RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.4

Question 1. उन प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ सरल रेखा \( 4y + 3x + 6 = 0 \) परवलय \( 2y^2 = 9x \) को काटती है।
Answer: सरल रेखा का समीकरण है: \( 4y + 3x + 6 = 0 \).....(1)
परवलय का समीकरण है: \( 2y^2 = 9x \).....(2)
समीकरण (2) से \( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( 4y + 3 \left( \frac{2y^2}{9} \right) + 6 = 0 \)
\( \implies 4y + \frac{2y^2}{3} + 6 = 0 \)
पूरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर:
\( \implies 12y + 2y^2 + 18 = 0 \)
2 से भाग देने पर:
\( \implies y^2 + 6y + 9 = 0 \)
यह एक पूर्ण वर्ग है, इसे ऐसे लिखा जा सकता है:
\( \implies (y + 3)^2 = 0 \)
इससे \( y \) का मान मिलता है:
\( \implies y = -3 \)
अब \( y \) का मान समीकरण (2) में रखने पर:
\( 2(-3)^2 = 9x \)
\( 2(9) = 9x \)
\( 18 = 9x \)
\( \implies x = 2 \)
इसलिए, प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक \( (2, -3) \) हैं। यह दिखाता है कि रेखा परवलय को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जिसका अर्थ है कि यह एक स्पर्श रेखा भी है।
In simple words: हमें एक सीधी रेखा और एक घुमावदार परवलय दिया गया है। हम यह पता लगाते हैं कि वे कहाँ मिलते हैं। ऐसा करने के लिए, हमने एक समीकरण से 'x' का मान निकाला और उसे दूसरे में डाल दिया। इसे हल करने पर हमें 'y' का मान मिला, और फिर 'x' का मान मिला। जिस बिंदु पर वे मिलते हैं, वह \( (2, -3) \) है।

🎯 Exam Tip: When finding intersection points, always substitute one variable from one equation into the other equation to get a single variable quadratic equation. Solve it to find the values and then find the corresponding values of the other variable.

Question 2. परवलय \( y^2 = 8x \) द्वारा रेखा \( 4y – 3x = 8 \) पर काटी गई जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 8x \)
इसकी तुलना मानक परवलय \( y^2 = 4ax \) से करने पर, हमें \( 4a = 8 \) मिलता है, जिसका अर्थ है \( a = 2 \).
रेखा का समीकरण है: \( 4y - 3x = 8 \)
इसे \( y = mx + c \) के रूप में लिखने पर:
\( 4y = 3x + 8 \)
\( \implies y = \frac{3}{4}x + 2 \)
यहाँ, ढाल \( m = \frac{3}{4} \) और \( c = 2 \).
परवलय पर रेखा द्वारा काटी गई जीवा की लम्बाई ज्ञात करने का सूत्र है:
जीवा की लम्बाई \( = \frac{4}{m^2} \sqrt{a(a - mc)(1 + m^2)} \)
अब, दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:
\( = \frac{4}{(\frac{3}{4})^2} \sqrt{2 \left(2 - \frac{3}{4} \times 2\right) \left(1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2\right)} \)
\( = \frac{4}{\frac{9}{16}} \sqrt{2 \left(2 - \frac{6}{4}\right) \left(1 + \frac{9}{16}\right)} \)
\( = \frac{16 \times 4}{9} \sqrt{2 \left(2 - \frac{3}{2}\right) \left(\frac{16+9}{16}\right)} \)
\( = \frac{64}{9} \sqrt{2 \left(\frac{4-3}{2}\right) \left(\frac{25}{16}\right)} \)
\( = \frac{64}{9} \sqrt{2 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{25}{16}\right)} \)
\( = \frac{64}{9} \sqrt{\frac{25}{16}} \)
\( = \frac{64}{9} \times \frac{5}{4} \)
\( = \frac{16 \times 5}{9} \)
\( = \frac{80}{9} \)
इसलिए, जीवा की लम्बाई \( \frac{80}{9} \) इकाई है। यह सूत्र परवलय और रेखा के बीच की दूरी को मापने में मदद करता है।
In simple words: हमें परवलय \( y^2 = 8x \) और एक सीधी रेखा \( 4y - 3x = 8 \) दी गई है। हमने पहले परवलय और रेखा के बारे में जानकारी निकाली। फिर, एक खास सूत्र का उपयोग करके, हमने उस रेखा के हिस्से की लंबाई निकाली जो परवलय के अंदर कटती है। यह लंबाई \( \frac{80}{9} \) है।

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the length of a chord cut by a parabola. Ensure you correctly identify 'a', 'm', and 'c' from the given equations before substituting them into the formula.

