Official RBSE Solutions for Class 11 Mathematics: Chapter 13 प्रकीर्णन के माप
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 13 प्रकीर्णन के माप
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Question 1. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़ों का माध्य \( \overline{x} \) ज्ञात करने के लिए, सभी मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देते हैं।
\( \overline{x} = \frac { \sum x_i }{ N } = \frac { 4+7+8+9+10+12+13+17 }{ 8 } \)
\( \overline{x} = \frac { 80 }{ 8 } = 10 \)
अब, हम माध्य के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - \overline{x}| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से माध्य (10) घटाकर उसका निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं।
| S.No. | \( x_i \) | \( |x_i - \overline{x}| = |x_i - 10| \) |
|---|---|---|
| 1. | 4 | \( |4 - 10| = 6 \) |
| 2. | 7 | \( |7 - 10| = 3 \) |
| 3. | 8 | \( |8 - 10| = 2 \) |
| 4. | 9 | \( |9 - 10| = 1 \) |
| 5. | 10 | \( |10 - 10| = 0 \) |
| 6. | 12 | \( |12 - 10| = 2 \) |
| 7. | 13 | \( |13 - 10| = 3 \) |
| 8. | 17 | \( |17 - 10| = 7 \) |
| \( \sum x_i = 80 \) | \( \sum |x_i - \overline{x}| = 24 \) |
माध्य विचलन (Mean Deviation) का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum_{i=1}^{N} |x_i - \overline{x}| }{ N } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 24 }{ 8 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 3 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 3 है, जो दर्शाता है कि आँकड़े माध्य से औसतन कितनी दूर हैं।
In simple words: पहले सभी संख्याओं का औसत (माध्य) निकाला. फिर हर संख्या से औसत को घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन सभी निरपेक्ष मानों का औसत ही माध्य विचलन होता है, जो 3 आया है.
🎯 Exam Tip: माध्य विचलन निकालते समय हमेशा निरपेक्ष मान (absolute value) का उपयोग करें, क्योंकि यह केवल अंतर की मात्रा पर ध्यान केंद्रित करता है, न कि उसकी दिशा पर।
Question 2. 28, 60, 38, 30, 32, 45, 53, 36, 44, 34 के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़ों का माध्य \( \overline{x} \) ज्ञात करने के लिए, सभी मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देते हैं।
\( \overline{x} = \frac { \sum x_i }{ N } \)
\( \sum x_i = 28+60+38+30+32+45+53+36+44+34 = 400 \)
\( N = 10 \)
\( \overline{x} = \frac { 400 }{ 10 } = 40 \)
अब, हम माध्य के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - \overline{x}| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से माध्य (40) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
| \( x_i \) | \( |x_i - \overline{x}| = |x_i - 40| \) |
|---|---|
| 28 | \( |28 - 40| = 12 \) |
| 60 | \( |60 - 40| = 20 \) |
| 38 | \( |38 - 40| = 2 \) |
| 30 | \( |30 - 40| = 10 \) |
| 32 | \( |32 - 40| = 8 \) |
| 45 | \( |45 - 40| = 5 \) |
| 53 | \( |53 - 40| = 13 \) |
| 36 | \( |36 - 40| = 4 \) |
| 44 | \( |44 - 40| = 4 \) |
| 34 | \( |34 - 40| = 6 \) |
| \( \sum x_i = 400 \) | \( \sum |x_i - \overline{x}| = 84 \) |
माध्य विचलन (Mean Deviation) का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum |x_i - \overline{x}| }{ n } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 84 }{ 10 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 8.4 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 8.4 है। यह मान हमें बताता है कि डेटा बिंदु अपने माध्य से औसतन कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: पहले सभी संख्याओं का औसत (माध्य) 40 निकाला. फिर हर संख्या से 40 घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन सभी निरपेक्ष मानों का औसत 8.4 आया है, जो माध्य विचलन है.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप माध्य विचलन की गणना करते समय हमेशा \( \sum|x_i - \overline{x}| \) के लिए निरपेक्ष मानों का योग करें, न कि केवल \( \sum(x_i - \overline{x}) \) का, जिसका योग हमेशा शून्य होगा।
Question 3. 13, 10, 12, 13, 15, 18, 17, 11, 14, 16, 12 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: माध्यिका (M) ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले आँकड़ों को आरोही क्रम (बढ़ते हुए क्रम) में व्यवस्थित करते हैं।
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आँकड़े इस प्रकार हैं:
10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 16, 17, 18
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 11 \) है, जो एक विषम संख्या है। ऐसे में माध्यिका का सूत्र \( M = \left( \frac { n+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान होता है।
\( M = \left( \frac { 11+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान
\( M = \left( \frac { 12 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान
\( M = 6^{वें} \) पद का मान
आरोही क्रम में, 6वाँ पद 13 है। अतः माध्यिका \( M = 13 \)।
अब, हम माध्यिका के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - M| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से माध्यिका (13) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
| \( x_i \) | \( |x_i - M| = |x_i - 13| \) |
|---|---|
| 10 | \( |10 - 13| = 3 \) |
| 11 | \( |11 - 13| = 2 \) |
| 12 | \( |12 - 13| = 1 \) |
| 12 | \( |12 - 13| = 1 \) |
| 13 | \( |13 - 13| = 0 \) |
| 13 | \( |13 - 13| = 0 \) |
| 14 | \( |14 - 13| = 1 \) |
| 15 | \( |15 - 13| = 2 \) |
| 16 | \( |16 - 13| = 3 \) |
| 17 | \( |17 - 13| = 4 \) |
| 18 | \( |18 - 13| = 5 \) |
| \( n = 11 \) | \( \sum |x_i - M| = 22 \) |
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum |x_i - M| }{ n } \)
\( M.D.(M) = \frac { 22 }{ 11 } \)
\( M.D.(M) = 2 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 2 है। यह दर्शाता है कि डेटा बिंदु औसतन माध्यिका से कितनी दूर हैं।
In simple words: पहले संख्याओं को क्रम से लगाया और बीच वाली संख्या (माध्यिका) 13 निकाली. फिर हर संख्या से 13 घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन सभी निरपेक्ष मानों का औसत 2 आया, जो माध्यिका से माध्य विचलन है.
