RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 13 प्रकीर्णन के माप Exercise 13.3

प्रश्न 1 व 2 के आँकड़ों के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

Answer: दिए गए आँकड़ों का माध्य और प्रसरण निम्नलिखित सारणी द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। सारणी में \( x_i \) मानों के संगत \( f_i \) आवृत्तियां दी गई हैं, जिससे गणना आसान हो जाती है।

यहां \( N = \sum f_i = 40 \), \( \sum f_i x_i = 760 \), \( \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 1736 \) है।
माध्य \( (\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{N} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = \frac{760}{40} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 19 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = \frac{1736}{40} \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 43.4 \)
In simple words: हमने दिए गए डेटा का उपयोग करके माध्य को 19 और प्रसरण को 43.4 पाया है। माध्य हमें औसत मान बताता है, और प्रसरण बताता है कि डेटा कितना फैला हुआ है।

🎯 Exam Tip: सारणी में \( f_i x_i \) और \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \) की गणना करते समय ध्यान दें कि आप प्रत्येक पंक्ति के लिए सही मानों का उपयोग कर रहे हैं। गलतियों से बचने के लिए गणनाएँ ध्यान से करें।

प्रश्न 2.

Answer: दिए गए आँकड़ों का माध्य और प्रसरण लघु विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। हम एक कल्पित माध्य चुनते हैं और फिर विचलन (\( y_i \)) की गणना करते हैं। इससे बड़ी संख्या वाले डेटा के साथ गणना करना आसान हो जाता है।
माना कल्पित माध्य \( a = 88 \) है।
अब, माध्य और प्रसरण की गणना के लिए सारणी बनाते हैं:

माध्य \( (\bar{x}) = a + \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 88 + \frac{44}{22} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 88 + 2 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 90 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = \frac{1}{N^2} \left[N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = \frac{1}{(22)^2} \left[22 \times 728 - (44)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = \frac{1}{484} \left[16016 - 1936\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = \frac{1}{484} \times 14080 \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 29.09 \)
In simple words: हमने कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य को 90 और प्रसरण को 29.09 पाया। इस विधि से गणनाएँ आसान हो जाती हैं, खासकर जब संख्याएँ बड़ी हों।

🎯 Exam Tip: लघु विधि का उपयोग करने पर कल्पित माध्य (\( a \)) को डेटा के बीच के मान के रूप में चुनें, इससे \( y_i \) मान छोटे हो जाते हैं और गणनाएँ सरल होती हैं।

प्रश्न 3. लघु विधि द्वारा माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Answer: लघु विधि का उपयोग करके माध्य और मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, हम कल्पित माध्य का चुनाव करते हैं और फिर विचलन (\( y_i \)) की गणना करते हैं। यह तरीका गणना को आसान बनाता है।
माना कल्पित माध्य \( a = 74 \) है।
अब, माध्य और मानक विचलन की गणना के लिए सारणी बनाते हैं:

माध्य \( (\bar{x}) = a + \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 74 + \frac{0}{100} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 74 + 0 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 74 \)
मानक विचलन \( (S.D.) = \frac{1}{N} \sqrt{N \sum f_i y_i^2 - (\sum f_i y_i)^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = \frac{1}{100} \sqrt{100 \times 286 - (0)^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = \frac{1}{100} \sqrt{28600 - 0} \)
\( \implies \)\( S.D. = \frac{1}{100} \sqrt{28600} \)
\( \implies \)\( S.D. = \frac{1}{100} \times 169.1153 \)
\( \implies \)\( S.D. = 1.691153 \)
\( \implies \)\( S.D. \approx 1.69 \)
In simple words: हमने लघु विधि का उपयोग करके माध्य को 74 और मानक विचलन को लगभग 1.69 पाया है। यह तरीका डेटा के फैलाव को समझने में मदद करता है।

🎯 Exam Tip: जब \( \sum f_i y_i = 0 \) हो, तो माध्य कल्पित माध्य के बराबर होता है। यह गणनाओं को बहुत सरल बना देता है।

प्रश्न 4 व 5 में दिये गये बारम्बारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 4.

