RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Exercise 11.2

Question 1. निम्न समीकरणों को झुकाव रूप तथा अन्तः खण्ड रूप में परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए।
(i) \( 7x - 13y = 15 \)
(ii) \( 5x + 6y + 8 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया रेखा का समीकरण:
\( 7x - 13y = 15 \)
\( \implies -13y = -7x + 15 \)
\( \implies y = \frac{-7x}{-13} + \frac{15}{-13} \)
\( \implies y = \frac{7}{13}x + \left(\frac{-15}{13}\right) \)
यह रेखा का झुकाव रूप \( y = mx + c \) है। जहाँ \( m = \frac{7}{13} \) और \( c = \frac{-15}{13} \).
अन्तःखण्ड रूप में परिवर्तन:
\( 7x - 13y = 15 \)
दोनों तरफ 15 से भाग देने पर:
\( \frac{7x}{15} - \frac{13y}{15} = \frac{15}{15} \)
\( \implies \frac{x}{\frac{15}{7}} + \frac{y}{\frac{-15}{13}} = 1 \)
यह रेखा का अन्तःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है, जहाँ \( a = \frac{15}{7} \) और \( b = \frac{-15}{13} \). यहां हमने समीकरण को अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में दर्शाया है।

(ii) दिया गया रेखा का समीकरण:
\( 5x + 6y + 8 = 0 \)
झुकाव रूप में परिवर्तन:
\( 6y = -5x - 8 \)
\( \implies y = \frac{-5x}{6} + \frac{-8}{6} \)
\( \implies y = \frac{-5}{6}x + \left(\frac{-4}{3}\right) \)
यह रेखा का झुकाव रूप \( y = mx + c \) है, जहाँ \( m = \frac{-5}{6} \) और \( c = \frac{-4}{3} \).
अन्तःखण्ड रूप में परिवर्तन:
\( 5x + 6y + 8 = 0 \)
\( \implies 5x + 6y = -8 \)
दोनों तरफ \( -8 \) से भाग देने पर:
\( \frac{5x}{-8} + \frac{6y}{-8} = \frac{-8}{-8} \)
\( \implies \frac{x}{\frac{-8}{5}} + \frac{y}{\frac{-8}{6}} = 1 \)
\( \implies \frac{x}{\frac{-8}{5}} + \frac{y}{\frac{-4}{3}} = 1 \)
यह रेखा का अन्तःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है, जहाँ \( a = \frac{-8}{5} \) और \( b = \frac{-4}{3} \).
In simple words: हमने हर समीकरण को दो अलग-अलग तरीकों से लिखा: एक तरीका जो उसकी ढलान (ढलान-अंतःखंड रूप) दिखाता है और दूसरा तरीका जो बताता है कि रेखा अक्षों को कहाँ काटती है (अंतःखंड रूप). इससे हमें रेखा की ढलान और उसके अंतःखंड के मान मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: किसी भी सीधी रेखा के समीकरण को ढलान-अंतःखंड रूप \( (y = mx + c) \) और अंतःखंड रूप \( (\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1) \) में बदलना महत्वपूर्ण है। 'm' रेखा की ढलान है, 'c' y-अंतःखंड है, 'a' x-अंतःखंड है, और 'b' y-अंतःखंड है।

Question 2. रेखा^^~~ ninap की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer: इस प्रश्न में रेखा का समीकरण स्पष्ट नहीं है (जैसे कि 'ninap' एक वैध गणितीय अभिव्यक्ति नहीं है)। यदि रेखा का समीकरण दिया होता, तो हम उसे \( y = mx + c \) के रूप में लिखकर उसकी प्रवणता (ढलान, 'm') ज्ञात कर सकते थे। एक रेखा की ढलान हमें बताती है कि वह कितनी खड़ी या सपाट है। चूँकि इस प्रश्न में कोई विशिष्ट समीकरण नहीं दिया गया है, इसलिए एक संख्यात्मक उत्तर नहीं दिया जा सकता।
In simple words: प्रश्न में रेखा का समीकरण अधूरा है, इसलिए हम इसकी ढलान नहीं बता सकते। ढलान जानने के लिए हमें पूरा समीकरण चाहिए होता है।

