RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.2

प्रश्न 1. वृत्त \( x^2 + y^2 = 25 \) तथा रेखा \( 4x + 3y = 12 \) के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए तथा प्रतिच्छेद जीवा की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त का समीकरण है:
\( x^2 + y^2 = 25 \) ....(1)
रेखा का समीकरण है:
\( 4x + 3y = 12 \)
यहां से, \( 3y = 12 - 4x \)
\( y = \frac{12-4x}{3} \) ....(2)
अब, \( y \) का मान समीकरण (1) में रखेंगे:
\( x^2 + \left(\frac{12-4x}{3}\right)^2 = 25 \)
\( x^2 + \frac{(12-4x)^2}{9} = 25 \)
\( 9x^2 + (144 - 96x + 16x^2) = 25 \times 9 \)
\( 9x^2 + 144 - 96x + 16x^2 = 225 \)
\( 25x^2 - 96x + 144 - 225 = 0 \)
\( 25x^2 - 96x - 81 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए द्विघाती सूत्र \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) का उपयोग करेंगे।
यहां \( a=25, b=-96, c=-81 \):
\( x = \frac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4 \times 25 \times (-81)}}{2 \times 25} \)
\( x = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 8100}}{50} \)
\( x = \frac{96 \pm \sqrt{17316}}{50} \)
\( x = \frac{96 \pm \sqrt{4 \times 4329}}{50} \)
\( x = \frac{96 \pm 2\sqrt{4329}}{50} \)
\( x = \frac{48 \pm \sqrt{4329}}{25} \)
अब, \( x \) का मान समीकरण (2) में रखेंगे:
\( y = \frac{12-4x}{3} \)
जब \( x = \frac{48 + \sqrt{4329}}{25} \):
\( y = \frac{12 - 4\left(\frac{48 + \sqrt{4329}}{25}\right)}{3} \)
\( y = \frac{300 - 192 - 4\sqrt{4329}}{75} \)
\( y = \frac{108 - 4\sqrt{4329}}{75} \)
\( y = \frac{36 - \frac{4}{3}\sqrt{4329}}{25} = \frac{36 - 4\sqrt{481}}{25} \) (क्योंकि \( \sqrt{4329} = \sqrt{9 \times 481} = 3\sqrt{481} \))
अतः एक प्रतिच्छेद बिन्दु है: \( \left(\frac{48 + 3\sqrt{481}}{25}, \frac{36 - 4\sqrt{481}}{25}\right) \)
जब \( x = \frac{48 - \sqrt{4329}}{25} \):
\( y = \frac{12 - 4\left(\frac{48 - \sqrt{4329}}{25}\right)}{3} \)
\( y = \frac{300 - 192 + 4\sqrt{4329}}{75} \)
\( y = \frac{108 + 4\sqrt{4329}}{75} \)
\( y = \frac{36 + \frac{4}{3}\sqrt{4329}}{25} = \frac{36 + 4\sqrt{481}}{25} \)
अतः दूसरा प्रतिच्छेद बिन्दु है: \( \left(\frac{48 - 3\sqrt{481}}{25}, \frac{36 + 4\sqrt{481}}{25}\right) \)

प्रतिच्छेद जीवा की लम्बाई (दो बिन्दुओं के बीच की दूरी \( d \)) ज्ञात करेंगे।
माना \( x_1 = \frac{48 + 3\sqrt{481}}{25}, y_1 = \frac{36 - 4\sqrt{481}}{25} \)
और \( x_2 = \frac{48 - 3\sqrt{481}}{25}, y_2 = \frac{36 + 4\sqrt{481}}{25} \)
\( x_2 - x_1 = \frac{48 - 3\sqrt{481} - (48 + 3\sqrt{481})}{25} = \frac{-6\sqrt{481}}{25} \)
\( y_2 - y_1 = \frac{36 + 4\sqrt{481} - (36 - 4\sqrt{481})}{25} = \frac{8\sqrt{481}}{25} \)
दूरी सूत्र \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
\( d = \sqrt{\left(\frac{-6\sqrt{481}}{25}\right)^2 + \left(\frac{8\sqrt{481}}{25}\right)^2} \)
\( d = \sqrt{\frac{36 \times 481}{625} + \frac{64 \times 481}{625}} \)
\( d = \sqrt{\frac{(36+64) \times 481}{625}} \)
\( d = \sqrt{\frac{100 \times 481}{625}} \)
\( d = \frac{10\sqrt{481}}{25} \)
\( d = \frac{2\sqrt{481}}{5} \)
In simple words: हमने पहले वृत्त और रेखा के समीकरणों का उपयोग करके उनके कटने वाले बिंदुओं को खोजा. फिर, उन दो कटने वाले बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी का सूत्र लगाया. यही दूरी जीवा की लम्बाई है.

