RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ More Questions

प्रश्न 1. सम्मिश्र संख्या \( \frac {1}{1-2i} \) का वास्तविक एवं काल्पनिक भाग क्रमशः है
(A) 1, 1
(B) 0, 0
(C) 0, 1
(D) 1,0
Answer: (C) 0, 1
In simple words: पहले दी गई सम्मिश्र संख्या को \( a + bi \) के रूप में बदलें. फिर, \( a \) वास्तविक भाग है और \( b \) काल्पनिक भाग है.

🎯 Exam Tip: किसी भी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक और काल्पनिक भाग निकालने के लिए, उसे हमेशा \( a + bi \) या \( x + iy \) के मानक रूप में लिखें.

प्रश्न 2. यदि \( 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i \), तब
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 2, b = -3
(C) a = 3, b = 2
(D) a = 3, b = -2
Answer: (D) a = 3, b = -2
In simple words: दो सम्मिश्र संख्याएँ तभी बराबर होती हैं जब उनके वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों बराबर हों. दिए गए समीकरण में, वास्तविक और काल्पनिक हिस्सों को अलग-अलग बराबर करें.

🎯 Exam Tip: जब दो सम्मिश्र संख्याएँ बराबर हों, तो वास्तविक भागों को एक साथ और काल्पनिक भागों को एक साथ बराबर करें ताकि अज्ञात मानों को हल किया जा सके.

प्रश्न 4. \( \frac{2-3i}{4+i} \) का संयुग्मी है
(A) \( \frac{-5+14i}{17} \)
(B) \( \frac{5+14i}{17} \)
(C) \( \frac{14+5i}{17} \)
(D) \( \frac{14-5i}{17} \)
Answer: (B) \( \frac{5+14i}{17} \)
In simple words: सबसे पहले, दी गई भिन्न सम्मिश्र संख्या को \( a+bi \) के रूप में सरल करें. फिर, इस \( a+bi \) रूप का संयुग्मी \( a-bi \) होता है.

🎯 Exam Tip: सम्मिश्र संख्या के संयुग्मी को ज्ञात करते समय, केवल काल्पनिक भाग का चिह्न बदलें, वास्तविक भाग का नहीं.

प्रश्न 5. यदि \( Z_1, Z_2 \in C \) तो कौनसा कथन सत्य है
(A) \( |Z_1 - Z_2| \ge |Z_1| + |Z_2| \)
(B) \( |Z_1 + Z_2| \le |Z_1 - Z_2| \)
(C) \( |Z_1 + Z_2| \ge |Z_1 - Z_2| \)
(D) \( |Z_1 - Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \)
Answer: (D) \( |Z_1 - Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \)
In simple words: यह एक महत्वपूर्ण त्रिभुज असमानता का नियम है. यह नियम कहता है कि दो सम्मिश्र संख्याओं के अंतर का निरपेक्ष मान, उनके अलग-अलग निरपेक्ष मानों के योग से कभी भी बड़ा नहीं हो सकता.

🎯 Exam Tip: सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमानता \( |Z_1 + Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \) और \( |Z_1 - Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \) को याद रखना बहुत जरूरी है.

प्रश्न 6. यदि \( |z – 3| = |z + 3| \) तो z स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) x = y रेखा पर
(D) x = -y रेखा पर
Answer: (B) y-अक्ष पर
In simple words: यह समीकरण उन सभी बिंदुओं को दर्शाता है जिनकी बिंदु (3,0) से दूरी और बिंदु (-3,0) से दूरी समान है. ऐसे सभी बिंदु y-अक्ष पर स्थित होते हैं.

🎯 Exam Tip: \( |z - a| = |z - b| \) का ज्यामितीय अर्थ उस रेखा का प्रतिनिधित्व करता है जो बिंदुओं \( a \) और \( b \) को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है.

प्रश्न 8. \( \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}i \) का ध्रुवीय रूप लिखिए।
Answer:
माना \( z = x + iy = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}i \)
यहाँ, \( x = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) और \( y = \frac{5}{2} \)
ध्रुवीय रूप \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) है, जहाँ \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \) और \( \theta \) कोणांक है.
सबसे पहले, निरपेक्ष मान \( r \) ज्ञात करते हैं:
\( r = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} \)
\( \implies r = \sqrt{\frac{25 \times 3}{4} + \frac{25}{4}} \)
\( \implies r = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{25}{4}} \)
\( \implies r = \sqrt{\frac{100}{4}} \)
\( \implies r = \sqrt{25} \)
\( \implies r = 5 \)
अब, कोणांक \( \theta \) ज्ञात करते हैं:
हम जानते हैं कि \( x = r \cos \theta \) और \( y = r \sin \theta \).
\( \cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{5\sqrt{3}/2}{5} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{5/2}{5} = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( \cos \theta \) और \( \sin \theta \) दोनों धनात्मक हैं, \( \theta \) प्रथम चतुर्थांश में है.
\( \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{5/2}{5\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \theta = \frac{\pi}{6} \)
अतः, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है: \( 5\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) \).
In simple words: किसी भी सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में बदलने के लिए, हमें दो चीजें चाहिएं: उसका निरपेक्ष मान (जैसे उसकी 'लंबाई') और उसका कोण. पहले \( x^2 + y^2 \) का वर्गमूल निकालकर 'लंबाई' (r) निकालते हैं. फिर \( \tan \theta = y/x \) से कोण (\( \theta \)) निकालते हैं, और फिर इसे \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) के रूप में लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: ध्रुवीय रूप में लिखते समय, \( r \) (निरपेक्ष मान) हमेशा धनात्मक होना चाहिए, और \( \theta \) (कोणांक) के लिए सही चतुर्थांश का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 9. \( 4 + 5w^4 + 3w^5 \) का मान होगा?
Answer:
दिया गया व्यंजक है: \( 4 + 5w^4 + 3w^5 \)
हम जानते हैं कि \( w \) इकाई का एक घनमूल है, इसलिए \( w^3 = 1 \).
तो, \( w^4 = w^3 \cdot w = 1 \cdot w = w \)
और \( w^5 = w^3 \cdot w^2 = 1 \cdot w^2 = w^2 \)
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
\( 4 + 5(w) + 3(w^2) \)
अब, हम जानते हैं कि \( 1 + w + w^2 = 0 \), जिसका अर्थ है \( w + w^2 = -1 \).
व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
\( 4 + 5w + 3w^2 \)
\( = 4 + 3w + 2w + 3w^2 \)
\( = 4 + 3(w + w^2) + 2w \)
\( = 4 + 3(-1) + 2w \)
\( = 4 - 3 + 2w \)
\( = 1 + 2w \)
यह भी ज्ञात है कि \( w = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \).
तो, \( 1 + 2\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( = 1 + (-1 + i\sqrt{3}) \)
\( = 1 - 1 + i\sqrt{3} \)
\( = i\sqrt{3} \)
इस प्रकार, \( 4 + 5w^4 + 3w^5 = i\sqrt{3} \).
In simple words: इस सवाल में हमें \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) जैसे घनमूलों के खास नियम इस्तेमाल करने हैं. पहले \( w \) की बड़ी घातों को छोटी घातों में बदलें, जैसे \( w^4 \) को \( w \) और \( w^5 \) को \( w^2 \). फिर, दिए गए व्यंजक में इन मानों को रखकर उसे सरल करें.

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों से संबंधित प्रश्नों में, \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) इन दो गुणों का उपयोग करने से समस्याएँ बहुत सरल हो जाती हैं.

प्रश्न 11. \( |1 - i|^x = 2^x \) के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या है।
Answer:
हमें समीकरण \( |1 - i|^x = 2^x \) दिया गया है.
सबसे पहले, \( |1 - i| \) का मान ज्ञात करते हैं:
यदि \( z = a + bi \), तो \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \).
यहाँ \( a = 1 \) और \( b = -1 \).
\( |1 - i| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} \)
\( \implies |1 - i| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
अब, इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( (\sqrt{2})^x = 2^x \)
हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} = 2^{1/2} \).
तो, \( (2^{1/2})^x = 2^x \)
\( \implies 2^{x/2} = 2^x \)
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
\( \frac{x}{2} = x \)
\( \implies x = 2x \)
\( \implies 2x - x = 0 \)
\( \implies x = 0 \)
समीकरण का हल \( x = 0 \) है.
प्रश्न में शून्येतर पूर्णांक मूलों (non-zero integer roots) की संख्या पूछी गई है. चूंकि हमें केवल \( x = 0 \) का हल मिला है, जो एक शून्येतर पूर्णांक नहीं है.
अतः, शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या शून्य है.
In simple words: पहले \( |1-i| \) की 'लंबाई' निकालते हैं, जो \( \sqrt{2} \) आती है. फिर इस मान को समीकरण में रखते हैं और दोनों तरफ की घातों को बराबर करके \( x \) का मान निकालते हैं. अगर \( x \) का मान 0 आता है, तो कोई भी गैर-शून्य पूर्णांक हल नहीं है.

