RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.5

प्रश्न 1. उस दीर्घवृत्त की समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) नाभि (-1, 1), नियती \( x - y + 4 = 0 \) तथा उत्केन्द्रता \( e = \frac{1}{\sqrt{5}} \) हो ।
(ii) नाभि (-2, 3), नियता \( 3x + 4y = 1 \) तथा उत्केन्द्रता \( e = \frac{2}{3} \) हो ।
Answer:
(i) हम मानते हैं कि दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु \( P(h, k) \) है। दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, बिन्दु P की नाभि से दूरी, P की नियता से दूरी का \( e \) गुना होती है।
\( PS = e(PM) \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है:
\( PS^2 = e^2(PM)^2 \)
यहाँ, नाभि \( S = (-1, 1) \), नियता \( x - y + 4 = 0 \) और उत्केन्द्रता \( e = \frac{1}{\sqrt{5}} \) है।
\( (h - (-1))^2 + (k - 1)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 \left( \frac{|h - k + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \right)^2 \)

\( \implies (h + 1)^2 + (k - 1)^2 = \frac{1}{5} \frac{(h - k + 4)^2}{1 + 1} \)

\( \implies (h + 1)^2 + (k - 1)^2 = \frac{1}{10} (h - k + 4)^2 \)

\( \implies 10((h + 1)^2 + (k - 1)^2) = (h - k + 4)^2 \)

\( \implies 10(h^2 + 2h + 1 + k^2 - 2k + 1) = h^2 + k^2 + 16 - 2hk + 8h - 8k \)

\( \implies 10h^2 + 20h + 10 + 10k^2 - 20k + 10 = h^2 + k^2 + 16 - 2hk + 8h - 8k \)

\( \implies 9h^2 + 9k^2 + 12h - 12k + 2hk + 4 = 0 \)
चूंकि \( P(h, k) \) दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु है, तो \( (h, k) \) के स्थान पर \( (x, y) \) रखने पर अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है:
\( 9x^2 + 9y^2 + 2xy + 12x - 12y + 4 = 0 \)
(ii) हम मानते हैं कि दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु \( P(h, k) \) है। दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, बिन्दु P की नाभि से दूरी, P की नियता से दूरी का \( e \) गुना होती है।
\( PS = e(PM) \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है:
\( PS^2 = e^2(PM)^2 \)
यहाँ, नाभि \( S = (-2, 3) \), नियता \( 3x + 4y - 1 = 0 \) और उत्केन्द्रता \( e = \frac{2}{3} \) है।
\( (h - (-2))^2 + (k - 3)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{|3h + 4k - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right)^2 \)

\( \implies (h + 2)^2 + (k - 3)^2 = \frac{4}{9} \frac{(3h + 4k - 1)^2}{9 + 16} \)

\( \implies (h + 2)^2 + (k - 3)^2 = \frac{4}{9} \frac{(3h + 4k - 1)^2}{25} \)

\( \implies 225((h + 2)^2 + (k - 3)^2) = 4(3h + 4k - 1)^2 \)

\( \implies 225(h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6k + 9) = 4((3h)^2 + (4k)^2 + (-1)^2 + 2(3h)(4k) + 2(4k)(-1) + 2(-1)(3h)) \)

\( \implies 225(h^2 + k^2 + 4h - 6k + 13) = 4(9h^2 + 16k^2 + 1 + 24hk - 8k - 6h) \)

\( \implies 225h^2 + 225k^2 + 900h - 1350k + 2925 = 36h^2 + 64k^2 + 4 + 96hk - 32k - 24h \)

\( \implies (225 - 36)h^2 + (225 - 64)k^2 - 96hk + (900 + 24)h + (-1350 + 32)k + (2925 - 4) = 0 \)

