RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 12 शांकव परिच्छेद Exercise 12.1

Question 1. उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसका
(i) केन्द्र (-2, 3) तथा त्रिज्या 4 हो।
(ii) केन्द्र (a, b) तथा त्रिज्या a - b हो।
Answer:
एक वृत्त का समीकरण जिसका केंद्र \( (h, k) \) और त्रिज्या \( r \) है, वह \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) होता है। इस समीकरण का उपयोग करके हम विशिष्ट वृत्त का पता लगा सकते हैं।
(i) दिए गए मानों के अनुसार, \( h = -2, k = 3 \) और \( r = 4 \) हैं।
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण इस प्रकार होगा:
\( \{x - (-2)\}^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \)
\( (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \)
इस समीकरण को विस्तारित करने पर:
\( x^2 + 4 + 4x + y^2 + 9 - 6y = 16 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 16 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \)
(ii) दिए गए मानों के अनुसार, \( h = a, k = b \) और \( r = a - b \) हैं।
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण इस प्रकार होगा:
\( (x - a)^2 + (y - b)^2 = (a - b)^2 \)
इस समीकरण को विस्तारित करने पर:
\( x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
दोनों तरफ से समान पदों को हटाने पर:
\( x^2 + y^2 - 2ax - 2by = -2ab \)
\( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + 2ab = 0 \)
In simple words: वृत्त का समीकरण निकालने के लिए, आपको उसका केंद्र और त्रिज्या पता होनी चाहिए. सूत्र में इन मानों को डालकर, आप वृत्त का समीकरण सरल कर सकते हैं.

🎯 Exam Tip: वृत्त का समीकरण हमेशा \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) के रूप में लिखें, जहाँ \( (h, k) \) केंद्र और \( r \) त्रिज्या है। समीकरण को सरल करते समय सभी पदों को ध्यान से लिखें।

निम्न वृत्तों के केन्द्र के निर्देशांक तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए-

Question 2. (i) \( x(x + y - 6) = (x - y + 8) \)
Answer:
पहले दिए गए समीकरण को वृत्त के मानक रूप \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) में बदलना होगा। यह रूप हमें केंद्र \( (-g, -f) \) और त्रिज्या \( \sqrt{g^2 + f^2 - c} \) निकालने में मदद करता है।
दिया गया समीकरण है:
\( x(x + y - 6) = y(x - y + 8) \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( x^2 + xy - 6x = xy - y^2 + 8y \)
सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर:
\( x^2 + xy - 6x - xy + y^2 - 8y = 0 \)
समान पदों को रद्द करने पर (\( xy \) और \( -xy \)):
\( x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 \)
इस समीकरण की तुलना मानक समीकरण \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) से करने पर:
\( 2g = -6 \implies g = -3 \)
\( 2f = -8 \implies f = -4 \)
\( c = 0 \)
वृत्त का केंद्र \( = (-g, -f) = (-(-3), -(-4)) = (3, 4) \)
वृत्त की त्रिज्या \( = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - 0} \)
\( = \sqrt{9 + 16} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \)
In simple words: पहले दिए गए समीकरण को सरल करके वृत्त के सामान्य रूप में लाएँ। फिर, इस रूप से केंद्र और त्रिज्या का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: समीकरण को सरल करते समय सभी पदों को ध्यान से इकट्ठा करें और मानक रूप से तुलना करके \( g, f, c \) के मान सही ढंग से प्राप्त करें।

Question 3. (ii) \( \sqrt {1+{k}^{2}} (x^2 + y^2) = 2ax + 2aky \)
Answer:
दिए गए समीकरण को वृत्त के मानक रूप \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) में बदलने के लिए, हमें इसे \( x^2 + y^2 \) के गुणांक को 1 बनाना होगा।
दिया गया समीकरण है:
\( \sqrt {1+k^2} (x^2 + y^2) = 2ax + 2aky \)
पूरे समीकरण को \( \sqrt {1+k^2} \) से भाग देने पर:
\( x^2 + y^2 = \frac{2a}{\sqrt{1+k^2}}x + \frac{2ak}{\sqrt{1+k^2}}y \)
सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर:
\( x^2 + y^2 - \frac{2a}{\sqrt{1+k^2}}x - \frac{2ak}{\sqrt{1+k^2}}y = 0 \)
इस समीकरण की तुलना मानक समीकरण \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) से करने पर:
\( 2g = -\frac{2a}{\sqrt{1+k^2}} \implies g = -\frac{a}{\sqrt{1+k^2}} \)
\( 2f = -\frac{2ak}{\sqrt{1+k^2}} \implies f = -\frac{ak}{\sqrt{1+k^2}} \)
\( c = 0 \)
वृत्त का केंद्र \( = (-g, -f) = (\frac{a}{\sqrt{1+k^2}}, \frac{ak}{\sqrt{1+k^2}}) \)
वृत्त की त्रिज्या \( = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)
\( = \sqrt{\left(-\frac{a}{\sqrt{1+k^2}}\right)^2 + \left(-\frac{ak}{\sqrt{1+k^2}}\right)^2 - 0} \)
\( = \sqrt{\frac{a^2}{1+k^2} + \frac{a^2k^2}{1+k^2}} \)
\( = \sqrt{\frac{a^2(1+k^2)}{1+k^2}} \)
\( = \sqrt{a^2} \)
\( = a \)
In simple words: समीकरण को \( x^2 + y^2 \) के रूप में लाएँ। फिर \( x \) और \( y \) के गुणांकों से \( g \) और \( f \) निकालें। \( c \) का मान 0 होगा, फिर केंद्र और त्रिज्या के सूत्र में मान रख दें।

