RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 13 प्रकीर्णन के माप More Questions

 

प्रश्न 1. पाँच छात्रों के गणित में प्राप्तांक 20, 25, 15, 35 और 30 हैं तो इसका परास होगा
(A) 15
(B) 20
(C) 25
(D) 30
Answer: (B) 20
In simple words: परास निकालने के लिए, दिए गए आँकड़ों में से सबसे बड़े मान में से सबसे छोटे मान को घटाया जाता है। यहाँ, सबसे बड़ा प्राप्तांक 35 है और सबसे छोटा प्राप्तांक 15 है।

🎯 Exam Tip: परास का मान हमेशा धनात्मक होता है और यह आँकड़ों के फैलाव का एक सरल माप है।

 

प्रश्न 2. अन्तर चतुर्थक परास का सूत्र है
(A) \( Q_3 + Q_1 \)
(B) \( Q_3 - Q_1 \)
(C) \( Q_3 - Q_2 \)
Answer: (B) \( Q_3 - Q_1 \)
In simple words: अन्तर चतुर्थक परास, तीसरे चतुर्थक (Q3) में से पहले चतुर्थक (Q1) को घटाकर निकाला जाता है। यह मान आँकड़ों के बीच के 50% हिस्से का फैलाव बताता है।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि Q2 माध्यिका (median) को दर्शाता है, और यह अन्तर चतुर्थक परास के सूत्र में उपयोग नहीं होता है।

 

प्रश्न 4. चर श्रेणी 10, 20, 30, 40, 50, 60 का पैरास गुणांक है
(A) 3/2
(B) 5/6
(C) 7/5
(D) 5/7
Answer: (D) 5/7
In simple words: परास गुणांक ज्ञात करने के लिए, सबसे बड़े मान (L) और सबसे छोटे मान (S) का उपयोग किया जाता है। इसका सूत्र \( \frac{L-S}{L+S} \) है। इस श्रेणी में सबसे बड़ा मान 60 है और सबसे छोटा मान 10 है।

🎯 Exam Tip: परास गुणांक हमेशा -1 और +1 के बीच होता है, और यह परास का एक सापेक्ष माप है, जिससे विभिन्न डेटा सेटों की तुलना करना आसान होता है।

 

प्रश्न 5. माध्य विचलन सबसे कम होता है
(A) माध्य से
(B) माध्यिका से
(C) बहुलक से
(D) मूल बिन्दु से
Answer: (B) माध्यिका से
In simple words: किसी भी आँकड़ों के समूह के लिए, माध्य विचलन हमेशा माध्यिका (median) से लेने पर सबसे कम आता है। यह एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय गुण है।

🎯 Exam Tip: माध्य विचलन (Mean Deviation) की गणना किसी भी केंद्रीय प्रवृत्ति माप से की जा सकती है, लेकिन माध्यिका से इसका मान न्यूनतम होता है।

 

प्रश्न 6. चार विद्यार्थियों के प्राप्तांक 25, 35, 45 व 55 हैं, इनका माध्य विचलन है
(A) 10
(B) 1
(C) 0
(D) 40
Answer: (A) 10
In simple words: माध्य विचलन निकालने के लिए, पहले सभी प्राप्तांकों का माध्य (औसत) ज्ञात करते हैं। फिर, प्रत्येक प्राप्तांक और माध्य के अंतर का निरपेक्ष मान (absolute value) निकालकर उनका औसत निकालते हैं।
Answer:
दिए गए प्राप्तांक हैं: 25, 35, 45, 55
संख्याओं की कुल संख्या \( n = 4 \)
माध्य \( \overline{x} = \frac{25+35+45+55}{4} = \frac{160}{4} = 40 \)
माध्य से विचलनों का निरपेक्ष मान:
\( |25 - 40| = |-15| = 15 \)
\( |35 - 40| = |-5| = 5 \)
\( |45 - 40| = |5| = 5 \)
\( |55 - 40| = |15| = 15 \)
विचलनों के निरपेक्ष मानों का योग \( = 15 + 5 + 5 + 15 = 40 \)
माध्य विचलन \( = \frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{n} = \frac{40}{4} = 10 \)
In simple words: सभी प्राप्तांकों का औसत 40 है। प्रत्येक प्राप्तांक 25, 35, 45 और 55 की औसत 40 से दूरी का औसत 10 है। माध्य विचलन यह बताता है कि डेटा बिंदु माध्य से औसतन कितनी दूर हैं।