🎯 Exam Tip: माध्यिका ज्ञात करते समय, विषम संख्या के प्रेक्षणों के लिए \( \frac{n+1}{2} \) वाँ पद सीधा माध्यिका होता है, जबकि सम संख्या के प्रेक्षणों के लिए बीच के दो पदों का औसत लिया जाता है।
Question 4. 26, 32, 35, 39, 41, 62, 36, 50, 43 के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: माध्यिका (M) ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले आँकड़ों को आरोही क्रम (बढ़ते हुए क्रम) में व्यवस्थित करते हैं।
आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर आँकड़े इस प्रकार हैं:
26, 32, 35, 36, 39, 41, 43, 50, 62
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 9 \) है, जो एक विषम संख्या है। ऐसे में माध्यिका का सूत्र \( M = \left( \frac { n+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान होता है।
\( M = \left( \frac { 9+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान
\( M = \left( \frac { 10 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान
\( M = 5^{वें} \) पद का मान
आरोही क्रम में, 5वाँ पद 39 है। अतः माध्यिका \( M = 39 \)।
अब, हम माध्यिका के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - M| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से माध्यिका (39) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
| \( x_i \) | \( |x_i - M| = |x_i - 39| \) |
|---|---|
| 26 | \( |26 - 39| = 13 \) |
| 32 | \( |32 - 39| = 7 \) |
| 35 | \( |35 - 39| = 4 \) |
| 36 | \( |36 - 39| = 3 \) |
| 39 | \( |39 - 39| = 0 \) |
| 41 | \( |41 - 39| = 2 \) |
| 43 | \( |43 - 39| = 4 \) |
| 50 | \( |50 - 39| = 11 \) |
| 62 | \( |62 - 39| = 23 \) |
| \( n = 9 \) | \( \sum |x_i - M| = 67 \) |
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum |x_i - M| }{ n } \)
\( M.D.(M) = \frac { 67 }{ 9 } \)
\( M.D.(M) \approx 7.44 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन लगभग 7.44 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपनी माध्यिका से कितनी दूर हैं।
In simple words: हमने संख्याओं को क्रम से लगाकर उनकी माध्यिका 39 निकाली. फिर हर संख्या से 39 घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन सभी निरपेक्ष मानों का औसत लगभग 7.44 आया है, जो माध्यिका से माध्य विचलन है.
🎯 Exam Tip: माध्यिका निकालते समय, संख्याओं को आरोही या अवरोही क्रम में सही ढंग से व्यवस्थित करना बहुत महत्वपूर्ण है, अन्यथा माध्यिका गलत हो जाएगी।
Question 5. 2, 4, 6, 4, 8, 6, 4, 10, 4, 8 के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुलक (Z) वह मान होता है जो आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है।
दिए गए आँकड़े हैं: 2, 4, 6, 4, 8, 6, 4, 10, 4, 8
इन आँकड़ों में, संख्या 4 सबसे अधिक बार (4 बार) आती है। इसलिए, बहुलक \( Z = 4 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से बहुलक (4) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
| चर \( x_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 4| \) |
|---|---|
| 2 | \( |2 - 4| = 2 \) |
| 4 | \( |4 - 4| = 0 \) |
| 6 | \( |6 - 4| = 2 \) |
| 4 | \( |4 - 4| = 0 \) |
| 8 | \( |8 - 4| = 4 \) |
| 6 | \( |6 - 4| = 2 \) |
| 4 | \( |4 - 4| = 0 \) |
| 10 | \( |10 - 4| = 6 \) |
| 4 | \( |4 - 4| = 0 \) |
| 8 | \( |8 - 4| = 4 \) |
| \( n = 10 \) | \( \sum |x_i - 4| = 20 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum |x_i - Z| }{ n } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 20 }{ 10 } \)
\( M.D.(Z) = 2 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 2 है। यह बताता है कि आँकड़े औसतन अपने बहुलक से कितनी दूर हैं।
In simple words: हमने सबसे ज़्यादा बार आने वाली संख्या (बहुलक) 4 निकाली. फिर हर संख्या से 4 घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन सभी निरपेक्ष मानों का औसत 2 आया है, जो बहुलक से माध्य विचलन है.
🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप वास्तव में सबसे अधिक आवृत्ति वाले मान की पहचान करें, खासकर जब डेटा सेट में कई बार दोहराए जाने वाले मान हों।
Question 6. 2.2, 2.5, 2.1, 2.5, 2.9, 2.8, 2.5, 2.3 के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: बहुलक (Z) वह मान होता है जो आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है।
दिए गए आँकड़े हैं: 2.2, 2.5, 2.1, 2.5, 2.9, 2.8, 2.5, 2.3
इन आँकड़ों में, संख्या 2.5 सबसे अधिक बार (3 बार) आती है। इसलिए, बहुलक \( Z = 2.5 \)।
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( n = 8 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से बहुलक (2.5) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं।
| \( x_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 2.5| \) |
|---|---|
| 2.2 | \( |2.2 - 2.5| = 0.3 \) |
| 2.5 | \( |2.5 - 2.5| = 0.0 \) |
| 2.1 | \( |2.1 - 2.5| = 0.4 \) |
| 2.5 | \( |2.5 - 2.5| = 0.0 \) |
| 2.9 | \( |2.9 - 2.5| = 0.4 \) |
| 2.8 | \( |2.8 - 2.5| = 0.3 \) |
| 2.5 | \( |2.5 - 2.5| = 0.0 \) |
| 2.3 | \( |2.3 - 2.5| = 0.2 \) |
| \( \sum |x_i - 2.5| = 1.6 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum |x_i - Z| }{ n } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 1.6 }{ 8 } \)
\( M.D.(Z) = 0.2 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 0.2 है। यह बताता है कि आँकड़े औसतन अपने बहुलक से कितनी दूर हैं।
In simple words: सबसे ज़्यादा बार आने वाली संख्या (बहुलक) 2.5 है. फिर हर संख्या से 2.5 घटाकर उसका निरपेक्ष मान लिया. इन निरपेक्ष मानों का औसत 0.2 आया, जो बहुलक से माध्य विचलन है.