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेद बिन्दु और जीवा की लम्बाई दोनों को सही ढंग से निकालने के लिए द्विघात समीकरण को हल करने और दूरी सूत्र का उपयोग करने में सावधानी बरतें। वर्गमूल के अंदर के मानों को सरल करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 3. वृत्त \( x^2 + y^2 = c^2 \) द्वारा रेखा \( \frac {x}{a}+\frac{y}{b} =1 \) पर काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि वृत्त \( x^2 + y^2 = c^2 \) का केंद्र O(0,0) है और इसकी त्रिज्या \( c \) है। रेखा का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है, जिसे \( bx + ay - ab = 0 \) के रूप में भी लिख सकते हैं।
अब, केंद्र O(0,0) से रेखा \( bx + ay - ab = 0 \) पर लम्ब OM की लम्बाई ज्ञात करेंगे:
\( OM = \left| \frac{b(0) + a(0) - ab}{\sqrt{b^2 + a^2}} \right| \)
\( OM = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
यदि P और Q वृत्त और रेखा के प्रतिच्छेद बिन्दु हैं, तो PQ जीवा की लम्बाई है।
हमें पता है कि \( OP = c \) (वृत्त की त्रिज्या)। त्रिभुज OMP एक समकोण त्रिभुज है जहाँ \( OP^2 = OM^2 + MP^2 \)।
इसलिए, \( MP^2 = OP^2 - OM^2 \)
\( MP = \sqrt{OP^2 - OM^2} \)
\( MP = \sqrt{c^2 - \left(\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2} \)
\( MP = \sqrt{c^2 - \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}} \)
जीवा की लम्बाई \( PQ = 2MP \) होती है।
अतः, \( PQ = 2\sqrt{c^2 - \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}} \)
\( PQ = 2\sqrt{\frac{c^2(a^2 + b^2) - a^2b^2}{a^2 + b^2}} \) यह जीवा की लम्बाई का सूत्र है।

In simple words: हमने पहले वृत्त के केंद्र से रेखा पर एक सीधा लंब खींचा. फिर, पाइथागोरस के नियम का उपयोग करके उस लंब की लम्बाई और वृत्त की त्रिज्या से जीवा की आधी लम्बाई निकाली. आखिर में, जीवा की कुल लम्बाई पाने के लिए उस आधी लम्बाई को दुगुना कर दिया.

🎯 Exam Tip: जीवा की लम्बाई निकालने के लिए, वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाले गए लम्ब और त्रिज्या के बीच के संबंध को समझना महत्वपूर्ण है। यह संबंध पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित होता है।

प्रश्न 4. k के किस मान के लिए रेखा \( 3x + 4y = k \) वृत्त \( x^2 + y^2 = 10x \) को स्पर्श करती है।
Answer: दिए गए वृत्त का समीकरण है:
\( x^2 + y^2 = 10x \)
इसे मानक रूप में लाने के लिए, \( x^2 - 10x + y^2 = 0 \)
\( (x^2 - 10x + 25) + y^2 = 25 \)
\( (x - 5)^2 + y^2 = 5^2 \)
इस वृत्त का केंद्र \( (5, 0) \) है और त्रिज्या \( r = 5 \) है।
दी गई स्पर्श रेखा का समीकरण \( 3x + 4y = k \) है, जिसे \( 3x + 4y - k = 0 \) लिखा जा सकता है।
जब एक रेखा एक वृत्त को स्पर्श करती है, तो वृत्त के केंद्र से रेखा पर डाले गए लंब की लम्बाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।
केंद्र \( (5, 0) \) से रेखा \( 3x + 4y - k = 0 \) पर लंब की लम्बाई:
\( \text{लंब की लम्बाई} = \left| \frac{3(5) + 4(0) - k}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| \)
\( = \left| \frac{15 - k}{\sqrt{9 + 16}} \right| \)
\( = \left| \frac{15 - k}{\sqrt{25}} \right| \)
\( = \frac{|15 - k|}{5} \)
चूंकि लंब की लम्बाई त्रिज्या के बराबर है, तो:
\( \frac{|15 - k|}{5} = 5 \)
\( |15 - k| = 25 \)
इसका मतलब है \( 15 - k = 25 \) या \( 15 - k = -25 \)

धनात्मक चिह्न लेने पर:
\( 15 - k = 25 \)
\( k = 15 - 25 \)
\( k = -10 \)

ऋणात्मक चिह्न लेने पर:
\( 15 - k = -25 \)
\( k = 15 + 25 \)
\( k = 40 \)
अतः, k के दो संभावित मान \( -10 \) और \( 40 \) हैं। इन दोनों मानों के लिए रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
In simple words: हमने पहले वृत्त का केंद्र और त्रिज्या निकाली. फिर, केंद्र से दी गई रेखा तक की दूरी को त्रिज्या के बराबर रखा, क्योंकि स्पर्श रेखा हमेशा ऐसा करती है. इससे हमें k के दो मान मिले.