🎯 Exam Tip: माध्य विचलन हमेशा प्रत्येक डेटा बिंदु के माध्य से निरपेक्ष अंतरों का औसत होता है।

 

प्रश्न 8. किसी चर श्रेणी का माध्ये \( \overline{x} = 773 \) तथा माध्य विचलन 64.4 है, तो उसका माध्य विचलन गुणांक है
(A) 0.065
(B) 12.003
(C) 0.083
(D) 0.073
Answer: (C) 0.083
In simple words: माध्य विचलन गुणांक निकालने के लिए माध्य विचलन को माध्य से भाग दिया जाता है। यह मान हमें बताता है कि डेटा माध्य से कितना फैला हुआ है, लेकिन सापेक्ष रूप से।
Answer:
माध्य \( \overline{x} = 773 \)
माध्य विचलन \( MD = 64.4 \)
माध्य विचलन गुणांक \( = \frac{MD}{\overline{x}} = \frac{64.4}{773} \approx 0.0833 \)
निकटतम मान 0.083 है।
In simple words: हमें माध्य विचलन और माध्य दिए गए हैं, तो हम उन्हें भाग करके माध्य विचलन गुणांक पाते हैं। यह गुणांक बताता है कि डेटा औसत से कितना फैला हुआ है।

🎯 Exam Tip: गुणांक हमेशा एक इकाई-मुक्त माप होता है, जिसका अर्थ है कि इसे विभिन्न डेटा सेटों की तुलना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

 

प्रश्न 9. आँकड़ों 6, 10, 4, 7, 4, 5 का मानक विचलन है
(A) \( \sqrt{13}/3 \)
(B) 13/3
(C) \( \sqrt{26} \)
(D) \( \sqrt{26}/6 \)
Answer: (A) \( \sqrt{13}/3 \)
In simple words: मानक विचलन यह बताता है कि डेटा के बिंदु औसत से औसतन कितने दूर हैं। यह विचरण का वर्गमूल होता है।
Answer:
दिए गए आँकड़े हैं: 6, 10, 4, 7, 4, 5
आँकड़ों की कुल संख्या \( n = 6 \)
सबसे पहले माध्य (\( \overline{x} \)) ज्ञात करें:
\( \overline{x} = \frac{6+10+4+7+4+5}{6} = \frac{36}{6} = 6 \)
अब प्रत्येक मान के माध्य से वर्ग विचलन ज्ञात करें:
\( (6-6)^2 = 0^2 = 0 \)
\( (10-6)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (4-6)^2 = (-2)^2 = 4 \)
\( (7-6)^2 = 1^2 = 1 \)
\( (4-6)^2 = (-2)^2 = 4 \)
\( (5-6)^2 = (-1)^2 = 1 \)
वर्ग विचलनों का योग \( \sum (x_i - \overline{x})^2 = 0 + 16 + 4 + 1 + 4 + 1 = 26 \)
प्रसरण \( \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{n} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \)
मानक विचलन \( \sigma = \sqrt{\frac{13}{3}} \)
विकल्प (A) में \( \sqrt{13}/3 \) लिखा है। यदि \( \sqrt{13}/3 \) का अर्थ \( \sqrt{13/3} \) है तो यह मान हमारे परिकलन से मेल खाता है।
In simple words: पहले सभी संख्याओं का औसत (माध्य) निकालें। फिर, हर संख्या का औसत से कितना अंतर है, उसका वर्ग करें और इन वर्गों को जोड़ें। इस योग को संख्याओं की कुल संख्या से भाग दें, यह विचरण है। अंत में, विचरण का वर्गमूल मानक विचलन होता है।

🎯 Exam Tip: मानक विचलन निकालते समय, गणना में सटीकता के लिए वर्गमूल का सही उपयोग करें।

