RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 2 सम्बन्ध एवं फलन Exercise 2.3

प्रश्न 1. कारण सहित बताइए कि सम्बन्धों में कौनसे फलन हैं और कौनसे नहीं :
(a) {(1, 2), (2, 3),(3, 4), (2, 1)}
(b) {(a, 0), (b, 0), (c, 1), (d, 1)}
(c) {(1, a), (2, 6), (1, b), (2, a)}
(d) {(a, a), (b, b), (c, c)}
(e) {(a, b)}
(f) {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
(g) {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4)}
(h) {(x, y) | x, y ∈ R \( \wedge \) y² = x}
(i) {(x, y) | x, y ∈ R \( \wedge \) x² = y}
(j) {(x, y) | x, y ∈ R \( \wedge \) x = y³}
(k) {(x, y) | x, y ∈ R \( \wedge \) y = x³}
Answer:
(a) यह एक फलन नहीं है। क्योंकि समुच्चय A के अवयव 2 के दो अलग-अलग प्रतिबिम्ब (2 और 1) समुच्चय B में हैं, जो कि फलन की परिभाषा के अनुसार सम्भव नहीं है। हर अवयव का सिर्फ एक ही प्रतिबिम्ब होना चाहिए।
(b) यह एक फलन है। क्योंकि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव (a, b, c, d) का समुच्चय B में केवल एक ही प्रतिबिम्ब (0, 1) है। यह सुनिश्चित करता है कि संबंध एक वैध फलन है।
(c) यह एक फलन नहीं है। क्योंकि समुच्चय A के अवयव 1 के दो प्रतिबिम्ब (a और b) हैं और अवयव 2 के भी दो प्रतिबिम्ब (6 और a) हैं।
(d) यह एक फलन है। क्योंकि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में केवल एक ही प्रतिबिम्ब है। प्रत्येक अवयव स्वयं पर मैप किया गया है।
(e) यह एक फलन है। इसमें केवल एक युग्म (a, b) है, जहाँ 'a' का प्रतिबिम्ब 'b' है। यह फलन की न्यूनतम आवश्यकता को पूरा करता है।
(f) यह एक फलन नहीं है। क्योंकि समुच्चय A के अवयव 4 के चार अलग-अलग प्रतिबिम्ब (1, 2, 3, 4) समुच्चय B में हैं।
(g) यह एक फलन है। इसे अचर फलन कहते हैं। क्योंकि समुच्चय A के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक ही प्रतिबिम्ब (4) है। यह फलन में एक स्थिर मान दिखाता है।
(h) यह एक फलन नहीं है। क्योंकि \( y^2 = x \) संबंध में, \( x = -1 \) जैसे ऋणात्मक वास्तविक संख्या के लिए, \( y = \sqrt{-1} \) एक वास्तविक संख्या नहीं है। यानी, समुच्चय A के सभी ऋणात्मक अवयवों का कोई वास्तविक प्रतिबिम्ब नहीं होगा।
(i) यह एक फलन है। क्योंकि \( y = x^2 \) के लिए, \( x \in R \) के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक अद्वितीय (केवल एक) प्रतिबिम्ब विद्यमान होगा।
(j) यह एक फलन है। क्योंकि \( x = y^3 \) को \( y = x^{1/3} \) के रूप में लिखा जा सकता है। \( x \in R \) के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान है। घनमूल हमेशा एक अद्वितीय वास्तविक संख्या देता है।
(k) यह एक फलन है। क्योंकि \( y = x^3 \) के लिए, \( x \in R \) के प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब विद्यमान है। किसी भी वास्तविक संख्या का घन हमेशा एक अद्वितीय वास्तविक संख्या होता है।
In simple words: फलन होने के लिए, डोमेन के हर अवयव का कोडोमेन में केवल एक ही आउटपुट (प्रतिबिम्ब) होना चाहिए। अगर किसी अवयव के एक से ज़्यादा आउटपुट हैं, या कोई अवयव बिना आउटपुट के है, तो वह फलन नहीं होता।

🎯 Exam Tip: फलन की परिभाषा को हमेशा याद रखें: डोमेन के प्रत्येक तत्व का कोडोमेन में एक और केवल एक ही प्रतिबिम्ब होना चाहिए। यदि किसी तत्व के दो प्रतिबिम्ब हैं या कोई तत्व बिना प्रतिबिम्ब के है, तो वह एक फलन नहीं है।