🎯 Exam Tip: ढलान ज्ञात करने के लिए, रेखा का समीकरण \( y = mx + c \) के रूप में होना चाहिए, जहाँ 'm' ढलान होती है। यदि दो बिंदु \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) दिए गए हों, तो ढलान \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) होती है।

Question 3. निम्न रेखाओं के x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की। स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
(i) \( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
(ii) \( x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0 \)
Answer:
(i) रेखा का समीकरण:
\( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
\( \implies y = \sqrt{3}x + 2 \)
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप \( y = mx + c \) से करने पर,
\( m = \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( m = \tan \theta \).
\( \implies \tan \theta = \sqrt{3} \)
\( \implies \tan \theta = \tan 60^\circ \)
\( \implies \theta = 60^\circ \)
अतः रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या \( \tan \theta = \tan 60^\circ \). यह रेखा धनात्मक x-अक्ष के साथ \( 60^\circ \) का कोण बनाती है।

(ii) रेखा का समीकरण:
\( x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0 \)
\( \implies \sqrt{3}y = -x + 2\sqrt{3} \)
\( \implies y = \frac{-1}{\sqrt{3}}x + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies y = \frac{-1}{\sqrt{3}}x + 2 \)
इस समीकरण की तुलना रेखा के झुकाव रूप \( y = mx + c \) से करने पर,
\( m = \frac{-1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \tan \theta = -\tan 30^\circ \)
\( \implies \tan \theta = \tan (180^\circ - 30^\circ) \)
\( \implies \tan \theta = \tan 150^\circ \)
\( \implies \theta = 150^\circ \)
अतः रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या \( \tan \theta = \tan 150^\circ \).
In simple words: हमने रेखा के समीकरण को \( y = mx + c \) के रूप में बदला। यहाँ 'm' रेखा की ढलान है, जो \( \tan \theta \) के बराबर होती है। \( \theta \) वह कोण है जो रेखा x-अक्ष के साथ बनाती है, और उसकी स्पर्शज्या (tan) ज्ञात की जाती है।

🎯 Exam Tip: किसी रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा के साथ बनाए गए कोण \( \theta \) की स्पर्शज्या (tangent) ही उसकी ढलान (m) होती है। हमेशा याद रखें कि \( m = \tan \theta \). यदि ढलान ऋणात्मक हो, तो कोण \( (180^\circ - \text{acute angle}) \) होता है।

Question 5. सरल रेखा \( 3x + 4 = 6 \) से अक्षों के मध्य कटे हुए अन्तःखण्ड की लम्बाई और उसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण को अन्तःखण्ड रूप में बदलने के लिए, हमें इसे \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) के रूप में लिखना होगा। हालाँकि प्रश्न में \( 3x + 4 = 6 \) दिया है, लेकिन समाधान \( 3x + 4y = 6 \) के लिए दिया गया है, जो एक मानक सरल रेखा का समीकरण है। हम समाधान को इसी आधार पर आगे बढ़ाएंगे।
दी गई रेखा का समीकरण:
\( 3x + 4y = 6 \)
दोनों पक्षों को 6 से भाग देने पर:
\( \frac{3x}{6} + \frac{4y}{6} = \frac{6}{6} \)
\( \implies \frac{x}{2} + \frac{y}{\frac{3}{2}} = 1 \)
इस समीकरण की तुलना रेखा के अन्तःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
\( a = 2 \) और \( b = \frac{3}{2} \).
तब दी गई रेखा का अक्षों के मध्य कटे भाग के सिरों के निर्देशांक \( A(2, 0) \) और \( B(0, \frac{3}{2}) \) हैं। एक रेखा के अक्षों के साथ अंतःखंड हमें यह समझने में मदद करते हैं कि वह ग्राफ पर कैसे स्थित है।
अतः इस अन्तःखण्ड की अभीष्ट लम्बाई:
\( L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( L = \sqrt{(0 - 2)^2 + (\frac{3}{2} - 0)^2} \)
\( L = \sqrt{(-2)^2 + (\frac{3}{2})^2} \)
\( L = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} \)
\( L = \sqrt{\frac{16+9}{4}} \)
\( L = \sqrt{\frac{25}{4}} \)
\( L = \frac{5}{2} \) इकाई.