\( \implies 189h^2 + 161k^2 - 96hk + 924h - 1318k + 2921 = 0 \)
चूंकि \( P(h, k) \) दीर्घवृत्त पर कोई बिन्दु है, तो \( (h, k) \) के स्थान पर \( (x, y) \) रखने पर अभीष्ट दीर्घवृत्त का समीकरण है:
\( 189x^2 + 161y^2 - 96xy + 924x - 1318y + 2921 = 0 \)
In simple words: किसी भी दीर्घवृत्त की समीकरण निकालने के लिए, हम उस पर एक काल्पनिक बिंदु \( P(h, k) \) मानते हैं। फिर, नाभि से उस बिंदु की दूरी को उत्केन्द्रता से गुणा करके नियता से उस बिंदु की दूरी के बराबर करते हैं। अंत में, समीकरण को सरल करके \( h \) और \( k \) को \( x \) और \( y \) से बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: Remember the basic definition of an ellipse: the set of all points for which the ratio of the distance to a fixed point (focus) to the distance to a fixed line (directrix) is a constant (eccentricity). This formula is key to solving such problems.

प्रश्न 2. निम्न दीर्घवृत्तों की उत्केन्द्रता, नाभिलम्ब और नाभि के निर्देशांक ज्ञात करो।
(i) \( 4x^2 + 9y^2 = 1 \)
(ii) \( 25x^2 + 4y^2 = 100 \)
(iii) \( 3x^2 + 4y^2 - 12x - 8y + 4 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया दीर्घवृत्त है: \( 4x^2 + 9y^2 = 1 \)
इस समीकरण को मानक रूप \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) में बदलने पर:
\( \frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1 \)
यहाँ, \( a^2 = \frac{1}{4} \) और \( b^2 = \frac{1}{9} \)।
चूँकि \( a^2 > b^2 \), तो \( a = \frac{1}{2} \) और \( b = \frac{1}{3} \)।

उत्केन्द्रता (e): हम जानते हैं कि \( b^2 = a^2(1 - e^2) \)
\( \frac{1}{9} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 (1 - e^2) \)

\( \implies \frac{1}{9} = \frac{1}{4} (1 - e^2) \)

\( \implies \frac{4}{9} = 1 - e^2 \)

\( \implies e^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9} \)

\( \implies e = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

नाभिलम्ब की लम्बाई: \( \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/9)}{1/2} = \frac{2}{9} \times 2 = \frac{4}{9} \)

नाभि के निर्देशांक: \( (\pm ae, 0) \)
\( ae = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{6} \)
इसलिए, नाभि के निर्देशांक \( \left( \pm \frac{\sqrt{5}}{6}, 0 \right) \) हैं।

(ii) दिया गया दीर्घवृत्त है: \( 25x^2 + 4y^2 = 100 \)
समीकरण के दोनों पक्षों को 100 से भाग देने पर:
\( \frac{25x^2}{100} + \frac{4y^2}{100} = \frac{100}{100} \)

\( \implies \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 1 \)
यह दीर्घवृत्त का मानक रूप है। यहाँ, \( a^2 = 25 \) और \( b^2 = 4 \)।
चूँकि \( a^2 > b^2 \), तो \( a = 5 \) और \( b = 2 \)। दीर्घ अक्ष y-अक्ष के साथ है।

उत्केन्द्रता (e): हम जानते हैं कि \( b^2 = a^2(1 - e^2) \)
\( 4 = 25(1 - e^2) \)

\( \implies \frac{4}{25} = 1 - e^2 \)

\( \implies e^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \)

\( \implies e = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)

नाभिलम्ब की लम्बाई: \( \frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{5} = \frac{8}{5} \)

नाभि के निर्देशांक: चूँकि दीर्घ अक्ष y-अक्ष के साथ है, नाभि \( (0, \pm ae) \) होती है।
\( ae = 5 \times \frac{\sqrt{21}}{5} = \sqrt{21} \)
इसलिए, नाभि के निर्देशांक \( (0, \pm \sqrt{21}) \) हैं।