प्रश्न 2. यदि f: R \( \rightarrow \) R, f(x) = x² हो तो ज्ञात कीजिए :
(i) f का परिसर
(ii) {x |f(x) = 4}
(iii) {y |f(y) = -1}
Answer:
(i) हमें फलन \( f(x) = x^2 \) दिया गया है, जहाँ डोमेन \( R \) (सभी वास्तविक संख्याएँ) है।
चूंकि \( x \in R \) के लिए, \( x^2 \) का मान हमेशा \( 0 \) के बराबर या उससे बड़ा होगा।
अर्थात, \( x^2 \ge 0 \).
इसलिए, \( f(x) \) का परिसर \( [0, \infty) \) होगा, जिसमें सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। इसका मतलब है कि आउटपुट कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
(ii) हमें \( \{x |f(x) = 4\} \) ज्ञात करना है।
\( f(x) = x^2 \)
\( x^2 = 4 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
\( \implies x = \pm \sqrt{4} \)
\( \implies x = \pm 2 \)
इसलिए, \( \{x |f(x) = 4\} = \{2, -2\} \).
(iii) हमें \( \{y |f(y) = -1\} \) ज्ञात करना है।
\( f(y) = y^2 \)
\( y^2 = -1 \)
यह समीकरण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल नहीं किया जा सकता, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
\( \implies y = \sqrt{-1} \)
यह एक काल्पनिक संख्या है और \( R \) का अवयव नहीं है।
इसलिए, इस समुच्चय में कोई भी वास्तविक संख्या नहीं है, और यह एक रिक्त समुच्चय \( (\Phi) \) है।
In simple words: \( f(x) = x^2 \) का मतलब है कि आउटपुट हमेशा \( 0 \) या \( 0 \) से बड़ी संख्या होगी। जब \( f(x) = 4 \) हो, तो \( x \) की वैल्यू \( 2 \) या \( -2 \) होगी। और जब \( f(y) = -1 \) हो, तो ऐसी कोई वास्तविक \( y \) वैल्यू नहीं है क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

🎯 Exam Tip: परिसर ज्ञात करते समय, फलन के व्यवहार को समझें (जैसे \( x^2 \) हमेशा धनात्मक होता है)। \( f(x) = \text{स्थिरांक} \) प्रकार के प्रश्नों में, \( x \) के मानों को सही ढंग से निकालने के लिए समीकरण हल करें और वास्तविक संख्या डोमेन को ध्यान में रखें।

प्रश्न 4. माना A = {-2, -1, 0, 1, 2} तथा f: A \( \rightarrow \) Z, जहाँ f(x) = x² + 2x – 3 तब ज्ञात कीजिए :
(i) f का परिसर
(ii) 6, -3 तथा 5 के पूर्व-प्रतिबिम्ब
Answer:
(i) हमें फलन \( f(x) = x^2 + 2x - 3 \) दिया गया है और डोमेन समुच्चय \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) है। परिसर ज्ञात करने के लिए, हम \( A \) के प्रत्येक अवयव के लिए \( f(x) \) का मान ज्ञात करेंगे:
\( f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \)
\( f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \)
\( f(0) = (0)^2 + 2(0) - 3 = 0 + 0 - 3 = -3 \)
\( f(1) = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \)
\( f(2) = (2)^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \)
इसलिए, फलन \( f \) का परिसर \( \{-4, -3, 0, 5\} \) है। परिसर डोमेन के सभी अवयवों के आउटपुट का संग्रह होता है।
(ii) हमें 6, -3 तथा 5 के पूर्व-प्रतिबिम्ब (Pre-images) ज्ञात करने हैं। पूर्व-प्रतिबिम्ब वह डोमेन तत्व है जिसका प्रतिबिम्ब दिया गया मान होता है।
* **6 का पूर्व-प्रतिबिम्ब:**
हम \( f(x) = 6 \) को हल करेंगे:
\( x^2 + 2x - 3 = 6 \)
\( x^2 + 2x - 9 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = -1 \pm \sqrt{10} \)
\( -1 \pm \sqrt{10} \) दोनों ही मान समुच्चय \( A = \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) में नहीं हैं। इसलिए, 6 का कोई पूर्व-प्रतिबिम्ब \( A \) में नहीं है। अतः, पूर्व-प्रतिबिम्ब \( \Phi \) (रिक्त समुच्चय) है।
* **-3 का पूर्व-प्रतिबिम्ब:**
हम \( f(x) = -3 \) को हल करेंगे:
\( x^2 + 2x - 3 = -3 \)
\( x^2 + 2x = 0 \)
\( x(x + 2) = 0 \)
\( \implies x = 0 \) या \( x = -2 \)
दोनों ही मान समुच्चय \( A \) में हैं। इसलिए, -3 का पूर्व-प्रतिबिम्ब \( \{-2, 0\} \) है।
* **5 का पूर्व-प्रतिबिम्ब:**
हम \( f(x) = 5 \) को हल करेंगे:
\( x^2 + 2x - 3 = 5 \)
\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 2) = 0 \)
\( \implies x = -4 \) या \( x = 2 \)
इनमें से केवल \( x = 2 \) ही समुच्चय \( A \) में है। इसलिए, 5 का पूर्व-प्रतिबिम्ब \( \{2\} \) है।
In simple words: परिसर वह सारे आउटपुट हैं जो हमें डोमेन की संख्याओं को फलन में रखने पर मिलते हैं। पूर्व-प्रतिबिम्ब वह इनपुट संख्याएँ हैं जिन्हें फलन में रखने पर हमें दिया गया आउटपुट मिलता है।

