RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.6

Question 1. सिद्ध कीजिए कि रेखा \( y=x+\sqrt {\frac {5}{6}} \) दीर्घवृत्त \( 2x^2 + 3y^2 = 1 \) को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा है: \( y=x+\sqrt {\frac {5}{6}} \)
इसकी तुलना \( y=mx+c \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( m=1 \)
\( c=\sqrt {\frac {5}{6}} \)
अतः \( c^2 = \left(\sqrt {\frac {5}{6}}\right)^2 = \frac {5}{6} \)

दीर्घवृत्त का समीकरण है: \( 2x^2 + 3y^2 = 1 \)
इसे मानक रूप \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) में बदलने पर:
\( \frac{2x^2}{1} + \frac{3y^2}{1} = 1 \)
\( \frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} = 1 \)
यहां, \( a^2 = \frac{1}{2} \) और \( b^2 = \frac{1}{3} \)

रेखा के दीर्घवृत्त को स्पर्श करने का प्रतिबंध है:
\( c^2 = a^2m^2 + b^2 \)
दायां पक्ष (RHS) ज्ञात करते हैं:
\( a^2m^2 + b^2 = \left(\frac{1}{2}\right)(1)^2 + \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
\( \implies \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
चूंकि बायां पक्ष \( c^2 = \frac{5}{6} \) और दायां पक्ष \( a^2m^2 + b^2 = \frac{5}{6} \) बराबर हैं, इसलिए रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है।

स्पर्श बिन्दुओं के निर्देशांक का सूत्र है: \( \left(\mp \frac{a^2m}{\sqrt{a^2m^2+b^2}}, \pm \frac{b^2}{\sqrt{a^2m^2+b^2}}\right) \)
यहां, \( a^2 = \frac{1}{2}, b^2 = \frac{1}{3}, m = 1 \) और \( \sqrt{a^2m^2+b^2} = \sqrt{\frac{5}{6}} \)
x-निर्देशांक:
\( \mp \frac{\frac{1}{2} \times 1}{\sqrt{\frac{5}{6}}} = \mp \frac{1}{2} \sqrt{\frac{6}{5}} = \mp \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{5}} = \mp \sqrt{\frac{6}{20}} = \mp \sqrt{\frac{3}{10}} \)
y-निर्देशांक:
\( \pm \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{5}{6}}} = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{6}{5}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{5}} = \pm \sqrt{\frac{6}{45}} = \pm \sqrt{\frac{2}{15}} \)
अतः स्पर्श बिन्दुओं के निर्देशांक हैं: \( \left(\mp \sqrt{\frac{3}{10}}, \pm \sqrt{\frac{2}{15}}\right) \). स्पर्श बिंदु दर्शाते हैं कि रेखा कहाँ पर दीर्घवृत्त को छूती है, और यहां दो ऐसे बिंदु संभव हैं।
In simple words: हमने एक रेखा और एक दीर्घवृत्त का समीकरण लिया। फिर हमने दिखाया कि रेखा दीर्घवृत्त को एक खास जगह पर छूती है, जिसे 'स्पर्श' करना कहते हैं। हमने यह भी पता लगाया कि वह जगह कहाँ है, यानी उस बिंदु के x और y मान क्या हैं।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा के प्रश्नों में, सबसे पहले रेखा और दीर्घवृत्त के समीकरणों को मानक रूप में बदलें, फिर स्पर्श के प्रतिबंध \( c^2 = a^2m^2 + b^2 \) का उपयोग करें। निर्देशांक ज्ञात करते समय, सभी मानों को सावधानी से सूत्र में रखें।

Question 2. प्रदर्शित कीजिए कि रेखा \( x - 2y - 4 = 0 \) दीर्घवृत्त \( 3x^2 + 4y^2 = 12 \) को स्पर्श करती है।
Answer: दी गई रेखा का समीकरण है: \( x - 2y - 4 = 0 \)
इसे \( y = mx + c \) के रूप में लिखने पर:
\( 2y = x - 4 \)
\( \implies y = \frac{1}{2}x - 2 \)
यहां, \( m = \frac{1}{2} \) और \( c = -2 \)
इसलिए, \( c^2 = (-2)^2 = 4 \)

दीर्घवृत्त का समीकरण है: \( 3x^2 + 4y^2 = 12 \)
इसे मानक रूप \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) में बदलने पर, दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर:
\( \frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = \frac{12}{12} \)
\( \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \)
यहां, \( a^2 = 4 \) और \( b^2 = 3 \)