🎯 Exam Tip: जब \( x^2 \) और \( y^2 \) के गुणांक 1 न हों, तो पहले पूरे समीकरण को उस गुणांक से विभाजित करें ताकि मानक रूप में बदल सकें।

Question 4. (iii) \( 4(x^2 + y^2) = 1 \)
Answer:
दिए गए समीकरण को वृत्त के मानक रूप में बदलने के लिए, हमें \( x^2 + y^2 \) के गुणांक को 1 बनाना होगा।
दिया गया समीकरण है:
\( 4(x^2 + y^2) = 1 \)
दोनों तरफ 4 से भाग देने पर:
\( x^2 + y^2 = \frac{1}{4} \)
इस समीकरण को \( x^2 + y^2 = r^2 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जो एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र \( (0, 0) \) और त्रिज्या \( r \) है।
यहां, \( r^2 = \frac{1}{4} \)
\( \implies r = \sqrt{\frac{1}{4}} \)
\( \implies r = \frac{1}{2} \)
अतः, वृत्त का केंद्र \( (0, 0) \) और त्रिज्या \( \frac{1}{2} \) है। यह वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इसकी त्रिज्या आधी इकाई है।
In simple words: यह समीकरण एक वृत्त का है जिसका केंद्र \( (0,0) \) पर है। त्रिज्या निकालने के लिए, \( r^2 \) का वर्गमूल करें।

🎯 Exam Tip: यदि समीकरण \( x^2 + y^2 = r^2 \) के रूप में है, तो केंद्र हमेशा मूल बिंदु \( (0,0) \) होगा।

Question 5. उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो x-अक्ष को मूल बिन्दु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है तथा y-अक्ष पर 6 इकाई लम्बाई का अन्तःखण्ड काटता है।
Answer:
यह वृत्त x-अक्ष को मूल बिंदु से +3 दूरी पर स्पर्श करता है, जिसका अर्थ है कि वृत्त का केंद्र \( (h, k) \) के लिए \( h = \pm 3 \) होगा। चूंकि यह +3 दूरी पर स्पर्श करता है, केंद्र का x-निर्देशांक या तो 3 या -3 हो सकता है। चित्र के अनुसार, हमें एक वृत्त का केंद्र \( (3, k) \) मान सकते हैं, और त्रिज्या \( |k| \) होगी। चूंकि यह x-अक्ष को स्पर्श करता है, इसलिए त्रिज्या केंद्र के y-निर्देशांक के बराबर होगी।
वृत्त y-अक्ष पर 6 इकाई लम्बाई का अन्तःखण्ड काटता है। एक जीवा पर केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। y-अक्ष पर बनने वाला अंतःखण्ड एक जीवा है, जिसकी लंबाई 6 इकाई है। इसलिए, केंद्र से y-अक्ष पर डाले गए लम्ब की लंबाई \( h \) होगी, और जीवा के आधे भाग की लंबाई \( \frac{6}{2} = 3 \) होगी।
त्रिज्या \( r \) के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:
\( r^2 = h^2 + (\frac{6}{2})^2 \)
यहां \( h = 3 \) (x-अक्ष पर स्पर्श बिंदु की दूरी) और \( r = |k| \) (त्रिज्या y-निर्देशांक के बराबर है)।
इसलिए, \( k^2 = 3^2 + 3^2 \)
\( k^2 = 9 + 9 \)
\( k^2 = 18 \)
\( k = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2} \)
इस प्रकार, वृत्त के दो संभव केंद्र हो सकते हैं: \( (3, 3\sqrt{2}) \) और \( (3, -3\sqrt{2}) \)।
जब केंद्र \( (3, 3\sqrt{2}) \) और त्रिज्या \( r = 3\sqrt{2} \) हो, तो समीकरण:
\( (x - 3)^2 + (y - 3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6\sqrt{2}y + 18 = 18 \)
\( x^2 + y^2 - 6x - 6\sqrt{2}y + 9 = 0 \)
जब केंद्र \( (3, -3\sqrt{2}) \) और त्रिज्या \( r = 3\sqrt{2} \) हो, तो समीकरण:
\( (x - 3)^2 + (y - (-3\sqrt{2}))^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
\( (x - 3)^2 + (y + 3\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6\sqrt{2}y + 18 = 18 \)
\( x^2 + y^2 - 6x + 6\sqrt{2}y + 9 = 0 \)
तो, दो संभावित वृत्त समीकरण हैं। वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के बीच का संबंध यह समझने में महत्वपूर्ण है कि x-अक्ष को छूने और y-अक्ष पर अंतःखण्ड बनाने से क्या होता है।
In simple words: जब एक वृत्त x-अक्ष को छूता है और y-अक्ष को काटता है, तो आप केंद्र के निर्देशांक और त्रिज्या को ज्ञात करने के लिए ज्यामिति के नियमों का उपयोग कर सकते हैं। इसके बाद, आप वृत्त का समीकरण लिख सकते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, चित्र बनाकर केंद्र और त्रिज्या के बीच के संबंधों को समझना बहुत महत्वपूर्ण है। याद रखें कि एक जीवा पर केंद्र से डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है।