Answer: दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए माध्य और प्रसरण को पद विचलन विधि का उपयोग करके ज्ञात किया जाएगा। इस विधि में, हम कल्पित माध्य और वर्ग अंतराल की चौड़ाई का उपयोग करके गणना को सरल बनाते हैं।
माना कल्पित माध्य \( A = 105 \) है और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 30 \) है।
माध्य और प्रसरण की गणना के लिए सारणी:

माध्य \( (\bar{x}) = A + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times h \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 105 + \frac{2}{30} \times 30 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 105 + 2 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 107 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = (30)^2 \left[\frac{76}{30} - \left(\frac{2}{30}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 900 \left[\frac{76}{30} - \frac{4}{900}\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 900 \left[2.5333 - 0.0044\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 900 \left[2.5289\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 2276.01 \)
\( \implies \)\( \sigma^2 \approx 2276 \)
In simple words: हमने दिए गए वर्गीकृत डेटा का माध्य 107 और प्रसरण लगभग 2276 पाया। माध्य समूह के केंद्र को दर्शाता है, जबकि प्रसरण बताता है कि डेटा कितना फैला हुआ है।

🎯 Exam Tip: पद विचलन विधि में \( h^2 \) से गुणा करना न भूलें, क्योंकि \( d_i \) को \( h \) से भाग दिया जाता है। यह अक्सर की जाने वाली एक सामान्य गलती है।

प्रश्न 5.

Answer: दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए माध्य और प्रसरण को पद विचलन विधि का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। हम कल्पित माध्य और वर्ग अंतराल की चौड़ाई का चुनाव करते हैं, जिससे गणनाएँ आसान होती हैं।
माना कल्पित माध्य \( A = 25 \) है और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \) है।
माध्य और प्रसरण की गणना के लिए सारणी:

माध्य \( (\bar{x}) = A + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times h \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 25 + \frac{10}{50} \times 10 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 25 + 2 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 27 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = (10)^2 \left[\frac{68}{50} - \left(\frac{10}{50}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 100 \left[1.36 - (0.2)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 100 \left[1.36 - 0.04\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 100 \left[1.32\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 132 \)
In simple words: हमने पद विचलन विधि से माध्य 27 और प्रसरण 132 पाया। यह विधि बड़े वर्गीकृत डेटा सेटों के लिए बहुत उपयोगी है क्योंकि यह गणनाओं को सरल बनाती है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( h \) से गुणा करना याद रखें जब माध्य की गणना कर रहे हों और \( h^2 \) से जब प्रसरण की गणना कर रहे हों। ये अक्सर भूली जाने वाली बातें हैं।

प्रश्न 6. लघु विधि द्वारा माध्य, प्रसरण व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Answer: दिए गए बारम्बारता बंटन के लिए माध्य, प्रसरण और मानक विचलन को लघु विधि (पद विचलन विधि) का उपयोग करके ज्ञात किया जाएगा। हम कल्पित माध्य और वर्ग अंतराल की चौड़ाई का उपयोग करके गणना को सरल बनाते हैं।
माना कल्पित माध्य \( A = 92.5 \) है और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 5 \) है।
माध्य, प्रसरण और मानक विचलन की गणना के लिए सारणी:

माध्य \( (\bar{x}) = A + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times h \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 92.5 + \frac{6}{60} \times 5 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 92.5 + \frac{1}{10} \times 5 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 92.5 + 0.5 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 93 \)
प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = (5)^2 \left[\frac{254}{60} - \left(\frac{6}{60}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 25 \left[\frac{254}{60} - \left(\frac{1}{10}\right)^2\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 25 \left[4.2333 - 0.01\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 25 \left[4.2233\right] \)
\( \implies \)\( \sigma^2 = 105.5825 \)
मानक विचलन \( (\sigma) = \sqrt{\text{प्रसरण}} \)
\( \implies \)\( \sigma = \sqrt{105.5825} \)
\( \implies \)\( \sigma = 10.275 \)
In simple words: हमने माध्य 93, प्रसरण 105.5825 और मानक विचलन 10.275 पाया। यह डेटा के औसत मान और उसके फैलाव को समझने में मदद करता है।