🎯 Exam Tip: परिसर ज्ञात करते समय, डोमेन के सभी तत्वों के लिए फलन का मान निकालें। पूर्व-प्रतिबिम्ब ज्ञात करने के लिए, फलन को दिए गए मान के बराबर सेट करके \( x \) के लिए हल करें, और सुनिश्चित करें कि \( x \) का मान दिए गए डोमेन में मौजूद हो।

प्रश्न 5. यदि f: R \( \rightarrow \) R, जहाँ f(x) = \( e^x \) तब ज्ञात कीजिए :
(a) R का f-प्रतिबिम्ब समुच्चय
(b) {y |f(y) = 1}
(c) क्या f(x + y) = f(x) f(y) सत्य है?
Answer:
(a) हमें फलन \( f(x) = e^x \) दिया गया है, जहाँ डोमेन \( R \) (सभी वास्तविक संख्याएँ) है।
घातक फलन \( e^x \) हमेशा एक धनात्मक वास्तविक संख्या होती है। यह कभी भी शून्य या ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसकी वृद्धि हमेशा बढ़ती रहती है।
इसलिए, \( f(x) \) का परिसर (f-प्रतिबिम्ब समुच्चय) सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय \( R^+ \) है।
(b) हमें \( \{y |f(y) = 1\} \) ज्ञात करना है।
\( f(y) = e^y \)
\( e^y = 1 \)
हम जानते हैं कि किसी भी संख्या की घात \( 0 \) हमेशा \( 1 \) होती है।
\( \implies e^y = e^0 \)
घातांकों की तुलना करने पर,
\( \implies y = 0 \)
इसलिए, \( \{y |f(y) = 1\} = \{0\} \).
(c) हमें यह जाँच करनी है कि क्या \( f(x + y) = f(x) f(y) \) सत्य है।
बायाँ पक्ष (LHS): \( f(x + y) = e^{(x+y)} \)
दायाँ पक्ष (RHS): \( f(x) f(y) = e^x \cdot e^y \)
घातांकों के नियम के अनुसार, जब आधार समान होते हैं तो गुणा करते समय घातें जुड़ जाती हैं:
\( e^x \cdot e^y = e^{(x+y)} \)
चूंकि बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS), यह कथन सत्य है। यह घातांक फलन की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
In simple words: \( e^x \) हमेशा एक पॉजिटिव नंबर होता है, कभी जीरो या नेगेटिव नहीं। जब \( e^y = 1 \) हो, तो \( y \) की वैल्यू \( 0 \) होगी। और \( e^{x+y} \) का मतलब \( e^x \) और \( e^y \) का गुणा ही होता है, इसलिए यह हमेशा सही है।

🎯 Exam Tip: घातांक फलन \( e^x \) की मूलभूत विशेषताओं को याद रखें: इसका परिसर हमेशा \( R^+ \) होता है, और यह \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \) नियम का पालन करता है। \( y = 0 \) पर \( e^y \) का मान \( 1 \) होता है।