Question 3. सिद्ध कीजिए कि सरल रेखा \( x + y = 1 \) परवलय \( y = x - x^2 \) को स्पर्श करती है।
Answer: सरल रेखा का समीकरण है: \( x + y = 1 \).....(1)
परवलय का समीकरण है: \( y = x - x^2 \).....(2)
स्पर्श करने के लिए, रेखा और परवलय को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।
समीकरण (1) से \( y \) का मान निकालने पर: \( y = 1 - x \)
अब इस \( y \) के मान को समीकरण (2) में रखने पर:
\( 1 - x = x - x^2 \)
सारे पदों को एक तरफ लाने पर:
\( x^2 - x - x + 1 = 0 \)
\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)
यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( (x - 1)^2 = 0 \)
इससे \( x \) का मान मिलता है: \( x = 1 \)
अब \( x = 1 \) को \( y = 1 - x \) में रखने पर:
\( y = 1 - 1 \)
\( \implies y = 0 \)
क्योंकि हमें \( x \) और \( y \) का केवल एक ही मान \( (1, 0) \) मिला है, इसका मतलब है कि रेखा परवलय को केवल एक बिंदु पर काटती है, यानी स्पर्श करती है। यह सिद्ध करता है कि दी गई रेखा परवलय की स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमें एक सीधी रेखा और एक घुमावदार परवलय दिया गया है। हमने यह देखने के लिए कि क्या वे एक-दूसरे को छूते हैं, उनके समीकरणों को एक साथ हल किया। चूंकि हमें केवल एक ही समाधान मिला, इसका मतलब है कि रेखा परवलय को केवल एक बिंदु पर छूती है, जिसे "स्पर्श" करना कहते हैं।

🎯 Exam Tip: To prove that a line touches a curve, substitute the line equation into the curve equation. If the resulting quadratic equation has exactly one solution (i.e., its discriminant is zero), then the line is a tangent to the curve.

Question 4. परवलय \( y^2 = 4ax \) को रेखा \( lx + my + n = 0 \) द्वारा स्पर्श करने का प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए।
Answer: परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 4ax \)
रेखा का समीकरण है: \( lx + my + n = 0 \)
रेखा के समीकरण से \( x \) का मान निकालने पर:
\( lx = -my - n \)
\( \implies x = \frac{-my - n}{l} \)
अब \( x \) के इस मान को परवलय के समीकरण में रखने पर:
\( y^2 = 4a \left( \frac{-my - n}{l} \right) \)
\( \implies ly^2 = -4a(my + n) \)
\( \implies ly^2 = -4amy - 4an \)
सभी पदों को बाईं ओर लाने पर:
\( ly^2 + 4amy + 4an = 0 \).....(1)
यह \( y \) में एक द्विघात समीकरण है। यदि रेखा परवलय को स्पर्श करती है, तो इस द्विघात समीकरण के मूल समान होने चाहिए। मूल समान होने की शर्त है कि विविक्तकर (discriminant) शून्य हो, यानी \( B^2 - 4AC = 0 \).
समीकरण (1) की तुलना \( Ay^2 + By + C = 0 \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( A = l \), \( B = 4am \), \( C = 4an \)
शर्त \( B^2 - 4AC = 0 \) में मान रखने पर:
\( (4am)^2 - 4(l)(4an) = 0 \)
\( 16a^2m^2 - 16aln = 0 \)
\( 16a(am^2 - ln) = 0 \)
चूँकि \( a \ne 0 \), हम \( 16a \) से भाग दे सकते हैं:
\( am^2 - ln = 0 \)
\( \implies am^2 = ln \)
यह वह शर्त है जिसके लिए दी गई रेखा परवलय को स्पर्श करती है। यह शर्त सुनिश्चित करती है कि समीकरण का केवल एक ही समाधान है।
In simple words: हमने एक परवलय और एक सीधी रेखा दी है। हमने रेखा के समीकरण से 'x' का मान निकाला और उसे परवलय के समीकरण में डाल दिया। इससे हमें 'y' का एक नया समीकरण मिला। क्योंकि रेखा परवलय को छूती है (स्पर्श करती है), इसका मतलब है कि 'y' के इस समीकरण का केवल एक ही हल होना चाहिए। इस शर्त को लगाने पर हमें \( am^2 = ln \) मिला, जो यह बताता है कि रेखा परवलय को कब छुएगी।

🎯 Exam Tip: For tangency conditions, always form a quadratic equation by substituting the line into the curve equation. Then, apply the discriminant condition \( B^2 - 4AC = 0 \) for the quadratic to have equal roots, which signifies a single point of intersection (tangency).