🎯 Exam Tip: मानक विचलन हमेशा प्रसरण का वर्गमूल होता है। हमेशा गणनाओं को दोबारा जांचें ताकि कोई छोटी गलती न हो।

प्रश्न 7. नीचे दी गई तालिका में वृत्तों के व्यासों का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Answer: दिए गए वृत्तों के व्यास के लिए मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, हमें पहले वर्ग अंतरालों को सतत बनाना होगा क्योंकि वे असतत हैं। हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के उच्च और निम्न मानों में 0.5 जोड़कर और घटाकर ऐसा करेंगे।
अब, सतत वर्ग अंतराल और मानक विचलन की गणना के लिए सारणी बनाते हैं।
माना कल्पित माध्य \( a = 52.5 \) है और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 4 \) है।

माध्य \( (\bar{x}) = A + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times h \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 52.5 + \frac{25}{100} \times 4 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 52.5 + \frac{1}{4} \times 4 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 52.5 + 1 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 53.5 \)
मानक विचलन \( (S.D.) = h \sqrt{\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = 4 \sqrt{\frac{199}{100} - \left(\frac{25}{100}\right)^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = 4 \sqrt{1.99 - (0.25)^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = 4 \sqrt{1.99 - 0.0625} \)
\( \implies \)\( S.D. = 4 \sqrt{1.9275} \)
\( \implies \)\( S.D. = 4 \times 1.3883 \)
\( \implies \)\( S.D. = 5.5532 \)
\( \implies \)\( S.D. \approx 5.55 \)
In simple words: वृत्तों के व्यास का मानक विचलन लगभग 5.55 है। यह संख्या हमें बताती है कि व्यास का डेटा औसत व्यास से कितना फैला हुआ है।

🎯 Exam Tip: असतत वर्ग अंतरालों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना महत्वपूर्ण है। ऐसा करने के लिए, ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ें और निचली सीमा से 0.5 घटाएँ।

प्रश्न 8. दिए गए आँकड़ों से मानक विचलन, मानक विचलन गुणांक तथा विचरण गुणांक की गणना कीजिए।

Answer: दिए गए आँकड़ों के लिए मानक विचलन, मानक विचलन गुणांक और विचरण गुणांक की गणना करने के लिए, हम पद विचलन विधि का उपयोग करेंगे। हम एक कल्पित माध्य और वर्ग अंतराल की चौड़ाई का चयन करते हैं ताकि गणना सरल हो सके।
माना कल्पित माध्य \( A = 50 \) है और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 20 \) है।
गणनाओं के लिए सारणी:

माध्य \( \bar{x} = A + h \times \frac{\sum f_i y_i}{N} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 50 + 20 \times \frac{0}{30} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 50 + 0 \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 50 \)
मानक विचलन \( (\sigma) = h \times \sqrt{\frac{\sum f_i y_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i y_i}{N}\right)^2} \)
\( \implies \)\( \sigma = 20 \times \sqrt{\frac{24}{30} - \left(\frac{0}{30}\right)^2} \)
\( \implies \)\( \sigma = 20 \times \sqrt{0.8 - 0} \)
\( \implies \)\( \sigma = 20 \times \sqrt{0.8} \)
\( \implies \)\( \sigma = 20 \times 0.8944 \)
\( \implies \)\( \sigma = 17.888 \)
\( \implies \)\( \sigma \approx 17.88 \)
मानक विचलन गुणांक \( (C.S.D.) = \frac{\sigma}{\bar{x}} \)
\( \implies \)\( C.S.D. = \frac{17.88}{50} \)
\( \implies \)\( C.S.D. = 0.3576 \)
विचरण गुणांक \( = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \)
\( \implies \)\( = 0.3576 \times 100 \)
\( \implies \)\( = 35.76 \% \)
In simple words: हमने माध्य 50, मानक विचलन 17.88, मानक विचलन गुणांक 0.3576 और विचरण गुणांक 35.76% पाया। ये मान बताते हैं कि डेटा का केंद्र कहाँ है और यह कितना फैला हुआ है।

