RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.7

Question 1. अतिपरवलय \( 9x^2 - 16y^2 = 144 \) के अक्षों की लम्बाइयाँ, नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नाभिलम्बे तथा नियताओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है:
\( 9x^2 - 16y^2 = 144 \)
दोनों पक्षों को 144 से भाग देने पर, हमें मानक समीकरण मिलता है:
\( \frac{9x^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = \frac{144}{144} \)
\( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \)
इस समीकरण की तुलना मानक अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( a^2 = 16 \implies a = 4 \)
\( b^2 = 9 \implies b = 3 \)
अब हम विभिन्न मानों की गणना करते हैं:
**अक्षों की लम्बाइयाँ:**
अनुप्रस्थ अक्ष (Transverse axis) \( = 2a = 2 \times 4 = 8 \)
संयुग्मी अक्ष (Conjugate axis) \( = 2b = 2 \times 3 = 6 \)
**उत्केन्द्रता (Eccentricity):**
उत्केन्द्रता \( e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \)
\( e = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16+9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} \)
\( e = \frac{5}{4} \)
**नाभियाँ (Foci):**
नाभियाँ \( (\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{5}{4}, 0\right) = (\pm 5, 0) \)
**नाभिलम्ब की लम्बाई (Length of Latus Rectum):**
नाभिलम्ब की लम्बाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 3^2}{4} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \)
**नियताओं के समीकरण (Equations of Directrices):**
नियताओं के समीकरण \( x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{4}{\frac{5}{4}} = \pm \frac{16}{5} \)
In simple words: हमने दिए गए अतिपरवलय के समीकरण को मानक रूप में बदला. फिर हमने 'a' और 'b' का मान निकाला, जिससे हमें अक्षों की लंबाई, उत्केन्द्रता, नाभियाँ, नाभिलम्ब की लंबाई और नियताओं के समीकरण मिल गए.

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय के विभिन्न घटकों के सूत्र (अक्षों की लम्बाइयाँ, नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नाभिलम्ब और नियताओं के समीकरण) को याद रखना महत्वपूर्ण है, खासकर जब समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित करना हो.

Question 2. अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) नाभि (2, 1) नियता \( x + 2y - 1 = 0 \) तथा उत्केन्द्रता 2 है।
(ii) नाभि (1, 2) नियता \( 2x + y = 1 \) तथा उत्केन्द्रता \( \sqrt{3} \) है।
Answer:
(i) मान लीजिए अतिपरवलय पर कोई बिंदु \( P(h, k) \) है। नाभि \( S(2, 1) \) और नियता का समीकरण \( x + 2y - 1 = 0 \) दिया गया है। उत्केन्द्रता \( e = 2 \) है।
अतिपरवलय की परिभाषा से, किसी बिंदु से नाभि की दूरी और नियता की दूरी का अनुपात उत्केन्द्रता के बराबर होता है:
\( SP = e(PM) \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (SP)^2 = e^2(PM)^2 \)
यहाँ, \( SP^2 = (h-2)^2 + (k-1)^2 \)
और \( PM = \frac{|h + 2k - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|h + 2k - 1|}{\sqrt{5}} \)
तो, \( (h-2)^2 + (k-1)^2 = 2^2 \left(\frac{h + 2k - 1}{\sqrt{5}}\right)^2 \)
\( (h^2 - 4h + 4) + (k^2 - 2k + 1) = 4 \frac{(h + 2k - 1)^2}{5} \)
\( 5(h^2 - 4h + 4 + k^2 - 2k + 1) = 4(h^2 + (2k)^2 + (-1)^2 + 2(h)(2k) + 2(2k)(-1) + 2(h)(-1)) \)
\( 5(h^2 + k^2 - 4h - 2k + 5) = 4(h^2 + 4k^2 + 1 + 4hk - 4k - 2h) \)
\( 5h^2 + 5k^2 - 20h - 10k + 25 = 4h^2 + 16k^2 + 4 + 16hk - 16k - 8h \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( (5h^2 - 4h^2) + (5k^2 - 16k^2) + (-20h + 8h) + (-10k + 16k) - 16hk + (25 - 4) = 0 \)
\( h^2 - 11k^2 - 12h + 6k - 16hk + 21 = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( h^2 - 16hk - 11k^2 - 12h + 6k + 21 = 0 \)
बिंदु \( P(h, k) \) का बिन्दुपथ अभीष्ट अतिपरवलय है, इसलिए \( h \) को \( x \) और \( k \) को \( y \) से बदलने पर:
\( x^2 - 16xy - 11y^2 - 12x + 6y + 21 = 0 \)