अन्तःखण्ड का अभीष्ट मध्य बिन्दु:
मध्य बिन्दु \( = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु \( = \left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + \frac{3}{2}}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु \( = \left(\frac{2}{2}, \frac{\frac{3}{2}}{2}\right) \)
मध्य बिन्दु \( = \left(1, \frac{3}{4}\right) \).
In simple words: हमने पहले रेखा के समीकरण को एक ऐसे रूप में बदला जो हमें बताता है कि रेखा x और y अक्षों को कहाँ काटती है। फिर, इन बिंदुओं का उपयोग करके हमने रेखा के उन दोनों बिंदुओं के बीच की लंबाई और उनका ठीक बीच वाला बिंदु (मध्य बिन्दु) निकाला।

🎯 Exam Tip: अन्तःखण्ड की लम्बाई और मध्य बिन्दु ज्ञात करने के लिए, हमेशा रेखा के समीकरण को अन्तःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) में परिवर्तित करें। यह आपको अक्षों पर अन्तःखण्ड बिंदु \( (a, 0) \) और \( (0, b) \) सीधे प्रदान करता है, जिससे दूरी सूत्र और मध्यबिंदु सूत्र का अनुप्रयोग आसान हो जाता है।

Question 6. a तथा b का मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण \( 5x - 4y = 20 \) और \( ax - by + 1 = 0 \) एक ही सरल रेखा को प्रदर्शित करें।
Answer:
दी गई रेखाएँ एक ही हैं, इसलिए उनके गुणांक समानुपाती होंगे।
पहला समीकरण:
\( 5x - 4y = 20 \)
दोनों पक्षों को 20 से भाग देने पर (मानक रूप \( \frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} = 1 \) में बदलने के लिए):
\( \frac{5x}{20} - \frac{4y}{20} = \frac{20}{20} \)
\( \implies \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 1 \)
\( \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-5} = 1 \) ....(1)

दूसरा समीकरण:
\( ax - by + 1 = 0 \)
\( \implies ax - by = -1 \)
दोनों पक्षों को \( -1 \) से भाग देने पर:
\( \frac{ax}{-1} - \frac{by}{-1} = \frac{-1}{-1} \)
\( \implies \frac{x}{-\frac{1}{a}} + \frac{y}{\frac{1}{b}} = 1 \) ....(2)

चूँकि समीकरण (1) और (2) एक ही रेखा को निरूपित करते हैं, उनके अंतःखंड समान होंगे। दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
\( \frac{1}{4} = \frac{1}{-\frac{1}{a}} \)
\( \implies \frac{1}{4} = -a \)
\( \implies a = -4 \)

और
\( \frac{1}{-5} = \frac{1}{\frac{1}{b}} \)
\( \implies \frac{1}{-5} = b \)
\( \implies b = -\frac{1}{5} \)
अतः दी गई दोनों रेखाएँ एक ही रेखा को निरूपित करें तब \( a \) और \( b \) के अभीष्ट मान क्रमशः \( \frac{-1}{4} \) और \( \frac{-1}{5} \) हैं। यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएं पूरी तरह से एक दूसरे पर ओवरलैप करती हैं।
In simple words: अगर दो समीकरण एक ही सीधी रेखा को दिखाते हैं, तो इसका मतलब है कि उनके गुणांक एक ही अनुपात में होते हैं। हमने दोनों समीकरणों को एक समान रूप में बदला और फिर उनके अलग-अलग हिस्सों की तुलना करके 'a' और 'b' का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: जब दो समीकरण एक ही रेखा को निरूपित करते हैं, तो उनके x, y और अचर पदों के गुणांक समानुपाती होते हैं। \( A_1x + B_1y + C_1 = 0 \) और \( A_2x + B_2y + C_2 = 0 \) के लिए, यदि रेखाएँ समान हैं, तो \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \) होता है।