🎯 Exam Tip: 'शून्येतर' शब्द पर ध्यान दें. इसका मतलब है कि शून्य को छोड़कर कोई भी पूर्णांक. यदि हल शून्य आता है, तो शून्येतर मूलों की संख्या शून्य होगी.

Question. (i) सिद्ध कीजिए कि \( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \).
Answer:
हमें सिद्ध करना है कि \( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \).
हम जानते हैं कि \( |z|^2 = z\overline{z} \).
तो, \( |z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2}) \)
\( \implies |z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2}) \)
\( \implies |z_1 - z_2|^2 = z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} \)
\( \implies |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 - (z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2) + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \).
तो, \( z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \).
\( \implies |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 - 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) + |z_2|^2 \)
यह भी ज्ञात है कि \( \text{Re}(z) \le |z| \).
इसलिए, \( -2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \le 2|z_1\overline{z_2}| \).
\( \implies |z_1 - z_2|^2 \le |z_1|^2 + 2|z_1\overline{z_2}| + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( |\overline{z_2}| = |z_2| \).
\( \implies |z_1 - z_2|^2 \le |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \)
यह \( (|z_1| + |z_2|)^2 \) का विस्तार है.
\( \implies |z_1 - z_2|^2 \le (|z_1| + |z_2|)^2 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम पहले \( |z_1 - z_2| \) के वर्ग से शुरू करते हैं. फिर, सम्मिश्र संख्याओं के गुणों का उपयोग करते हैं, जैसे \( |z|^2 = z\overline{z} \) और \( \text{Re}(z) \le |z| \). अंत में, हम देखते हैं कि यह \( (|z_1| + |z_2|)^2 \) के वर्ग से कम या बराबर है, जिससे अंतिम परिणाम प्राप्त होता है.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता \( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \) को सिद्ध करते समय, \( \text{Re}(z) \le |z| \) के गुण का सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है.

Question. (ii) सिद्ध कीजिए कि \( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \).
Answer:
हमें सिद्ध करना है कि \( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \).
हम जानते हैं कि \( |z|^2 = z\overline{z} \).
तो, \( |z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) \)
\( \implies |z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) \)
\( \implies |z_1 + z_2|^2 = z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} \)
\( \implies |z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + (z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2) + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) \).
तो, \( z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \).
\( \implies |z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) + |z_2|^2 \)
यह भी ज्ञात है कि \( \text{Re}(z) \ge -|z| \).
इसलिए, \( 2\text{Re}(z_1\overline{z_2}) \ge -2|z_1\overline{z_2}| \).
\( \implies |z_1 + z_2|^2 \ge |z_1|^2 - 2|z_1\overline{z_2}| + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( |\overline{z_2}| = |z_2| \).
\( \implies |z_1 + z_2|^2 \ge |z_1|^2 - 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \)
यह \( (|z_1| - |z_2|)^2 \) का विस्तार है.
\( \implies |z_1 + z_2|^2 \ge (|z_1| - |z_2|)^2 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( |z_1 + z_2| \ge |z_1| - |z_2| \).
इसी तरह, \( |z_1 + z_2| \ge |z_2| - |z_1| \).
इन दोनों को मिलाकर हम लिख सकते हैं:
\( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम \( |z_1 + z_2| \) के वर्ग से शुरू करते हैं. फिर, सम्मिश्र संख्या के गुणों, जैसे \( |z|^2 = z\overline{z} \) और \( \text{Re}(z) \ge -|z| \) का उपयोग करते हैं. अंत में, हम इसे \( (|z_1| - |z_2|)^2 \) के वर्ग से बड़ा या बराबर दिखाते हैं, जिससे परिणाम मिलता है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार की असमानताओं को सिद्ध करने में \( |z|^2 = z\overline{z} \) और वास्तविक भाग के गुणों का उपयोग एक मानक तरीका है. ध्यान दें कि \( |z| - |w| \) का निरपेक्ष मान लिया जाता है.

Question. यदि \( |z_1|=1 \) और \( |z_2|=1 \), सिद्ध कीजिए कि \( \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} \right| = |z_1 + z_2| \).
Answer:
हमें दिया गया है कि \( |z_1|=1 \) और \( |z_2|=1 \).
इसका मतलब है \( |z_1|^2 = 1 \) और \( |z_2|^2 = 1 \).
चूंकि \( |z|^2 = z\overline{z} \), हम लिख सकते हैं:
\( z_1\overline{z_1} = 1 \implies \overline{z_1} = \frac{1}{z_1} \)
और \( z_2\overline{z_2} = 1 \implies \overline{z_2} = \frac{1}{z_2} \)
अब, हम L.H.S. लेते हैं:
L.H.S. \( = \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} \right| \)
\( = |\overline{z_1} + \overline{z_2}| \) (क्योंकि \( \frac{1}{z_1} = \overline{z_1} \) और \( \frac{1}{z_2} = \overline{z_2} \))
हम जानते हैं कि \( |\overline{z}| = |z| \).
\( = |\overline{z_1 + z_2}| \)
\( = |z_1 + z_2| \)
\( = \) R.H.S.
अतः, \( \left| \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} \right| = |z_1 + z_2| \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: जब किसी सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान 1 होता है, तो उसका संयुग्मी उसके व्युत्क्रम के बराबर होता है. हम इसी गुण का उपयोग करके समीकरण के बाएं पक्ष को सरल करते हैं, जिससे वह दाहिने पक्ष के बराबर आ जाता है.

🎯 Exam Tip: यह एक उपयोगी गुण है: यदि \( |z|=1 \), तो \( \overline{z} = \frac{1}{z} \). इस पहचान का उपयोग अक्सर \( |z|=1 \) से संबंधित समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है.

प्रश्न 14. यदि \( \frac{(a+i)^2}{2a-i} = p + iq \) तो सिद्ध कीजिए कि \( p^2 + q^2 = \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} \).
Answer:
हमें दिया गया है \( \frac{(a+i)^2}{2a-i} = p + iq \). ....(1)
हम जानते हैं कि यदि \( z = x+iy \), तो \( |z| = \sqrt{x^2+y^2} \), और \( |z|^2 = x^2+y^2 \).
इस प्रकार, \( p^2 + q^2 = |p+iq|^2 \).
दोनों पक्षों पर निरपेक्ष मान लेने पर:
\( \left| \frac{(a+i)^2}{2a-i} \right| = |p + iq| \)
हम जानते हैं कि \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) और \( |z^n| = |z|^n \).
\( \implies \frac{|(a+i)^2|}{|2a-i|} = |p+iq| \)
\( \implies \frac{|a+i|^2}{|2a-i|} = |p+iq| \)
अब, प्रत्येक निरपेक्ष मान ज्ञात करते हैं:
\( |a+i| = \sqrt{a^2 + 1^2} = \sqrt{a^2+1} \)
\( |2a-i| = \sqrt{(2a)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4a^2+1} \)
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
\( \frac{(\sqrt{a^2+1})^2}{\sqrt{4a^2+1}} = |p+iq| \)
\( \implies \frac{a^2+1}{\sqrt{4a^2+1}} = |p+iq| \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left( \frac{a^2+1}{\sqrt{4a^2+1}} \right)^2 = |p+iq|^2 \)
\( \implies \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} = p^2+q^2 \)
अतः, \( p^2 + q^2 = \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान लेते हैं और फिर उसका वर्ग करते हैं. हम \( |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| \) और \( |z^n| = |z|^n \) के नियमों का उपयोग करके इसे सरल करते हैं.

🎯 Exam Tip: \( p^2+q^2 \) का मान ज्ञात करने के लिए \( |p+iq|^2 \) का उपयोग करना अक्सर एक सीधा और प्रभावी तरीका होता है, खासकर जब समीकरण में सम्मिश्र संख्याएँ भिन्न के रूप में हों.