Question 5. सिद्ध कीजिए कि \( x \)-अक्ष से "a" कोण बनाने वाली परवलय \( y^2 = 4ax \) की नाभीय जीवा की लम्बाई \( 4a \cosec^2\alpha \) होगी।
Answer: \( x \)-अक्ष से \( \alpha \) कोण बनाने वाली जीवा का समीकरण है:
\( y = (\tan \alpha) x + c \).....(1)
परवलय \( y^2 = 4ax \) की नाभि \( (a, 0) \) होती है।
चूँकि जीवा नाभि \( (a, 0) \) से होकर गुजरती है, यह नाभीय जीवा है। नाभि के निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करेंगे:
\( 0 = (\tan \alpha) a + c \)
\( \implies c = -a \tan \alpha \).....(2)
समीकरण (1) में \( c \) का मान रखने पर, नाभीय जीवा का समीकरण मिलता है:
\( y = (\tan \alpha) x - a \tan \alpha \)
\( \implies y = \tan \alpha (x - a) \).....(3)
अब, परवलय \( y^2 = 4ax \) और जीवा \( y = \tan \alpha (x - a) \) के प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए, \( y \) के मान को परवलय के समीकरण में रखने पर:
\( (\tan \alpha (x - a))^2 = 4ax \)
\( \tan^2 \alpha (x^2 - 2ax + a^2) = 4ax \)
\( \tan^2 \alpha \cdot x^2 - 2a \tan^2 \alpha \cdot x + a^2 \tan^2 \alpha = 4ax \)
सारे पदों को एक तरफ लाने पर:
\( \tan^2 \alpha \cdot x^2 - (2a \tan^2 \alpha + 4a)x + a^2 \tan^2 \alpha = 0 \)
\( \implies \tan^2 \alpha \cdot x^2 - 2a(2 + \tan^2 \alpha)x + a^2 \tan^2 \alpha = 0 \).....(4)
यह \( x \) में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए नाभीय जीवा के छोर \( P(x_1, y_1) \) और \( Q(x_2, y_2) \) हैं, जहाँ \( x_1 \) और \( x_2 \) समीकरण (4) के मूल हैं।
मलों के योगफल से: \( x_1 + x_2 = \frac{2a(2 + \tan^2 \alpha)}{\tan^2 \alpha} \)
मलों के गुणनफल से: \( x_1 x_2 = \frac{a^2 \tan^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} = a^2 \)
हम जानते हैं कि नाभीय जीवा की लम्बाई का सूत्र \( PQ = \frac{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{\sqrt{1+m^2}} \) के समान नहीं है। नाभीय जीवा की लम्बाई का एक सीधा सूत्र है \( L = a \sec^2 \beta \) जहाँ \( \beta \) जीवा का झुकाव है, लेकिन यहाँ \( \alpha \) अक्ष से कोण है।
एक नाभीय जीवा के छोर \( (at_1^2, 2at_1) \) और \( (at_2^2, 2at_2) \) होते हैं, जहाँ \( t_1 t_2 = -1 \).
मान लीजिए जीवा के छोर \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) हैं।
\( y_1 = \tan \alpha (x_1 - a) \) और \( y_2 = \tan \alpha (x_2 - a) \)
जीवा की लम्बाई \( PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (\tan \alpha (x_2 - a) - \tan \alpha (x_1 - a))^2} \)
\( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (\tan \alpha (x_2 - x_1))^2} \)
\( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 (1 + \tan^2 \alpha)} \)
\( = |x_2 - x_1| \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} \)
\( = |x_2 - x_1| \sec \alpha \)
हम जानते हैं कि \( |x_2 - x_1| = \frac{\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}}{\tan^2 \alpha} \)
\( x_1 + x_2 = \frac{2a(2 + \tan^2 \alpha)}{\tan^2 \alpha} \)
\( x_1 x_2 = a^2 \)
\( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 \)
\( = \left( \frac{2a(2 + \tan^2 \alpha)}{\tan^2 \alpha} \right)^2 - 4a^2 \)
\( = \frac{4a^2(2 + \tan^2 \alpha)^2}{\tan^4 \alpha} - 4a^2 \)
\( = \frac{4a^2}{\tan^4 \alpha} [(2 + \tan^2 \alpha)^2 - \tan^4 \alpha] \)
\( = \frac{4a^2}{\tan^4 \alpha} [4 + 4 \tan^2 \alpha + \tan^4 \alpha - \tan^4 \alpha] \)
\( = \frac{4a^2}{\tan^4 \alpha} [4 + 4 \tan^2 \alpha] \)
\( = \frac{16a^2}{\tan^4 \alpha} [1 + \tan^2 \alpha] \)
\( = \frac{16a^2 \sec^2 \alpha}{\tan^4 \alpha} \)
\( |x_2 - x_1| = \sqrt{\frac{16a^2 \sec^2 \alpha}{\tan^4 \alpha}} = \frac{4a \sec \alpha}{\tan^2 \alpha} \)
जीवा की लम्बाई \( PQ = |x_2 - x_1| \sec \alpha = \left( \frac{4a \sec \alpha}{\tan^2 \alpha} \right) \sec \alpha \)
\( = \frac{4a \sec^2 \alpha}{\tan^2 \alpha} \)
\( = \frac{4a}{\cos^2 \alpha} \times \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \)
\( = \frac{4a}{\sin^2 \alpha} = 4a \cosec^2 \alpha \)
इस प्रकार, सिद्ध होता है कि नाभीय जीवा की लम्बाई \( 4a \cosec^2 \alpha \) होगी। यह परिणाम परवलय की ज्यामितीय विशेषताओं को दर्शाता है।
In simple words: हमें परवलय \( y^2 = 4ax \) की एक खास जीवा की लंबाई सिद्ध करनी थी, जो \( x \)-अक्ष से एक कोण \( \alpha \) बनाती है और नाभि से गुजरती है। हमने पहले उस जीवा का समीकरण बनाया जो नाभि से गुजरती है। फिर, हमने जीवा और परवलय के प्रतिच्छेद बिंदुओं के \( x \) निर्देशांकों को पाया। उन \( x \) निर्देशांकों का उपयोग करके और एक सूत्र लगाकर, हमने सिद्ध किया कि जीवा की लंबाई \( 4a \cosec^2 \alpha \) है।