(ii) मान लीजिए अतिपरवलय पर कोई बिंदु \( P(h, k) \) है। नाभि \( S(1, 2) \), नियता \( 2x + y - 1 = 0 \) और उत्केन्द्रता \( e = \sqrt{3} \) है।
अतिपरवलय की परिभाषा से:
\( (SP)^2 = e^2(PM)^2 \)
यहाँ, \( SP^2 = (h-1)^2 + (k-2)^2 \)
और \( PM = \frac{|2h + k - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2h + k - 1|}{\sqrt{5}} \)
तो, \( (h-1)^2 + (k-2)^2 = (\sqrt{3})^2 \left(\frac{2h + k - 1}{\sqrt{5}}\right)^2 \)
\( (h^2 - 2h + 1) + (k^2 - 4k + 4) = 3 \frac{(2h + k - 1)^2}{5} \)
\( 5(h^2 - 2h + 1 + k^2 - 4k + 4) = 3( (2h)^2 + k^2 + (-1)^2 + 2(2h)(k) + 2(k)(-1) + 2(2h)(-1) ) \)
\( 5(h^2 + k^2 - 2h - 4k + 5) = 3(4h^2 + k^2 + 1 + 4hk - 2k - 4h) \)
\( 5h^2 + 5k^2 - 10h - 20k + 25 = 12h^2 + 3k^2 + 3 + 12hk - 6k - 12h \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( (5h^2 - 12h^2) + (5k^2 - 3k^2) + (-10h + 12h) + (-20k + 6k) - 12hk + (25 - 3) = 0 \)
\( -7h^2 + 2k^2 + 2h - 14k - 12hk + 22 = 0 \)
\( 7h^2 - 2k^2 + 12hk - 2h + 14k - 22 = 0 \)
बिंदु \( P(h, k) \) का बिन्दुपथ अभीष्ट अतिपरवलय है, इसलिए \( h \) को \( x \) और \( k \) को \( y \) से बदलने पर:
\( 7x^2 - 2y^2 + 12xy - 2x + 14y - 22 = 0 \)
In simple words: अतिपरवलय का समीकरण निकालने के लिए, हमने इसकी खास परिभाषा का उपयोग किया: नाभि से दूरी (SP) उत्केन्द्रता (e) और नियता से दूरी (PM) के गुणा के बराबर होती है. दोनों तरफ वर्ग करके और बीजगणित की मदद से, हमने \( h \) और \( k \) के पदों में समीकरण प्राप्त किया, जिसे फिर \( x \) और \( y \) के पदों में बदलकर अतिपरवलय का समीकरण मिल गया.

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय की परिभाषा \( SP = ePM \) का उपयोग करते समय, वर्ग करने और फिर सावधानीपूर्वक बीजगणितीय विस्तार और सरलीकरण करने का ध्यान रखें. हर पद को सही ढंग से एक तरफ ले जाकर समीकरण को अंतिम रूप दें.