प्रश्न 15. यदि \( |z_1| = |z_2| \) तथा कोणांक \( z_1 \) + कोणांक \( z_2 = 0 \) तो सिद्ध कीजिए कि \( z_1 = \overline{z_2} \).
Answer:
माना \( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) और \( z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \).
तो, \( |z_1| = r_1 \), \( \text{कोणांक}(z_1) = \theta_1 \)
और \( |z_2| = r_2 \), \( \text{कोणांक}(z_2) = \theta_2 \).
हमें दिया गया है:
1. \( |z_1| = |z_2| \implies r_1 = r_2 \). ....(1)
2. \( \text{कोणांक}(z_1) + \text{कोणांक}(z_2) = 0 \implies \theta_1 + \theta_2 = 0 \implies \theta_1 = -\theta_2 \). ....(2)
अब, \( z_1 \) को लिखते हैं:
\( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \)
समीकरण (1) और (2) से \( r_1 = r_2 \) और \( \theta_1 = -\theta_2 \) का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं:
\( z_1 = r_2(\cos(-\theta_2) + i \sin(-\theta_2)) \)
हम जानते हैं कि \( \cos(-\theta) = \cos \theta \) और \( \sin(-\theta) = -\sin \theta \).
\( \implies z_1 = r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \)
अब, \( \overline{z_2} \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \overline{z_2} = r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \)
दोनों की तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( z_1 = \overline{z_2} \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: हमें दिखाना है कि अगर दो सम्मिश्र संख्याओं का आकार बराबर है और उनके कोणों का योग शून्य है, तो पहली संख्या दूसरी संख्या के संयुग्मी के बराबर होती है. हम दोनों संख्याओं को उनके ध्रुवीय रूप में लिखते हैं और दिए गए नियमों का उपयोग करके उन्हें समान साबित करते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रमाणों के लिए, सम्मिश्र संख्याओं को उनके ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) में व्यक्त करना और फिर दिए गए गुणों का उपयोग करना अक्सर सबसे आसान तरीका होता है.

प्रश्न 16. यदि \( \theta_1, \theta_2 \) क्रमश सम्मिश्र सख्याएँ \( z_1, z_2 \) के कोणांक हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} = 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) \).
Answer:
माना \( z_1 = |z_1|(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \)
और \( z_2 = |z_2|(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \).
तब \( \overline{z_1} = |z_1|(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1) \)
और \( \overline{z_2} = |z_2|(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \).
अब, L.H.S. लेते हैं:
L.H.S. \( = z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} \)
पहले \( z_1 z_2 \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( z_1 z_2 = |z_1|(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot |z_2|(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)
\( \implies z_1 z_2 = |z_1||z_2| [(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
\( \implies z_1 z_2 = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
अब \( \overline{z_1} \overline{z_2} \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \overline{z_1} \overline{z_2} = |z_1|(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1) \cdot |z_2|(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \)
\( \implies \overline{z_1} \overline{z_2} = |z_1||z_2| [(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) - i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
\( \implies \overline{z_1} \overline{z_2} = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 + \theta_2) - i \sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
अब इन दोनों को जोड़ते हैं:
\( z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cos(\theta_1 + \theta_2) - i \sin(\theta_1 + \theta_2)] \)
\( \implies z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} = |z_1||z_2| [2 \cos(\theta_1 + \theta_2)] \)
यह यहाँ तक का समाधान है. प्रश्न में \( \cos(\theta_1 - \theta_2) \) सिद्ध करने को कहा गया है, जबकि हमें \( \cos(\theta_1 + \theta_2) \) मिल रहा है. यह एक संकेत है कि हमें \( z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 \) सिद्ध करना चाहिए था, न कि \( z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} \).
मान लीजिए प्रश्न में \( z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 \) सिद्ध करने को कहा गया है.
तब \( z_1 \overline{z_2} = |z_1|(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \cdot |z_2|(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \)
\( \implies z_1 \overline{z_2} = |z_1||z_2| [(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
\( \implies z_1 \overline{z_2} = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
और \( \overline{z_1} z_2 = |z_1|(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1) \cdot |z_2|(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)
\( \implies \overline{z_1} z_2 = |z_1||z_2| [(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) - i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
\( \implies \overline{z_1} z_2 = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 - \theta_2) - i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
इन दोनों को जोड़ने पर:
\( z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 = |z_1||z_2| [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2) + \cos(\theta_1 - \theta_2) - i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( \implies z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 = |z_1||z_2| [2 \cos(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( \implies z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 = 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) \).
इस प्रकार, यदि प्रश्न में \( z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 \) सिद्ध करने को कहा गया हो तो यह सिद्ध होता है. दिए गए प्रश्न \( z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} \) के लिए परिणाम \( 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 + \theta_2) \) होगा.
In simple words: इस प्रश्न में हमें यह दिखाना है कि दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल और उनके संयुग्मियों के गुणनफल का योग, उनके निरपेक्ष मानों के गुणनफल के दो गुना और उनके कोणों के योग के कोसाइन के बराबर होता है. इसके लिए हम संख्याओं को ध्रुवीय रूप में लिखते हैं और गुणनफल के नियमों का उपयोग करते हैं.

🎯 Exam Tip: सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करते समय उनके ध्रुवीय रूप \( z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin(\theta_1+\theta_2)) \) को याद रखना सहायक होता है. संयुग्मी के लिए, कोण का चिह्न बदल जाता है.

प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि
(i) \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \)
(ii) \( (a + b + c)(a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
Answer:
हमें दिया गया है कि \( w \) इकाई का एक घनमूल है. इसलिए, हम जानते हैं कि:
1. \( w^3 = 1 \)
2. \( 1 + w + w^2 = 0 \implies w + w^2 = -1 \)

(i) हमें सिद्ध करना है: \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \)
L.H.S. \( = (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) \)
पहले प्रत्येक पद को गुणा करते हैं:
\( = a(a + bw^2 + cw) + bw(a + bw^2 + cw) + cw^2(a + bw^2 + cw) \)
\( = a^2 + abw^2 + acw + abw + b^2w^3 + bcw^2 + acw^2 + bcw^4 + c^2w^3 \)
अब \( w^3=1 \) और \( w^4=w \) का उपयोग करते हैं:
\( = a^2 + abw^2 + acw + abw + b^2(1) + bcw^2 + acw^2 + bc(w) + c^2(1) \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 + abw^2 + abw + acw + acw^2 + bcw^2 + bcw \)
समान पदों को एक साथ समूहित करते हैं:
\( = a^2 + b^2 + c^2 + ab(w^2 + w) + ac(w + w^2) + bc(w^2 + w) \)
चूंकि \( w + w^2 = -1 \), इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = a^2 + b^2 + c^2 + ab(-1) + ac(-1) + bc(-1) \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \)
\( = \) R.H.S.
इतिसिद्धम्.

(ii) हमें सिद्ध करना है: \( (a + b + c)(a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
L.H.S. \( = (a + b + c)(a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) \)
भाग (i) से, हम जानते हैं कि \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \).
तो, L.H.S. \( = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)
यह एक प्रसिद्ध बीजगणितीय सर्वसमिका है, जिसका मान \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \) होता है.
\( = a(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + b(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + c(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)
\( = a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - abc - ca^2 + a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - b^2c - abc + a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - c^2a \)
पदों को रद्द करने और समूहित करने पर:
\( = a^3 + b^3 + c^3 - abc - abc - abc \)
\( = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
\( = \) R.H.S.
इतिसिद्धम्.
In simple words: इन दोनों हिस्सों को हल करने के लिए, हमें इकाई के घनमूल \( w \) के गुणों का उपयोग करना होता है, जो \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) हैं. पहले व्यंजकों को गुणा करते हैं, फिर \( w \) की घातों को सरल करते हैं, और फिर \( w+w^2=-1 \) का उपयोग करके समान पदों को समूहित करते हैं. दूसरा हिस्सा पहले हिस्से के परिणाम का उपयोग करके एक सामान्य बीजगणितीय सूत्र बन जाता है.

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों वाले प्रश्नों में \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) के गुणों को याद रखना और उनका सही ढंग से उपयोग करना महत्वपूर्ण है. दूसरा भाग वास्तव में एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है जिसे याद रखना चाहिए.