🎯 Exam Tip: When dealing with focal chords, remember that the focus \( (a, 0) \) for \( y^2 = 4ax \) is crucial. Use the standard chord length formula in terms of \( x_1, x_2, y_1, y_2 \) or parameterization \( (at^2, 2at) \) with \( t_1 t_2 = -1 \) for simpler calculations.

Question 7. निम्न परवलयों पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) \( y^2 = 6x \), जो रेखा \( 2x – 3y = 4 \) के समान्तर हो।
(ii) \( y^2 = 8x \), जो रेखा \( 2x - y + 1 = 0 \) के लम्बवत् हो।
Answer:
(i) हमें परवलय \( y^2 = 6x \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है, जो रेखा \( 2x – 3y = 4 \) के समान्तर हो।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 6x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 6 \implies a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
दी गई रेखा का समीकरण है: \( 2x – 3y = 4 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में लिखने पर:
\( 3y = 2x - 4 \)
\( y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} \)
इस रेखा का ढाल \( m_1 = \frac{2}{3} \) है।
चूँकि स्पर्श रेखा इस रेखा के समान्तर है, तो स्पर्श रेखा का ढाल भी \( m = m_1 = \frac{2}{3} \) होगा।
परवलय \( y^2 = 4ax \) की स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = mx + \frac{a}{m} \) होता है।
यहाँ \( a = \frac{3}{2} \) और \( m = \frac{2}{3} \) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = \frac{2}{3}x + \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} \)
\( y = \frac{2}{3}x + \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \)
\( y = \frac{2}{3}x + \frac{9}{4} \)
समीकरण को सरल बनाने के लिए 12 से गुणा करने पर:
\( 12y = 8x + 27 \)
\( \implies 8x - 12y + 27 = 0 \)
यह अभीष्ट स्पर्श रेखा का समीकरण है। यह दर्शाता है कि एक परवलय की स्पर्श रेखा का ढाल, दी गई रेखा के ढाल के बराबर होता है यदि वे समानांतर हों।

(ii) हमें परवलय \( y^2 = 8x \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है, जो रेखा \( 2x - y + 1 = 0 \) के लम्बवत् हो।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 8x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 8 \implies a = 2 \).
दी गई रेखा का समीकरण है: \( 2x - y + 1 = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में लिखने पर:
\( y = 2x + 1 \)
इस रेखा का ढाल \( m_1 = 2 \) है।
चूँकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लम्बवत् है, तो स्पर्श रेखा का ढाल \( m \) ऐसा होगा कि \( m \times m_1 = -1 \).
\( m \times 2 = -1 \implies m = -\frac{1}{2} \)
परवलय \( y^2 = 4ax \) की स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = mx + \frac{a}{m} \) होता है।
यहाँ \( a = 2 \) और \( m = -\frac{1}{2} \) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = -\frac{1}{2}x + \frac{2}{-\frac{1}{2}} \)
\( y = -\frac{1}{2}x - 4 \)
समीकरण को सरल बनाने के लिए 2 से गुणा करने पर:
\( 2y = -x - 8 \)
\( \implies x + 2y + 8 = 0 \)
यह अभीष्ट स्पर्श रेखा का समीकरण है। यह दिखाता है कि लंबवत रेखा के ढाल के लिए \( -1/m \) का उपयोग किया जाता है।
In simple words: पहले भाग में, हमने परवलय \( y^2 = 6x \) पर ऐसी सीधी रेखा निकाली जो एक दूसरी रेखा के बिल्कुल समानांतर थी। इसके लिए हमने समानांतर रेखा का ढाल लिया और उसे परवलय के स्पर्श रेखा के सूत्र में डाला। दूसरे भाग में, हमने परवलय \( y^2 = 8x \) पर ऐसी सीधी रेखा निकाली जो एक दूसरी रेखा के ठीक लंबवत थी। इसके लिए हमने लंबवत रेखा का ढाल निकाला (जो पहले वाले के ढाल का नकारात्मक व्युत्क्रम होता है) और उसे सूत्र में इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: Remember the conditions for parallel and perpendicular lines: parallel lines have the same slope, and perpendicular lines have slopes whose product is -1. Use the standard tangent equation \( y = mx + \frac{a}{m} \) for parabolas of the form \( y^2 = 4ax \).