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा से संबंधित प्रश्नों में, वृत्त के केंद्र से रेखा पर लंब की लम्बाई को त्रिज्या के बराबर रखना एक मुख्य नियम है। पूर्ण अंक प्राप्त करने के लिए निरपेक्ष मान को सही ढंग से हल करना याद रखें।

प्रश्न 5. वह प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए जब-
(i) रेखा \( y = mx + c \) वृत्त \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \) को स्पर्श करे।
(ii) रेखा \( lx + my + n = 0 \) वृत्त \( x^2 + y^2 = a^2 \) को स्पर्श करे।
Answer:
(i) रेखा \( y = mx + c \) वृत्त \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \) को स्पर्श करे:
वृत्त का केंद्र \( (a, b) \) है और त्रिज्या \( r \) है।
रेखा का समीकरण \( mx - y + c = 0 \) है।
जब रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, तो केंद्र से रेखा पर लंब की लम्बाई त्रिज्या के बराबर होती है।
केंद्र \( (a, b) \) से रेखा \( mx - y + c = 0 \) पर लंब की लम्बाई:
\( \text{लंब की लम्बाई} = \left| \frac{m(a) - (b) + c}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{|ma - b + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)
इसे त्रिज्या \( r \) के बराबर रखने पर:
\( \frac{|ma - b + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (ma - b + c)^2 = r^2(m^2 + 1) \)
यह आवश्यक प्रतिबन्ध है। इस प्रतिबन्ध को \( (b - am - c)^2 = r^2(1 + m^2) \) भी लिख सकते हैं।

(ii) रेखा \( lx + my + n = 0 \) वृत्त \( x^2 + y^2 = a^2 \) को स्पर्श करे:
वृत्त का केंद्र \( (0, 0) \) है और त्रिज्या \( a \) है।
रेखा का समीकरण \( lx + my + n = 0 \) है।
केंद्र \( (0, 0) \) से रेखा \( lx + my + n = 0 \) पर लंब की लम्बाई:
\( \text{लंब की लम्बाई} = \left| \frac{l(0) + m(0) + n}{\sqrt{l^2 + m^2}} \right| = \frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} \)
इसे त्रिज्या \( a \) के बराबर रखने पर:
\( \frac{|n|}{\sqrt{l^2 + m^2}} = a \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( n^2 = a^2(l^2 + m^2) \)
यह आवश्यक प्रतिबन्ध है। यह प्रतिबन्ध बताता है कि यदि एक रेखा एक वृत्त को छूती है, तो केंद्र से रेखा की दूरी हमेशा त्रिज्या के बराबर होती है।
In simple words: स्पर्श रेखा की शर्त यह है कि वृत्त के केंद्र से रेखा की सीधी दूरी, वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए. हमने दोनों स्थितियों के लिए यही नियम लगाया और उसके अनुसार समीकरण बनाए.

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखा के प्रतिबन्ध ज्ञात करते समय, वृत्त के केंद्र और त्रिज्या को सही ढंग से पहचानें। केंद्र से रेखा पर लंब की लम्बाई का सूत्र सही तरीके से लगाएं और इसे त्रिज्या के बराबर रखकर आवश्यक समीकरण प्राप्त करें।