प्रश्न 18. यदि \( \alpha, \beta \) दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हों तथा \( |\beta| = 1 \) तो सिद्ध कीजिए कि \( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\overline{\alpha}\beta} \right| = 1 \).
Answer:
हमें दिया गया है कि \( |\beta| = 1 \).
चूंकि \( |\beta| = 1 \), इसका मतलब है \( |\beta|^2 = 1 \).
हम जानते हैं कि \( |z|^2 = z\overline{z} \), इसलिए \( \beta\overline{\beta} = 1 \).
अब, हम उस व्यंजक को लेते हैं जिसे हमें सिद्ध करना है:
\( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\overline{\alpha}\beta} \right| \)
हम जानते हैं कि \( \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \).
\( = \frac{|\beta-\alpha|}{|1-\overline{\alpha}\beta|} \)
हमें यह दिखाना है कि यह मान 1 के बराबर है, जिसका अर्थ है \( |\beta-\alpha| = |1-\overline{\alpha}\beta| \).
यह साबित करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं और दिखाते हैं कि वे बराबर हैं.
\( |\beta-\alpha|^2 = (\beta-\alpha)(\overline{\beta-\alpha}) = (\beta-\alpha)(\overline{\beta}-\overline{\alpha}) \)
\( = \beta\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + \alpha\overline{\alpha} \)
\( = |\beta|^2 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2 \)
चूंकि \( |\beta|=1 \), \( |\beta|^2 = 1 \).
\( = 1 - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} + |\alpha|^2 \). ....(A)
अब, दूसरे पक्ष का वर्ग करते हैं:
\( |1-\overline{\alpha}\beta|^2 = (1-\overline{\alpha}\beta)(\overline{1-\overline{\alpha}\beta}) = (1-\overline{\alpha}\beta)(1-\alpha\overline{\beta}) \)
\( = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + \overline{\alpha}\beta\alpha\overline{\beta} \)
\( = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + (\alpha\overline{\alpha})(\beta\overline{\beta}) \)
\( = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2 \)
चूंकि \( |\beta|=1 \), \( |\beta|^2 = 1 \).
\( = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2(1) \)
\( = 1 - \alpha\overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2 \). ....(B)
समीकरण (A) और (B) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि \( |\beta-\alpha|^2 = |1-\overline{\alpha}\beta|^2 \).
इसलिए, \( |\beta-\alpha| = |1-\overline{\alpha}\beta| \).
अतः, \( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\overline{\alpha}\beta} \right| = 1 \).
इतिसिद्धम्.
In simple words: इस प्रश्न में हमें यह दिखाना है कि एक सम्मिश्र संख्या का भिन्न का निरपेक्ष मान 1 है, जब हर में दूसरे संख्या का निरपेक्ष मान 1 हो. हम \( |z|^2 = z\overline{z} \) नियम का उपयोग करते हैं और अंश और हर के वर्गों को अलग-अलग सरल करते हैं. अंत में, हम पाते हैं कि दोनों वर्ग समान हैं, जिसका अर्थ है कि भिन्न का निरपेक्ष मान 1 है.

🎯 Exam Tip: जब भी \( |z|=1 \) जैसा गुण दिया हो, तो \( z\overline{z}=1 \) का उपयोग अक्सर समस्याओं को सरल बनाने में मदद करता है. ऐसे प्रमाणों में, दोनों पक्षों का वर्ग करके उनकी समानता दिखाना एक प्रभावी तरीका है.

प्रश्न 19. यदि \( \alpha \) तथा \( \beta \) समीकरण \( px^2 - qx - r = 0 \) के मूल हैं, तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं।
Answer:
दिया गया द्विघात समीकरण है: \( px^2 - qx - r = 0 \).
इस समीकरण के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं.
हम जानते हैं कि एक द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल इस प्रकार होते हैं:
मूलों का योग \( (\alpha + \beta) = - \frac{\text{x का गुणांक}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = - \frac{(-q)}{p} = \frac{q}{p} \). ....(1)
मूलों का गुणनफल \( (\alpha\beta) = \frac{\text{अचर पद}}{\text{x}^2 \text{ का गुणांक}} = \frac{-r}{p} \). ....(2)
अब हमें वह नया द्विघात समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं.
नए समीकरण के मूलों का योग ज्ञात करते हैं:
\( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} \)
समीकरण (1) और (2) से मान रखने पर:
\( = \frac{q/p}{-r/p} = \frac{q}{p} \times \frac{p}{-r} = -\frac{q}{r} \).
नए समीकरण के मूलों का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\( \left(\frac{1}{\alpha}\right) \times \left(\frac{1}{\beta}\right) = \frac{1}{\alpha\beta} \)
समीकरण (2) से मान रखने पर:
\( = \frac{1}{-r/p} = -\frac{p}{r} \).
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं, इस प्रकार दिया गया है:
\( x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \)
\( x^2 - \left(-\frac{q}{r}\right)x + \left(-\frac{p}{r}\right) = 0 \)
\( \implies x^2 + \frac{q}{r}x - \frac{p}{r} = 0 \)
पूरे समीकरण को \( r \) से गुणा करने पर:
\( rx^2 + qx - p = 0 \).
यह अभीष्ट द्विघात समीकरण है.
In simple words: सबसे पहले, दिए गए समीकरण से मूलों का योग और गुणनफल निकालते हैं. फिर, नए मूलों (\( 1/\alpha \) और \( 1/\beta \)) का योग और गुणनफल निकालते हैं. अंत में, इन नए योग और गुणनफल का उपयोग करके \( x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) = 0 \) सूत्र में नया समीकरण बनाते हैं.

🎯 Exam Tip: मूलों के व्युत्क्रम वाले नए समीकरण ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करें, और फिर उन्हें नए मूलों के लिए लागू करें.

प्रश्न 20. वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण \( lx^2 – 2mx + n = 0 \) का एक मूल दूसरे का P गुणा होता है।
Answer:
दिया गया समीकरण है: \( lx^2 - 2mx + n = 0 \).
माना इस समीकरण के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं.
प्रश्न के अनुसार, एक मूल दूसरे का P गुणा है. तो, हम मान सकते हैं \( \beta = P\alpha \).
मूलों का योग:
\( \alpha + \beta = - \frac{(-2m)}{l} = \frac{2m}{l} \)
\( \alpha + P\alpha = \frac{2m}{l} \)
\( \implies \alpha(1+P) = \frac{2m}{l} \)
\( \implies \alpha = \frac{2m}{l(1+P)} \). ....(1)
मूलों का गुणनफल:
\( \alpha\beta = \frac{n}{l} \)
\( \alpha(P\alpha) = \frac{n}{l} \)
\( \implies P\alpha^2 = \frac{n}{l} \). ....(2)
समीकरण (1) से \( \alpha \) का मान समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( P \left( \frac{2m}{l(1+P)} \right)^2 = \frac{n}{l} \)
\( \implies P \frac{4m^2}{l^2(1+P)^2} = \frac{n}{l} \)
दोनों पक्षों को \( l \) से गुणा करने पर (यह मानते हुए \( l \ne 0 \)):
\( P \frac{4m^2}{l(1+P)^2} = n \)
\( \implies 4Pm^2 = nl(1+P)^2 \).
यह अभीष्ट प्रतिबन्ध है.
In simple words: हमें एक शर्त निकालनी है जिसमें एक द्विघात समीकरण का एक मूल दूसरे मूल का P गुना है. हम मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं. हम एक मूल को दूसरे के P गुना के रूप में लिखते हैं और फिर इन मानों को सूत्रों में रखकर, \( \alpha \) को हटा देते हैं ताकि \( l, m, n \) और \( P \) के बीच का संबंध मिल जाए.

🎯 Exam Tip: जब मूलों के बीच संबंध दिया गया हो, तो हमेशा मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करें. एक मूल के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके अज्ञात मूल (जैसे \( \alpha \)) को समाप्त करें, जिससे गुणांकों के बीच संबंध प्राप्त हो सके.

प्रश्न 1. सम्मिश्र संख्या \( \frac{1}{1+i} \) का वास्तविक एवं काल्पनिक भाग क्रमशः है
(A) 1, 1
(B) 0, 0
(C) 0, 1
(D) 1, 0
Answer: (C) 0, 1
In simple words: किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग वह संख्या होती है जिसमें \( i \) नहीं होता, और काल्पनिक भाग वह संख्या होती है जो \( i \) के साथ होती है. उदाहरण के लिए, \( i \) को \( 0+1i \) लिख सकते हैं, जहाँ वास्तविक भाग 0 और काल्पनिक भाग 1 है.