रेखा के दीर्घवृत्त को स्पर्श करने का प्रतिबंध है:
\( c^2 = a^2m^2 + b^2 \)
दायां पक्ष (RHS) ज्ञात करते हैं:
\( a^2m^2 + b^2 = (4)\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \)
\( \implies 4 \times \frac{1}{4} + 3 \)
\( \implies 1 + 3 = 4 \)
चूंकि बायां पक्ष \( c^2 = 4 \) और दायां पक्ष \( a^2m^2 + b^2 = 4 \) बराबर हैं, इसलिए रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है। इस तरह, रेखा और दीर्घवृत्त एक ही बिंदु पर मिलते हैं।
In simple words: हमने एक रेखा और एक दीर्घवृत्त का समीकरण लिया। फिर हमने देखा कि वे दोनों एक नियम को पूरा करते हैं जिससे पता चलता है कि रेखा दीर्घवृत्त को सिर्फ एक बिंदु पर छूती है, यानी उसे स्पर्श करती है।

🎯 Exam Tip: जब सिद्ध करना हो कि रेखा स्पर्श करती है, तो रेखा और दीर्घवृत्त दोनों को उनके मानक रूपों में बदलें। फिर \( c^2 = a^2m^2 + b^2 \) प्रतिबंध की दोनों साइडों को अलग-अलग निकालें और दिखाएं कि वे बराबर हैं।

Question 3. k के किस मान के लिए रेखा \( 3x - 4y = k \) दीर्घवृत्त \( 5x^2 + 4y^2 = 20 \) को स्पर्श करती है ?
Answer: दी गई रेखा का समीकरण है: \( 3x - 4y = k \)
इसे \( y = mx + c \) के रूप में लिखने पर:
\( 4y = 3x - k \)
\( \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{k}{4} \)
यहां, \( m = \frac{3}{4} \) और \( c = -\frac{k}{4} \)
इसलिए, \( c^2 = \left(-\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} \)

दीर्घवृत्त का समीकरण है: \( 5x^2 + 4y^2 = 20 \)
इसे मानक रूप \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) में बदलने पर, दोनों पक्षों को 20 से भाग देने पर:
\( \frac{5x^2}{20} + \frac{4y^2}{20} = \frac{20}{20} \)
\( \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 \)
यहां, \( a^2 = 4 \) और \( b^2 = 5 \)

रेखा के दीर्घवृत्त को स्पर्श करने का प्रतिबंध है:
\( c^2 = a^2m^2 + b^2 \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \frac{k^2}{16} = (4)\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 5 \)
\( \implies \frac{k^2}{16} = 4 \times \frac{9}{16} + 5 \)
\( \implies \frac{k^2}{16} = \frac{9}{4} + 5 \)
\( \implies \frac{k^2}{16} = \frac{9+20}{4} \)
\( \implies \frac{k^2}{16} = \frac{29}{4} \)
अब \( k^2 \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( k^2 = \frac{29}{4} \times 16 \)
\( \implies k^2 = 29 \times 4 \)
\( \implies k^2 = 116 \)
\( \implies k = \pm\sqrt{116} \)
\( \implies k = \pm\sqrt{4 \times 29} \)
\( \implies k = \pm 2\sqrt{29} \)
अतः, k का मान \( \pm 2\sqrt{29} \) होने पर रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करेगी। यह मान सुनिश्चित करता है कि रेखा ठीक एक बिंदु पर दीर्घवृत्त से मिलती है।
In simple words: हमें एक रेखा का समीकरण दिया था जिसमें एक अज्ञात अक्षर 'k' था, और एक दीर्घवृत्त का समीकरण भी था। हमने 'k' का वह मान पता लगाया जिससे रेखा उस दीर्घवृत्त को सिर्फ एक जगह पर छूती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, रेखा और दीर्घवृत्त के समीकरणों को उनके मानक रूपों में परिवर्तित करना महत्वपूर्ण है। इसके बाद, स्पर्श के प्रतिबंध \( c^2 = a^2m^2 + b^2 \) का उपयोग करके k के लिए एक समीकरण बनाएं और उसे हल करें।

Question 4. सिद्ध कीजिए कि रेखा \( x+y=\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \) दीर्घवृत्त \( \frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \) को स्पर्श करती है। स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा का समीकरण है: \( x+y=\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \)
इसे \( y = mx + c \) के रूप में लिखने पर:
\( y = -x + \sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \)
यहां, \( m = -1 \) और \( c = \sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \)
इसलिए, \( c^2 = \left(\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}\right)^2 = a^2+b^2 \)