प्रश्न 6. यदि f: R\(^+ \) \( \rightarrow \) R जहाँ f(x) = log x, जहाँ R\(^+ \) धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तो ज्ञात कीजिए :
(a) f(R\(^+ \))
(b) {y l,f(y) = -2}
(c) क्या f(x .y) = f(x) + f(y) सत्य है?
Answer:
(a) हमें फलन \( f(x) = \text{log x} \) दिया गया है, जहाँ डोमेन \( R^+ \) (सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ) है और कोडोमेन \( R \) (सभी वास्तविक संख्याएँ) है।
लघुगणक फलन \( \text{log x} \) (जो आधार e या 10 पर हो सकता है, जब निर्दिष्ट न हो) का परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है। यानी, \( \text{log x} \) कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, चाहे वह धनात्मक हो, ऋणात्मक हो या शून्य हो।
इसलिए, \( f(R^+) = R \).
(b) हमें \( \{y |f(y) = -2\} \) ज्ञात करना है।
\( f(y) = \text{log y} \)
\( \text{log y} = -2 \)
यदि लघुगणक का आधार \( e \) (प्राकृतिक लघुगणक) है, तो इसे घातांक रूप में बदलने पर:
\( \implies y = e^{-2} \)
यह एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
इसलिए, \( \{y |f(y) = -2\} = \{e^{-2}\} \).
(c) हमें यह जाँच करनी है कि क्या \( f(x \cdot y) = f(x) + f(y) \) सत्य है।
बायाँ पक्ष (LHS): \( f(x \cdot y) = \text{log}(x \cdot y) \)
दायाँ पक्ष (RHS): \( f(x) + f(y) = \text{log x} + \text{log y} \)
लघुगणक के गुणन नियम के अनुसार, \( \text{log}(A \cdot B) = \text{log A} + \text{log B} \).
इसलिए, \( \text{log}(x \cdot y) = \text{log x} + \text{log y} \).
चूंकि बायाँ पक्ष (LHS) = दायाँ पक्ष (RHS), यह कथन सत्य है। यह लघुगणक फलन की एक मौलिक संपत्ति है।
In simple words: \( \text{log x} \) फलन का आउटपुट कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। जब \( \text{log y} = -2 \) हो, तो \( y \) की वैल्यू \( e^{-2} \) होती है। और \( \text{log}(xy) \) हमेशा \( \text{log x} + \text{log y} \) के बराबर होता है, यह लघुगणक का एक नियम है।

🎯 Exam Tip: लघुगणक फलन के डोमेन और परिसर को स्पष्ट रूप से समझें (डोमेन \( R^+ \), परिसर \( R \)). साथ ही, लघुगणक के गुणों को याद रखें, जैसे \( \text{log}(AB) = \text{log A} + \text{log B} \) और \( \text{log} \frac{A}{B} = \text{log A} - \text{log B} \), ये अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

प्रश्न 7. यदि f \( = \frac{x^2}{1+x^2} \) R से R में एक फलन है तो f का परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें फलन \( f(x) = \frac{x^2}{1+x^2} \) दिया गया है, जहाँ डोमेन \( R \) (सभी वास्तविक संख्याएँ) है। परिसर ज्ञात करने के लिए, हम \( y = f(x) \) मानेंगे और \( x \) को \( y \) के पदों में व्यक्त करेंगे:
माना \( y = \frac{x^2}{1+x^2} \)
अब, \( y(1+x^2) = x^2 \)
\( y + yx^2 = x^2 \)
\( y = x^2 - yx^2 \)
\( y = x^2(1 - y) \)
\( \implies x^2 = \frac{y}{1-y} \)
चूंकि \( x \) एक वास्तविक संख्या है, \( x^2 \) हमेशा \( 0 \) के बराबर या उससे बड़ा होना चाहिए।
इसलिए, \( x^2 \ge 0 \implies \frac{y}{1-y} \ge 0 \).
इसके अलावा, हर \( (1-y) \) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \( 1-y \ne 0 \implies y \ne 1 \).
अब \( \frac{y}{1-y} \ge 0 \) को हल करते हैं:
यदि \( y \ge 0 \) और \( 1-y > 0 \) (यानी \( y < 1 \)), तो यह \( 0 \le y < 1 \) देता है।
यदि \( y \le 0 \) और \( 1-y < 0 \) (यानी \( y > 1 \)), तो यह सम्भव नहीं है।
इसलिए, फलन \( f \) का परिसर \( [0, 1) \) है। इसका अर्थ है कि फलन का आउटपुट 0 से 1 के बीच होगा, जिसमें 0 शामिल है लेकिन 1 नहीं।
In simple words: फलन \( f(x) = \frac{x^2}{1+x^2} \) में, \( x^2 \) हमेशा पॉजिटिव या जीरो होता है। इससे यह पता चलता है कि \( f(x) \) का सबसे छोटा मान \( 0 \) है (जब \( x=0 \))। जैसे-जैसे \( x \) बड़ा होता है, \( f(x) \) का मान \( 1 \) के करीब आता जाता है, पर कभी \( 1 \) नहीं होता।