Question 3. अतिपरवलय \( x^2 - 6x - 4y^2 - 16y - 11 = 0 \) के शीर्ष, नाभियाँ, नाभिलम्ब तथा उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है:
\( x^2 - 6x - 4y^2 - 16y - 11 = 0 \)
इस समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए, हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
\( (x^2 - 6x) - (4y^2 + 16y) - 11 = 0 \)
\( (x^2 - 6x + 9 - 9) - 4(y^2 + 4y) - 11 = 0 \)
\( (x-3)^2 - 9 - 4(y^2 + 4y + 4 - 4) - 11 = 0 \)
\( (x-3)^2 - 9 - 4(y+2)^2 + 16 - 11 = 0 \)
\( (x-3)^2 - 4(y+2)^2 + (16 - 9 - 11) = 0 \)
\( (x-3)^2 - 4(y+2)^2 - 4 = 0 \)
\( (x-3)^2 - 4(y+2)^2 = 4 \)
पूरे समीकरण को 4 से भाग देने पर:
\( \frac{(x-3)^2}{4} - \frac{4(y+2)^2}{4} = \frac{4}{4} \)
\( \frac{(x-3)^2}{2^2} - \frac{(y+2)^2}{1^2} = 1 \)
यह मानक अतिपरवलय \( \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1 \) के रूप में है, जहाँ \( X = x-3 \) और \( Y = y+2 \).
यहाँ, \( a^2 = 4 \implies a = 2 \)
और \( b^2 = 1 \implies b = 1 \)
**केन्द्र (Center):**
केन्द्र \( (X=0, Y=0) \) पर होता है।
\( x-3 = 0 \implies x = 3 \)
\( y+2 = 0 \implies y = -2 \)
अतः, अतिपरवलय का केन्द्र \( (3, -2) \) है।
**शीर्ष (Vertices):**
अतिपरवलय \( \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} = 1 \) के शीर्ष \( (\pm a, 0) \) होते हैं।
\( X = \pm 2 \implies x-3 = \pm 2 \)
\( x = 3 \pm 2 \implies x = 5 \) या \( x = 1 \)
\( Y = 0 \implies y+2 = 0 \implies y = -2 \)
अतः, शीर्ष \( (5, -2) \) और \( (1, -2) \) हैं।
**उत्केन्द्रता (Eccentricity):**
उत्केन्द्रता \( e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
**नाभियाँ (Foci):**
नाभियाँ \( (\pm ae, 0) \) होती हैं।
\( ae = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \)
\( X = \pm \sqrt{5} \implies x-3 = \pm \sqrt{5} \implies x = 3 \pm \sqrt{5} \)
\( Y = 0 \implies y+2 = 0 \implies y = -2 \)
अतः, नाभियाँ \( (3+\sqrt{5}, -2) \) और \( (3-\sqrt{5}, -2) \) हैं।
**नाभिलम्ब की लम्बाई (Length of Latus Rectum):**
नाभिलम्ब की लम्बाई \( = \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 1^2}{2} = 1 \)
In simple words: हमने दिए गए अतिपरवलय के समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाकर मानक रूप में बदला. इससे हमें केन्द्र के निर्देशांक मिल गए. फिर हमने 'a' और 'b' का मान निकाला, जिससे अतिपरवलय के शीर्ष, उत्केन्द्रता, नाभियाँ और नाभिलम्ब की लम्बाई की गणना की. यह विधि किसी भी अतिपरवलय की मुख्य विशेषताओं को ज्ञात करने में मदद करती है.

🎯 Exam Tip: किसी अतिपरवलय के समीकरण को मानक रूप में बदलने के लिए पूर्ण वर्ग बनाने की विधि में सावधान रहें, खासकर जब \( y \) वाले पदों के साथ एक गुणांक हो. नए अक्षों \( X \) और \( Y \) के सापेक्ष प्राप्त मानों को मूल अक्षों \( x \) और \( y \) में वापस बदलना न भूलें.

Question 4. अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जबकि
(i) नाभिलम्ब की लम्बाई 8 तथा संयुग्मी अक्ष \( = \frac{1}{2} \) (नाभियों के मध्य की दूरी)
(ii) नाभियों के मध्य की दूरी 16 तथा उत्केन्द्रता \( \sqrt{2} \) हो।
(iii) संयुग्मी अक्ष की लम्बाई 7 तथा बिन्दु (3, -2) से गुजरता हो ।
Answer:
(i) दिया है:
नाभिलम्ब की लम्बाई \( \frac{2b^2}{a} = 8 \)
इससे हमें मिलता है: \( b^2 = 4a \) .......(1)
संयुग्मी अक्ष \( = \frac{1}{2} \) (नाभियों के मध्य की दूरी)
\( 2b = \frac{1}{2} (2ae) \)
\( 2b = ae \) .......(2)
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए \( b^2 = a^2(e^2 - 1) \).
समीकरण (2) से \( e = \frac{2b}{a} \). इसे \( b^2 = a^2(e^2 - 1) \) में रखने पर:
\( b^2 = a^2 \left( \left(\frac{2b}{a}\right)^2 - 1 \right) \)
\( b^2 = a^2 \left( \frac{4b^2}{a^2} - 1 \right) \)
\( b^2 = 4b^2 - a^2 \)
\( a^2 = 3b^2 \) .......(3)
अब, समीकरण (1) से \( b^2 = 4a \) को समीकरण (3) में रखें:
\( a^2 = 3(4a) \)
\( a^2 = 12a \)
चूँकि \( a \ne 0 \) (क्योंकि यह अक्ष की लंबाई है), हम \( a \) से भाग दे सकते हैं:
\( a = 12 \)
अब, \( b^2 = 4a = 4(12) = 48 \)
अतिपरवलय का समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है। मान रखने पर:
\( \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{48} = 1 \)
दोनों तरफ 144 से गुणा करने पर (LCM of 144, 48):
\( x^2 - 3y^2 = 144 \)