🎯 Exam Tip: दशमलव वाले आँकड़ों में बहुलक ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सभी दशमलव स्थानों को सही ढंग से गिनें ताकि सबसे अधिक आवृत्ति वाले मान की सटीक पहचान हो सके।
Question 7. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 7 | 4 | 6 | 3 | 5 |
Answer: माध्य \( \overline{x} \) ज्ञात करने के लिए, हम \( x_i \) और \( f_i \) के गुणनफल (\( f_i x_i \)) का योग करके कुल आवृत्ति (\( \sum f_i \)) से भाग देते हैं।
पहले एक तालिका बनाकर आवश्यक गणनाएँ करते हैं:
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( f_i x_i \) | \( |x_i - \overline{x}| \) | \( f_i|x_i - \overline{x}| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 5 | 7 | 35 | \( |5 - 14| = 9 \) | \( 7 \times 9 = 63 \) |
| 2. | 10 | 4 | 40 | \( |10 - 14| = 4 \) | \( 4 \times 4 = 16 \) |
| 3. | 15 | 6 | 90 | \( |15 - 14| = 1 \) | \( 6 \times 1 = 6 \) |
| 4. | 20 | 3 | 60 | \( |20 - 14| = 6 \) | \( 3 \times 6 = 18 \) |
| 5. | 25 | 5 | 125 | \( |25 - 14| = 11 \) | \( 5 \times 11 = 55 \) |
| \( \sum f_i = N = 25 \) | \( \sum f_i x_i = 350 \) | \( \sum f_i|x_i - \overline{x}| = 158 \) |
माध्य \( \overline{x} = \frac { \sum f_i x_i }{ \sum f_i } = \frac { 350 }{ 25 } = 14 \)
माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum f_i|x_i - \overline{x}| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 158 }{ 25 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 6.32 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 6.32 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपने माध्य से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: पहले हमने \( f_i x_i \) का जोड़ करके माध्य 14 निकाला. फिर हर \( x_i \) से 14 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - \overline{x}| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया और सभी का जोड़ करके कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 6.32 आया.
🎯 Exam Tip: जब आवृत्ति वितरण (frequency distribution) दिया हो, तो माध्य विचलन की गणना के लिए \( f_i|x_i - \overline{x}| \) का योग करना न भूलें, क्योंकि प्रत्येक विचलन की आवृत्ति को भी ध्यान में रखना होता है।
Question 8. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 2 | 12 | 14 | 8 | 4 |
Answer: माध्य \( \overline{x} \) ज्ञात करने के लिए, हम \( x_i \) और \( f_i \) के गुणनफल (\( f_i x_i \)) का योग करके कुल आवृत्ति (\( \sum f_i \)) से भाग देते हैं।
पहले एक तालिका बनाकर आवश्यक गणनाएँ करते हैं:
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( f_i x_i \) | \( |x_i - \overline{x}| \) | \( f_i|x_i - \overline{x}| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 20 | 2 | 40 | \( |20 - 60| = 40 \) | \( 2 \times 40 = 80 \) |
| 2. | 40 | 12 | 480 | \( |40 - 60| = 20 \) | \( 12 \times 20 = 240 \) |
| 3. | 60 | 14 | 840 | \( |60 - 60| = 0 \) | \( 14 \times 0 = 0 \) |
| 4. | 80 | 8 | 640 | \( |80 - 60| = 20 \) | \( 8 \times 20 = 160 \) |
| 5. | 100 | 4 | 400 | \( |100 - 60| = 40 \) | \( 4 \times 40 = 160 \) |
| \( \sum f_i = N = 40 \) | \( \sum f_i x_i = 2400 \) | \( \sum f_i|x_i - \overline{x}| = 640 \) |
माध्य \( \overline{x} = \frac { \sum f_i x_i }{ \sum f_i } = \frac { 2400 }{ 40 } = 60 \)
माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum f_i|x_i - \overline{x}| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 640 }{ 40 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 16 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 16 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपने माध्य से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने \( f_i x_i \) का जोड़ करके माध्य 60 निकाला. फिर हर \( x_i \) से 60 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - \overline{x}| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा करके सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 16 आया.