(iii) दिया गया दीर्घवृत्त है: \( 3x^2 + 4y^2 - 12x - 8y + 4 = 0 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( (3x^2 - 12x) + (4y^2 - 8y) + 4 = 0 \)
\( 3(x^2 - 4x) + 4(y^2 - 2y) + 4 = 0 \)
वर्ग पूरा करने के लिए:
\( 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 4(y^2 - 2y + 1 - 1) + 4 = 0 \)
\( 3((x - 2)^2 - 4) + 4((y - 1)^2 - 1) + 4 = 0 \)
\( 3(x - 2)^2 - 12 + 4(y - 1)^2 - 4 + 4 = 0 \)
\( 3(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 - 12 = 0 \)
\( 3(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 12 \)
दोनों पक्षों को 12 से भाग देने पर:
\( \frac{3(x - 2)^2}{12} + \frac{4(y - 1)^2}{12} = \frac{12}{12} \)

\( \implies \frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{3} = 1 \)
माना \( X = x - 2 \) और \( Y = y - 1 \)। तो समीकरण है: \( \frac{X^2}{4} + \frac{Y^2}{3} = 1 \)
यह मानक रूप \( \frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1 \) में है जहाँ \( a^2 = 4 \) और \( b^2 = 3 \)।
यहाँ, \( a = 2 \) और \( b = \sqrt{3} \)। चूँकि \( a > b \), दीर्घ अक्ष X-अक्ष के साथ है।

उत्केन्द्रता (e): हम जानते हैं कि \( b^2 = a^2(1 - e^2) \)
\( 3 = 4(1 - e^2) \)

\( \implies \frac{3}{4} = 1 - e^2 \)

\( \implies e^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \)

\( \implies e = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \)

नाभिलम्ब की लम्बाई: \( \frac{2b^2}{a} = \frac{2(3)}{2} = 3 \)

नाभि के निर्देशांक: \( (\pm ae, 0) \)
\( ae = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \)
इसलिए, नाभि के निर्देशांक \( (\pm 1, 0) \) हैं, जहाँ \( X = \pm 1 \) और \( Y = 0 \)।
मूल निर्देशांक में वापस बदलने पर:
जब \( X = 1 \), \( x - 2 = 1 \implies x = 3 \)। जब \( Y = 0 \), \( y - 1 = 0 \implies y = 1 \)।
जब \( X = -1 \), \( x - 2 = -1 \implies x = 1 \)। जब \( Y = 0 \), \( y - 1 = 0 \implies y = 1 \)।
इसलिए, नाभि के निर्देशांक \( (3, 1) \) और \( (1, 1) \) हैं।
In simple words: हमें उत्केन्द्रता, नाभिलम्ब की लम्बाई और नाभि के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप में बदलना होगा। फिर, हम \( a \) और \( b \) के मानों का उपयोग करके इन सभी गुणों की गणना करते हैं। यदि दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर नहीं है, तो हमें नाभि के निर्देशांक को मूल निर्देशांक प्रणाली में वापस बदलना होगा।

🎯 Exam Tip: When the ellipse equation is not centered at the origin, complete the square to shift the origin, find the properties in the new coordinate system, and then shift back to find the actual foci coordinates.

प्रश्न 3. उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके अक्ष निर्देश अक्ष हों तथा यह बिन्दुओं (6, 2) एवं (4, 3) के गुजरता हो।
Answer: हम मानते हैं कि दीर्घवृत्त का समीकरण, जिसके अक्ष निर्देश अक्षों के साथ हैं, \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है।
चूंकि दीर्घवृत्त बिन्दु \( (6, 2) \) से गुजरता है, तो यह बिन्दु समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( \frac{6^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \)

\( \implies \frac{36}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \) ... (1)
चूंकि दीर्घवृत्त बिन्दु \( (4, 3) \) से भी गुजरता है, तो यह बिन्दु भी समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( \frac{4^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1 \)