Question 6. वृत्त \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \) का केन्द्र एवं त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए वृत्त का समीकरण है: \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \)
इस समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) के रूप में बदलने पर:
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 12 \)
\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25 \)
\( (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 53 \)
इस समीकरण की तुलना \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( h = 4 \)
\( k = -5 \)
\( r^2 = 53 \implies r = \sqrt{53} \)
अतः, वृत्त का केंद्र \( (4, -5) \) है और इसकी त्रिज्या \( \sqrt{53} \) है। वृत्त का मानक रूप हमें केंद्र और त्रिज्या को सीधे पहचानने में मदद करता है।
In simple words: वृत्त के समीकरण को बदलकर एक खास रूप में लाओ। इससे तुम्हें केंद्र और त्रिज्या आसानी से मिल जाएँगे।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, \( x \) और \( y \) के गुणांकों के आधे का वर्ग जोड़ना और घटाना याद रखें। यह तरीका केंद्र और त्रिज्या को सीधा निकालने में मदद करता है।

Question 7. वृत्त \( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \) का केन्द्र एवं त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए वृत्त का समीकरण है: \( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)
वृत्त के मानक रूप \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) में \( x^2 \) और \( y^2 \) के गुणांक 1 होने चाहिए। इसलिए, पूरे समीकरण को 2 से भाग दें:
\( x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0 \)
इस समीकरण की तुलना \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) से करने पर:
\( 2g = -\frac{1}{2} \implies g = -\frac{1}{4} \)
\( 2f = 0 \implies f = 0 \)
\( c = 0 \)
अतः वृत्त का केंद्र \( = (-g, -f) = (- (-\frac{1}{4}), -0) = (\frac{1}{4}, 0) \)
वृत्त की त्रिज्या \( = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \)
\( = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (0)^2 - 0} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{16}} \)
\( = \frac{1}{4} \)
इस वृत्त का केंद्र \( (\frac{1}{4}, 0) \) है और त्रिज्या \( \frac{1}{4} \) है। यह एक ऐसा वृत्त है जो x-अक्ष पर स्थित है और y-अक्ष को स्पर्श करता है।
In simple words: समीकरण को 2 से भाग देकर सरल करो ताकि \( x^2 \) और \( y^2 \) के आगे 1 हो। फिर, केंद्र और त्रिज्या निकालने के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करो।

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि वृत्त के सामान्य समीकरण में \( x^2 \) और \( y^2 \) के गुणांक 1 होने चाहिए। यदि वे अलग हैं, तो पहले समीकरण को विभाजित करें।