Question 8. \( k \) के किस मान के लिए रेखा \( 2x – 3y - k \) परवलय \( y^2 = 6x \) को स्पर्श करेगी ?
Answer: परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 6x \)
इसकी तुलना मानक परवलय \( y^2 = 4ax \) से करने पर, हमें \( 4a = 6 \implies a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) मिलता है।
दी गई रेखा का समीकरण है: \( 2x – 3y - k = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में लिखने पर:
\( 3y = 2x - k \)
\( y = \frac{2}{3}x - \frac{k}{3} \)
इस रेखा के लिए, ढाल \( m = \frac{2}{3} \) और अंतःखंड \( c = -\frac{k}{3} \) है।
परवलय \( y^2 = 4ax \) को स्पर्श करने की शर्त है \( c = \frac{a}{m} \).
यहाँ, \( a = \frac{3}{2} \), \( m = \frac{2}{3} \) और \( c = -\frac{k}{3} \) है। इन मानों को शर्त में रखने पर:
\( -\frac{k}{3} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}} \)
\( -\frac{k}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} \)
\( -\frac{k}{3} = \frac{9}{4} \)
\( -k = 3 \times \frac{9}{4} \)
\( -k = \frac{27}{4} \)
\( \implies k = -\frac{27}{4} \)
इसलिए, \( k \) का मान \( -\frac{27}{4} \) होने पर रेखा परवलय को स्पर्श करेगी। यह शर्त सुनिश्चित करती है कि रेखा और परवलय का केवल एक ही प्रतिच्छेद बिंदु होगा।
In simple words: हमें एक परवलय और एक रेखा दी गई है जिसमें 'k' नामक एक अज्ञात संख्या है। हम यह पता लगाना चाहते हैं कि 'k' का कौन सा मान रेखा को परवलय को ठीक एक बिंदु पर छूने देगा। हमने परवलय और रेखा से कुछ संख्याएं निकालीं, फिर उन्हें एक खास सूत्र में डाला। हल करने पर हमें 'k' का मान \( -\frac{27}{4} \) मिला।

🎯 Exam Tip: Always remember the tangency condition \( c = \frac{a}{m} \) for a parabola \( y^2 = 4ax \) and a line \( y = mx + c \). Extract 'a', 'm', and 'c' correctly from the given equations before applying the condition.