🎯 Exam Tip: खंडित श्रेणी में, \( x_i \) मूल्यों का उपयोग सीधे विचलन की गणना के लिए किया जाता है, जबकि सतत श्रेणी में, वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु (\( x_i \)) का उपयोग किया जाता है।
Question 9. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 5 | 7 | 9 | 10 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 8 | 6 | 2 | 2 | 2 | 6 |
Answer: माध्यिका (M) ज्ञात करने के लिए, हमें संचयी आवृत्ति (cumulative frequency) की आवश्यकता होती है।
कुल आवृत्ति \( N = \sum f_i \)। यहाँ \( N = 26 \)। चूँकि \( N \) एक सम संख्या है, माध्यिका \( \left( \frac { N }{ 2 } \right)^{वें} \) और \( \left( \frac { N }{ 2 } + 1 \right)^{वें} \) पदों का औसत होती है।
\( \frac { N }{ 2 } = \frac { 26 }{ 2 } = 13 \)
\( \frac { N }{ 2 } + 1 = 13 + 1 = 14 \)
तो माध्यिका 13वें और 14वें पदों का औसत होगी। संचयी आवृत्ति तालिका बनाने पर:
संचयी आवृत्ति 14 के लिए \( x_i \) का मान 7 है। अतः 13वां और 14वां पद दोनों ही 7 के संगत हैं।
माध्यिका \( M = 7 \)।
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( cf \) | \( |x_i - M| = |x_i - 7| \) | \( f_i|x_i - M| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 5 | 8 | 8 | \( |5 - 7| = 2 \) | \( 8 \times 2 = 16 \) |
| 2. | 7 | 6 | 14 | \( |7 - 7| = 0 \) | \( 6 \times 0 = 0 \) |
| 3. | 9 | 2 | 16 | \( |9 - 7| = 2 \) | \( 2 \times 2 = 4 \) |
| 4. | 10 | 2 | 18 | \( |10 - 7| = 3 \) | \( 2 \times 3 = 6 \) |
| 5. | 12 | 2 | 20 | \( |12 - 7| = 5 \) | \( 2 \times 5 = 10 \) |
| 6. | 15 | 6 | 26 | \( |15 - 7| = 8 \) | \( 6 \times 8 = 48 \) |
| \( \sum f_i = 26 \) | \( \sum f_i|x_i - M| = 84 \) |
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum f_i|x_i - M| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(M) = \frac { 84 }{ 26 } \)
\( M.D.(M) \approx 3.23 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन लगभग 3.23 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपनी माध्यिका से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने संचयी आवृत्ति से माध्यिका 7 निकाली. फिर हर \( x_i \) से 7 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा करके सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन लगभग 3.23 आया.
🎯 Exam Tip: खंडित आवृत्ति वितरण के लिए माध्यिका की गणना करते समय, \( \frac{N}{2} \) से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति वाले पद को माध्यिका के रूप में लेते हैं।
Question 10. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 10 | 16 | 22 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Answer: माध्यिका (M) ज्ञात करने के लिए, हमें संचयी आवृत्ति (cumulative frequency) की आवश्यकता होती है।
कुल आवृत्ति \( N = \sum f_i \)। यहाँ \( N = 29 \)। चूँकि \( N \) एक विषम संख्या है, माध्यिका \( \left( \frac { N+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान होती है।
\( \frac { N+1 }{ 2 } = \frac { 29+1 }{ 2 } = \frac { 30 }{ 2 } = 15 \)
तो माध्यिका 15वें पद का मान होगी। संचयी आवृत्ति तालिका बनाने पर:
संचयी आवृत्ति 21 के लिए \( x_i \) का मान 25 है। 15वां पद संचयी आवृत्ति 21 में समाहित है, जिसका संगत \( x_i \) मान 25 है।
माध्यिका \( M = 25 \)।
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( cf \) | \( |x_i - M| = |x_i - 25| \) | \( f_i|x_i - M| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 10 | 3 | 3 | \( |10 - 25| = 15 \) | \( 3 \times 15 = 45 \) |
| 2. | 16 | 5 | 8 | \( |16 - 25| = 9 \) | \( 5 \times 9 = 45 \) |
| 3. | 22 | 6 | 14 | \( |22 - 25| = 3 \) | \( 6 \times 3 = 18 \) |
| 4. | 25 | 7 | 21 | \( |25 - 25| = 0 \) | \( 7 \times 0 = 0 \) |
| 5. | 30 | 8 | 29 | \( |30 - 25| = 5 \) | \( 8 \times 5 = 40 \) |
| \( \sum f_i = 29 \) | \( \sum f_i|x_i - M| = 148 \) |
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum f_i|x_i - M| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(M) = \frac { 148 }{ 29 } \)
\( M.D.(M) \approx 5.10 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन लगभग 5.10 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपनी माध्यिका से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने संचयी आवृत्ति से माध्यिका 25 निकाली. फिर हर \( x_i \) से 25 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा करके सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन लगभग 5.10 आया.
🎯 Exam Tip: माध्यिका की गणना के लिए संचयी आवृत्ति सारणी बनाना अनिवार्य है, जिससे आप \( N/2 \) या \( (N+1)/2 \) के संगत \( x_i \) मान को आसानी से पहचान सकें।
Question 11. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 2 | 4 | 6 | 3 | 2 | 1 |
Answer: बहुलक (Z) वह \( x_i \) मान होता है जिसकी आवृत्ति (\( f_i \)) सबसे अधिक होती है।
दी गई सारणी में, सबसे अधिक आवृत्ति 6 है, जो \( x_i = 5 \) के संगत है।
इसलिए, बहुलक \( Z = 5 \)।
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( N = \sum f_i = 2+4+6+3+2+1 = 18 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से बहुलक (5) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं, और फिर उसे संगत आवृत्ति \( f_i \) से गुणा करते हैं।
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 5| \) | \( f_i|x_i - Z| \) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | 3 | 2 | \( |3 - 5| = 2 \) | \( 2 \times 2 = 4 \) |
| 2. | 4 | 4 | \( |4 - 5| = 1 \) | \( 4 \times 1 = 4 \) |
| 3. | 5 | 6 | \( |5 - 5| = 0 \) | \( 6 \times 0 = 0 \) |
| 4. | 6 | 3 | \( |6 - 5| = 1 \) | \( 3 \times 1 = 3 \) |
| 5. | 7 | 2 | \( |7 - 5| = 2 \) | \( 2 \times 2 = 4 \) |
| 6. | 8 | 1 | \( |8 - 5| = 3 \) | \( 1 \times 3 = 3 \) |
| \( \sum f_i = 18 \) | \( \sum f_i|x_i - Z| = 18 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum f_i|x_i - Z| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 18 }{ 18 } \)
\( M.D.(Z) = 1 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 1 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपने बहुलक से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाले \( x_i \) मान (बहुलक) 5 को पहचाना. फिर हर \( x_i \) से 5 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - Z| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा करके सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 1 आया.