प्रश्न 6. (i) वृत्त \( x^2 + y^2 = 64 \) की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4, 7) से गुजरती है।
(ii) वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) की उस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष से \( 60^\circ \) का कोण बनाती है।
Answer:
(i) वृत्त \( x^2 + y^2 = 64 \) की स्पर्श रेखा जो बिन्दु \( (4, 7) \) से गुजरती है:
वृत्त का केंद्र \( (0, 0) \) है और त्रिज्या \( r = \sqrt{64} = 8 \) है।
बिन्दु \( (4, 7) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( y - y_1 = m(x - x_1) \) के रूप में लिखा जा सकता है:
\( y - 7 = m(x - 4) \)
\( y - 7 = mx - 4m \)
\( mx - y + 7 - 4m = 0 \)
यह रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, इसलिए वृत्त के केंद्र \( (0, 0) \) से इस रेखा पर डाले गए लंब की लम्बाई त्रिज्या \( 8 \) के बराबर होगी:
\( \frac{|m(0) - (0) + 7 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 8 \)
\( \frac{|7 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 8 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (7 - 4m)^2 = 8^2(m^2 + 1) \)
\( 49 - 56m + 16m^2 = 64(m^2 + 1) \)
\( 49 - 56m + 16m^2 = 64m^2 + 64 \)
\( 64m^2 - 16m^2 + 56m + 64 - 49 = 0 \)
\( 48m^2 + 56m + 15 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करेंगे:
\( 48m^2 + 36m + 20m + 15 = 0 \)
\( 12m(4m + 3) + 5(4m + 3) = 0 \)
\( (12m + 5)(4m + 3) = 0 \)
इससे \( 12m + 5 = 0 \) या \( 4m + 3 = 0 \)
\( m = -\frac{5}{12} \) या \( m = -\frac{3}{4} \)

यदि \( m = -\frac{5}{12} \), तो स्पर्श रेखा का समीकरण है:
\( y - 7 = -\frac{5}{12}(x - 4) \)
\( 12(y - 7) = -5(x - 4) \)
\( 12y - 84 = -5x + 20 \)
\( 5x + 12y - 104 = 0 \)

यदि \( m = -\frac{3}{4} \), तो स्पर्श रेखा का समीकरण है:
\( y - 7 = -\frac{3}{4}(x - 4) \)
\( 4(y - 7) = -3(x - 4) \)
\( 4y - 28 = -3x + 12 \)
\( 3x + 4y - 40 = 0 \)

(ii) वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) की उस स्पर्श रेखा का समीकरण जो x-अक्ष से \( 60^\circ \) का कोण बनाती है:
वृत्त का केंद्र \( (0, 0) \) है और त्रिज्या \( a = \sqrt{4} = 2 \) है।
रेखा x-अक्ष से \( 60^\circ \) का कोण बनाती है, तो रेखा का ढाल \( m = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) है।
वृत्त \( x^2 + y^2 = a^2 \) के लिए ढाल \( m \) वाली स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2} \) होता है।
यहां \( m = \sqrt{3} \) और \( a = 2 \) है।
\( y = \sqrt{3}x \pm 2\sqrt{1 + (\sqrt{3})^2} \)
\( y = \sqrt{3}x \pm 2\sqrt{1 + 3} \)
\( y = \sqrt{3}x \pm 2\sqrt{4} \)
\( y = \sqrt{3}x \pm 2 \times 2 \)
\( y = \sqrt{3}x \pm 4 \)
अतः, स्पर्श रेखाओं के दो समीकरण हैं: \( y = \sqrt{3}x + 4 \) और \( y = \sqrt{3}x - 4 \)। इन दोनों रेखाओं की ढाल समान है और वे x-अक्ष के साथ समान कोण बनाती हैं।
In simple words: पहले भाग में, हमने उस रेखा का समीकरण लिया जो दिए गए बिंदु से गुजरती है और उसे स्पर्श रेखा की शर्त (केंद्र से दूरी = त्रिज्या) का उपयोग करके हल किया. दूसरे भाग में, हमने सीधी रेखा के ढाल को उसके x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण से निकाला, फिर वृत्त की त्रिज्या का उपयोग करके स्पर्श रेखा का मानक समीकरण ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा के लिए, पहले ढाल \( m \) को अज्ञात मानकर समीकरण लिखें, फिर केंद्र से रेखा की दूरी को त्रिज्या के बराबर रखकर \( m \) का मान निकालें। x-अक्ष के साथ कोण बनाने वाली रेखा के लिए, ढाल \( m = \tan\theta \) का उपयोग करें और स्पर्श रेखा के मानक समीकरण \( y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2} \) का प्रयोग करें।