\( \implies \frac{16}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1 \) ... (2)
समीकरण (1) को 9 से और समीकरण (2) को 4 से गुणा करने पर:
\( \frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 9 \) ... (3)
\( \frac{64}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 4 \) ... (4)
समीकरण (3) में से समीकरण (4) घटाने पर:
\( \left( \frac{324}{a^2} + \frac{36}{b^2} \right) - \left( \frac{64}{a^2} + \frac{36}{b^2} \right) = 9 - 4 \)

\( \implies \frac{324 - 64}{a^2} = 5 \)

\( \implies \frac{260}{a^2} = 5 \)

\( \implies a^2 = \frac{260}{5} = 52 \)
\( a^2 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{36}{52} + \frac{4}{b^2} = 1 \)

\( \implies \frac{4}{b^2} = 1 - \frac{36}{52} \)

\( \implies \frac{4}{b^2} = \frac{52 - 36}{52} = \frac{16}{52} \)

\( \implies b^2 = \frac{4 \times 52}{16} = \frac{208}{16} = 13 \)
\( a^2 = 52 \) और \( b^2 = 13 \) के मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
\( \frac{x^2}{52} + \frac{y^2}{13} = 1 \)
यह दीर्घवृत्त का अभीष्ट समीकरण है।
In simple words: यदि कोई दीर्घवृत्त दो बिंदुओं से गुजरता है, तो हम प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक को दीर्घवृत्त के सामान्य समीकरण में डालते हैं। इससे हमें \( a^2 \) और \( b^2 \) के लिए दो समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करके \( a^2 \) और \( b^2 \) के मान ज्ञात किए जाते हैं, और फिर उन्हें वापस दीर्घवृत्त के समीकरण में रखकर अंतिम समीकरण प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: When an ellipse passes through given points, substitute the coordinates into the standard equation \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) to form a system of linear equations in \( \frac{1}{a^2} \) and \( \frac{1}{b^2} \). Solve these to find \( a^2 \) and \( b^2 \).

प्रश्न 4. उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलम्ब उसकी लघु अक्ष की आधी हो।
Answer: हम मानते हैं कि दीर्घवृत्त का समीकरण \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) है, जहाँ \( a > b \)।
नाभिलम्ब की लम्बाई \( = \frac{2b^2}{a} \)
लघु अक्ष की लम्बाई \( = 2b \)
प्रश्न के अनुसार, नाभिलम्ब की लम्बाई, लघु अक्ष की आधी है:
\( \frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b) \)

\( \implies \frac{2b^2}{a} = b \)
चूँकि \( b \neq 0 \) (क्योंकि यह एक दीर्घवृत्त है), हम \( b \) से भाग दे सकते हैं:
\( \frac{2b}{a} = 1 \)

\( \implies 2b = a \)

\( \implies b = \frac{a}{2} \)
अब, उत्केन्द्रता \( e \) ज्ञात करने के लिए, हम संबंध \( b^2 = a^2(1 - e^2) \) का उपयोग करते हैं।
\( \left( \frac{a}{2} \right)^2 = a^2(1 - e^2) \)

\( \implies \frac{a^2}{4} = a^2(1 - e^2) \)
चूँकि \( a \neq 0 \), हम \( a^2 \) से भाग दे सकते हैं:
\( \frac{1}{4} = 1 - e^2 \)

\( \implies e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

\( \implies e = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
इसलिए, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) है। एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है, जो इस परिणाम से मेल खाती है।
In simple words: उत्केन्द्रता ज्ञात करने के लिए, हमें नाभिलम्ब की लम्बाई और लघु अक्ष की लम्बाई के बीच दिए गए संबंध का उपयोग करना होगा। इन सूत्रों को बराबर करके, हम \( a \) और \( b \) के बीच एक संबंध प्राप्त करते हैं, जिसे फिर उत्केन्द्रता के सूत्र में डालकर \( e \) का मान निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: Always remember the standard formulas for the length of the latus rectum \( \left( \frac{2b^2}{a} \right) \), minor axis \( (2b) \), and the eccentricity relation \( b^2 = a^2(1 - e^2) \) for an ellipse. These are fundamental for solving such problems.