RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.3

Question 1. उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) नाभि (2, 3) तथा नियता x - 4y + 3 = 0 है।
(ii) नाभि (-3, 0) तथा नियता x + 5 = 0 है।
Answer:
(i) परवलय की परिभाषा के अनुसार, परवलय पर स्थित किसी बिंदु P(h, k) की नाभि S(2, 3) से दूरी और नियता (x - 4y + 3 = 0) से लंबवत दूरी बराबर होती है।
\( SP = PM \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें मिलता है:
\( SP^2 = PM^2 \)
\( (h-2)^2 + (k-3)^2 = \left( \frac{h-4k+3}{\sqrt{(1)^2+(-4)^2}} \right)^2 \)
\( (h-2)^2 + (k-3)^2 = \frac{(h-4k+3)^2}{\sqrt{1+16}^2} \)
\( (h-2)^2 + (k-3)^2 = \frac{(h-4k+3)^2}{17} \)
दोनों पक्षों को 17 से गुणा करने पर:
\( 17((h-2)^2 + (k-3)^2) = (h-4k+3)^2 \)
\( 17(h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9) = h^2 + (-4k)^2 + 3^2 + 2(h)(-4k) + 2(-4k)(3) + 2(3)(h) \)
\( 17(h^2 + k^2 - 4h - 6k + 13) = h^2 + 16k^2 + 9 - 8hk - 24k + 6h \)
\( 17h^2 + 17k^2 - 68h - 102k + 221 = h^2 + 16k^2 + 9 - 8hk - 24k + 6h \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( 17h^2 - h^2 + 17k^2 - 16k^2 + 8hk - 68h - 6h - 102k + 24k + 221 - 9 = 0 \)
\( 16h^2 + k^2 + 8hk - 74h - 78k + 212 = 0 \)
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ (locus) \( 16x^2 + y^2 + 8xy - 74x - 78y + 212 = 0 \) है। यह आवश्यक परवलय का समीकरण है।
(ii) नाभि S(-3, 0) और नियता x + 5 = 0 दी गई है।
माना परवलय पर कोई चर बिन्दु P(h, k) है। परवलय की परिभाषा के अनुसार, बिंदु P की नाभि से दूरी नियता से दूरी के बराबर होती है।
\( SP = PM \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( SP^2 = PM^2 \)
\( (h-(-3))^2 + (k-0)^2 = \left( \frac{h+5}{\sqrt{(1)^2+(0)^2}} \right)^2 \)
\( (h+3)^2 + k^2 = \left( \frac{h+5}{1} \right)^2 \)
\( h^2 + 6h + 9 + k^2 = h^2 + 10h + 25 \)
अब, \( h^2 \) को दोनों तरफ से हटाने पर:
\( 6h + 9 + k^2 = 10h + 25 \)
\( k^2 = 10h - 6h + 25 - 9 \)
\( k^2 = 4h + 16 \)
अतः बिन्दु P(h, k) का बिन्दुपथ (locus) \( y^2 = 4x + 16 \) है। यह आवश्यक परवलय का समीकरण है।
In simple words: परवलय का समीकरण निकालने के लिए, हमने परवलय पर एक सामान्य बिंदु P(h, k) लिया। फिर, हमने परिभाषा का उपयोग किया कि P की नाभि (फोकस) से दूरी और नियता (डायरेक्ट्रिक्स) से दूरी बराबर होती है। इसे हल करके हमें परवलय का समीकरण मिल गया।

🎯 Exam Tip: परवलय के समीकरण के लिए हमेशा \( SP^2 = PM^2 \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ S नाभि और PM नियता पर लंबवत दूरी है। यह सुनिश्चित करें कि आप दूरी सूत्र और रेखा से बिंदु की लंबवत दूरी का सूत्र सही ढंग से लागू करें।