🎯 Exam Tip: सम्मिश्र संख्या \( z = x + iy \) में, \( x \) वास्तविक भाग (Re(z)) और \( y \) काल्पनिक भाग (Im(z)) होता है. हमेशा \( i \) के गुणांक को ही काल्पनिक भाग मानें, \( i \) को नहीं.

प्रश्न 2. यदि \( 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i \), तब
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 2, b = -3
(C) a = 3, b = 2
(D) a = 3, b = -2
Answer: (C) a = 3, b = 2
In simple words: जब दो सम्मिश्र संख्याएँ बराबर होती हैं, तो उनके वास्तविक भाग आपस में बराबर होते हैं और उनके काल्पनिक भाग भी आपस में बराबर होते हैं. इस नियम का उपयोग करके हम \( a \) और \( b \) के मान आसानी से पता कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना ध्यान से करें. \( i \) के साथ वाले पद काल्पनिक होते हैं और बाकी वास्तविक.

प्रश्न 3.
(A) \( \frac{3+i}{10} \)
(B) \( \frac{-3+i}{10} \)
(C) \( \frac{3-i}{10} \)
(D) \( \frac{-3-i}{10} \)
Answer: (A) \( \frac{3+i}{10} \)
In simple words: यह एक सम्मिश्र संख्या का रूप है. इसमें ऊपर \( 3+i \) है और नीचे \( 10 \) है, जिसका मतलब है कि वास्तविक भाग \( \frac{3}{10} \) और काल्पनिक भाग \( \frac{1}{10} \) है.

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में सम्मिश्र संख्या की कोई विशिष्ट जानकारी नहीं दी गई है, तो विकल्प से ही सही उत्तर का चयन करें. ऐसे प्रश्नों में अक्सर सरलीकरण के बाद का रूप पूछा जाता है.

प्रश्न 4. \( \frac{2-3i}{4+i} \) का संयुग्मी है
(A) \( \frac{-5+14i}{17} \)
(B) \( \frac{5+14i}{17} \)
(C) \( \frac{14+5i}{17} \)
(D) \( \frac{14-5i}{17} \)
Answer: (B) \( \frac{5+14i}{17} \)
In simple words: पहले सम्मिश्र संख्या को \( a+ib \) के रूप में सरल करते हैं. फिर, उसका संयुग्मी निकालने के लिए काल्पनिक भाग का चिह्न बदल देते हैं. यानी, यदि संख्या \( a+ib \) है, तो उसका संयुग्मी \( a-ib \) होगा.

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक सम्मिश्र संख्याओं का संयुग्मी ज्ञात करते समय, पहले हर के संयुग्मी से अंश और हर दोनों को गुणा करके संख्या को \( a+ib \) रूप में बदलें, फिर संयुग्मी ज्ञात करें.

प्रश्न 5. यदि Z1, Z2, \( \in C \) तो कौनसा कथन सत्य है
(A) \( |Z_1 - Z_2| \ge |Z_1| + |Z_2| \)
(B) \( |Z_1 + Z_2| \le |Z_1 – Z_2| \)
(C) \( |Z_1 + Z_2| \ge |Z_1 – Z_2| \)
(D) \( |Z_1 - Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \)
Answer: (D) \( |Z_1 - Z_2| \le |Z_1| + |Z_2| \)
In simple words: यह सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमानता का एक रूप है. इसका मतलब है कि दो सम्मिश्र संख्याओं के अंतर का मापांक उनके अलग-अलग मापांकों के योग से कभी भी बड़ा नहीं होता.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता \( |z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2| \) सम्मिश्र संख्याओं के योग के लिए भी लागू होती है. इसे हमेशा याद रखें क्योंकि यह एक मूलभूत गुण है.

प्रश्न 6. यदि \( |z – 3| = |z + 3| \) तो z स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) x = y रेखा पर
(D) x = -y रेखा पर
Answer: (B) y-अक्ष पर
In simple words: अगर किसी सम्मिश्र संख्या \( z \) की दो निश्चित बिंदुओं से दूरी बराबर हो, तो \( z \) उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है. यहाँ \( |z-3| \) का मतलब है \( z \) की बिंदु \( (3,0) \) से दूरी, और \( |z+3| \) का मतलब है \( z \) की बिंदु \( (-3,0) \) से दूरी.

🎯 Exam Tip: ऐसे ज्यामितीय प्रश्नों को हल करने के लिए, \( z = x+iy \) मानकर दोनों पक्षों का वर्ग करें और वास्तविक एवं काल्पनिक भागों को अलग-अलग हल करें. \( x=0 \) रेखा हमेशा y-अक्ष होती है.

प्रश्न 8. \( \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}i \) का ध्रुवीय रूप लिखिए।
Answer: दिए गए सम्मिश्र संख्या \( z = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2}i \) के लिए,
वास्तविक भाग \( x = \frac{5\sqrt{3}}{2} \) और काल्पनिक भाग \( y = \frac{5}{2} \) है।
मापांक \( r \) ज्ञात करने के लिए,
\( r^2 = x^2 + y^2 \)
\( r^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 \)
\( r^2 = \frac{25 \times 3}{4} + \frac{25}{4} \)
\( r^2 = \frac{75}{4} + \frac{25}{4} \)
\( r^2 = \frac{100}{4} \)
\( r^2 = 25 \)
\( r = 5 \) (चूँकि मापांक हमेशा धनात्मक होता है)।
कोणांक \( \theta \) ज्ञात करने के लिए,
\( \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{5/2}{5\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
चूँकि \( x \) और \( y \) दोनों धनात्मक हैं, \( \theta \) प्रथम चतुर्थांश में होगा।
\( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \)
इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) है,
\( z = 5\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) \).
In simple words: किसी सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) होता है, जहाँ \( r \) उस संख्या का मापांक और \( \theta \) उसका कोणांक (मुख्य मान) है. इसे ज्ञात करने के लिए, पहले \( r \) और फिर \( \theta \) का मान निकालते हैं, जो \( x \) और \( y \) के चिह्न के अनुसार चतुर्थांश में होता है.

🎯 Exam Tip: ध्रुवीय रूप ज्ञात करते समय, कोणांक \( \theta \) का सही चतुर्थांश पहचानना महत्वपूर्ण है, जो \( x \) और \( y \) के चिह्नों पर निर्भर करता है. \( \theta \) का मुख्य मान \( -\pi < \theta \le \pi \) के बीच होता है.

प्रश्न 9. \( 4 + 5w^4 + 3w^5 \) का मान होगा?
Answer: हमें \( 4 + 5w^4 + 3w^5 \) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \( w \) इकाई का घनमूल है, इसलिए \( w^3 = 1 \) और \( 1 + w + w^2 = 0 \)।
पहले घातांकों को सरल करते हैं:
\( w^4 = w^3 \cdot w = 1 \cdot w = w \)
\( w^5 = w^3 \cdot w^2 = 1 \cdot w^2 = w^2 \)
अब दिए गए व्यंजक में इन मानों को रखते हैं:
\( 4 + 5w^4 + 3w^5 = 4 + 5w + 3w^2 \)
हम यह भी जानते हैं कि \( w = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \) और \( w^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \)।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( 4 + 5\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right) + 3\left(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right) \)
\( = \frac{8}{2} + \frac{-5+5i\sqrt{3}}{2} + \frac{-3-3i\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{8 - 5 + 5i\sqrt{3} - 3 - 3i\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{(8 - 5 - 3) + (5i\sqrt{3} - 3i\sqrt{3})}{2} \)
\( = \frac{0 + 2i\sqrt{3}}{2} \)
\( = i\sqrt{3} \)
अतः \( 4 + 5w^4 + 3w^5 \) का मान \( i\sqrt{3} \) है।
In simple words: इकाई के घनमूल \( w \) में \( w^3 \) का मान \( 1 \) होता है. इस गुण का उपयोग करके बड़े घातांकों को छोटा कर सकते हैं. फिर, \( w \) और \( w^2 \) के मानों को रखकर व्यंजक को हल किया जा सकता है, जिससे हमें अंतिम संख्या मिलती है.

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों से संबंधित प्रश्नों में हमेशा \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) इन दो गुणों का उपयोग करें. ये सरलीकरण में बहुत उपयोगी होते हैं.