 

प्रश्न 10. एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांकों का मानक विचलन 1.4 है तो बंटन का प्रसरण होगा
(A) 1.2
(B) 0.38
(C) 1.96
(D) 1.4
Answer: (C) 1.96
In simple words: प्रसरण (variance) हमेशा मानक विचलन (standard deviation) का वर्ग होता है। यदि आपको मानक विचलन दिया गया है, तो बस उसका वर्ग करके प्रसरण ज्ञात कर सकते हैं।
Answer:
दिया गया मानक विचलन \( \sigma = 1.4 \)
प्रसरण \( \sigma^2 = (\text{मानक विचलन})^2 = (1.4)^2 = 1.96 \)
In simple words: मानक विचलन 1.4 है, तो इसका वर्ग 1.96 होगा, जो बंटन का प्रसरण है। प्रसरण डेटा के फैलाव को मापता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि प्रसरण मानक विचलन का वर्ग होता है और इसके विपरीत, मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है।

 

प्रश्न 12. एक श्रेणी का विचरण गुणांक 30% है तथा मानक विचलन 15 है, तो उसका माध्य है
(A) 0.5
(B) 5
(C) 2
(D) 50
Answer: (D) 50
In simple words: विचरण गुणांक हमें यह बताता है कि मानक विचलन माध्य का कितना प्रतिशत है। इस सूत्र का उपयोग करके हम माध्य ज्ञात कर सकते हैं।
Answer:
विचरण गुणांक \( (CV) = 30\% \)
मानक विचलन \( (\sigma) = 15 \)
विचरण गुणांक का सूत्र है: \( CV = \frac{\sigma}{\overline{x}} \times 100\% \)
जहाँ \( \overline{x} \) माध्य है।
\( 30 = \frac{15}{\overline{x}} \times 100 \)
\( 30 \times \overline{x} = 15 \times 100 \)
\( 30 \times \overline{x} = 1500 \)
\( \overline{x} = \frac{1500}{30} = 50 \)
In simple words: विचरण गुणांक, मानक विचलन और माध्य एक-दूसरे से संबंधित होते हैं। हमें विचरण गुणांक और मानक विचलन पता होने पर, हम माध्य का मान 50 प्राप्त करते हैं।

🎯 Exam Tip: विचरण गुणांक एक महत्वपूर्ण सापेक्ष माप है जो विभिन्न इकाइयों वाले डेटासेट की तुलना करने में मदद करता है।

 

प्रश्न 13. किसी श्रेणी में \( \sum x^2 = 100 \), \( n = 5 \) तथा \( \sum x = 20 \) हो, तो मानक विचलन है
(A) 16
(B) 2
(C) 4
(D) 8
Answer: (B) 2
In simple words: मानक विचलन यह मापता है कि डेटा बिंदु औसत से कितना फैला हुआ है। इसे ज्ञात करने के लिए हमें पहले माध्य और फिर विचरण निकालना होता है।
Answer:
दिया गया है:
\( \sum x^2 = 100 \)
\( n = 5 \)
\( \sum x = 20 \)
सबसे पहले माध्य \( (\overline{x}) \) ज्ञात करें:
\( \overline{x} = \frac{\sum x}{n} = \frac{20}{5} = 4 \)
अब प्रसरण \( (\sigma^2) \) ज्ञात करें:
\( \sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\overline{x})^2 \)
\( \sigma^2 = \frac{100}{5} - (4)^2 \)
\( \sigma^2 = 20 - 16 \)
\( \sigma^2 = 4 \)
मानक विचलन \( (\sigma) = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{4} = 2 \)
In simple words: हमें डेटा का योग, वर्गों का योग और कुल संख्या दी गई है। इन मानों का उपयोग करके, हम माध्य और फिर प्रसरण ज्ञात करते हैं। प्रसरण का वर्गमूल लेकर हमें मानक विचलन 2 प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: मानक विचलन की गणना के लिए इस सूत्र को याद रखें: \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2} \)।

 