🎯 Exam Tip: विचरण गुणांक प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है और यह विभिन्न डेटा सेटों की तुलना करने के लिए एक अच्छा माप है। मानक विचलन गुणांक केवल एक अनुपात है।

प्रश्न 9. निम्नलिखित बंटन का कल्पित माध्य 35 से मानक विचलन ज्ञात कीजिए :
35, 25, 33, 50, 37, 35, 33, 37, 30
Answer: दिए गए डेटा सेट के लिए मानक विचलन ज्ञात करने के लिए, हम कल्पित माध्य 35 का उपयोग करेंगे। हम प्रत्येक डेटा बिंदु से कल्पित माध्य के विचलन की गणना करेंगे और फिर मानक विचलन के सूत्र का उपयोग करेंगे।
माना कल्पित माध्य \( \bar{x} = 35 \) है।
डेटा मान हैं: 35, 25, 33, 50, 37, 35, 33, 37, 30।
आँकड़ों की संख्या \( N = 9 \) है।
मानक विचलन की गणना के लिए सारणी:

मानक विचलन \( (S.D.) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2} \)
\( \implies \)\( S.D. = \sqrt{\frac{1}{9} \times 366} \)
\( \implies \)\( S.D. = \sqrt{40.666...} \)
\( \implies \)\( S.D. = 6.377 \)
\( \implies \)\( S.D. \approx 6.376 \)
In simple words: कल्पित माध्य 35 का उपयोग करके, हमने इस डेटा सेट के लिए मानक विचलन लगभग 6.376 पाया। मानक विचलन हमें बताता है कि डेटा मान औसत से कितना दूर हैं।

🎯 Exam Tip: अवर्गीकृत डेटा के लिए मानक विचलन की गणना करते समय, पहले माध्य या कल्पित माध्य ज्ञात करें। फिर प्रत्येक डेटा बिंदु से विचलन को सही ढंग से वर्ग करें।

प्रश्न 10. निम्न श्रेणी में माध्य, माध्यिका एवं बहुलक से माध्य विचलन एवं गुणांक ज्ञात कीजिए।

Answer: सबसे पहले, हम दिए गए संचयी बारम्बारता बंटन को एक साधारण वर्गीकृत बारम्बारता बंटन में बदलेंगे। फिर हम माध्य, माध्यिका और बहुलक की गणना करेंगे, और अंत में इन तीनों से माध्य विचलन और उनके गुणांकों की गणना करेंगे।
दिए गए आँकड़ों से वर्गीकृत बारम्बारता बंटन सारणी:

