^2 \) ... (1)
अब, \( |z_1 - z_2|^2 \) को हल करते हैं:
\( |z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2}) \)
\( = (z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2}) \)
\( = z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2} \)
\( = |z_1|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + |z_2|^2 \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( |z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + |z_2|^2) + (|z_1|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + |z_2|^2) \)
\( = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1|^2 + |z_2|^2 \) (क्योंकि \( z_1\bar{z_2} \) और \( -z_1\bar{z_2} \) तथा \( z_2\bar{z_1} \) और \( -z_2\bar{z_1} \) रद्द हो जाते हैं)
\( = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \)
यही सिद्ध करना था।
In simple words: हमने जटिल संख्या के मापांक के गुण \( |z|^2 = z\bar{z} \) का उपयोग करके दोनों पक्षों को विस्तारित किया। \( (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) \) और \( (z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2}) \) को गुणा करके, हमने समान पदों को रद्द कर दिया। अंत में, हमें \( 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \) प्राप्त हुआ, जो सिद्ध करता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, \( |z|^2 = z\bar{z} \) का उपयोग करके व्यंजक को विस्तारित करना एक मानक तरीका है। संयुग्मी के गुणों जैसे \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \) और \( \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1}\bar{z_2} \) का सही उपयोग करें।

Question 9. यदि \( a + ib = \frac{ci}{c-i} \), जहाँ c एक वास्तविक संख्या है, तो सिद्ध कीजिए कि \( a^2 + b^2 = 1 \) और है \( \frac{b}{a} = \frac{2c}{c^2-1} \)
Answer: दिए गए प्रश्न में एक त्रुटि प्रतीत होती है। यदि \( a+ib = \frac{ci}{c-i} \) हो, तो \( a^2+b^2=1 \) सिद्ध नहीं होता है। \( a+ib = \frac{c+i}{c-i} \) होने पर दोनों शर्तें सिद्ध होती हैं। हम यह मानकर हल कर रहे हैं कि मूल प्रश्न \( a+ib = \frac{c+i}{c-i} \) था।
हमें दिया गया है \( a + ib = \frac{c+i}{c-i} \)
पहले \( a^2+b^2 = 1 \) को सिद्ध करते हैं। हम जानते हैं कि \( a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib) \) होता है।
\( a+ib = \frac{c+i}{c-i} \)
संयुग्मी लेने पर:
\( a-ib = \overline{\left(\frac{c+i}{c-i}\right)} = \frac{\overline{c+i}}{\overline{c-i}} = \frac{c-i}{c+i} \)
अब, \( a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib) \)
\( = \left(\frac{c+i}{c-i}\right) \times \left(\frac{c-i}{c+i}\right) \)
\( = 1 \)
इस प्रकार, \( a^2+b^2 = 1 \) सिद्ध हुआ।
अब \( \frac{b}{a} = \frac{2c}{c^2-1} \) को सिद्ध करते हैं।
\( a+ib = \frac{c+i}{c-i} \)
अंश और हर को \( c+i \) से गुणा करने पर:
\( a+ib = \frac{(c+i)(c+i)}{(c-i)(c+i)} = \frac{(c+i)^2}{c^2-i^2} \)
\( = \frac{c^2 + 2ci + i^2}{c^2 - (-1)} = \frac{c^2 - 1 + 2ci}{c^2 + 1} \)
\( = \frac{c^2-1}{c^2+1} + i\frac{2c}{c^2+1} \)
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
\( a = \frac{c^2-1}{c^2+1} \) और \( b = \frac{2c}{c^2+1} \)
अब \( \frac{b}{a} \) ज्ञात करते हैं:
\( \frac{b}{a} = \frac{\frac{2c}{c^2+1}}{\frac{c^2-1}{c^2+1}} \)
\( = \frac{2c}{c^2-1} \)
इस प्रकार, \( \frac{b}{a} = \frac{2c}{c^2-1} \) भी सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने \( a^2+b^2=1 \) सिद्ध करने के लिए जटिल संख्या को उसके संयुग्मी से गुणा किया। फिर \( \frac{c+i}{c-i} \) को \( a+ib \) रूप में व्यक्त करने के लिए हर के संयुग्मी से गुणा किया। अंत में, \( a \) और \( b \) के मानों की तुलना करके \( b/a \) अनुपात ज्ञात किया, जो \( \frac{2c}{c^2-1} \) के बराबर निकला।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्याओं में \( a^2+b^2 \) को सिद्ध करने के लिए अक्सर \( z\bar{z} = |z|^2 \) के गुण का उपयोग किया जाता है। किसी जटिल भिन्न को \( a+ib \) रूप में बदलने के लिए हमेशा हर के संयुग्मी से गुणा करें।