प्रश्न 11. \( |1 - i|^x = 2^x \) के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या है।
Answer: दिए गए समीकरण \( |1 - i|^x = 2^x \) को हल करने के लिए,
सबसे पहले \( |1 - i| \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( |1 - i| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
अब इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( (\sqrt{2})^x = 2^x \)
हम \( \sqrt{2} \) को \( 2^{1/2} \) के रूप में लिख सकते हैं:
\( (2^{1/2})^x = 2^x \)
\( 2^{x/2} = 2^x \)
घातों की तुलना करने पर:
\( \frac{x}{2} = x \)
दोनों तरफ से \( x \) को घटाते हैं:
\( x - \frac{x}{2} = 0 \)
\( \frac{x}{2} = 0 \)
\( x = 0 \)
समीकरण का एकमात्र पूर्णांक मूल \( x = 0 \) है।
प्रश्न में "शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या" पूछी गई है, जिसका अर्थ है \( 0 \) के अलावा अन्य पूर्णांक मूल। चूँकि \( x=0 \) ही एकमात्र मूल है, तो कोई शून्येतर पूर्णांक मूल नहीं है।
अतः, शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या शून्य है।
In simple words: पहले \( |1-i| \) का मान निकालते हैं. फिर समीकरण में रखकर दोनों तरफ की घातों की तुलना करते हैं. इससे \( x \) का मान मिल जाता है. अगर \( x \) का मान \( 0 \) आता है और हमें \( 0 \) के अलावा दूसरे पूर्णांक मूल चाहिए, तो उनकी संख्या \( 0 \) होगी.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यदि मूलों की संख्या पूछी गई है, तो हल करने के बाद प्राप्त सभी मूलों की जाँच करें कि वे दी गई शर्तों (जैसे 'पूर्णांक' या 'शून्येतर') को पूरा करते हैं या नहीं.

प्रश्न. यदि \( z_1, z_2 \in C \), तो निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
(i) \( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \)
Answer: हमें \( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \) सिद्ध करना है।
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या \( z \) के लिए \( |z|^2 = z\bar{z} \) होता है।
\( |z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2}) \)
\( = (z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2}) \)
\( = z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2} \)
\( = |z_1|^2 - (z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}}) + |z_2|^2 \)
हम यह भी जानते हैं कि \( z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) \)। अतः, \( z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}} = 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \)।
\( = |z_1|^2 - 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( \text{Re}(z) \le |z| \)।
इसलिए, \( -2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \le 2|z_1\bar{z_2}| \)।
\( |z_1 - z_2|^2 \le |z_1|^2 + 2|z_1\bar{z_2}| + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( |z_1\bar{z_2}| = |z_1| |\bar{z_2}| = |z_1| |z_2| \)।
\( |z_1 - z_2|^2 \le |z_1|^2 + 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \)
\( |z_1 - z_2|^2 \le (|z_1| + |z_2|)^2 \)
दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर,
\( |z_1 - z_2| \le |z_1| + |z_2| \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: किसी भी सम्मिश्र संख्या के वर्ग के मापांक के गुण और वास्तविक भाग के मापांक से छोटे होने के गुण का उपयोग करके, हम इस असमानता को सिद्ध करते हैं. यह त्रिभुज असमानता का एक रूप है जो दर्शाता है कि एक सदिश के मापांक का मान हमेशा उसके घटकों के मापांकों के योग से कम या बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता को सिद्ध करते समय, \( |z|^2 = z\bar{z} \) और \( \text{Re}(z) \le |z| \) जैसे महत्वपूर्ण गुणों का उपयोग करें. ये गुण सम्मिश्र संख्याओं के मापांक से संबंधित कई सिद्धियों का आधार होते हैं.

प्रश्न. यदि \( z_1, z_2 \in C \), तो निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
(ii) \( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \)
Answer: हमें \( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \) सिद्ध करना है।
हम जानते हैं कि \( |z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1 + z_2}) \)
\( = (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) \)
\( = z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2} \)
\( = |z_1|^2 + (z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}}) + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) \)।
\( = |z_1|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) + |z_2|^2 \)
हम जानते हैं कि \( \text{Re}(z) \ge -|z| \)।
इसलिए, \( 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) \ge -2|z_1\bar{z_2}| \)।
\( |z_1 + z_2|^2 \ge |z_1|^2 - 2|z_1\bar{z_2}| + |z_2|^2 \)
चूँकि \( |z_1\bar{z_2}| = |z_1||\bar{z_2}| = |z_1||z_2| \)।
\( |z_1 + z_2|^2 \ge |z_1|^2 - 2|z_1||z_2| + |z_2|^2 \)
\( |z_1 + z_2|^2 \ge (|z_1| - |z_2|)^2 \)
दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर,
\( |z_1 + z_2| \ge ||z_1| - |z_2|| \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: इस असमानता को सिद्ध करने के लिए, हम \( |z_1+z_2|^2 \) के सूत्र का उपयोग करते हैं. फिर, वास्तविक भाग के मापांक से बड़े होने के गुण \( \text{Re}(z) \ge -|z| \) को लागू करते हैं. यह भी त्रिभुज असमानता का एक महत्वपूर्ण रूप है, जो दर्शाता है कि दो संख्याओं के योग का मापांक उनके मापांकों के अंतर से बड़ा या बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: \( |z_1 + z_2|^2 \) और \( |z_1 - z_2|^2 \) के विस्तार को याद रखना ऐसे सिद्धियों को सरल बनाता है. \( \text{Re}(z) \le |z| \) और \( \text{Re}(z) \ge -|z| \) दोनों ही त्रिभुज असमानता के विभिन्न रूपों को सिद्ध करने में सहायक होते हैं.

प्रश्न. यदि \( |z_1|=1 \) तथा \( |z_2|=1 \), तो सिद्ध कीजिए कि \( \left|\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2}\right| = |z_1 + z_2| \)।
Answer: हमें \( \left|\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2}\right| = |z_1 + z_2| \) सिद्ध करना है, जहाँ \( |z_1|=1 \) और \( |z_2|=1 \)।
हम जानते हैं कि यदि \( |z|=1 \) है, तो \( z\bar{z}=1 \), जिसका अर्थ है \( \frac{1}{z} = \bar{z} \)।
इस गुण का उपयोग करते हुए:
\( \frac{1}{z_1} = \bar{z_1} \)
\( \frac{1}{z_2} = \bar{z_2} \)
अब, हम बाएं पक्ष (L.H.S.) को लेते हैं:
\( \text{L.H.S.} = \left|\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2}\right| \)
\( = |\bar{z_1} + \bar{z_2}| \)
हम जानते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं के योग का संयुग्मी उनके संयुग्मियों के योग के बराबर होता है: \( \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \)।
तो,
\( = |\overline{z_1 + z_2}| \)
हम यह भी जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक उसके संयुग्मी के मापांक के बराबर होता है: \( |\bar{z}| = |z| \)।
इसलिए,
\( = |z_1 + z_2| \)
यह दायां पक्ष (R.H.S.) के बराबर है।
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: जब किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक 1 होता है, तो उसका व्युत्क्रम उसके संयुग्मी के बराबर होता है. इस विशेष गुण का उपयोग करके, हम व्यंजक को सरल करते हैं और अंत में यह सिद्ध कर देते हैं कि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में \( |z|=1 \implies \frac{1}{z}=\bar{z} \) गुण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है. साथ ही, संयुग्मी के गुणों को याद रखना (जैसे \( |\bar{z}|=|z| \) और \( \overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2} \)) समाधान को सरल बनाता है.

प्रश्न 14. यदि \( \frac{(a+i)^2}{2a-i} = p + iq \) तो सिद्ध कीजिए कि \( p^2 + q^2 = \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( \frac{(a+i)^2}{2a-i} = p + iq \)। हमें सिद्ध करना है कि \( p^2 + q^2 = \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} \)।
हम जानते हैं कि यदि \( z = p + iq \), तो \( |z|^2 = p^2 + q^2 \) और \( |z|^2 = z \cdot \bar{z} \)।
इसलिए, \( p^2 + q^2 = \left| \frac{(a+i)^2}{2a-i} \right|^2 \)
मापांक के गुणों का उपयोग करते हुए, \( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \) और \( |z^n| = |z|^n \):
\( p^2 + q^2 = \frac{|(a+i)^2|^2}{|2a-i|^2} \)
\( p^2 + q^2 = \frac{(|a+i|^2)^2}{|2a-i|^2} \)
अब, \( |a+i| = \sqrt{a^2+1^2} = \sqrt{a^2+1} \)
और \( |2a-i| = \sqrt{(2a)^2+(-1)^2} = \sqrt{4a^2+1} \)
इन मानों को समीकरण में रखते हैं:
\( p^2 + q^2 = \frac{(\sqrt{a^2+1}^2)^2}{(\sqrt{4a^2+1})^2} \)
\( p^2 + q^2 = \frac{(a^2+1)^2}{4a^2+1} \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या \( p+iq \) के मापांक का वर्ग \( p^2+q^2 \) होता है. हम \( p+iq \) के व्यंजक का मापांक ज्ञात करते हैं, जिसमें अंश और हर के मापांक के गुणों का उपयोग किया जाता है. यह विधि गणना को बहुत सरल बना देती है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में \( |z|^2 = z\bar{z} \) और \( |z_1/z_2| = |z_1|/|z_2| \) जैसे मापांक के गुणों का उपयोग करना सबसे तेज़ तरीका होता है. इससे \( p-iq \) की गणना करने की आवश्यकता नहीं पड़ती.