🎯 Exam Tip: बहुलक-आधारित माध्य विचलन की गणना करते समय, \( \sum f_i|x_i - Z| \) में \( Z \) के मान का सही उपयोग करें, जो कि सबसे अधिक बारम्बारता वाला मान है।
Question 12. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| \( x_i \) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( f_i \) | 2 | 8 | 16 | 26 | 20 | 16 | 7 | 5 |
Answer: बहुलक (Z) वह \( x_i \) मान होता है जिसकी आवृत्ति (\( f_i \)) सबसे अधिक होती है।
दी गई सारणी में, सबसे अधिक आवृत्ति 26 है, जो \( x_i = 40 \) के संगत है।
इसलिए, बहुलक \( Z = 40 \)।
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( N = \sum f_i = 2+8+16+26+20+16+7+5 = 100 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक प्रेक्षण \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक संख्या में से बहुलक (40) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं, और फिर उसे संगत आवृत्ति \( f_i \) से गुणा करते हैं।
| S.No. | \( x_i \) | \( f_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 40| \) | \( f_i|x_i - Z| \) |
|---|---|---|---|---|
| 1. | 10 | 2 | \( |10 - 40| = 30 \) | \( 2 \times 30 = 60 \) |
| 2. | 20 | 8 | \( |20 - 40| = 20 \) | \( 8 \times 20 = 160 \) |
| 3. | 30 | 16 | \( |30 - 40| = 10 \) | \( 16 \times 10 = 160 \) |
| 4. | 40 | 26 | \( |40 - 40| = 0 \) | \( 26 \times 0 = 0 \) |
| 5. | 50 | 20 | \( |50 - 40| = 10 \) | \( 20 \times 10 = 200 \) |
| 6. | 60 | 16 | \( |60 - 40| = 20 \) | \( 16 \times 20 = 320 \) |
| 7. | 70 | 7 | \( |70 - 40| = 30 \) | \( 7 \times 30 = 210 \) |
| 8. | 80 | 5 | \( |80 - 40| = 40 \) | \( 5 \times 40 = 200 \) |
| \( \sum f_i = 100 \) | \( \sum f_i|x_i - Z| = 1310 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum f_i|x_i - Z| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 1310 }{ 100 } \)
\( M.D.(Z) = 13.10 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 13.10 है। यह मान बताता है कि आँकड़े औसतन अपने बहुलक से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाले \( x_i \) मान (बहुलक) 40 को पहचाना. फिर हर \( x_i \) से 40 घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - Z| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा करके सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 13.10 आया.
🎯 Exam Tip: खंडित श्रेणी में, बहुलक हमेशा वह \( x_i \) मान होता है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है, न कि स्वयं आवृत्ति का मान।
Question 13. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए आँकड़ों के लिए, हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य \( \overline{x} \) और फिर माध्य विचलन ज्ञात करेंगे। मान लीजिए कल्पित माध्य \( a = 35 \) और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \)।
| S.No. | वर्ग | \( x_i \) | \( f_i \) | \( d_i = \frac{x_i - a}{h} \) | \( f_i d_i \) | \( |x_i - \overline{x}| \) | \( f_i|x_i - \overline{x}| \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 0-10 | 5 | 4 | -3 | -12 | \( |5 - 35.8| = 30.8 \) | \( 4 \times 30.8 = 123.2 \) |
| 2. | 10-20 | 15 | 8 | -2 | -16 | \( |15 - 35.8| = 20.8 \) | \( 8 \times 20.8 = 166.4 \) |
| 3. | 20-30 | 25 | 9 | -1 | -9 | \( |25 - 35.8| = 10.8 \) | \( 9 \times 10.8 = 97.2 \) |
| 4. | 30-40 | 35 | 10 | 0 | 0 | \( |35 - 35.8| = 0.8 \) | \( 10 \times 0.8 = 8.0 \) |
| 5. | 40-50 | 45 | 7 | 1 | 7 | \( |45 - 35.8| = 9.2 \) | \( 7 \times 9.2 = 64.4 \) |
| 6. | 50-60 | 55 | 5 | 2 | 10 | \( |55 - 35.8| = 19.2 \) | \( 5 \times 19.2 = 96 \) |
| 7. | 60-70 | 65 | 4 | 3 | 12 | \( |65 - 35.8| = 29.2 \) | \( 4 \times 29.2 = 116.8 \) |
| 8. | 70-80 | 75 | 3 | 4 | 12 | \( |75 - 35.8| = 39.2 \) | \( 3 \times 39.2 = 117.6 \) |
| \( \sum f_i = 50 \) | \( \sum f_i d_i = 4 \) | \( \sum f_i|x_i - \overline{x}| = 789.6 \) |
माध्य \( \overline{x} = a + \frac { \sum f_i d_i }{ \sum f_i } \times h \)
\( \overline{x} = 35 + \frac { 4 }{ 50 } \times 10 \)
\( \overline{x} = 35 + \frac { 40 }{ 50 } \)
\( \overline{x} = 35 + 0.8 = 35.8 \)
अब, माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum f_i|x_i - \overline{x}| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 789.6 }{ 50 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 15.792 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन 15.792 है। यह दर्शाता है कि आँकड़े औसतन अपने माध्य से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने कल्पित माध्य विधि से औसत (माध्य) 35.8 निकाला. फिर हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस माध्य को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - \overline{x}| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 15.792 आया.