Question 9. स्पर्श रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु \( (4, 10) \) से परवलय \( y^2 = 8x \) पर खींची जाती है।
Answer: परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 8x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 8 \implies a = 2 \).
दिया गया बाह्य बिन्दु \( (x_1, y_1) = (4, 10) \) है।
बाह्य बिन्दु से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण का सूत्र \( SS_1 = T^2 \) होता है, जहाँ:
\( S = y^2 - 4ax \)
\( S_1 = y_1^2 - 4ax_1 \)
\( T = yy_1 - 2a(x + x_1) \)
मान रखने पर:
\( S = y^2 - 8x \)
\( S_1 = (10)^2 - 8(4) = 100 - 32 = 68 \)
\( T = y(10) - 2(2)(x + 4) = 10y - 4(x + 4) = 10y - 4x - 16 \)
अब \( SS_1 = T^2 \) में इन मानों को रखने पर:
\( (y^2 - 8x)(68) = (10y - 4x - 16)^2 \)
\( 68y^2 - 544x = (10y - 4x - 16)^2 \)
वर्ग खोलने पर:
\( 68y^2 - 544x = (10y)^2 + (-4x)^2 + (-16)^2 + 2(10y)(-4x) + 2(-4x)(-16) + 2(10y)(-16) \)
\( 68y^2 - 544x = 100y^2 + 16x^2 + 256 - 80xy + 128x - 320y \)
सभी पदों को दाहिनी ओर लाने पर:
\( 0 = 100y^2 - 68y^2 + 16x^2 + 544x + 128x + 256 - 80xy - 320y \)
\( 0 = 32y^2 + 16x^2 + 672x - 320y - 80xy + 256 \)
पूरे समीकरण को 16 से भाग देने पर:
\( 0 = 2y^2 + x^2 + 42x - 20y - 5xy + 16 \)
\( \implies x^2 + 2y^2 - 5xy + 42x - 20y + 16 = 0 \)
यह बाह्य बिन्दु से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाओं का संयुक्त समीकरण है। यह एक द्विपदी समीकरण है, जो दो स्पर्श रेखाओं को दर्शाता है।
In simple words: हमें परवलय \( y^2 = 8x \) और एक बाहरी बिंदु \( (4, 10) \) दिया गया है। हमें उस बिंदु से परवलय तक खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं के समीकरण खोजने थे। हमने \( SS_1 = T^2 \) नामक एक विशेष सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( S, S_1 \), और \( T \) परवलय और बिंदु से संबंधित कुछ मान हैं। इन मानों को सूत्र में रखने और हल करने पर, हमें एक लंबा समीकरण मिला जो उन सभी स्पर्श रेखाओं को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: For tangents from an external point \( (x_1, y_1) \) to a conic section, use the \( SS_1 = T^2 \) formula. Remember to correctly calculate \( S_1 \) and \( T \) based on the conic equation before squaring and expanding the terms carefully.

Question 10. निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) \( y^2 = 8x \) के बिन्दु \( (2, 4) \) पर
(ii) \( y^2 + 12x = 0 \) की नाभि के ऊपरी सिरे पर।
Answer:
(i) हमें परवलय \( y^2 = 8x \) के बिन्दु \( (2, 4) \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना है।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 8x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 8 \implies a = 2 \).
बिन्दु \( (x_1, y_1) = (2, 4) \) दिया गया है।
परवलय \( y^2 = 4ax \) पर किसी बिन्दु \( (x_1, y_1) \) पर अभिलम्ब का समीकरण है:
\( y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1) \)
यहाँ \( a = 2 \), \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 4 \) है। मान रखने पर:
\( y - 4 = -\frac{4}{2(2)}(x - 2) \)
\( y - 4 = -\frac{4}{4}(x - 2) \)
\( y - 4 = -1(x - 2) \)
\( y - 4 = -x + 2 \)
\( \implies x + y - 6 = 0 \)
यह अभीष्ट अभिलम्ब का समीकरण है। अभिलम्ब हमेशा स्पर्श रेखा के लंबवत होता है।

(ii) हमें परवलय \( y^2 + 12x = 0 \) की नाभि के ऊपरी सिरे पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना है।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 + 12x = 0 \implies y^2 = -12x \)
इसकी तुलना \( y^2 = -4ax \) से करने पर, \( -4a = -12 \implies a = 3 \).
इस प्रकार के परवलय की नाभि \( (-a, 0) \) होती है, जो यहाँ \( (-3, 0) \) है।
नाभिलम्ब के सिरे \( (-a, \pm 2a) \) होते हैं।
तो, नाभि के ऊपरी सिरे के निर्देशांक \( (-a, 2a) = (-3, 2 \times 3) = (-3, 6) \) हैं।
यह अभिलम्ब बिन्दु \( (x_1, y_1) = (-3, 6) \) पर ज्ञात करना है।
परवलय \( y^2 = -4ax \) पर किसी बिन्दु \( (x_1, y_1) \) पर अभिलम्ब का समीकरण है:
\( y - y_1 = \frac{y_1}{2a}(x - x_1) \)
यहाँ \( a = 3 \), \( x_1 = -3 \), \( y_1 = 6 \) है। मान रखने पर:
\( y - 6 = \frac{6}{2(3)}(x - (-3)) \)
\( y - 6 = \frac{6}{6}(x + 3) \)
\( y - 6 = 1(x + 3) \)
\( y - 6 = x + 3 \)
\( \implies x - y + 9 = 0 \)
यह अभीष्ट अभिलम्ब का समीकरण है। यह दर्शाता है कि नाभिलम्ब के सिरे पर अभिलम्ब की ढाल परवलय के प्रकार पर निर्भर करती है।
In simple words: पहले भाग में, हमें एक परवलय और उस पर एक बिंदु दिया गया था। हमने उस बिंदु पर परवलय के 'अभिलम्ब' का समीकरण ज्ञात किया, जो उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। दूसरे भाग में, हमें एक अलग परवलय दिया गया था और हमें उसकी 'नाभि के ऊपरी सिरे' पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना था। हमने पहले उस सिरे के निर्देशांक निकाले, फिर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करने के लिए उसी सूत्र का इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: For normals to a parabola at a given point, remember the general formula \( y - y_1 = m_{normal}(x - x_1) \), where \( m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} \). For \( y^2 = 4ax \), \( m_{tangent} = \frac{2a}{y_1} \), so \( m_{normal} = -\frac{y_1}{2a} \). For \( y^2 = -4ax \), \( m_{tangent} = -\frac{2a}{y_1} \), so \( m_{normal} = \frac{y_1}{2a} \). Carefully identify 'a' and \( (x_1, y_1) \).