Question 8. बिन्दुओं (2, 3) और (- 1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा \( x - 3y - 11 = 0 \) पर स्थित है।
Answer:
माना वृत्त का केंद्र \( (h, k) \) और त्रिज्या \( r \) है। तो वृत्त का समीकरण \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) होगा।
चूँकि वृत्त बिंदु \( (2, 3) \) से गुजरता है, तो यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( (2 - h)^2 + (3 - k)^2 = r^2 \) .....(1)
चूँकि वृत्त बिंदु \( (-1, 1) \) से गुजरता है, तो यह बिंदु भी समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( (-1 - h)^2 + (1 - k)^2 = r^2 \) .....(2)
समीकरण (1) और (2) से, \( r^2 \) बराबर हैं, इसलिए हम उन्हें बराबर कर सकते हैं:
\( (2 - h)^2 + (3 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (1 - k)^2 \)
\( 4 - 4h + h^2 + 9 - 6k + k^2 = 1 + 2h + h^2 + 1 - 2k + k^2 \)
\( 13 - 4h - 6k = 2 + 2h - 2k \)
सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर:
\( 13 - 2 - 4h - 2h - 6k + 2k = 0 \)
\( 11 - 6h - 4k = 0 \)
\( 6h + 4k = 11 \) .....(3)
हमें यह भी दिया गया है कि वृत्त का केंद्र \( (h, k) \) रेखा \( x - 3y - 11 = 0 \) पर स्थित है।
इसलिए, केंद्र के निर्देशांक इस रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
\( h - 3k - 11 = 0 \)
\( h - 3k = 11 \) .....(4)
अब हमें समीकरण (3) और (4) को \( h \) और \( k \) के लिए हल करना है।
समीकरण (4) को 6 से गुणा करें: \( 6(h - 3k) = 6 \times 11 \implies 6h - 18k = 66 \) .....(5)
समीकरण (3) को समीकरण (5) में से घटाएं:
\( (6h - 18k) - (6h + 4k) = 66 - 11 \)
\( -22k = 55 \)
\( k = -\frac{55}{22} = -\frac{5}{2} \)
\( k \) का मान समीकरण (4) में रखने पर:
\( h - 3(-\frac{5}{2}) = 11 \)
\( h + \frac{15}{2} = 11 \)
\( h = 11 - \frac{15}{2} = \frac{22 - 15}{2} = \frac{7}{2} \)
तो, केंद्र \( (h, k) = (\frac{7}{2}, -\frac{5}{2}) \) है।
अब, \( h \) और \( k \) के मानों को समीकरण (1) में रखकर \( r^2 \) ज्ञात करें:
\( r^2 = (2 - \frac{7}{2})^2 + (3 - (-\frac{5}{2}))^2 \)
\( = (\frac{4 - 7}{2})^2 + (\frac{6 + 5}{2})^2 \)
\( = (-\frac{3}{2})^2 + (\frac{11}{2})^2 \)
\( = \frac{9}{4} + \frac{121}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2} \)
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण है:
\( (x - \frac{7}{2})^2 + (y - (-\frac{5}{2}))^2 = \frac{65}{2} \)
\( (x - \frac{7}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{65}{2} \)
समीकरण को विस्तारित और सरल करने पर:
\( x^2 - 7x + \frac{49}{4} + y^2 + 5y + \frac{25}{4} = \frac{65}{2} \)
\( x^2 + y^2 - 7x + 5y + \frac{49+25}{4} = \frac{65}{2} \)
\( x^2 + y^2 - 7x + 5y + \frac{74}{4} = \frac{65}{2} \)
\( x^2 + y^2 - 7x + 5y + \frac{37}{2} = \frac{65}{2} \)
पूरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
\( 2x^2 + 2y^2 - 14x + 10y + 37 = 65 \)
\( 2x^2 + 2y^2 - 14x + 10y - 28 = 0 \)
या, 2 से भाग देने पर:
\( x^2 + y^2 - 7x + 5y - 14 = 0 \)
यह वृत्त दो दिए गए बिंदुओं से गुजरता है और उसका केंद्र एक विशेष रेखा पर है। इस तरह के प्रश्नों में कई बीजगणितीय चरण शामिल होते हैं।
In simple words: वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, दिए गए बिंदुओं और रेखा के समीकरण का उपयोग करें। फिर, \( h \) और \( k \) के मान निकालने के लिए समीकरणों को हल करें।

🎯 Exam Tip: जब वृत्त दो बिंदुओं से गुजरता है और उसका केंद्र एक रेखा पर स्थित होता है, तो तीन समीकरण बनते हैं। इन्हें ध्यान से हल करके \( h, k, \) और \( r \) के मान प्राप्त करें।