Question 7. निम्न समीकरणों को \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) के रूप में परिवर्तित कीजिए।
(i) \( x + y + \sqrt{2} = 0 \)
(ii) \( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण:
\( x + y + \sqrt{2} = 0 \)
\( \implies x + y = -\sqrt{2} \)
\( \implies -x - y = \sqrt{2} \)
अब, गुणांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल से भाग दें। यहाँ \( A=-1, B=-1 \).
\( \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \).
समीकरण के दोनों पक्षों को \( \sqrt{2} \) से भाग करने पर:
\( \frac{-x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( \implies \frac{-1}{\sqrt{2}}x + \frac{-1}{\sqrt{2}}y = 1 \) ....(1)
समीकरण (1) की तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर,
\( \cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} \) और \( \sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}} \). यहाँ \( p=1 \).
चूँकि \( \cos \alpha \) तथा \( \sin \alpha \) दोनों ऋणात्मक हैं, अतः \( \alpha \) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।
\( \cos \alpha = \cos (180^\circ + 45^\circ) = \cos 225^\circ \)
\( \sin \alpha = \sin (180^\circ + 45^\circ) = \sin 225^\circ \)
अतः, \( \alpha = 225^\circ \).
अभीष्ट अभिलम्ब रूप है: \( x \cos 225^\circ + y \sin 225^\circ = 1 \).

(ii) दिया गया समीकरण:
\( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
\( \implies \sqrt{3}x - y = -2 \)
\( \implies -\sqrt{3}x + y = 2 \) ....(1)
अब, गुणांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल से भाग दें। यहाँ \( A=-\sqrt{3}, B=1 \).
\( \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \).
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( \frac{-\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{2} \)
\( \implies \frac{-\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1 \) ....(2)
समीकरण (2) की तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) (अभिलम्ब रूप) से करने पर,
\( \cos \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2} \) और \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \). यहाँ \( p=1 \).
यहाँ \( \cos \alpha \) ऋणात्मक एवं \( \sin \alpha \) धनात्मक है अतः \( \alpha \) द्वितीय चतुर्थांश में होगा। सामान्यीकरण में, कोण की चतुर्थांश स्थिति को पहचानना आवश्यक है।
\( \cos \alpha = -\cos 30^\circ \)
\( \implies \cos \alpha = \cos (180^\circ - 30^\circ) = \cos 150^\circ \)
\( \implies \alpha = 150^\circ \).
अभीष्ट अभिलम्ब रूप है: \( x \cos 150^\circ + y \sin 150^\circ = 1 \).
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों को 'अभिलम्ब रूप' में बदला। इसके लिए, हमने समीकरण को \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) के रूप में लिखा, जहाँ \( p \) मूलबिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी है और \( \alpha \) लंबवत के x-अक्ष से बनने वाला कोण है।

🎯 Exam Tip: एक रेखा के समीकरण को अभिलम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में बदलने के लिए, सबसे पहले अचर पद को धनात्मक बनाएँ। फिर, समीकरण के दोनों पक्षों को \( \sqrt{A^2 + B^2} \) से विभाजित करें, जहाँ \( A \) और \( B \) क्रमशः x और y के गुणांक हैं। \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के चिन्हों का उपयोग करके \( \alpha \) के चतुर्थांश को पहचानें।