Question 11. निम्न परवलयों पर अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए-
(i) \( y^2 = 4x \) जो \( y - 2x + 5 = 0 \) के समान्तर हो।
(ii) \( y^2 = 4x \) जो \( x + 3y - 1 = 0 \) के लम्बवत् हो।
Answer:
(i) हमें परवलय \( y^2 = 4x \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना है, जो रेखा \( y - 2x + 5 = 0 \) के समान्तर हो।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 4x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 4 \implies a = 1 \).
दी गई रेखा का समीकरण है: \( y - 2x + 5 = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में लिखने पर:
\( y = 2x - 5 \)
इस रेखा का ढाल \( m_1 = 2 \) है।
चूँकि अभिलम्ब इस रेखा के समान्तर है, तो अभिलम्ब का ढाल भी \( m = m_1 = 2 \) होगा।
परवलय \( y^2 = 4ax \) के अभिलम्ब का समीकरण \( y = mx - 2am - am^3 \) होता है।
यहाँ \( a = 1 \) और \( m = 2 \) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = (2)x - 2(1)(2) - 1(2)^3 \)
\( y = 2x - 4 - 8 \)
\( y = 2x - 12 \)
\( \implies y - 2x + 12 = 0 \)
यह अभीष्ट अभिलम्ब का समीकरण है। यह दर्शाता है कि एक परवलय के अभिलम्ब का ढाल, दी गई रेखा के ढाल के बराबर होता है यदि वे समानांतर हों।

(ii) हमें परवलय \( y^2 = 4x \) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात करना है, जो रेखा \( x + 3y - 1 = 0 \) के लम्बवत् हो।
परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 4x \)
इसकी तुलना \( y^2 = 4ax \) से करने पर, \( 4a = 4 \implies a = 1 \).
दी गई रेखा का समीकरण है: \( x + 3y - 1 = 0 \)
इसे ढाल-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में लिखने पर:
\( 3y = -x + 1 \)
\( y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \)
इस रेखा का ढाल \( m_1 = -\frac{1}{3} \) है।
चूँकि अभिलम्ब इस रेखा के लम्बवत् है, तो अभिलम्ब का ढाल \( m \) ऐसा होगा कि \( m \times m_1 = -1 \).
\( m \times (-\frac{1}{3}) = -1 \implies m = 3 \)
परवलय \( y^2 = 4ax \) के अभिलम्ब का समीकरण \( y = mx - 2am - am^3 \) होता है।
यहाँ \( a = 1 \) और \( m = 3 \) है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = (3)x - 2(1)(3) - 1(3)^3 \)
\( y = 3x - 6 - 27 \)
\( y = 3x - 33 \)
\( \implies 3x - y - 33 = 0 \)
यह अभीष्ट अभिलम्ब का समीकरण है। यह दिखाता है कि लंबवत रेखा के ढाल के लिए \( -1/m \) का उपयोग किया जाता है।
In simple words: पहले भाग में, हमने परवलय \( y^2 = 4x \) पर ऐसी सीधी रेखा (अभिलम्ब) निकाली जो एक दूसरी रेखा के बिल्कुल समानांतर थी। इसके लिए हमने समानांतर रेखा का ढाल लिया और उसे परवलय के अभिलम्ब के सूत्र में डाला। दूसरे भाग में, हमने उसी परवलय पर ऐसी सीधी रेखा (अभिलम्ब) निकाली जो एक दूसरी रेखा के ठीक लंबवत थी। इसके लिए हमने लंबवत रेखा का ढाल निकाला (जो पहले वाले के ढाल का नकारात्मक व्युत्क्रम होता है) और उसे सूत्र में इस्तेमाल किया।

🎯 Exam Tip: For problems involving parallel or perpendicular normals, first find the slope of the given line. Then, determine the slope of the normal (same slope for parallel, negative reciprocal for perpendicular). Finally, use the general normal equation \( y = mx - 2am - am^3 \) for parabola \( y^2 = 4ax \).