प्रश्न 14. एक नगर में सात दिनों का तापक्रम 18, 12, 6, -7, -12, 5, -4 सेन्टीग्रेड में दिया गया है तो परास मान सेन्टीग्रेड में होगा
(A) 6
(B) 30
(C) 22
(D) 14
Answer: (B) 30
In simple words: परास (range) ज्ञात करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों में सबसे बड़े मान और सबसे छोटे मान के बीच का अंतर निकालना होता है। सबसे बड़ा मान 18 है और सबसे छोटा मान -12 है।
Answer:
दिए गए तापक्रम हैं: 18, 12, 6, -7, -12, 5, -4
इन तापक्रमों में सबसे अधिकतम मान \( (L) = 18^\circ C \)
इन तापक्रमों में सबसे न्यूनतम मान \( (S) = -12^\circ C \)
परास \( = L - S = 18 - (-12) = 18 + 12 = 30^\circ C \)
In simple words: शहर के तापमान का सबसे ऊंचा माप 18 डिग्री है, और सबसे नीचा माप -12 डिग्री है। इन दोनों के बीच का अंतर 30 डिग्री है, जो परास है।

🎯 Exam Tip: परास की गणना करते समय ऋणात्मक मानों को घटाने का ध्यान रखें, क्योंकि यह योग में बदल जाता है।

 

प्रश्न 16. माध्य से लिए विचलनों का बीजगणितीय योग होता है
(A) ऋणात्मक
(B) धनात्मक
(C) प्रत्येक में अलग-अलग
(D) शून्य
Answer: (D) शून्य
In simple words: किसी भी डेटा सेट में, जब आप प्रत्येक डेटा बिंदु को उसके माध्य से घटाते हैं और फिर उन सभी अंतरों को जोड़ते हैं, तो परिणाम हमेशा शून्य आता है। यह माध्य का एक मूलभूत गुण है।

🎯 Exam Tip: यह माध्य का एक महत्वपूर्ण गुण है; यदि विचलनों का योग शून्य नहीं आता है, तो इसका मतलब है कि माध्य की गणना गलत हुई है।

 

प्रश्न 17. यदि \( \overline{x} = 6 \), \( \sum x = 60 \) तथा \( \sum x^2 = 1000 \) हो, तो \( \sigma_x \) का मान है
(A) 6
(B) 8
(C) 64
(D) 10
Answer: (B) 8
In simple words: मानक विचलन डेटा के फैलाव का एक माप है। इसे ज्ञात करने के लिए पहले हमें डेटा की कुल संख्या (n) और प्रसरण (\( \sigma^2 \)) की गणना करनी होती है।
Answer:
दिया गया है:
माध्य \( \overline{x} = 6 \)
\( \sum x = 60 \)
\( \sum x^2 = 1000 \)
सबसे पहले, हम कुल पदों की संख्या \( (n) \) ज्ञात करते हैं:
\( \overline{x} = \frac{\sum x}{n} \)
\( 6 = \frac{60}{n} \)
\( n = \frac{60}{6} = 10 \)
अब, हम प्रसरण \( (\sigma^2) \) ज्ञात करते हैं:
\( \sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\overline{x})^2 \)
\( \sigma^2 = \frac{1000}{10} - (6)^2 \)
\( \sigma^2 = 100 - 36 \)
\( \sigma^2 = 64 \)
मानक विचलन \( (\sigma_x) = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{64} = 8 \)
In simple words: हमें माध्य, डेटा का योग और वर्गों का योग दिया गया है। पहले, डेटा की कुल संख्या (n) निकालते हैं। फिर, प्रसरण का मान निकालते हैं जो 64 आता है। अंत में, प्रसरण का वर्गमूल लेने पर मानक विचलन 8 मिलता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, प्रत्येक चरण (n, माध्य, प्रसरण, मानक विचलन) की जांच करें।

 