Question 2. निम्नलिखित परवलय के शीर्ष, अक्ष, नाभि तथा नाभिलम्ब ज्ञात कीजिए
(i) y² = 8x + 8y
(ii) x² + 2 = 8x - 7
Answer:
(i) दिए गए परवलय का समीकरण है: \( y^2 = 8x + 8y \)
इस समीकरण को मानक रूप \( (Y-k)^2 = 4a(X-h) \) में बदलने के लिए, हम \( y \) पदों को एक तरफ और \( x \) पदों को दूसरी तरफ रखते हैं:
\( y^2 - 8y = 8x \)
\( y \) पदों को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम \( (8/2)^2 = 4^2 = 16 \) को दोनों तरफ जोड़ते और घटाते हैं:
\( y^2 - 8y + 4^2 - 4^2 = 8x \)
\( (y - 4)^2 - 16 = 8x \)
\( (y - 4)^2 = 8x + 16 \)
\( (y - 4)^2 = 8(x + 2) \) ... (1)
इस समीकरण की तुलना मानक रूप \( Y^2 = 4aX \) से करने पर, जहाँ \( Y = y - 4 \) और \( X = x + 2 \):
हमें \( 4a = 8 \) मिलता है, जिसका अर्थ है \( a = 2 \)।
अब, हम इस परवलय के मुख्य गुणधर्म ज्ञात करते हैं:
(a) शीर्ष: \( Y = 0 \) और \( X = 0 \)
\( y - 4 = 0 \implies y = 4 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)
अतः, शीर्ष के निर्देशांक \( (-2, 4) \) हैं।
(b) नाभि: \( X = a \) और \( Y = 0 \)
\( x + 2 = 2 \implies x = 0 \)
\( y - 4 = 0 \implies y = 4 \)
अतः, नाभि के निर्देशांक \( (0, 4) \) हैं। यह नाभि शीर्ष से \( x \)-अक्ष की धनात्मक दिशा में \( a \) दूरी पर स्थित होती है।
(c) अक्ष का समीकरण: \( Y = 0 \)
\( y - 4 = 0 \implies y = 4 \)
अतः, अक्ष का समीकरण \( y = 4 \) है।
(d) नाभिलम्ब की लम्बाई: \( 4a \)
\( 4a = 8 \)
अतः, नाभिलम्ब की लम्बाई 8 है।

(ii) दिए गए परवलय का समीकरण है: \( x^2 + 2 = 8x - 7 \)
इस समीकरण को मानक रूप \( (X-h)^2 = 4a(Y-k) \) में बदलने के लिए, हम \( x \) पदों को एक तरफ और \( y \) पदों को दूसरी तरफ रखते हैं:
\( x^2 - 8x = -2 - 7 \)
\( x^2 - 8x = -9 \)
\( x \) पदों को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम \( (8/2)^2 = 4^2 = 16 \) को दोनों तरफ जोड़ते हैं:
\( x^2 - 8x + 16 = -9 + 16 \)
\( (x - 4)^2 = 7 \)
यह समीकरण मानक रूप \( X^2 = 4aY \) से मेल नहीं खाता है क्योंकि इसमें \( y \) पद नहीं है। मुझे लगता है कि मूल समीकरण में टाइपो है और यह \( x^2 + 2y = 8x - 7 \) होना चाहिए। मूल PDF में पेज 3 पर दिए गए हल में \( x^2 + 2y = 8x - 7 \) का उपयोग किया गया है। मैं इसी का उपयोग करूँगा।
दिए गए परवलय का समीकरण: \( x^2 + 2y = 8x - 7 \)
इसे मानक रूप \( (X-h)^2 = 4a(Y-k) \) में बदलने के लिए, हम \( x \) पदों को एक तरफ और \( y \) पदों को दूसरी तरफ रखते हैं:
\( x^2 - 8x = -2y - 7 \)
\( x \) पदों को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हम \( (8/2)^2 = 4^2 = 16 \) को दोनों तरफ जोड़ते हैं:
\( x^2 - 8x + 16 = -2y - 7 + 16 \)
\( (x - 4)^2 = -2y + 9 \)
\( (x - 4)^2 = -2\left( y - \frac{9}{2} \right) \) ... (1)
इस समीकरण की तुलना मानक रूप \( X^2 = -4aY \) से करने पर, जहाँ \( X = x - 4 \) और \( Y = y - \frac{9}{2} \):
हमें \( 4a = 2 \) मिलता है, जिसका अर्थ है \( a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)। यह परवलय \( Y \)-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में खुलता है।
अब, हम इस परवलय के मुख्य गुणधर्म ज्ञात करते हैं:
(a) शीर्ष: \( X = 0 \) और \( Y = 0 \)
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
\( y - \frac{9}{2} = 0 \implies y = \frac{9}{2} \)
अतः, शीर्ष के निर्देशांक \( \left( 4, \frac{9}{2} \right) \) हैं।
(b) नाभि: \( X = 0 \) और \( Y = -a \)
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
\( y - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2} \)
\( y = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \)
\( y = \frac{8}{2} \implies y = 4 \)
अतः, नाभि के निर्देशांक \( (4, 4) \) हैं।
(c) अक्ष का समीकरण: \( X = 0 \)
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
अतः, अक्ष का समीकरण \( x = 4 \) है।
(d) नाभिलम्ब की लम्बाई: \( 4a \)
\( 4a = 2 \)
अतः, नाभिलम्ब की लम्बाई 2 है।
In simple words: परवलय के शीर्ष, अक्ष, नाभि और नाभिलम्ब को खोजने के लिए, पहले दिए गए समीकरण को उसके मानक रूप में बदला जाता है। एक बार जब समीकरण मानक रूप में होता है, तो 'a' का मान और 'X' तथा 'Y' के प्रतिस्थापन का उपयोग करके इन सभी गुणधर्मों को आसानी से निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: परवलय के समीकरण को मानक रूप में बदलते समय, \( x \) या \( y \) के पदों को पूर्ण वर्ग बनाना महत्वपूर्ण है। यह सुनिश्चित करें कि आप समीकरण की दिशा (किस अक्ष पर खुलता है) और 'a' के मान का सही निर्धारण करें, क्योंकि यह शीर्ष, नाभि और अक्ष को प्रभावित करता है।