(ii) दिया है:
नाभियों के मध्य की दूरी \( 2ae = 16 \)
\( ae = 8 \) .......(1)
उत्केन्द्रता \( e = \sqrt{2} \)
समीकरण (1) में \( e \) का मान रखने पर:
\( a\sqrt{2} = 8 \)
\( a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \)
अब, \( a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \)
हम जानते हैं कि \( b^2 = a^2(e^2 - 1) \)
\( b^2 = 32((\sqrt{2})^2 - 1) \)
\( b^2 = 32(2 - 1) \)
\( b^2 = 32(1) = 32 \)
अतिपरवलय का समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है। मान रखने पर:
\( \frac{x^2}{32} - \frac{y^2}{32} = 1 \)
दोनों तरफ 32 से गुणा करने पर:
\( x^2 - y^2 = 32 \)

(iii) दिया है:
संयुग्मी अक्ष की लम्बाई \( 2b = 7 \)
इससे हमें मिलता है: \( b = \frac{7}{2} \implies b^2 = \frac{49}{4} \)
अतिपरवलय बिंदु \( (3, -2) \) से गुजरता है।
अतिपरवलय का मानक समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है।
इसमें \( b^2 \) का मान रखने पर:
\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{\frac{49}{4}} = 1 \)
\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{4y^2}{49} = 1 \)
चूँकि यह अतिपरवलय बिंदु \( (3, -2) \) से गुजरता है, हम \( x=3 \) और \( y=-2 \) को समीकरण में रख सकते हैं:
\( \frac{3^2}{a^2} - \frac{4(-2)^2}{49} = 1 \)
\( \frac{9}{a^2} - \frac{4 \times 4}{49} = 1 \)
\( \frac{9}{a^2} - \frac{16}{49} = 1 \)
\( \frac{9}{a^2} = 1 + \frac{16}{49} \)
\( \frac{9}{a^2} = \frac{49+16}{49} = \frac{65}{49} \)
\( a^2 = \frac{9 \times 49}{65} = \frac{441}{65} \)
अतिपरवलय का समीकरण \( \frac{x^2}{\frac{441}{65}} - \frac{4y^2}{49} = 1 \) है।
यह बन जाता है:
\( \frac{65x^2}{441} - \frac{4y^2}{49} = 1 \)
दोनों तरफ 441 से गुणा करने पर (LCM of 441, 49):
\( 65x^2 - 36y^2 = 441 \)
In simple words: अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हमने दी गई विशेषताओं (नाभिलम्ब की लम्बाई, संयुग्मी अक्ष, उत्केन्द्रता या गुजरने वाले बिंदु) का उपयोग करके \( a^2 \) और \( b^2 \) के मान निकाले. एक बार ये मान मिल जाने पर, उन्हें अतिपरवलय के मानक समीकरण में रखा गया.

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय के विभिन्न गुणों से जुड़े समीकरणों को सही ढंग से लिखें और फिर \( a \) और \( b \) के मान निकालने के लिए बीजगणित का उपयोग करें. यदि अतिपरवलय किसी बिंदु से गुजरता है, तो उस बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके अज्ञात मानों को हल करें.