प्रश्न 18. परास गुणांक परिभाषित किया जा सकता है
(A) \( \frac{H-L}{2} \)
(B) \( \frac{H+L}{2} \)
(C) \( \frac{H-L}{H+L} \)
(D) \( \frac{H+L}{H-L} \)
Answer: (C) \( \frac{H-L}{H+L} \)
In simple words: परास गुणांक एक सापेक्ष माप है जो किसी डेटा सेट के अधिकतम (H) और न्यूनतम (L) मानों का उपयोग करके उसके फैलाव को दर्शाता है। यह अलग-अलग डेटा सेटों की तुलना करने में सहायक होता है।

🎯 Exam Tip: परास गुणांक का उपयोग तब किया जाता है जब आप विभिन्न डेटा सेटों में फैलाव की तुलना करना चाहते हैं, क्योंकि यह निरपेक्ष मानों के बजाय सापेक्ष मानों पर आधारित होता है।

 

मानक विचलन \( (\sigma) \)

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2} \]

 

प्रश्न 21. किसी बंटन का मानक विचलन 20.5 तथा समान्तर माध्य 60 हो, तो उसका मानक विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
मानक विचलन \( (\sigma) = 20.5 \)
समान्तर माध्य \( (\overline{x}) = 60 \)
मानक विचलन गुणांक का सूत्र है:
मानक विचलन गुणांक \( = \frac{\text{मानक विचलन}}{\text{समान्तर माध्य}} \)
मानक विचलन गुणांक \( = \frac{20.5}{60} \)
मानक विचलन गुणांक \( \approx 0.34166 \)
इसे 0.34 तक पूर्णांकित किया जा सकता है।
In simple words: मानक विचलन गुणांक ज्ञात करने के लिए, मानक विचलन को माध्य से भाग दिया जाता है। यह मान हमें बताता है कि मानक विचलन माध्य का कितना गुना है, जिससे डेटा के फैलाव को समझने में मदद मिलती है।

🎯 Exam Tip: मानक विचलन गुणांक हमेशा एक इकाई-मुक्त मान होता है, इसलिए इसे विभिन्न इकाइयों वाले डेटा सेटों की तुलना के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

 

प्रश्न 22. निम्न बारम्बारता बंटन के अन्तरचतुर्थक परास, अन्तरचतुर्थक परास गुणांक, चतुर्थक विचलन एवं चतुर्थक विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए।

Answer:
दिए गए आँकड़े 'से अधिक' प्रकार के संचयी बारंबारता बंटन हैं। हमें इसे सामान्य बारंबारता बंटन में बदलना होगा।

अन्तर चतुर्थक परास की गणना:
\( Q_3 \) का पद \( = \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 150}{4} = 112.5 \)
यह पद संचयी बारंबारता 120 (वर्ग 60-75) में आता है।
\( Q_3 = L + \frac{\frac{3N}{4} - F}{f} \times h \)
जहाँ \( L = 60 \), \( F = 80 \), \( f = 40 \), \( h = 15 \)
\( Q_3 = 60 + \frac{112.5 - 80}{40} \times 15 = 60 + \frac{32.5}{40} \times 15 = 60 + 0.8125 \times 15 = 60 + 12.1875 = 72.1875 \)

\( Q_1 \) का पद \( = \frac{N}{4} = \frac{150}{4} = 37.5 \)
यह पद संचयी बारंबारता 50 (वर्ग 15-30) में आता है।
\( Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - F}{f} \times h \)
जहाँ \( L = 15 \), \( F = 10 \), \( f = 40 \), \( h = 15 \)
\( Q_1 = 15 + \frac{37.5 - 10}{40} \times 15 = 15 + \frac{27.5}{40} \times 15 = 15 + 0.6875 \times 15 = 15 + 10.3125 = 25.3125 \)

अन्तर चतुर्थक परास:
अन्तर चतुर्थक परास \( = Q_3 - Q_1 = 72.1875 - 25.3125 = 46.875 \)

चतुर्थक विचलन:
चतुर्थक विचलन \( (QD) = \frac{Q_3 - Q_1}{2} = \frac{46.875}{2} = 23.4375 \)