Question 3. परवलय की एक द्विकोटि की लम्बाई 8a है। सिद्ध कीजिये कि मूलबिन्दु से इस द्विकोटि के शीर्षों को मिलाने वाली रेखायें लम्बवत् होंगी।
Answer:
मानक परवलय का समीकरण \( y^2 = 4ax \) है, जिसका शीर्ष मूलबिंदु \( O(0,0) \) पर है और अक्ष \( x \)-अक्ष है।
एक द्विकोटि (double ordinate) परवलय के अक्ष के लंबवत एक जीवा होती है। यदि इसकी लंबाई \( 8a \) है, तो यह \( x = h \) पर स्थित हो सकती है।
माना द्विकोटि के शीर्ष \( A \) और \( B \) हैं। चूंकि द्विकोटि की कुल लंबाई \( 8a \) है, और यह \( x \)-अक्ष के सममित होती है, इसलिए बिंदु \( A \) और \( B \) के \( y \) निर्देशांक \( 4a \) और \( -4a \) होंगे।
अतः, माना द्विकोटि के शीर्ष \( B(h, 4a) \) और \( A(h, -4a) \) हैं।
चूँकि बिंदु \( B(h, 4a) \) परवलय \( y^2 = 4ax \) पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( (4a)^2 = 4a(h) \)
\( 16a^2 = 4ah \)
दोनों तरफ \( 4a \) से भाग देने पर (जहाँ \( a \neq 0 \)):
\( h = 4a \)
तो, द्विकोटि के शीर्ष हैं \( B(4a, 4a) \) और \( A(4a, -4a) \)। हमें यह सिद्ध करना है कि मूलबिंदु \( O(0,0) \) से इन शीर्षों को मिलाने वाली रेखाएँ (यानी \( OB \) और \( OA \)) लंबवत हैं। इसके लिए हमें उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल \( -1 \) दिखाना होगा।