🎯 Exam Tip: सतत श्रेणी में कल्पित माध्य विधि का उपयोग करने पर गणनाएँ आसान हो जाती हैं, लेकिन \( d_i \) की गणना और \( \overline{x} \) के सूत्र में \( h \) का गुणनफल सही ढंग से शामिल करना महत्वपूर्ण है।
Question 14. निम्न सारणी में लड़कों की ऊँचाई (सेमी. में) के आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| ऊँचाई (सेमी. में) | 95-105 | 105-115 | 115-125 | 125-135 | 135-145 | 145-155 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| लड़कों की संख्या | 9 | 13 | 26 | 30 | 12 | 10 |
Answer: दिए गए आँकड़ों के लिए, हम कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके माध्य \( \overline{x} \) और फिर माध्य विचलन ज्ञात करेंगे। मान लीजिए कल्पित माध्य \( a = 120 \) और वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \)।
| S.No. | ऊँचाई (सेमी. में) | लड़कों की संख्या \( (f_i) \) | मध्य-बिंदु \( (x_i) \) | \( d_i = \frac{x_i - 120}{10} \) | \( f_i d_i \) | \( |x_i - \overline{x}| \) | \( f_i|x_i - \overline{x}| \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 95-105 | 9 | 100 | -2 | -18 | \( |100 - 125.3| = 25.3 \) | \( 9 \times 25.3 = 227.7 \) |
| 2. | 105-115 | 13 | 110 | -1 | -13 | \( |110 - 125.3| = 15.3 \) | \( 13 \times 15.3 = 198.9 \) |
| 3. | 115-125 | 26 | 120 | 0 | 0 | \( |120 - 125.3| = 5.3 \) | \( 26 \times 5.3 = 137.8 \) |
| 4. | 125-135 | 30 | 130 | 1 | 30 | \( |130 - 125.3| = 4.7 \) | \( 30 \times 4.7 = 141.0 \) |
| 5. | 135-145 | 12 | 140 | 2 | 24 | \( |140 - 125.3| = 14.7 \) | \( 12 \times 14.7 = 176.4 \) |
| 6. | 145-155 | 10 | 150 | 3 | 30 | \( |150 - 125.3| = 24.7 \) | \( 10 \times 24.7 = 247.0 \) |
| \( N = \sum f_i = 100 \) | \( \sum f_i d_i = 53 \) | \( \sum f_i|x_i - \overline{x}| = 1128.8 \) |
माध्य \( \overline{x} = a + \frac { \sum f_i d_i }{ N } \times h \)
\( \overline{x} = 120 + \frac { 53 }{ 100 } \times 10 \)
\( \overline{x} = 120 + 5.3 = 125.3 \)
अब, माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(\overline{x}) = \frac { \sum f_i|x_i - \overline{x}| }{ N } \)
\( M.D.(\overline{x}) = \frac { 1128.8 }{ 100 } \)
\( M.D.(\overline{x}) = 11.288 \approx 11.29 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन लगभग 11.29 है। यह मान बताता है कि ऊँचाई के आँकड़े औसतन अपने माध्य से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने कल्पित माध्य विधि से औसत (माध्य) 125.3 निकाला. फिर हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस माध्य को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - \overline{x}| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन लगभग 11.29 आया.
🎯 Exam Tip: सतत श्रेणी में माध्य विचलन की गणना करते समय, हमेशा वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदुओं (\( x_i \)) का उपयोग करें, न कि वर्ग सीमाओं का।
Question 15. निम्न सारणी में दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
Answer: माध्यिका (M) ज्ञात करने के लिए, हमें संचयी आवृत्ति (cumulative frequency) की आवश्यकता होती है।
कुल आवृत्ति \( N = \sum f_i \)। यहाँ \( N = 25 \)। चूँकि \( N \) एक विषम संख्या है, माध्यिका \( \left( \frac { N+1 }{ 2 } \right)^{वें} \) पद का मान होती है।
\( \frac { N+1 }{ 2 } = \frac { 25+1 }{ 2 } = \frac { 26 }{ 2 } = 13 \)
तो माध्यिका 13वें पद का मान होगी। संचयी आवृत्ति तालिका बनाने पर:
| S.No. | प्राप्तांक (वर्ग) | \( x_i \) | \( f_i \) | \( cf \) | \( |x_i - M| \) | \( f_i|x_i - M| \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 10-20 | 15 | 3 | 3 | \( |15 - 37.86| = 22.86 \) | \( 3 \times 22.86 = 68.58 \) |
| 2. | 20-30 | 25 | 4 | 7 | \( |25 - 37.86| = 12.86 \) | \( 4 \times 12.86 = 51.44 \) |
| 3. | 30-40 | 35 | 7 | 14 | \( |35 - 37.86| = 2.86 \) | \( 7 \times 2.86 = 20.02 \) |
| 4. | 40-50 | 45 | 8 | 22 | \( |45 - 37.86| = 7.14 \) | \( 8 \times 7.14 = 57.12 \) |
| 5. | 50-60 | 55 | 2 | 24 | \( |55 - 37.86| = 17.14 \) | \( 2 \times 17.14 = 34.28 \) |
| 6. | 60-70 | 65 | 1 | 25 | \( |65 - 37.86| = 27.14 \) | \( 1 \times 27.14 = 27.14 \) |
| \( \sum f_i = 25 \) | \( \sum f_i|x_i - M| = 258.58 \) |
13वें पद से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति 14 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 30-40 है। यह माध्यिका वर्ग है।
माध्यिका वर्ग के लिए:
निम्न सीमा \( l = 30 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \)
माध्यिका वर्ग की आवृत्ति \( f = 7 \)
माध्यिका वर्ग से पहले वर्ग की संचयी आवृत्ति \( C = 7 \)
माध्यिका का सूत्र है: \( M = l + \left( \frac { N/2 - C }{ f } \right) \times h \)
\( M = 30 + \left( \frac { 12.5 - 7 }{ 7 } \right) \times 10 \)
\( M = 30 + \left( \frac { 5.5 }{ 7 } \right) \times 10 \)
\( M = 30 + 7.857 \)
\( M = 37.857 \approx 37.86 \)
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum f_i|x_i - M| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(M) = \frac { 258.58 }{ 25 } \)
\( M.D.(M) = 10.3432 \approx 10.34 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन लगभग 10.34 है। यह मान बताता है कि प्राप्तांक औसतन अपनी माध्यिका से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने माध्यिका वर्ग (30-40) पहचाना और माध्यिका का सूत्र लगाकर माध्यिका 37.86 निकाली. फिर हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस माध्यिका को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन लगभग 10.34 आया.