प्रश्न 15. यदि \( |z_1| = |z_2| \) तथा कोणांक \( z_1 + \) कोणांक \( z_2 = 0 \) तो सिद्ध कीजिए कि \( z_1 = \bar{z_2} \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( |z_1| = |z_2| \) और \( \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) = 0 \)। हमें सिद्ध करना है कि \( z_1 = \bar{z_2} \)।
माना सम्मिश्र संख्याएँ ध्रुवीय रूप में इस प्रकार हैं:
\( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \)
\( z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)
जहाँ \( r_1 = |z_1| \), \( \theta_1 = \text{arg}(z_1) \), \( r_2 = |z_2| \), \( \theta_2 = \text{arg}(z_2) \)।
दी गई शर्तों के अनुसार:
1. \( |z_1| = |z_2| \implies r_1 = r_2 \) (इसे समीकरण (1) मानें)
2. \( \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) = 0 \implies \theta_1 + \theta_2 = 0 \implies \theta_1 = -\theta_2 \) (इसे समीकरण (2) मानें)
अब \( z_1 \) के ध्रुवीय रूप में \( r_1 \) और \( \theta_1 \) के मान समीकरण (1) और (2) से रखते हैं:
\( z_1 = r_2(\cos(-\theta_2) + i \sin(-\theta_2)) \)
हम जानते हैं कि \( \cos(-x) = \cos x \) और \( \sin(-x) = -\sin x \)।
\( z_1 = r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \) (इसे समीकरण (3) मानें)
अब \( \bar{z_2} \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( \bar{z_2} = \overline{r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)} \)
\( \bar{z_2} = r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \) (इसे समीकरण (4) मानें)
समीकरण (3) और (4) की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि:
\( z_1 = \bar{z_2} \)
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम सम्मिश्र संख्याओं को उनके ध्रुवीय रूप \( r(\cos \theta + i \sin \theta) \) में लिखते हैं. फिर दी गई शर्तों \( |z_1|=|z_2| \) और \( \text{arg}(z_1) + \text{arg}(z_2) = 0 \) को \( r \) और \( \theta \) के रूप में बदलते हैं. इन मानों को \( z_1 \) के ध्रुवीय रूप में रखने पर, हमें \( z_1 \) का वह रूप मिलता है जो \( \bar{z_2} \) के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप का उपयोग करना अक्सर सबसे आसान तरीका होता है. \( \cos(-\theta)=\cos\theta \) और \( \sin(-\theta)=-\sin\theta \) जैसे त्रिकोणमितीय गुणों का सही उपयोग महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 16. यदि \( \theta_1, \theta_2 \) क्रमश सम्मिश्र सख्याएँ \( z_1, z_2 \) के कोणांक हैं तो सिद्ध कीजिए कि \( z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2 = 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2) \)।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2 = 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2) \)।
माना \( z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1) \) और \( z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \)।
तो, \( \bar{z_1} = r_1(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1) \) और \( \bar{z_2} = r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2) \)।
अब, पहले पद \( z_1\bar{z_2} \) को गुणा करते हैं:
\( z_1\bar{z_2} = [r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)][r_2(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)] \)
\( = r_1r_2[(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \) और \( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \) का उपयोग करते हुए:
\( z_1\bar{z_2} = r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
अब, दूसरे पद \( \bar{z_1}z_2 \) को गुणा करते हैं:
\( \bar{z_1}z_2 = [r_1(\cos \theta_1 - i \sin \theta_1)][r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)] \)
\( = r_1r_2[(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \sin \theta_2) - i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 - \cos \theta_1 \sin \theta_2)] \)
\( = r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) - i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
अब इन दोनों पदों को जोड़ते हैं (L.H.S.):
\( z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)] + r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) - i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( = r_1r_2[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2) + \cos(\theta_1 - \theta_2) - i \sin(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( = r_1r_2[2\cos(\theta_1 - \theta_2)] \)
\( = 2r_1r_2\cos(\theta_1 - \theta_2) \)
चूँकि \( r_1 = |z_1| \) और \( r_2 = |z_2| \), हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
\( z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2 = 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1 - \theta_2) \)
यह दायां पक्ष (R.H.S.) के बराबर है।
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: इस सिद्धी के लिए, हम सम्मिश्र संख्याओं को उनके ध्रुवीय रूप में लिखते हैं और उनके संयुग्मियों का भी उपयोग करते हैं. फिर, पदों को गुणा करके और त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करके, हम काल्पनिक भागों को रद्द कर देते हैं और केवल वास्तविक भाग प्राप्त करते हैं, जो हमें सिद्ध किए जाने वाले परिणाम तक ले जाता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में डी मोइवर प्रमेय का उपयोग या \( (\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\phi+i\sin\phi) = \cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi) \) जैसे गुणों को समझना मददगार होता है. \( z\bar{z} = |z|^2 \) का भी उपयोग किया जा सकता है.

प्रश्न 17. सिद्ध कीजिए कि
(i) \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \)
(ii) \( (a + b + c)(a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \)
Answer: हमें दिए गए कथनों को सिद्ध करना है। हम जानते हैं कि \( w \) इकाई का घनमूल है, इसलिए \( w^3 = 1 \) और \( 1 + w + w^2 = 0 \), जिसका अर्थ है \( w + w^2 = -1 \)।
(i) हमें \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \) सिद्ध करना है।
बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) \)
पहले दोनों कोष्ठकों को गुणा करते हैं:
\( = a(a + bw^2 + cw) + bw(a + bw^2 + cw) + cw^2(a + bw^2 + cw) \)
\( = a^2 + abw^2 + acw + abw + b^2w^3 + bcw^2 + acw^2 + bcw^4 + c^2w^3 \)
अब, \( w^3=1 \) और \( w^4=w \) का उपयोग करते हैं:
\( = a^2 + abw^2 + acw + abw + b^2(1) + bcw^2 + acw^2 + bc(w) + c^2(1) \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 + abw^2 + acw + abw + bcw^2 + acw^2 + bcw \)
\( w \) और \( w^2 \) वाले पदों को एक साथ समूहित करते हैं:
\( = a^2 + b^2 + c^2 + (abw^2 + abw) + (acw + acw^2) + (bcw^2 + bcw) \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 + ab(w^2 + w) + ac(w + w^2) + bc(w^2 + w) \)
चूँकि \( w + w^2 = -1 \), इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
\( = a^2 + b^2 + c^2 + ab(-1) + ac(-1) + bc(-1) \)
\( = a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc \)
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। इस प्रकार पहला भाग सिद्ध होता है।

(ii) हमें \( (a + b + c)(a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \) सिद्ध करना है।
पहले भाग (i) से, हम जानते हैं कि \( (a + bw + cw^2)(a + bw^2 + cw) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \)।
इसलिए, बायाँ पक्ष (L.H.S.) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)
यह एक प्रसिद्ध बीजगणितीय सर्वसमिका है जिसका मान \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \) होता है।
\( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। इस प्रकार दूसरा भाग सिद्ध होता है।
In simple words: इकाई के घनमूल \( w \) के खास गुणों का उपयोग करके हम बड़े व्यंजकों को छोटा कर सकते हैं. \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) का उपयोग करके, हम \( w \) की सभी घातों को सरल करते हैं. फिर, पदों को ध्यान से समूहित करके और \( w+w^2=-1 \) का मान रखकर, हम पहले भाग को सिद्ध करते हैं. दूसरा भाग पहले भाग के परिणाम को एक मानक बीजगणितीय सूत्र में रखता है.