प्रश्न 7. रेखा \( y = c \) वृत्त \( x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0 \) के बिन्दु \( (1, 1) \) पर स्पर्श रेखा हो।
Answer: दिए गए वृत्त का समीकरण है:
\( x^2 + y^2 - 2x + 2y - 2 = 0 \)
बिन्दु \( (1, 1) \) पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम \( x^2 \) को \( x x_1 \), \( y^2 \) को \( y y_1 \), \( 2x \) को \( (x + x_1) \) और \( 2y \) को \( (y + y_1) \) से प्रतिस्थापित करेंगे।
यहां \( (x_1, y_1) = (1, 1) \) है।
स्पर्श रेखा का समीकरण होगा:
\( x(1) + y(1) - (x + 1) + (y + 1) - 2 = 0 \)
\( x + y - x - 1 + y + 1 - 2 = 0 \)
\( 2y - 2 = 0 \)
\( 2y = 2 \)
\( y = 1 \)
दी गई स्पर्श रेखा \( y = c \) है।
समीकरण \( y = 1 \) और \( y = c \) की तुलना करने पर, हमें मिलता है:
\( c = 1 \)
अतः, \( c \) का मान \( 1 \) है। यह दिखाता है कि रेखा \( y=1 \) वास्तव में दिए गए बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
In simple words: हमने वृत्त के समीकरण का उपयोग करके उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण निकाला. जब हमने रेखा \( y = c \) से इसकी तुलना की, तो हमें \( c \) का मान मिल गया.

🎯 Exam Tip: किसी वृत्त के दिए गए बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, \( x^2 \) को \( xx_1 \), \( y^2 \) को \( yy_1 \), \( 2x \) को \( (x+x_1) \) और \( 2y \) को \( (y+y_1) \) से प्रतिस्थापित करने का सूत्र याद रखें। यह एक सीधी प्रक्रिया है।

प्रश्न 8. वृत्त \( x^2 + y^2 = 169 \) के बिन्दुओं \( (5, 12) \) तथा \( (12, -5) \) पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर लम्बवत् होंगी। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए वृत्त का समीकरण है:
\( x^2 + y^2 = 169 \) ....(1)

बिन्दु \( (5, 12) \) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण:
\( x x_1 + y y_1 = r^2 \)
\( x(5) + y(12) = 169 \)
\( 5x + 12y = 169 \) ....(2)

बिन्दु \( (12, -5) \) पर वृत्त (1) की स्पर्श रेखा का समीकरण:
\( x x_1 + y y_1 = r^2 \)
\( x(12) + y(-5) = 169 \)
\( 12x - 5y = 169 \) ....(3)

अब हमें यह सिद्ध करना है कि ये दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत् होंगी।
रेखा (2) का ढाल \( m_1 = -\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}} = -\frac{5}{12} \)
रेखा (3) का ढाल \( m_2 = -\frac{\text{x का गुणांक}}{\text{y का गुणांक}} = -\frac{12}{-5} = \frac{12}{5} \)
ढालों का गुणनफल ज्ञात करेंगे:
\( m_1 m_2 = \left(-\frac{5}{12}\right) \times \left(\frac{12}{5}\right) = -1 \)
चूंकि \( m_1 m_2 = -1 \) है, अतः रेखा (2) तथा रेखा (3) एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यानी वे परस्पर लम्बवत् हैं।

अब, प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरण (2) तथा (3) को हल करेंगे।
समीकरण (2): \( 5x + 12y = 169 \)
समीकरण (3): \( 12x - 5y = 169 \)

समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर: \( 25x + 60y = 845 \) ....(4)
समीकरण (3) को 12 से गुणा करने पर: \( 144x - 60y = 2028 \) ....(5)

समीकरण (4) और (5) को जोड़ने पर:
\( (25x + 60y) + (144x - 60y) = 845 + 2028 \)
\( 169x = 2873 \)
\( x = \frac{2873}{169} \)
\( x = 17 \)

\( x = 17 \) को समीकरण (2) में रखने पर:
\( 5(17) + 12y = 169 \)
\( 85 + 12y = 169 \)
\( 12y = 169 - 85 \)
\( 12y = 84 \)
\( y = \frac{84}{12} \)
\( y = 7 \)
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक \( (17, 7) \) हैं। हमने सभी आवश्यक गणनाएं सटीक रूप से की हैं।
In simple words: हमने पहले वृत्त के दो अलग-अलग बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण निकाले. फिर, हमने उनके ढालों को गुणा करके दिखाया कि वे एक-दूसरे पर सीधी खड़ी हैं (लम्बवत्). अंत में, हमने उन दोनों रेखाओं को हल करके पता लगाया कि वे किस बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं.

🎯 Exam Tip: किसी दिए गए बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण लिखने के लिए \( xx_1 + yy_1 = r^2 \) सूत्र का उपयोग करें। दो रेखाओं के लम्बवत् होने की शर्त \( m_1m_2 = -1 \) है। प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात करने के लिए समीकरणों को सही ढंग से हल करना याद रखें।