रेखा OB की प्रवणता (\( m_1 \)):
\( m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4a - 0}{4a - 0} = \frac{4a}{4a} = 1 \)
रेखा OA की प्रवणता (\( m_2 \)):
\( m_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4a - 0}{4a - 0} = \frac{-4a}{4a} = -1 \)
अब, दोनों प्रवणताओं का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\( m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1 \)
चूँकि दो रेखाओं की प्रवणताओं का गुणनफल \( -1 \) है, अतः वे रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि मूलबिंदु से इस द्विकोटि के शीर्षों को मिलाने वाली रेखाएँ लंबवत होंगी।
In simple words: हमने परवलय पर एक द्विकोटि ली जिसकी लंबाई 8a थी। इस द्विकोटि के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात किए। फिर, हमने मूलबिंदु से इन शीर्षों तक जाने वाली दो रेखाओं की ढलान (slope) निकाली और दिखाया कि उनकी ढलानों का गुणा -1 आता है, जिसका मतलब है कि रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी दो रेखाओं को लंबवत सिद्ध करना हो, तो उनकी प्रवणताओं (\( m_1 \) और \( m_2 \)) का गुणनफल \( -1 \) दिखाएँ। यह भी याद रखें कि परवलय की द्विकोटि अक्ष के लंबवत और अक्ष के सापेक्ष सममित होती है।

Question 4. यदि परवलय का शीर्ष तथा नाभि x-अक्ष पर मूल बिन्दु से a तथा a' दूरी पर हो, तो सिद्ध कीजिए कि परवलय की समीकरण y² = 4(a' – a) (x – a) होगी।
Answer:
माना परवलय का शीर्ष A है और यह x-अक्ष पर मूलबिंदु से 'a' दूरी पर है। तो शीर्ष A के निर्देशांक \( (a, 0) \) होंगे।
माना परवलय की नाभि F है और यह x-अक्ष पर मूलबिंदु से 'a'' दूरी पर है। तो नाभि F के निर्देशांक \( (a', 0) \) होंगे।
अब, शीर्ष A और नाभि F के बीच की दूरी \( AF = a' - a \) है।
हमें पता है कि एक परवलय के लिए, शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी 'a' (छोटे 'a') होती है, जो नाभिलम्ब की लंबाई \( 4a \) में 'a' होता है। इस प्रश्न में, हम इस दूरी को \( a_{new} \) मान लेते हैं, जहाँ \( a_{new} = AF = a' - a \)।
माना परवलय पर कोई बिंदु \( P(x, y) \) है।
परवलय के समीकरण का ज्यामितीय रूप से संबंध होता है:
\( PN^2 = 4 AF \cdot AN \)
जहाँ \( PN \) बिंदु \( P \) से अक्ष पर लंबवत दूरी है, \( AF \) शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी है, और \( AN \) शीर्ष से \( x \)-अक्ष पर बिंदु \( N \) तक की दूरी है।
एक परवलय के लिए जिसका अक्ष x-अक्ष है, शीर्ष \( (h, k) \) और नाभि \( (h+a_{new}, k) \) है, समीकरण \( (y-k)^2 = 4a_{new}(x-h) \) होता है।
यहां, शीर्ष \( (a, 0) \) है, इसलिए \( h = a \) और \( k = 0 \)।
और \( a_{new} = a' - a \)।
इन मानों को परवलय के मानक समीकरण में रखने पर:
\( (y-0)^2 = 4(a' - a)(x - a) \)
\( y^2 = 4(a' - a)(x - a) \)
यह सिद्ध हो गया कि परवलय का समीकरण \( y^2 = 4(a' - a)(x - a) \) होगा।
In simple words: हमने परवलय के शीर्ष और नाभि के लिए दिए गए बिंदुओं का उपयोग किया। शीर्ष मूलबिंदु से 'a' दूरी पर है और नाभि 'a'' दूरी पर है। शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी \( (a'-a) \) को नए 'a' के रूप में इस्तेमाल करके, हमने परवलय के मानक समीकरण में मान रखे और वांछित समीकरण \( y^2 = 4(a' – a) (x – a) \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: परवलय के मानक समीकरणों को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। जब शीर्ष मूलबिंदु पर न हो, तो समीकरण \( (y-k)^2 = 4a(x-h) \) या \( (x-h)^2 = 4a(y-k) \) का उपयोग करें, जहाँ \( (h, k) \) शीर्ष के निर्देशांक हैं।