🎯 Exam Tip: इकाई के घनमूलों से संबंधित सिद्धियों में, \( w^3=1 \) और \( 1+w+w^2=0 \) (या \( w+w^2=-1 \)) का उपयोग करने की आदत डालें. इन सर्वसमिकाओं का सही प्रयोग गणना को बहुत आसान बना देता है.

प्रश्न 18. यदि \( \alpha, \beta \) दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हों तथा \( |\beta| = 1 \) तो सिद्ध कीजिए कि \( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha}\beta} \right| = 1 \)।
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha}\beta} \right| = 1 \), जहाँ \( \alpha, \beta \) दो भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और \( |\beta| = 1 \)।
हम जानते हैं कि \( |z|^2 = z\bar{z} \)। इसलिए, हम मापांक के वर्ग को सिद्ध करेंगे:
\( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha}\beta} \right|^2 = \frac{(\beta-\alpha)(\overline{\beta-\alpha})}{(1-\bar{\alpha}\beta)(\overline{1-\bar{\alpha}\beta})} \)
\( = \frac{(\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}{(1-\bar{\alpha}\beta)(1-\overline{\bar{\alpha}\beta})} \)
\( = \frac{(\beta-\alpha)(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}{(1-\bar{\alpha}\beta)(1-\alpha\bar{\beta})} \)
अंश को गुणा करने पर:
\( \text{अंश} = \beta\bar{\beta} - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + \alpha\bar{\alpha} \)
\( = |\beta|^2 - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + |\alpha|^2 \)
चूँकि \( |\beta| = 1 \), तो \( |\beta|^2 = 1^2 = 1 \)।
\( \text{अंश} = 1 - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + |\alpha|^2 \)
अब हर को गुणा करते हैं:
\( \text{हर} = (1-\bar{\alpha}\beta)(1-\alpha\bar{\beta}) \)
\( = 1(1-\alpha\bar{\beta}) - \bar{\alpha}\beta(1-\alpha\bar{\beta}) \)
\( = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + (\bar{\alpha}\beta)(\alpha\bar{\beta}) \)
\( = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + (\bar{\alpha}\alpha)(\beta\bar{\beta}) \)
\( = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2|\beta|^2 \)
चूँकि \( |\beta| = 1 \), तो \( |\beta|^2 = 1 \)।
\( \text{हर} = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2(1) \)
\( = 1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2 \)
हम देख सकते हैं कि अंश और हर दोनों बराबर हैं।
अतः, \( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha}\beta} \right|^2 = \frac{1 - \beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta} + |\alpha|^2}{1 - \alpha\bar{\beta} - \bar{\alpha}\beta + |\alpha|^2} = 1 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
\( \left| \frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha}\beta} \right| = 1 \) (क्योंकि मापांक हमेशा धनात्मक होता है)।
इस प्रकार यह सिद्ध होता है।
In simple words: इस सिद्धी के लिए, हम मापांक के वर्ग के गुण का उपयोग करते हैं, जो \( |z|^2 = z\bar{z} \) होता है. फिर हम अंश और हर को अलग-अलग गुणा करते हैं. जब \( |\beta|=1 \) होता है, तो \( \beta\bar{\beta}=1 \) हो जाता है, जिससे अंश और हर दोनों बराबर हो जाते हैं और उनका अनुपात 1 हो जाता है.

🎯 Exam Tip: \( |\beta|=1 \implies \beta\bar{\beta}=1 \) (या \( \bar{\beta} = 1/\beta \)) जैसे विशेष गुणों का उपयोग सिद्धियों में समय बचाता है. सम्मिश्र संख्याओं के गुणा और संयुग्मी के गुणों को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 19. यदि \( \alpha \) तथा \( \beta \) समीकरण \( px^2 – qx - r = 0 \) के मूल हैं, तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं।
Answer: हमें दिया गया है द्विघात समीकरण \( px^2 – qx - r = 0 \), जिसके मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र से:
मूलों का योग: \( \alpha + \beta = -\left(\frac{-q}{p}\right) = \frac{q}{p} \)
मूलों का गुणनफल: \( \alpha\beta = \frac{-r}{p} \)
अब हमें वह द्विघात समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं।
नए मूलों का योग ज्ञात करते हैं:
\( \text{नये मूलों का योग} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} \)
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{q/p}{-r/p} = -\frac{q}{r} \)
नए मूलों का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\( \text{नये मूलों का गुणनफल} = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} \)
ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर:
\( = \frac{1}{-r/p} = -\frac{p}{r} \)
किसी द्विघात समीकरण का सामान्य रूप \( x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0 \) होता है।
मान रखने पर:
\( x^2 - \left(-\frac{q}{r}\right)x + \left(-\frac{p}{r}\right) = 0 \)
\( x^2 + \frac{q}{r}x - \frac{p}{r} = 0 \)
पूरे समीकरण को \( r \) से गुणा करने पर (ताकि हर हट जाए):
\( rx^2 + qx - p = 0 \)
यह वह समीकरण है जिसके मूल \( \frac{1}{\alpha} \) तथा \( \frac{1}{\beta} \) हैं।
In simple words: किसी भी द्विघात समीकरण के मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करके हम उसके व्युत्क्रम मूलों के योग और गुणनफल को ज्ञात कर सकते हैं. फिर, इन नए योग और गुणनफल से एक नया समीकरण बनाते हैं. इस तरह से हमें वांछित समीकरण मिल जाता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों को ठीक से याद रखना महत्वपूर्ण है. \( ax^2+bx+c=0 \) के लिए मूलों का योग \( -b/a \) और गुणनफल \( c/a \) होता है. व्युत्क्रम मूलों वाले समीकरण के लिए, \( a \) और \( c \) के गुणांक आपस में बदल जाते हैं (यानी \( cx^2+bx+a=0 \) ).

प्रश्न 20. वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण \( lx^2 – 2mx + n = 0 \) का एक मूल दूसरे का P गुणा होता है।
Answer: हमें दिया गया है द्विघात समीकरण \( lx^2 – 2mx + n = 0 \)।
मान लीजिए इस समीकरण के मूल \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
प्रश्न के अनुसार, एक मूल दूसरे का P गुणा है। तो, हम मान सकते हैं कि \( \beta = P\alpha \)।
मूलों के योग और गुणनफल के सूत्र से:
मूलों का योग: \( \alpha + \beta = -\left(\frac{-2m}{l}\right) = \frac{2m}{l} \)
मूलों का गुणनफल: \( \alpha\beta = \frac{n}{l} \)
अब, \( \beta = P\alpha \) को मूलों के योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( \alpha + P\alpha = \frac{2m}{l} \)
\( \alpha(1 + P) = \frac{2m}{l} \)
\( \alpha = \frac{2m}{l(1+P)} \) (इसे समीकरण (1) मानें)
अब, \( \beta = P\alpha \) को मूलों के गुणनफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( \alpha(P\alpha) = \frac{n}{l} \)
\( P\alpha^2 = \frac{n}{l} \) (इसे समीकरण (2) मानें)
समीकरण (1) से \( \alpha \) का मान समीकरण (2) में रखते हैं:
\( P\left(\frac{2m}{l(1+P)}\right)^2 = \frac{n}{l} \)
\( P\frac{4m^2}{l^2(1+P)^2} = \frac{n}{l} \)
\( \frac{4Pm^2}{l^2(1+P)^2} = \frac{n}{l} \)
दोनों तरफ \( l^2(1+P)^2 \) से गुणा करने पर:
\( 4Pm^2 = n \cdot l \cdot (1+P)^2 \)
यह वह आवश्यक प्रतिबन्ध है जिससे समीकरण \( lx^2 – 2mx + n = 0 \) का एक मूल दूसरे का P गुणा होता है।
In simple words: जब एक मूल दूसरे का कुछ गुना हो, तो हम मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करते हैं. हम एक मूल को दूसरे के रूप में लिखते हैं और फिर इन मानों को सूत्रों में रखकर एक समीकरण बनाते हैं. इसे हल करने पर हमें वह शर्त मिल जाती है जो प्रश्न में पूछी गई है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, मूलों को \( \alpha \) और \( P\alpha \) मानना शुरू करने का सबसे अच्छा तरीका है. फिर मूलों के योग और गुणनफल के सूत्रों में इन्हें प्रतिस्थापित करके \( \alpha \) को समाप्त करें और \( l, m, n, P \) के बीच संबंध ज्ञात करें.