Question 8. सरल रेखा \( 3x - 4y - 11 = 0 \) को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्बे की लम्बाई और x-अक्ष से उसकी प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( 3x - 4y - 11 = 0 \)
\( \implies 3x - 4y = 11 \) ....(1)
इसे अभिलम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में बदलने के लिए, हम \( \sqrt{A^2 + B^2} \) से भाग देंगे। यहाँ \( A=3 \) और \( B=-4 \).
\( \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \).
समीकरण (1) के दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( \frac{3x}{5} - \frac{4y}{5} = \frac{11}{5} \) ....(2)
इस समीकरण की तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर,
\( \cos \alpha = \frac{3}{5} \), \( \sin \alpha = \frac{-4}{5} \) और \( p = \frac{11}{5} \).
यहाँ \( \cos \alpha \) धनात्मक और \( \sin \alpha \) ऋणात्मक है, अतः \( \alpha \) चतुर्थ चतुर्थांश में होगा।

मूल बिन्दु से डाले गए लम्ब की लम्बाई \( p = \frac{11}{5} \).

रेखा की प्रवणता (ढलान) ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण \( 3x - 4y = 11 \) को \( y = mx + c \) के रूप में बदलेंगे:
\( -4y = -3x + 11 \)
\( \implies y = \frac{-3x}{-4} + \frac{11}{-4} \)
\( \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{11}{4} \)
इस समीकरण से, प्रवणता \( m = \frac{3}{4} \).
x-अक्ष से प्रवणता \( \tan \theta = m = \frac{3}{4} \). यह रेखा x-अक्ष के साथ एक तीव्र कोण बनाती है क्योंकि इसकी ढलान धनात्मक है।
In simple words: हमने रेखा के समीकरण को अभिलम्ब रूप में बदलकर मूल बिन्दु से रेखा तक की सीधी दूरी (लम्ब की लम्बाई) निकाली। फिर, रेखा के समीकरण को \( y = mx + c \) रूप में बदलकर उसकी ढलान भी ज्ञात की, जो x-अक्ष के साथ बने कोण की स्पर्शज्या है।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब रूप में \( p \) हमेशा धनात्मक होता है और मूलबिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। यदि अचर पद ऋणात्मक हो, तो इसे धनात्मक बनाने के लिए पूरे समीकरण को \( -1 \) से गुणा करें। ढलान ज्ञात करने के लिए हमेशा समीकरण को \( y = mx + c \) रूप में परिवर्तित करें।

Question 9. सरल \( \frac {x}{a}+\frac{y}{b} =1 \) तथा \( 2x – 3y = 5 \) एक ही रेखा निरूपित करते हैं, तो \( a \) तथा \( b \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहला समीकरण है:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

दूसरा समीकरण है:
\( 2x - 3y = 5 \)
इस समीकरण को अन्तःखण्ड रूप में बदलने के लिए, दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( \frac{2x}{5} - \frac{3y}{5} = \frac{5}{5} \)
\( \implies \frac{x}{\frac{5}{2}} + \frac{y}{-\frac{5}{3}} = 1 \) ....(1)
चूँकि दोनों रेखाएँ एक ही हैं, इसलिए उनके अन्तःखण्ड समान होने चाहिए। समीकरण (1) की तुलना \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
\( a = \frac{5}{2} \)
और
\( b = -\frac{5}{3} \).
ये मान सुनिश्चित करते हैं कि दोनों समीकरण ग्राफिक रूप से एक ही सीधी रेखा को दर्शाते हैं।
In simple words: यदि दो समीकरण एक ही रेखा को दिखाते हैं, तो उनके अंतःखंड समान होंगे। हमने दूसरे समीकरण को अंतःखंड रूप में बदला और फिर दोनों समीकरणों के x-अंतःखंड और y-अंतःखंड की तुलना करके 'a' और 'b' का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं के समीकरणों की तुलना करते समय, सुनिश्चित करें कि वे दोनों एक ही मानक रूप में हों (जैसे कि अंतःखंड रूप या ढलान-अंतःखंड रूप)। फिर, संबंधित गुणांकों या अंतःखंडों को बराबर करके अज्ञात मानों को हल करें।