🎯 Exam Tip: सतत आवृत्ति वितरण में माध्यिका की गणना करते समय, माध्यिका वर्ग की सही पहचान करना और माध्यिका सूत्र में सभी मानों (l, N/2, C, f, h) को सही ढंग से रखना महत्वपूर्ण है।
Question 16. निम्न सारणी में आयु (वर्षों में) के आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| आयु | 16-20 | 21-25 | 26-30 | 31-35 | 36-40 | 41-45 | 46-50 | 51-55 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| संख्या | 5 | 6 | 12 | 14 | 26 | 12 | 16 | 9 |
Answer: दिए गए सतत वर्ग अंतराल (continuous class intervals) को पहले समावेशी से अपवर्जी में बदलते हैं ताकि माध्यिका की सही गणना हो सके। इसके लिए, ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ते हैं और निचली सीमा से 0.5 घटाते हैं।
जैसे, 16-20 becomes 15.5-20.5, 21-25 becomes 20.5-25.5, आदि।
कुल आवृत्ति \( N = \sum f_i = 5+6+12+14+26+12+16+9 = 100 \)।
\( \frac { N }{ 2 } = \frac { 100 }{ 2 } = 50 \)
माध्यिका 50वें पद का मान होगी। संचयी आवृत्ति तालिका बनाने पर:
| S.No. | वर्ग | मध्यमान \( x_i \) | \( f_i \) | \( cf \) | \( |x_i - M| \) | \( f_i|x_i - M| \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 15.5-20.5 | 18 | 5 | 5 | \( |18 - 38| = 20 \) | \( 5 \times 20 = 100 \) |
| 2. | 20.5-25.5 | 23 | 6 | 11 | \( |23 - 38| = 15 \) | \( 6 \times 15 = 90 \) |
| 3. | 25.5-30.5 | 28 | 12 | 23 | \( |28 - 38| = 10 \) | \( 12 \times 10 = 120 \) |
| 4. | 30.5-35.5 | 33 | 14 | 37 | \( |33 - 38| = 5 \) | \( 14 \times 5 = 70 \) |
| 5. | 35.5-40.5 | 38 | 26 | 63 | \( |38 - 38| = 0 \) | \( 26 \times 0 = 0 \) |
| 6. | 40.5-45.5 | 43 | 12 | 75 | \( |43 - 38| = 5 \) | \( 12 \times 5 = 60 \) |
| 7. | 45.5-50.5 | 48 | 16 | 91 | \( |48 - 38| = 10 \) | \( 16 \times 10 = 160 \) |
| 8. | 50.5-55.5 | 53 | 9 | 100 | \( |53 - 38| = 15 \) | \( 9 \times 15 = 135 \) |
| \( \sum f_i = 100 \) | \( \sum f_i|x_i - M| = 735 \) |
50वें पद से ठीक बड़ी संचयी आवृत्ति 63 है, जिसका संगत वर्ग अंतराल 35.5-40.5 है। यह माध्यिका वर्ग है।
माध्यिका वर्ग के लिए:
निम्न सीमा \( l = 35.5 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 5 \) (जैसे, 20.5 - 15.5 = 5)
माध्यिका वर्ग की आवृत्ति \( f = 26 \)
माध्यिका वर्ग से पहले वर्ग की संचयी आवृत्ति \( C = 37 \)
माध्यिका का सूत्र है: \( M = l + \left( \frac { N/2 - C }{ f } \right) \times h \)
\( M = 35.5 + \left( \frac { 50 - 37 }{ 26 } \right) \times 5 \)
\( M = 35.5 + \left( \frac { 13 }{ 26 } \right) \times 5 \)
\( M = 35.5 + 0.5 \times 5 \)
\( M = 35.5 + 2.5 = 38 \)
माध्यिका से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(M) = \frac { \sum f_i|x_i - M| }{ \sum f_i } \)
\( M.D.(M) = \frac { 735 }{ 100 } \)
\( M.D.(M) = 7.35 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 7.35 है। यह मान बताता है कि आयु के आँकड़े औसतन अपनी माध्यिका से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: पहले हमने वर्ग अंतरालों को अपवर्जी बनाया. फिर माध्यिका वर्ग (35.5-40.5) पहचानकर माध्यिका 38 निकाली. हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस माध्यिका को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - M| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 7.35 आया.
🎯 Exam Tip: जब वर्ग अंतराल समावेशी हों (जैसे 16-20, 21-25), तो माध्यिका ज्ञात करने से पहले उन्हें अपवर्जी (जैसे 15.5-20.5, 20.5-25.5) में बदलना अनिवार्य है।
Question 17. निम्न सारणी में प्राप्तांकों के आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
|---|---|---|---|---|---|
| संख्या | 8 | 24 | 42 | 20 | 6 |
Answer: बहुलक (Z) ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे अधिक आवृत्ति वाले वर्ग अंतराल की पहचान करनी होगी, जिसे बहुलक वर्ग कहते हैं।
दी गई सारणी में, सबसे अधिक आवृत्ति 42 है, जो वर्ग अंतराल 40-50 के संगत है। इसलिए, बहुलक वर्ग 40-50 है।
बहुलक वर्ग के लिए:
निम्न सीमा \( l = 40 \)
बहुलक वर्ग की आवृत्ति \( f_0 = 42 \)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की आवृत्ति \( f_1 = 24 \)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति \( f_2 = 20 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \)
बहुलक का सूत्र है: \( Z = l + \left( \frac { f_0 - f_1 }{ 2f_0 - f_1 - f_2 } \right) \times h \)
\( Z = 40 + \left( \frac { 42 - 24 }{ 2(42) - 24 - 20 } \right) \times 10 \)
\( Z = 40 + \left( \frac { 18 }{ 84 - 44 } \right) \times 10 \)
\( Z = 40 + \left( \frac { 18 }{ 40 } \right) \times 10 \)
\( Z = 40 + 0.45 \times 10 \)
\( Z = 40 + 4.5 = 44.5 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( N = \sum f_i = 8+24+42+20+6 = 100 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक मध्य-बिंदु में से बहुलक (44.5) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं, और फिर उसे संगत आवृत्ति \( f_i \) से गुणा करते हैं।
| S.No. | वर्ग | मध्यमान \( x_i \) | \( f_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 44.5| \) | \( f_i|x_i - Z| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 20-30 | 25 | 8 | \( |25 - 44.5| = 19.5 \) | \( 8 \times 19.5 = 156 \) |
| 2. | 30-40 | 35 | 24 | \( |35 - 44.5| = 9.5 \) | \( 24 \times 9.5 = 228 \) |
| 3. | 40-50 | 45 | 42 | \( |45 - 44.5| = 0.5 \) | \( 42 \times 0.5 = 21 \) |
| 4. | 50-60 | 55 | 20 | \( |55 - 44.5| = 10.5 \) | \( 20 \times 10.5 = 210 \) |
| 5. | 60-70 | 65 | 6 | \( |65 - 44.5| = 20.5 \) | \( 6 \times 20.5 = 123 \) |
| \( N = 100 \) | \( \sum f_i|x_i - Z| = 738 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum f_i|x_i - Z| }{ N } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 738 }{ 100 } \)
\( M.D.(Z) = 7.38 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 7.38 है। यह मान बताता है कि प्राप्तांक औसतन अपने बहुलक से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाले वर्ग से बहुलक 44.5 निकाला. फिर हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस बहुलक को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - Z| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 7.38 आया.