**1. माध्य (\( \bar{x} \)) की गणना:**
समान्तर माध्य \( (\bar{x}) = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = \frac{2540}{60} \)
\( \implies \)\( \bar{x} = 42.33 \) **2. माध्यिका (M) की गणना:**
यहाँ \( N = \sum f_i = 60 \) है।
\( \frac{N}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)
संचयी बारम्बारता (Cf) सारणी में 30 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 37 है, जो वर्ग अंतराल 40-50 के संगत है।
अतः, माध्यिका वर्ग = 40-50 है।
यहां \( l = 40 \) (माध्यिका वर्ग की निचली सीमा), \( N = 60 \), \( C = 26 \) (माध्यिका वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता), \( f = 11 \) (माध्यिका वर्ग की बारम्बारता), \( h = 10 \) (वर्ग अंतराल की चौड़ाई)।
माध्यिका \( (M) = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
\( \implies \)\( M = 40 + \frac{30 - 26}{11} \times 10 \)
\( \implies \)\( M = 40 + \frac{4}{11} \times 10 \)
\( \implies \)\( M = 40 + \frac{40}{11} \)
\( \implies \)\( M = 40 + 3.636 \)
\( \implies \)\( M = 43.636 \)
\( \implies \)\( M \approx 43.64 \) **3. बहुलक (Z) की गणना:**
सर्वाधिक बारम्बारता \( f_m = 13 \) है, जो वर्ग अंतराल 50-60 के संगत है।
अतः, बहुलक वर्ग = 50-60 है।
यहां \( l = 50 \) (बहुलक वर्ग की निचली सीमा), \( f_m = 13 \) (बहुलक वर्ग की बारम्बारता), \( f_1 = 11 \) (बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारम्बारता), \( f_2 = 6 \) (बहुलक वर्ग से ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता), \( h = 10 \) (वर्ग अंतराल की चौड़ाई)।
बहुलक \( (Z) = l + \frac{f_m - f_1}{2f_m - f_1 - f_2} \times h \)
\( \implies \)\( Z = 50 + \frac{13 - 11}{2 \times 13 - 11 - 6} \times 10 \)
\( \implies \)\( Z = 50 + \frac{2}{26 - 11 - 6} \times 10 \)
\( \implies \)\( Z = 50 + \frac{2}{9} \times 10 \)
\( \implies \)\( Z = 50 + \frac{20}{9} \)
\( \implies \)\( Z = 50 + 2.222 \)
\( \implies \)\( Z = 52.222 \)
\( \implies \)\( Z \approx 52.22 \) **4. माध्य, माध्यिका एवं बहुलक से माध्य विचलन एवं उनके गुणांकों की गणना:**
हम प्रत्येक डेटा बिंदु के माध्य, माध्यिका और बहुलक से निरपेक्ष विचलन की गणना के लिए एक सारणी बनाएंगे।
माध्य \( \bar{x} = 42.33 \)
माध्यिका \( M = 43.64 \)
बहुलक \( Z = 52.22 \)

**माध्य से माध्य विचलन \( (M.D._{\bar{x}}) \):**
\( M.D._{\bar{x}} = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( M.D._{\bar{x}} = \frac{921.36}{60} \)
\( \implies \)\( M.D._{\bar{x}} = 15.356 \)
\( \implies \)\( M.D._{\bar{x}} \approx 15.36 \) **माध्यिका से माध्य विचलन \( (M.D._M) \):**
\( M.D._M = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( M.D._M = \frac{910.88}{60} \)
\( \implies \)\( M.D._M = 15.181 \)
\( \implies \)\( M.D._M \approx 15.18 \) **बहुलक से माध्य विचलन \( (M.D._Z) \):**
\( M.D._Z = \frac{\sum f_i |x_i - Z|}{\sum f_i} \)
\( \implies \)\( M.D._Z = \frac{1001.08}{60} \)
\( \implies \)\( M.D._Z = 16.684 \)
\( \implies \)\( M.D._Z \approx 16.68 \) **माध्य विचलन गुणांक:**
**माध्य से माध्य विचलन गुणांक:** \( = \frac{M.D._{\bar{x}}}{\bar{x}} = \frac{15.36}{42.33} \approx 0.363 \)
**माध्यिका से माध्य विचलन गुणांक:** \( = \frac{M.D._M}{M} = \frac{15.18}{43.64} \approx 0.348 \)
**बहुलक से माध्य विचलन गुणांक:** \( = \frac{M.D._Z}{Z} = \frac{16.68}{52.22} \approx 0.319 \)
In simple words: हमने माध्य से माध्य विचलन 15.36, माध्यिका से 15.18 और बहुलक से 16.68 पाया। ये मान दिखाते हैं कि डेटा इन केंद्रीय प्रवृत्तियों से औसतन कितना विचलित होता है।

🎯 Exam Tip: माध्य विचलन की गणना करते समय हमेशा निरपेक्ष मान \( |x_i - \text{माप}| \) का उपयोग करें, अन्यथा धनात्मक और ऋणात्मक विचलन एक-दूसरे को रद्द कर देंगे। गुणांक हमेशा एक इकाई-मुक्त माप होता है।