🎯 Exam Tip: फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए, \( y = f(x) \) को \( x \) के लिए \( y \) के पदों में हल करें। फिर \( x \) के वास्तविक होने की शर्त (जैसे \( x^2 \ge 0 \) या वर्गमूल के अंदर की संख्या \( \ge 0 \)) का उपयोग करके \( y \) के मान्य मानों की सीमा ज्ञात करें।

प्रश्न 8. क्या g= {(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} एक फलन है? । यदि g को g(x) = ax + \( \beta \) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाए तो a तथा \( \beta \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हाँ, \( g = \{(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)\} \) एक फलन है।
इसका कारण यह है कि समुच्चय के प्रत्येक अवयव (1, 2, 3, 4) का केवल एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब (1, 3, 5, 7) है। फलन की परिभाषा यही कहती है कि डोमेन के प्रत्येक इनपुट का एक और केवल एक आउटपुट होना चाहिए।
अब, हमें \( g(x) = ax + \beta \) के लिए \( a \) और \( \beta \) के मान ज्ञात करने हैं। हम दिए गए बिंदुओं का उपयोग करेंगे:
\( g(1) = 1 \implies a(1) + \beta = 1 \implies a + \beta = 1 \) (समीकरण 1)
\( g(2) = 3 \implies a(2) + \beta = 3 \implies 2a + \beta = 3 \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (2a + \beta) - (a + \beta) = 3 - 1 \)
\( \implies a = 2 \)
अब \( a = 2 \) के मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2 + \beta = 1 \)
\( \implies \beta = 1 - 2 \)
\( \implies \beta = -1 \)
इस प्रकार, \( a = 2 \) और \( \beta = -1 \) है। हम इन मानों को अन्य बिंदुओं के लिए भी जांच सकते हैं: \( g(3) = 2(3) - 1 = 5 \) और \( g(4) = 2(4) - 1 = 7 \), जो दिए गए फलन के मानों से मेल खाते हैं।
In simple words: यह एक फलन है क्योंकि हर इनपुट का एक ही आउटपुट है। हमने दो बिंदुओं का उपयोग करके \( a \) और \( \beta \) की वैल्यू निकाली, जो कि \( 2 \) और \( -1 \) हैं, मतलब फलन \( g(x) = 2x - 1 \) है।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि एक संबंध फलन है या नहीं, सुनिश्चित करें कि डोमेन के प्रत्येक तत्व का केवल एक प्रतिबिम्ब है। रैखिक फलन \( y = ax + b \) में गुणांकों को ज्ञात करने के लिए, दिए गए बिंदुओं का उपयोग करके एक साथ समीकरणों को हल करें।

प्रश्न 9. चिह्न फलन क्या है? इसका प्रान्त और परिसर ज्ञात कीजिए।
Answer:
चिह्न फलन (Signum function), जिसे \( \text{sgn}(x) \) से दर्शाया जाता है, एक गणितीय फलन है जो किसी वास्तविक संख्या के चिह्न को निकालता है। यह \( f: R \rightarrow R \) के रूप में परिभाषित किया जाता है:
\( f(x) = \begin{cases} 1 & \text{यदि } x > 0 \\ 0 & \text{यदि } x = 0 \\ -1 & \text{यदि } x < 0 \end{cases} \)
इस फलन का **प्रान्त (Domain)** सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय \( R \) है। इसका मतलब है कि आप \( x \) की जगह कोई भी वास्तविक संख्या रख सकते हैं।
इस फलन का **परिसर (Range)** समुच्चय \( \{-1, 0, 1\} \) है। इसका मतलब है कि फलन का आउटपुट केवल ये तीन मान हो सकते हैं: \( 1 \) (धनात्मक संख्याओं के लिए), \( 0 \) (शून्य के लिए), और \( -1 \) (ऋणात्मक संख्याओं के लिए)। यह बताता है कि फलन केवल इन तीन मानों को वापस कर सकता है।
In simple words: चिह्न फलन यह बताता है कि एक संख्या पॉजिटिव है, नेगेटिव है या जीरो। अगर संख्या पॉजिटिव है तो यह \( 1 \) देता है, अगर जीरो है तो \( 0 \) देता है, और अगर नेगेटिव है तो \( -1 \) देता है। इसके इनपुट सारी वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और आउटपुट बस \( -1, 0, 1 \) होता है।

🎯 Exam Tip: चिह्न फलन की परिभाषा को उसके प्रान्त और परिसर सहित याद रखना महत्वपूर्ण है। यह एक टुकड़ों में परिभाषित (piecewise defined) फलन है, और इसके मान \( x \) के मानों पर निर्भर करते हैं।