🎯 Exam Tip: बहुलक की गणना करते समय, \( f_0 \), \( f_1 \), और \( f_2 \) की सही पहचान करना महत्वपूर्ण है, जहाँ \( f_0 \) बहुलक वर्ग की आवृत्ति है और \( f_1, f_2 \) उसके ठीक पहले और बाद के वर्गों की आवृत्तियाँ हैं।
Question 18. निम्न सारणी में ऊँचाई (इंच में) के आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।
| ऊँचाई (इंच में) | 52-55 | 55-58 | 58-61 | 61-64 |
|---|---|---|---|---|
| छात्र संख्या | 10 | 20 | 35 | 10 |
Answer: बहुलक (Z) ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे अधिक आवृत्ति वाले वर्ग अंतराल की पहचान करनी होगी, जिसे बहुलक वर्ग कहते हैं।
दी गई सारणी में, सबसे अधिक आवृत्ति 35 है, जो वर्ग अंतराल 58-61 के संगत है। इसलिए, बहुलक वर्ग 58-61 है।
बहुलक वर्ग के लिए:
निम्न सीमा \( l = 58 \)
बहुलक वर्ग की आवृत्ति \( f_0 = 35 \)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की आवृत्ति \( f_1 = 20 \)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद वाले वर्ग की आवृत्ति \( f_2 = 10 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 3 \) (जैसे, 55-52 = 3 या 58-55 = 3)
बहुलक का सूत्र है: \( Z = l + \left( \frac { f_0 - f_1 }{ 2f_0 - f_1 - f_2 } \right) \times h \)
\( Z = 58 + \left( \frac { 35 - 20 }{ 2(35) - 20 - 10 } \right) \times 3 \)
\( Z = 58 + \left( \frac { 15 }{ 70 - 30 } \right) \times 3 \)
\( Z = 58 + \left( \frac { 15 }{ 40 } \right) \times 3 \)
\( Z = 58 + 0.375 \times 3 \)
\( Z = 58 + 1.125 = 59.125 \)
प्रेक्षणों की कुल संख्या \( N = \sum f_i = 10+20+35+10 = 75 \)।
अब, हम बहुलक के सापेक्ष प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदु \( x_i \) का विचलन \( |x_i - Z| \) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, प्रत्येक मध्य-बिंदु में से बहुलक (59.125) घटाकर उसका निरपेक्ष मान लेते हैं, और फिर उसे संगत आवृत्ति \( f_i \) से गुणा करते हैं।
| S.No. | वर्ग | मध्यमान \( x_i \) | \( f_i \) | \( |x_i - Z| = |x_i - 59.125| \) | \( f_i|x_i - Z| \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | 52-55 | 53.5 | 10 | \( |53.5 - 59.125| = 5.625 \) | \( 10 \times 5.625 = 56.25 \) |
| 2. | 55-58 | 56.5 | 20 | \( |56.5 - 59.125| = 2.625 \) | \( 20 \times 2.625 = 52.5 \) |
| 3. | 58-61 | 59.5 | 35 | \( |59.5 - 59.125| = 0.375 \) | \( 35 \times 0.375 = 13.125 \) |
| 4. | 61-64 | 62.5 | 10 | \( |62.5 - 59.125| = 3.375 \) | \( 10 \times 3.375 = 33.75 \) |
| \( N = 75 \) | \( \sum f_i|x_i - Z| = 155.625 \) |
बहुलक से माध्य विचलन का सूत्र है: \( M.D.(Z) = \frac { \sum f_i|x_i - Z| }{ N } \)
\( M.D.(Z) = \frac { 155.625 }{ 75 } \)
\( M.D.(Z) = 2.075 \)
इस प्रकार, दिए गए आँकड़ों के लिए बहुलक के सापेक्ष माध्य विचलन 2.075 है। यह मान बताता है कि ऊँचाई के आँकड़े औसतन अपने बहुलक से कितनी दूरी पर हैं।
In simple words: हमने सबसे ज़्यादा आवृत्ति वाले वर्ग से बहुलक 59.125 निकाला. फिर हर वर्ग के मध्य-बिंदु से इस बहुलक को घटाकर उसका निरपेक्ष मान \( |x_i - Z| \) लिया. इसे \( f_i \) से गुणा किया, सभी का जोड़ किया और कुल \( f_i \) से भाग दिया, तो माध्य विचलन 2.075 आया.
🎯 Exam Tip: बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) के लिए, यदि वर्ग अंतराल समावेशी हैं, तो उन्हें पहले अपवर्जी वर्ग अंतरालों में बदलना सुनिश्चित करें।
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