Question 9. त्रि मीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है।
Answer:
माना वृत्त का केंद्र \( (h, k) \) और त्रिज्या \( r \) है।
चूंकि वृत्त का केंद्र x-अक्ष पर स्थित है, इसका मतलब है कि केंद्र का y-निर्देशांक \( k = 0 \) होगा।
अतः वृत्त का केंद्र \( (h, 0) \) होगा।
वृत्त का समीकरण होगा: \( (x - h)^2 + (y - 0)^2 = r^2 \implies (x - h)^2 + y^2 = r^2 \)
वृत्त बिंदु \( (2, 3) \) से गुजरता है, तो यह बिंदु समीकरण को संतुष्ट करेगा:
\( (2 - h)^2 + (3)^2 = r^2 \)
\( 4 - 4h + h^2 + 9 = r^2 \)
\( h^2 - 4h + 13 = r^2 \) .....(1)
हमें \( r \) का मान नहीं दिया गया है। प्रश्न में स्पष्टता की कमी है कि "त्रि मीकरण" से क्या अभिप्राय है। यदि इसका अर्थ वृत्त का समीकरण है, तो उत्तर में \( h \) और \( r \) के मानों का पता लगाना होगा।
यदि हम एक विशेष मान मानते हैं, उदाहरण के लिए यदि त्रिज्या 5 है, तो:
\( h^2 - 4h + 13 = 5^2 \)
\( h^2 - 4h + 13 = 25 \)
\( h^2 - 4h - 12 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर:
\( h^2 - 6h + 2h - 12 = 0 \)
\( h(h - 6) + 2(h - 6) = 0 \)
\( (h - 6)(h + 2) = 0 \)
\( \implies h = 6 \) या \( h = -2 \)
तो, दो संभावित वृत्त हो सकते हैं, दोनों की त्रिज्या 5 है और वे x-अक्ष पर केंद्रित हैं।
1. केंद्र \( (6, 0) \) और त्रिज्या \( 5 \):
\( (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \)
\( x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0 \)
2. केंद्र \( (-2, 0) \) और त्रिज्या \( 5 \):
\( (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \)
\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0 \)
यदि प्रश्न में त्रिज्या का मान नहीं दिया गया है, तो आमतौर पर \( h^2 - 4h + 13 = r^2 \) के रूप में ही समीकरण छोड़ दिया जाता है, या किसी एक विशेष \( r \) मान के लिए समाधान दिया जाता है।
In simple words: जब केंद्र x-अक्ष पर हो, तो केंद्र का \( y \) मान शून्य होता है। दिए गए बिंदु से होकर जाने पर, आप वृत्त का समीकरण ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि केंद्र x-अक्ष पर है, तो केंद्र को \( (h, 0) \) मानें; यदि केंद्र y-अक्ष पर है, तो केंद्र को \( (0, k) \) मानें। यह अज्ञात चरों की संख्या को कम करने में मदद करता है।

Question 10. \( (0,0) \) से होकर जाने वाले वन वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों पर \( a \) और \( b \) अंत:खण्ड बनाता है।
Answer:
जब एक वृत्त निर्देशांक अक्षों पर \( a \) और \( b \) अंतःखण्ड बनाता है और मूल बिंदु \( (0,0) \) से होकर जाता है, तो इसके केंद्र के निर्देशांक \( (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \) होते हैं। वृत्त के केंद्र को \( C(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \) मान सकते हैं।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु \( O(0,0) \) से होकर जाता है, तो केंद्र \( C \) से मूल बिंदु \( O \) तक की दूरी ही वृत्त की त्रिज्या \( r \) होगी।
त्रिज्या \( r = CO \)
\( r = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2} \)
\( r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} \)
\( r = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} \)
अब, केंद्र \( (h, k) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \) और त्रिज्या \( r = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} \) का उपयोग करके वृत्त का समीकरण ज्ञात करें:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
\( (x - \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{b}{2})^2 = (\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}})^2 \)
\( (x - \frac{a}{2})^2 + (y - \frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{4} \)
कोष्ठक खोलने पर:
\( x^2 - 2x(\frac{a}{2}) + (\frac{a}{2})^2 + y^2 - 2y(\frac{b}{2}) + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{4} \)
\( x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - by + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{4} \)
सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर:
\( x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - \frac{a^2 + b^2}{4} = 0 \)
\( x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2 + b^2 - (a^2 + b^2)}{4} = 0 \)
\( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \)
यह वृत्त का अभीष्ट समीकरण है। यह एक सरल समीकरण है जो दिखाता है कि जब वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है और अक्षों पर अंतःखण्ड बनाता है।
In simple words: जब एक वृत्त मूल बिंदु से होकर जाता है और अक्षों पर अंतःखण्ड बनाता है, तो उसका केंद्र \( (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \) होता है। केंद्र और त्रिज्या के सूत्र में मान डालकर, आप वृत्त का समीकरण निकाल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है और अक्षों पर अंतःखण्ड \( a \) और \( b \) बनाता है, तो उसका केंद्र हमेशा \( (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \) होता है।