Question 5. PQ एक परवलय की द्विकोटि है। इसके समत्रिभाजन वाले बिन्दुओं का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना परवलय का समीकरण \( y^2 = 4ax \) है, जिसका शीर्ष मूलबिंदु \( O(0,0) \) पर है।
माना PQ इस परवलय की एक द्विकोटि है। द्विकोटि परवलय के अक्ष के लंबवत होती है।
माना बिंदु P के निर्देशांक \( (h, 3k) \) हैं। चूंकि PQ एक द्विकोटि है, और परवलय x-अक्ष के सापेक्ष सममित है, तो बिंदु Q के निर्देशांक \( (h, -3k) \) होंगे।
इस द्विकोटि PQ के समत्रिभाजन वाले बिंदु R और S हैं। इसका मतलब है कि ये बिंदु PQ को तीन बराबर भागों में बांटते हैं।
चूँकि R और S द्विकोटि को समत्रिभाजित करते हैं, तो \( PR = RS = SQ \)।
माना R के निर्देशांक \( (h, k) \) हैं।
तब, x-अक्ष से R की दूरी \( RL = k \), और R से P की दूरी \( RP \) है।
चूंकि R, PQ को समत्रिभाजित करता है और R का y-निर्देशांक k है, तो हम कह सकते हैं कि \( y \)-अक्ष से \( P \) की दूरी \( 3k \) है।
तो, \( PR = \frac{1}{3} PQ \)।
\( PR = 2k \) (क्योंकि \( R \) का y-निर्देशांक \( k \) है और \( S \) का \( -k \) होगा, और P का \( 3k \), Q का \( -3k \))।
यदि \( R(h,k) \) द्विकोटि का एक समत्रिभाजन बिंदु है, तो \( k = \frac{1}{3} (3k) \) का अर्थ है कि \( R \) का y-निर्देशांक, P के y-निर्देशांक का एक-तिहाई होगा।
तो, बिंदु P के निर्देशांक \( (h, 3k) \) होंगे।
चूंकि बिंदु \( P(h, 3k) \) परवलय \( y^2 = 4ax \) पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( (3k)^2 = 4a(h) \)
\( 9k^2 = 4ah \)
अब, हमें बिंदु R(h, k) का बिन्दुपथ (locus) ज्ञात करना है। इसे \( x \) और \( y \) के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम \( h \) को \( x \) और \( k \) को \( y \) से प्रतिस्थापित करते हैं:
\( 9y^2 = 4ax \)
अतः, समत्रिभाजन वाले बिंदुओं का बिन्दुपथ \( 9y^2 = 4ax \) है।


यदि हम एक भिन्न समत्रिभाजन बिंदु, मान लीजिए \( S(h, -k) \) पर विचार करें, तो \( Q(h, -3k) \) परवलय पर स्थित होगा।
\( (-3k)^2 = 4a(h) \implies 9k^2 = 4ah \)।
तो, बिन्दुपथ फिर भी \( 9y^2 = 4ax \) ही रहेगा।
In simple words: हमने एक परवलय लिया और उस पर एक सीधी रेखा (द्विकोटि) बनाई जो परवलय को दो बिंदुओं पर काटती है। इस रेखा को तीन बराबर हिस्सों में बांटने वाले बिंदुओं को हमने R और S कहा। R के निर्देशांक \( (h,k) \) मानकर, हमने परवलय के समीकरण में मान रखकर इन बिंदुओं के रास्ते (बिन्दुपथ) का समीकरण निकाला, जो \( 9y^2 = 4ax \) आया।

🎯 Exam Tip: बिन्दुपथ के प्रश्नों में, हमेशा सामान्य बिंदु के निर्देशांक \( (h, k) \) मानें और फिर \( h \) को \( x \) और \( k \) को \( y \) से प्रतिस्थापित करके अंतिम समीकरण प्राप्त करें। द्विकोटि की समरूपता का उपयोग करके बिंदुओं के निर्देशांक आसानी से निर्धारित किए जा सकते हैं।