Question 10. सरल रेखा \( y = mx + c \) तथा \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) एक ही रेखा को निरूपित करे तो रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण तथा y-अक्ष से काटे गये अन्तःखण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( y = mx + c \) ....(1)
और दूसरा समीकरण है:
\( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) ....(2)

ये दोनों समीकरण एक ही रेखा के हैं। समीकरण (2) से हम \( y \) को अलग करेंगे:
\( y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p \)
\( \implies y = \frac{-\cos \alpha}{\sin \alpha}x + \frac{p}{\sin \alpha} \)
\( \implies y = (-\cot \alpha)x + \frac{p}{\sin \alpha} \) ....(3)

समीकरण (1) और (3) की तुलना करने पर,
\( m = -\cot \alpha \)
और \( c = \frac{p}{\sin \alpha} \).

रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण \( \theta \) है, जिसके लिए \( m = \tan \theta \).
तो, \( \tan \theta = -\cot \alpha \)
\( \implies \tan \theta = -\tan (90^\circ - \alpha) \)
\( \implies \tan \theta = \tan (180^\circ - (90^\circ - \alpha)) \)
\( \implies \tan \theta = \tan (90^\circ + \alpha) \)
इसलिए, झुकाव कोण \( \theta = 90^\circ + \alpha \).

y-अक्ष से काटे गए अन्तःखण्ड की लम्बाई \( c = \frac{p}{\sin \alpha} \).
यह कोण और अंतःखंड रेखा के झुकाव और स्थिति का एक स्पष्ट विवरण प्रदान करते हैं।
In simple words: हमें दो अलग-अलग रूपों में एक ही सीधी रेखा के समीकरण दिए गए थे। हमने उन्हें आपस में तुलना की ताकि हम रेखा के ढलान को कोण के रूप में और y-अक्ष को काटने वाली दूरी को ज्ञात कर सकें।

🎯 Exam Tip: जब दो समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, तो ढलान और y-अंतःखंड दोनों समान होने चाहिए। \( y = mx+c \) रूप में, \( m \) ढलान है और \( c \) y-अंतःखंड है। अभिलम्ब रूप से तुलना करते समय, \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के मानों का उपयोग करके \( \alpha \) को सही चतुर्थांश में निर्धारित करें।

Question 12. निम्न दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) \( (3, 4) \) और \( (5, 6) \)
(ii) \( (0, -a) \) और \( (b, 0) \)
(iii) \( (a, b) \) और \( (a + b, a - b) \)
(iv) \( (at_1, at_1) \) और \( (at_2, at_2) \)
(v) \( (a \sec \alpha, b \tan \alpha) \) और \( (a \sec \beta, b \tan \beta) \)
Answer: दो बिन्दुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्न सूत्र से दिया जाता है:
\( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \).

(i) बिन्दु \( (3, 4) \) और \( (5, 6) \):
\( y - 4 = \frac{6 - 4}{5 - 3} (x - 3) \)
\( \implies y - 4 = \frac{2}{2} (x - 3) \)
\( \implies y - 4 = 1 (x - 3) \)
\( \implies y - 4 = x - 3 \)
\( \implies y - x = 4 - 3 \)
\( \implies y - x = 1 \)
\( \implies x - y + 1 = 0 \).

(ii) बिन्दु \( (0, -a) \) और \( (b, 0) \):
\( y - (-a) = \frac{0 - (-a)}{b - 0} (x - 0) \)
\( \implies y + a = \frac{a}{b} x \)
\( \implies by + ab = ax \)
\( \implies ax - by - ab = 0 \).

(iii) बिन्दु \( (a, b) \) और \( (a + b, a - b) \):
\( y - b = \frac{(a - b) - b}{(a + b) - a} (x - a) \)
\( \implies y - b = \frac{a - 2b}{b} (x - a) \)
\( \implies b(y - b) = (a - 2b)(x - a) \)
\( \implies by - b^2 = (a - 2b)x - a(a - 2b) \)
\( \implies by - b^2 = (a - 2b)x - a^2 + 2ab \)
\( \implies (a - 2b)x - by + b^2 + 2ab - a^2 = 0 \).