अन्तर चतुर्थक परास गुणांक (या चतुर्थक विचलन गुणांक):
अन्तर चतुर्थक परास गुणांक \( = \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1} = \frac{46.875}{72.1875 + 25.3125} = \frac{46.875}{97.5} \approx 0.480769 \)
इसे 0.48 तक पूर्णांकित किया जा सकता है।
In simple words: हमने पहले 'से अधिक' संचयी बारंबारता को सामान्य बारंबारता में बदला। फिर, Q1 और Q3 की गणना की। इन मूल्यों का उपयोग करके, हमने अन्तर चतुर्थक परास, चतुर्थक विचलन और उनके गुणांक ज्ञात किए। ये सभी मान डेटा के फैलाव को दर्शाते हैं।

🎯 Exam Tip: grouped data (समूहीकृत आँकड़े) के लिए चतुर्थक ज्ञात करते समय `N/4` और `3N/4` पदों का उपयोग करना सुनिश्चित करें, न कि `(N+1)/4`।

 

प्रश्न 24. निम्न आँकड़ों से माध्य विचलन ज्ञात कीजिए तथा इसका गुणांक निकालिए।

Answer:
दिए गए आँकड़ों से माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए, हमें पहले माध्यिका (Median, Z) ज्ञात करनी होगी।
कुल बारंबारता \( N = \sum f_i = 48 \)
माध्यिका पद \( = \frac{N+1}{2} = \frac{48+1}{2} = 24.5 \)वाँ पद
संचयी बारंबारता (cf) ज्ञात करें:
\( x_i \): 6, cf: 3
\( x_i \): 7, cf: \( 3+6=9 \)
\( x_i \): 8, cf: \( 9+9=18 \)
\( x_i \): 9, cf: \( 18+13=31 \)
24.5वाँ पद 31 की संचयी बारंबारता वाले वर्ग में आता है, जिसका \( x_i \) मान 9 है। अतः माध्यिका \( Z = 9 \)।
माध्यिका से माध्य विचलन \( (M.D.(Z)) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - Z| \)
\( M.D.(Z) = \frac{1}{48} \times 60 = \frac{60}{48} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
माध्य विचलन गुणांक \( = \frac{\text{माध्य विचलन}}{\text{माध्यिका}} = \frac{1.25}{9} \approx 0.1388 \)
इसे 0.139 तक पूर्णांकित किया जा सकता है।
In simple words: इस सवाल में, हमने पहले माध्यिका (Z) ज्ञात की, जो 9 थी। फिर, हमने माध्यिका से हर बिंदु के अंतर का औसत निकाला, जिसे माध्य विचलन कहते हैं, जो 1.25 आया। अंत में, माध्य विचलन गुणांक निकालने के लिए माध्य विचलन को माध्यिका से भाग दिया।

🎯 Exam Tip: खंडित श्रेणी में माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए, पहले माध्यिका की सही गणना करें, और फिर निरपेक्ष विचलनों के योग को कुल बारंबारता से भाग दें।

 

प्रश्न 25. निम्न आँकड़ों से प्रसरण ज्ञात कीजिए

Answer:
माना कल्पित माध्य \( (a) = 53 \), जो वर्ग 50-56 का मध्य बिंदु है। वर्ग अंतराल \( (h) = 6 \)।

प्रसरण \( (\sigma^2) = h^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2 \right] \)
\( = 6^2 \left[ \frac{88}{44} - \left(\frac{-12}{44}\right)^2 \right] \)
\( = 36 \left[ 2 - (-0.2727)^2 \right] \)
\( = 36 \left[ 2 - 0.07838 \right] \)
\( = 36 \times 1.92162 \)
\( = 69.17832 \)
In simple words: प्रसरण ज्ञात करने के लिए, हमने पहले कल्पित माध्य विधि का उपयोग करके डेटा को सारणीबद्ध किया। फिर, हमने सूत्र में आवश्यक मानों जैसे \( \sum f_i u_i \) और \( \sum f_i u_i^2 \) की गणना की। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्रसरण 69.17832 प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा के लिए प्रसरण ज्ञात करते समय, वर्ग मध्यमान, कल्पित माध्य, वर्ग अंतराल और विचलन \( u_i \) की सही गणना करना महत्वपूर्ण है।