दीर्घवृत्त का समीकरण है: \( \frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \)
यहां, दीर्घवृत्त पहले से ही मानक रूप में है, तो \( a^2 \) और \( b^2 \) के मान समान ही रहेंगे।

रेखा के दीर्घवृत्त को स्पर्श करने का प्रतिबंध है:
\( c^2 = a^2m^2 + b^2 \)
दायां पक्ष (RHS) ज्ञात करते हैं:
\( a^2m^2 + b^2 = a^2(-1)^2 + b^2 \)
\( \implies a^2(1) + b^2 = a^2+b^2 \)
चूंकि बायां पक्ष \( c^2 = a^2+b^2 \) और दायां पक्ष \( a^2m^2 + b^2 = a^2+b^2 \) बराबर हैं, इसलिए रेखा दीर्घवृत्त को स्पर्श करती है। यह इस बात की पुष्टि करता है कि रेखा दीर्घवृत्त से ठीक एक बिंदु पर मिलती है।

स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक का सूत्र (रेखा \( y=mx+c \) के लिए) है: \( \left(\frac{-a^2m}{c}, \frac{b^2}{c}\right) \)
यहां, \( m = -1 \) और \( c = \sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \)
x-निर्देशांक:
\( \frac{-a^2(-1)}{\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}} = \frac{a^2}{\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}} \)
y-निर्देशांक:
\( \frac{b^2}{\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}} \)
अतः स्पर्श बिन्दु के निर्देशांक हैं: \( \left(\frac{a^2}{\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}}, \frac{b^2}{\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}}\right) \).
In simple words: हमने एक और रेखा और दीर्घवृत्त के समीकरण देखे। हमने दिखाया कि रेखा दीर्घवृत्त को छूती है, और फिर उस जगह का पता लगाया जहाँ वे एक-दूसरे से मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: जब \( c = \sqrt{a^2m^2+b^2} \) जैसा सरल संबंध दिया हो, तो स्पर्श प्रतिबंध को सिद्ध करना आसान होता है। स्पर्श बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते समय, ध्यान रखें कि रेखा के समीकरण में \( c \) का मान धनात्मक है या ऋणात्मक।

Question 5. दीर्घवृत्त \( \frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \) को रेखा \( lx + my = n \) द्वारा स्पर्श करने की शर्त ज्ञात कीजिये।
Answer: दीर्घवृत्त का समीकरण है: \( \frac {{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} = 1 \)

दी गई रेखा का समीकरण है: \( lx + my = n \)
इसे \( y = Mx + C \) के रूप में लिखने पर:
\( my = -lx + n \)
\( \implies y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m} \)
यहां, \( M = -\frac{l}{m} \) और \( C = \frac{n}{m} \)
इसलिए, \( C^2 = \left(\frac{n}{m}\right)^2 = \frac{n^2}{m^2} \)

रेखा के दीर्घवृत्त को स्पर्श करने का प्रतिबंध है:
\( C^2 = a^2M^2 + b^2 \)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( \frac{n^2}{m^2} = a^2\left(-\frac{l}{m}\right)^2 + b^2 \)
\( \implies \frac{n^2}{m^2} = a^2\frac{l^2}{m^2} + b^2 \)
समीकरण के दोनों पक्षों को \( m^2 \) से गुणा करने पर:
\( n^2 = a^2l^2 + b^2m^2 \)
यह दीर्घवृत्त \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) को रेखा \( lx + my = n \) द्वारा स्पर्श करने की आवश्यक शर्त है। यह शर्त बताती है कि रेखा और दीर्घवृत्त केवल एक बिंदु पर मिलेंगे।
In simple words: हमने एक दीर्घवृत्त और एक रेखा के लिए एक सामान्य नियम निकाला। यह नियम बताता है कि रेखा दीर्घवृत्त को कब छू सकती है, यानी कब उसे स्पर्श कर सकती है।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक प्रतिबंध है जो सीधे याद रखने लायक है। इसे व्युत्पन्न करने के लिए, रेखा के समीकरण को \( y=mx+c \) रूप में बदलें और फिर \( c^2 = a^2m^2 + b^2 \) सूत्र में मान रखकर \( m^2 \) से गुणा करके सरल करें।