(iv) बिन्दु \( (at_1, at_1) \) और \( (at_2, at_2) \):
\( y - at_1 = \frac{at_2 - at_1}{at_2 - at_1} (x - at_1) \)
\( \implies y - at_1 = \frac{a(t_2 - t_1)}{a(t_2 - t_1)} (x - at_1) \)
\( \implies y - at_1 = 1 (x - at_1) \)
\( \implies y - at_1 = x - at_1 \)
\( \implies y = x \)
\( \implies x - y = 0 \). यह रेखा मूलबिंदु से गुजरती है।

(v) बिन्दु \( (a \sec \alpha, b \tan \alpha) \) और \( (a \sec \beta, b \tan \beta) \):
\( y - b \tan \alpha = \frac{b \tan \beta - b \tan \alpha}{a \sec \beta - a \sec \alpha} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b(\tan \beta - \tan \alpha)}{a(\sec \beta - \sec \alpha)} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos \beta} - \frac{1}{\cos \alpha}} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\frac{\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha}{\cos \beta \cos \alpha}}{\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \beta \cos \alpha}} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha - \cos \beta} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{2 \sin\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)}{-2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\sin\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)}{-\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(-\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)\right)} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\sin\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)} (x - a \sec \alpha) \)
\( \implies y - b \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} (x - a \sec \alpha) \)
अब, \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) से गुणा करें ताकि \( b \tan \alpha \) को \( \frac{b \sin \alpha}{\cos \alpha} \) के रूप में लिखा जा सके।
\( \frac{y \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{b \sin \alpha}{\cos \alpha} \tan \alpha = \frac{b}{a} \frac{\cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} \left(\frac{x \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{a \sin \alpha}{\cos \alpha} \sec \alpha\right) \)
(ऊपर की पंक्ति एक विस्तारित संस्करण है, आइए इसे सरल रखें, जैसा कि स्रोत में दिखाया गया है)
\( ay \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) - ab \tan \alpha \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = bx \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) - ab \sec \alpha \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \)
यह एक लंबी व्युत्पत्ति है, जिसे यहाँ संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है। अंतिम सरलीकृत रूप प्राप्त करना त्रिकोणमितीय पहचानों के सावधानीपूर्वक अनुप्रयोग पर निर्भर करता है।

अंतिम समीकरण है:
\( \frac{x}{a} \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) + \frac{y}{b} \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \).
यह एक सामान्य रूप है जो अण्डाकार या अतिपरवलयिक ज्यामिति में उपयोगी हो सकता है, लेकिन इसका पूर्ण व्युत्पत्ति काफी विस्तृत है।
In simple words: हमने हर स्थिति में दिए गए दो बिंदुओं का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात किया। इसके लिए हमने दो-बिंदु सूत्र का उपयोग किया, जो किसी भी दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निकालने का एक आसान तरीका है।

🎯 Exam Tip: दो बिंदुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1) \) है। यह सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है। त्रिकोणमितीय या अधिक जटिल निर्देशांक वाले प्रश्नों में, सरल अंकगणित के साथ-साथ त्रिकोणमितीय पहचानों का भी सावधानीपूर्वक उपयोग करें।

Question 1. निम्न समीकरणों को झुकाव रूप तथा अन्तः खण्ड रूप में परिवर्तित कर इनके मानक रूप में प्रयुक्त अचर पदों के मान ज्ञात कीजिए!
(i) \( 7x - 13y = 15 \)
(ii) \( 5x + 6y + 8 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया रेखा का समीकरण:
\( 7x - 13y = 15 \)
इसे ढलान-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में बदलने पर:
\( 13y = 7x - 15 \)
\( y = \frac{7}{13}x - \frac{15}{13} \)
इस समीकरण की तुलना \( y = mx + c \) से करने पर,
झुकाव \( m = \frac{7}{13} \)
y-अन्तःखण्ड \( c = -\frac{15}{13} \)
अब, इसे अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) में बदलने पर:
\( 7x - 13y = 15 \)
दोनों पक्षों को 15 से भाग देने पर,
\( \frac{7x}{15} - \frac{13y}{15} = 1 \)
\( \frac{x}{15/7} + \frac{y}{-15/13} = 1 \)
इस समीकरण की तुलना \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
x-अन्तःखण्ड \( a = \frac{15}{7} \)
y-अन्तःखण्ड \( b = -\frac{15}{13} \)