Question 10. यदि \( (x + iy)^{1/3} = (a + ib) \) है तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 4(a^2-b^2) \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( (x + iy)^{1/3} = (a + ib) \)। दोनों पक्षों का घन करने पर:
\( ((x + iy)^{1/3})^3 = (a + ib)^3 \)
\( x + iy = (a + ib)^3 \)
हम जानते हैं कि \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) होता है।
\( x + iy = a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3 \)
\( x + iy = a^3 + 3a^2bi + 3a b^2 i^2 + i^3b^3 \)
हम जानते हैं कि \( i^2 = -1 \) और \( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( x + iy = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 \)
अब, वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग करने पर:
\( x + iy = (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) \)
वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
\( x = a^3 - 3ab^2 \)
\( \implies x = a(a^2 - 3b^2) \)
\( \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2 \) ... (1)
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
\( y = 3a^2b - b^3 \)
\( \implies y = b(3a^2 - b^2) \)
\( \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2 \) ... (2)
अब, समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2) \)
\( = a^2 - 3b^2 + 3a^2 - b^2 \)
\( = (a^2 + 3a^2) + (-3b^2 - b^2) \)
\( = 4a^2 - 4b^2 \)
\( = 4(a^2 - b^2) \)
इस प्रकार, \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 4(a^2-b^2) \) सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने पहले दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का घन किया। फिर \( (a+ib)^3 \) को विस्तारित किया और वास्तविक व काल्पनिक भागों को अलग-अलग कर दिया। इससे हमें \( x \) और \( y \) के लिए समीकरण मिले। \( x/a \) और \( y/b \) के लिए व्यंजक प्राप्त करने के बाद, हमने उन्हें जोड़ दिया, और सरल करके \( 4(a^2-b^2) \) सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( (a+b)^3 \) के विस्तार और \( i \) की घातों के मान \( (i^2=-1, i^3=-i) \) का सही उपयोग महत्वपूर्ण है। वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग करके समीकरण बनाना और उन्हें हल करना ध्यान से करें।

Question 11. यदि \( \frac{(x+i)^2}{3x+2} = a+ib \) है, तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{(x^2+1)^2}{(3x+2)^2} = a^2+b^2 \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( \frac{(x+i)^2}{3x+2} = a+ib \)
हम जानते हैं कि \( a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib) \) होता है।
पहले, हम \( a-ib \) का मान ज्ञात करेंगे। हम \( a+ib \) के व्यंजक में \( i \) को \( -i \) से प्रतिस्थापित करके \( a-ib \) प्राप्त कर सकते हैं:
\( a-ib = \frac{(x-i)^2}{3x+2} \)
अब, हम \( a^2+b^2 \) ज्ञात करने के लिए \( (a+ib) \) और \( (a-ib) \) को गुणा करेंगे:
\( a^2+b^2 = \left(\frac{(x+i)^2}{3x+2}\right) \times \left(\frac{(x-i)^2}{3x+2}\right) \)
\( = \frac{(x+i)^2(x-i)^2}{(3x+2)(3x+2)} \)
\( = \frac{[(x+i)(x-i)]^2}{(3x+2)^2} \)
हम जानते हैं कि \( (A+B)(A-B) = A^2-B^2 \) होता है, इसलिए \( (x+i)(x-i) = x^2 - i^2 \)
\( = \frac{[x^2 - i^2]^2}{(3x+2)^2} \)
चूंकि \( i^2 = -1 \) होता है, हम इसे प्रतिस्थापित करेंगे:
\( = \frac{[x^2 - (-1)]^2}{(3x+2)^2} \)
\( = \frac{[x^2 + 1]^2}{(3x+2)^2} \)
इस प्रकार, \( \frac{(x^2+1)^2}{(3x+2)^2} = a^2+b^2 \) सिद्ध हुआ।
In simple words: हमने \( a^2+b^2 \) को \( (a+ib)(a-ib) \) के रूप में लिखा। \( a-ib \) प्राप्त करने के लिए, हमने \( a+ib \) में \( i \) को \( -i \) से बदल दिया। फिर इन दोनों को गुणा किया। \( (x+i)(x-i) \) को \( x^2-i^2 \) में सरल किया और \( i^2=-1 \) का मान रखा। इससे हमें सिद्ध करना वाला व्यंजक प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: जटिल संख्याओं में \( a^2+b^2 \) सिद्ध करने के लिए \( (a+ib)(a-ib) = a^2+b^2 \) का उपयोग करना एक आम तकनीक है। जब \( a+ib \) एक भिन्न के रूप में दिया गया हो, तो \( a-ib \) प्राप्त करने के लिए \( i \) को \( -i \) से प्रतिस्थापित करें।