Question 5. सिद्ध कीजिए कि सरल रेखाओं \( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} =m \) तथा \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} =\frac{1}{m} \) के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ अतिपरवलय होता है।
Answer: दी गई सरल रेखाएँ हैं:
1. \( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} =m \)
2. \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} =\frac{1}{m} \)
मान लीजिए प्रतिच्छेद बिंदु \( (x, y) \) है।
समीकरण (1) और (2) को गुणा करने पर, हम पाते हैं:
\( \left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right) \left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right) = m \times \frac{1}{m} \)
बीजगणितीय पहचान \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \) का उपयोग करने पर:
\( \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 \)
\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
यह अतिपरवलय का मानक समीकरण है।
अतः, सरल रेखाओं \( \frac{x}{a}-\frac{y}{b} =m \) तथा \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} =\frac{1}{m} \) के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ अतिपरवलय होता है।
In simple words: हमने दो दी गई सरल रेखाओं के समीकरणों को एक साथ गुणा किया. गुणा करने पर, हमें एक ऐसा समीकरण मिला जो सीधे अतिपरवलय के मानक समीकरण जैसा दिखता है. इससे साबित होता है कि इन रेखाओं के कटने वाले बिंदु हमेशा एक अतिपरवलय का रास्ता बनाते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, दिए गए समीकरणों को ध्यान से देखें और देखें कि क्या उन्हें गुणा, जोड़ा या घटाया जा सकता है ताकि एक ज्ञात ज्यामितीय आकृति का मानक समीकरण प्राप्त हो सके. यहाँ, \( (A-B)(A+B) = A^2-B^2 \) की पहचान महत्वपूर्ण थी.

Question 6. अतिपरवलय \( 5x^2 - 9y^2 = 45 \) तथा रेखा \( y = x + 2 \) के उभयनिष्ठ बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है:
\( 5x^2 - 9y^2 = 45 \) .......(1)
दी गई सरल रेखा का समीकरण है:
\( y = x + 2 \) .......(2)
उभयनिष्ठ बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण (2) से \( y \) का मान समीकरण (1) में रखेंगे:
\( 5x^2 - 9(x + 2)^2 = 45 \)
\( 5x^2 - 9(x^2 + 4x + 4) = 45 \)
\( 5x^2 - 9x^2 - 36x - 36 = 45 \)
\( -4x^2 - 36x - 36 - 45 = 0 \)
\( -4x^2 - 36x - 81 = 0 \)
पूरे समीकरण को \( -1 \) से गुणा करने पर:
\( 4x^2 + 36x + 81 = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है। इसे गुणनखंडित करने पर:
हम देखते हैं कि यह \( (2x)^2 + 2(2x)(9) + 9^2 = 0 \) के रूप में है, जो \( (A+B)^2 \) का सूत्र है।
\( (2x + 9)^2 = 0 \)
इसका मतलब है कि \( 2x + 9 = 0 \)
\( 2x = -9 \)
\( x = -\frac{9}{2} \)
अब, \( x \) के इस मान को समीकरण (2) में रखकर \( y \) का मान ज्ञात करें:
\( y = x + 2 \)
\( y = -\frac{9}{2} + 2 \)
\( y = -\frac{9}{2} + \frac{4}{2} \)
\( y = -\frac{5}{2} \)
अतः, अतिपरवलय और रेखा का उभयनिष्ठ बिंदु \( \left(-\frac{9}{2}, -\frac{5}{2}\right) \) है।
In simple words: हमने अतिपरवलय और रेखा के समीकरणों को एक साथ हल किया. रेखा के समीकरण से \( y \) का मान निकालकर उसे अतिपरवलय के समीकरण में रख दिया. इससे हमें \( x \) के लिए एक द्विघात समीकरण मिला, जिसे हल करने पर \( x \) का मान मिल गया. फिर, \( x \) का मान रेखा के समीकरण में रखकर \( y \) का मान निकाला. इस तरह हमें दोनों का उभयनिष्ठ बिंदु मिला.

🎯 Exam Tip: उभयनिष्ठ बिन्दु ज्ञात करने के लिए, प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें. एक समीकरण से एक चर का मान निकालकर उसे दूसरे समीकरण में रखें. यदि एक द्विघात समीकरण बनता है, तो उसे गुणनखंड या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करें. अंतिम उत्तर को हमेशा एक निर्देशांक बिंदु के रूप में लिखें.