Question 12. सिद्ध कीजिए कि रेखा \( 2x + y - 12a = 0 \) परवलय \( y^2 = 4ax \) पर अभिलम्ब जीवा है तथा उसकी लम्बाई \( 5\sqrt{5}a \) इकाई है।
Answer: परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 4ax \).
अभिलम्ब का सामान्य समीकरण है: \( y = mx - 2am - am^3 \).
दी गई रेखा का समीकरण है: \( 2x + y - 12a = 0 \)
इस रेखा को \( y = mx + c \) के रूप में लिखने पर: \( y = -2x + 12a \).
यहां से, \( m = -2 \) और \( c = 12a \).
अब, अभिलम्ब के सामान्य समीकरण \( y = mx - 2am - am^3 \) की तुलना दी गई रेखा के समीकरण से करने पर:
\( y = (-2)x - 2a(-2) - a(-2)^3 \)
\( y = -2x + 4a - a(-8) \)
\( y = -2x + 4a + 8a \)
\( y = -2x + 12a \)
यह समीकरण दी गई रेखा \( y = -2x + 12a \) के समान है। यह सिद्ध करता है कि रेखा \( 2x + y - 12a = 0 \) परवलय \( y^2 = 4ax \) पर एक अभिलम्ब है। अभिलम्ब होने का मतलब है कि यह रेखा परवलय के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत है।

अब, अभिलम्ब जीवा की लम्बाई ज्ञात करने के लिए।
अभिलम्ब का समीकरण \( y = mx - 2am - am^3 \) है, जहाँ \( m = -2 \).
\( y = -2x - 2a(-2) - a(-2)^3 \)
\( y = -2x + 4a + 8a \)
\( y = -2x + 12a \)
अभिलम्ब जीवा के छोरों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम \( x \) का मान \( y^2 = 4ax \) से \( y = -2x + 12a \) में रखेंगे, या \( y \) का मान \( x = \frac{y^2}{4a} \) को \( y = -2x + 12a \) में रखेंगे:
\( y = -2 \left( \frac{y^2}{4a} \right) + 12a \)
\( y = -\frac{y^2}{2a} + 12a \)
\( 2ay = -y^2 + 24a^2 \)
\( y^2 + 2ay - 24a^2 = 0 \)
यह \( y \) में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल \( y_1 \) और \( y_2 \) अभिलम्ब जीवा के छोरों के \( y \) निर्देशांक होंगे।
इस समीकरण को हल करने के लिए, हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं:
\( y^2 + 6ay - 4ay - 24a^2 = 0 \)
\( y(y + 6a) - 4a(y + 6a) = 0 \)
\( (y - 4a)(y + 6a) = 0 \)
इसलिए, \( y_1 = 4a \) और \( y_2 = -6a \).
अब, इन \( y \) मानों के लिए \( x \) मान ज्ञात करने के लिए, \( x = \frac{y^2}{4a} \) का उपयोग करेंगे:
यदि \( y_1 = 4a \): \( x_1 = \frac{(4a)^2}{4a} = \frac{16a^2}{4a} = 4a \)
यदि \( y_2 = -6a \): \( x_2 = \frac{(-6a)^2}{4a} = \frac{36a^2}{4a} = 9a \)
इसलिए, अभिलम्ब जीवा के छोरों के निर्देशांक \( P(4a, 4a) \) और \( Q(9a, -6a) \) हैं।
इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी (जीवा की लम्बाई) ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे:
दूरी \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{(9a - 4a)^2 + (-6a - 4a)^2} \)
\( d = \sqrt{(5a)^2 + (-10a)^2} \)
\( d = \sqrt{25a^2 + 100a^2} \)
\( d = \sqrt{125a^2} \)
\( d = \sqrt{25 \times 5 \times a^2} \)
\( d = 5a\sqrt{5} \)
इसलिए, अभिलम्ब जीवा की लम्बाई \( 5\sqrt{5}a \) इकाई है। यह सिद्ध करता है कि परवलय के अभिलम्ब जीवा की लम्बाई \( 5\sqrt{5}a \) है।
In simple words: हमें एक परवलय और एक सीधी रेखा दी गई है। पहले हमने दिखाया कि यह रेखा परवलय की 'अभिलम्ब' है, जिसका अर्थ है कि यह परवलय को ऐसे बिंदु पर काटती है जहाँ यह स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। फिर, हमने उन दो बिंदुओं को खोजा जहाँ यह अभिलम्ब रेखा परवलय को काटती है। अंत में, हमने उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकाली, जिससे पता चला कि जीवा की लंबाई \( 5\sqrt{5}a \) है।

🎯 Exam Tip: To prove a line is a normal, compare its equation with the general normal equation \( y = mx - 2am - am^3 \). To find the length of the normal chord, first find the coordinates of the intersection points by solving the line and parabola equations, and then use the distance formula.