Question 7. सिद्ध कीजिए कि रेखा \( lx + my = 1 \) अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 \) को स्पर्श करेगी यदि \( a^2l^2 - b^2m^2 = 1 \).
Answer: दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है:
\( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 \)
हम जानते हैं कि एक रेखा \( y = Mx + C \) अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 \) को तब स्पर्श करती है जब \( C^2 = a^2M^2 - b^2 \).
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( lx + my = 1 \)
इस रेखा को \( y = Mx + C \) के रूप में लिखने के लिए, हम इसे \( y \) के लिए हल करते हैं:
\( my = -lx + 1 \)
\( y = -\frac{l}{m}x + \frac{1}{m} \)
अब, इस समीकरण की तुलना \( y = Mx + C \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( M = -\frac{l}{m} \)
\( C = \frac{1}{m} \)
स्पर्श करने की शर्त \( C^2 = a^2M^2 - b^2 \) में \( M \) और \( C \) के इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\( \left(\frac{1}{m}\right)^2 = a^2 \left(-\frac{l}{m}\right)^2 - b^2 \)
\( \frac{1}{m^2} = a^2 \frac{l^2}{m^2} - b^2 \)
पूरे समीकरण को \( m^2 \) से गुणा करने पर:
\( 1 = a^2l^2 - b^2m^2 \)
यह सिद्ध हो गया है कि रेखा \( lx + my = 1 \) अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 \) को स्पर्श करेगी यदि \( a^2l^2 - b^2m^2 = 1 \).
In simple words: हमने अतिपरवलय के लिए स्पर्शरेखा की ज्ञात शर्त का उपयोग किया. दी गई रेखा को \( y = Mx + C \) के रूप में बदला और फिर उसके \( M \) और \( C \) के मानों को स्पर्शरेखा की शर्त में रख दिया. इससे हमें वह स्थिति मिली जो रेखा के अतिपरवलय को स्पर्श करने के लिए आवश्यक है.

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय की स्पर्शरेखा की शर्त को याद रखें. दी गई रेखा के समीकरण को हमेशा ढलान-अंतःखंड रूप \( (y = Mx + C) \) में बदलें ताकि \( M \) और \( C \) के मानों को सही ढंग से पहचाना जा सके और शर्त में प्रतिस्थापित किया जा सके.

Question 8. अतिपरवलय \( 4x^2 - 4y^2 = 1 \) की स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा \( 4y = 5x + 7 \) के समान्तर हो।
Answer: दिया गया अतिपरवलय का समीकरण है:
\( 4x^2 - 4y^2 = 1 \)
इसे मानक रूप में लिखने पर:
\( \frac{x^2}{\frac{1}{4}} - \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \)
यहाँ, \( a^2 = \frac{1}{4} \) और \( b^2 = \frac{1}{4} \).
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( 4y = 5x + 7 \)
इस रेखा को ढलान-अंतःखंड रूप \( (y = mx + c) \) में लिखने पर:
\( y = \frac{5}{4}x + \frac{7}{4} \)
यह रेखा का ढलान \( m_{parallel} = \frac{5}{4} \) है। चूंकि हमें इसके समान्तर स्पर्शरेखाएँ चाहिए, इसलिए स्पर्शरेखाओं का ढलान भी \( M = \frac{5}{4} \) होगा।
अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) के लिए ढलान \( M \) वाली स्पर्शरेखाओं का समीकरण है:
\( y = Mx \pm \sqrt{a^2M^2 - b^2} \)
यहाँ, \( a^2 = \frac{1}{4} \), \( b^2 = \frac{1}{4} \), और \( M = \frac{5}{4} \). इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = \frac{5}{4}x \pm \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{5}{4}\right)^2 - \frac{1}{4}} \)
\( y = \frac{5}{4}x \pm \sqrt{\frac{1}{4} \times \frac{25}{16} - \frac{1}{4}} \)
\( y = \frac{5}{4}x \pm \sqrt{\frac{25}{64} - \frac{16}{64}} \)
\( y = \frac{5}{4}x \pm \sqrt{\frac{9}{64}} \)
\( y = \frac{5}{4}x \pm \frac{3}{8} \)
इसलिए, दो स्पर्शरेखाओं के समीकरण हैं:
1. \( y = \frac{5}{4}x + \frac{3}{8} \)
दोनों तरफ 8 से गुणा करने पर:
\( 8y = 10x + 3 \implies 10x - 8y + 3 = 0 \)
2. \( y = \frac{5}{4}x - \frac{3}{8} \)
दोनों तरफ 8 से गुणा करने पर:
\( 8y = 10x - 3 \implies 10x - 8y - 3 = 0 \)
In simple words: सबसे पहले, हमने अतिपरवलय के समीकरण को मानक रूप में बदला और \( a^2, b^2 \) का मान निकाला. फिर, दी गई समांतर रेखा से स्पर्शरेखाओं का ढलान \( M \) पता किया. अंत में, ढलान \( M \) वाली स्पर्शरेखाओं के सूत्र का उपयोग करके हमने दोनों संभव स्पर्शरेखाओं के समीकरण ज्ञात किए.

🎯 Exam Tip: अतिपरवलय के लिए ढलान \( M \) वाली स्पर्शरेखा का सूत्र \( y = Mx \pm \sqrt{a^2M^2 - b^2} \) याद रखें. समानांतर रेखाओं का ढलान समान होता है. गणना करते समय भिन्न और वर्गमूल को सावधानी से हल करें.

Question 9. सिद्ध कीजिए कि अतिपरवलय की किसी स्पर्श रेखा पर नाभि से डाले गये लम्ब के पाद का बिन्दुपथ वृत्त होता है।
Answer: मान लीजिए अतिपरवलय का समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है।
ढलान \( m \) वाली अतिपरवलय की किसी स्पर्शरेखा का समीकरण है:
\( y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \) .......(1)
अतिपरवलय की नाभियाँ \( (\pm c, 0) \) हैं, जहाँ \( c^2 = a^2 + b^2 \).
हम नाभि \( (c, 0) \) से स्पर्शरेखा (1) पर डाले गए लम्ब के पाद का बिन्दुपथ ज्ञात करेंगे।
स्पर्शरेखा का ढलान \( m \) है। इस पर लम्ब रेखा का ढलान \( -\frac{1}{m} \) होगा।
नाभि \( (c, 0) \) से गुजरने वाली और स्पर्शरेखा पर लम्ब रेखा का समीकरण है:
\( y - 0 = -\frac{1}{m}(x - c) \)
\( my = -x + c \)
\( x + my = c \) .......(2)
अब, हमें समीकरण (1) और (2) के प्रतिच्छेद बिंदु का बिन्दुपथ ज्ञात करना है।
समीकरण (1) को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( y - mx = \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (y - mx)^2 = a^2m^2 - b^2 \) .......(3)
समीकरण (2) का वर्ग करने पर:
\( (x + my)^2 = c^2 \) .......(4)
अब समीकरण (3) और (4) को जोड़ने पर:
\( (y - mx)^2 + (x + my)^2 = a^2m^2 - b^2 + c^2 \)
\( (y^2 - 2mxy + m^2x^2) + (x^2 + 2mxy + m^2y^2) = a^2m^2 - b^2 + c^2 \)
\( y^2 + m^2x^2 + x^2 + m^2y^2 = a^2m^2 - b^2 + c^2 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर:
\( x^2(1 + m^2) + y^2(1 + m^2) = a^2m^2 - b^2 + c^2 \)
\( (x^2 + y^2)(1 + m^2) = a^2m^2 - b^2 + (a^2 + b^2) \) (चूँकि \( c^2 = a^2 + b^2 \))
\( (x^2 + y^2)(1 + m^2) = a^2m^2 + a^2 \)
\( (x^2 + y^2)(1 + m^2) = a^2(m^2 + 1) \)
\( x^2 + y^2 = a^2 \)
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र मूलबिंदु \( (0, 0) \) पर है और त्रिज्या \( a \) है। इस वृत्त को अतिपरवलय का सहायक वृत्त कहते हैं।
अतः, अतिपरवलय की किसी स्पर्श रेखा पर नाभि से डाले गये लम्ब के पाद का बिन्दुपथ वृत्त होता है।
In simple words: यह सिद्ध करने के लिए कि नाभि से स्पर्शरेखा पर डाले गए लंब के पाद का मार्ग एक वृत्त है, हमने ढलान \( m \) वाली स्पर्शरेखा और नाभि से उस पर लंब रेखा का समीकरण लिया. फिर, इन दोनों समीकरणों को हल करके \( x \) और \( y \) के पदों में एक नया समीकरण निकाला, जो \( x^2 + y^2 = a^2 \) निकला. यह समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र मूलबिंदु पर होता है और त्रिज्या \( a \) होती है.

🎯 Exam Tip: यह अतिपरवलय की एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता है. इस प्रमाण में, स्पर्शरेखा का समीकरण और नाभि से लंब रेखा का समीकरण स्थापित करें. फिर, इन दोनों समीकरणों को वर्ग करके और जोड़कर \( m \) को समाप्त करें ताकि \( x^2 + y^2 = a^2 \) के रूप में वृत्त का समीकरण प्राप्त हो सके.