(ii) दिया गया रेखा का समीकरण:
\( 5x + 6y + 8 = 0 \)
इसे ढलान-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में बदलने पर:
\( 6y = -5x - 8 \)
\( y = -\frac{5}{6}x - \frac{8}{6} \)
\( y = -\frac{5}{6}x - \frac{4}{3} \)
इस समीकरण की तुलना \( y = mx + c \) से करने पर,
झुकाव \( m = -\frac{5}{6} \)
y-अन्तःखण्ड \( c = -\frac{4}{3} \)
अब, इसे अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) में बदलने पर:
\( 5x + 6y + 8 = 0 \)
\( 5x + 6y = -8 \)
दोनों पक्षों को -8 से भाग देने पर,
\( \frac{5x}{-8} + \frac{6y}{-8} = 1 \)
\( \frac{x}{-8/5} + \frac{y}{-8/6} = 1 \)
\( \frac{x}{-8/5} + \frac{y}{-4/3} = 1 \)
इस समीकरण की तुलना \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
x-अन्तःखण्ड \( a = -\frac{8}{5} \)
y-अन्तःखण्ड \( b = -\frac{4}{3} \)
In simple words: हमने प्रत्येक रेखा को पहले \( y=mx+c \) रूप में बदला, जिससे ढलान (m) और y-अन्तःखण्ड (c) मिल गया। फिर हमने उसे \( x/a+y/b=1 \) रूप में बदला, जिससे x-अन्तःखण्ड (a) और y-अन्तःखण्ड (b) मिल गए। यह गणित में रेखाओं को समझने के दो अलग-अलग तरीके हैं।

🎯 Exam Tip: ढलान-अंतःखंड रूप \( y=mx+c \) से सीधे ढलान (m) और y-अन्तःखण्ड (c) मिलते हैं, जबकि अंतःखण्ड रूप \( x/a+y/b=1 \) से x-अन्तःखण्ड (a) और y-अन्तःखण्ड (b) सीधे मिलते हैं। इन रूपों में बदलने के लिए समीकरण के पदों को सही ढंग से पुनर्व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है।

Question 2. रेखा^^~~ ninap की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए प्रश्न में रेखा का समीकरण स्पष्ट नहीं है (यहाँ 'रेखा^^~~ ninap' दिया गया है जो कि एक त्रुटि प्रतीत होती है)। एक सीधी रेखा की प्रवणता (ढलान) ज्ञात करने के लिए, हमें रेखा का समीकरण चाहिए। यदि समीकरण \( y = mx + c \) रूप में हो, तो \( m \) प्रवणता होती है। यदि समीकरण \( Ax + By + C = 0 \) रूप में हो, तो प्रवणता \( m = -A/B \) होती है।
In simple words: रेखा की ढलान पता करने के लिए हमें उसका समीकरण चाहिए। समीकरण दिए बिना हम ढलान नहीं निकाल सकते।

🎯 Exam Tip: किसी रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए हमेशा उसका समीकरण देखें। ढलान-अंतःखंड रूप \( y=mx+c \) में \( m \) ही ढलान है, जबकि सामान्य रूप \( Ax+By+C=0 \) में ढलान \( -A/B \) होती है।

Question 3. निम्न रेखाओं के x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की। स्पर्शज्या ज्ञात कीजिए।
(i) \( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
(ii) \( x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0 \)
Answer:
(i) रेखा का समीकरण:
\( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
इसे ढलान-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में बदलने पर:
\( y = \sqrt{3}x + 2 \)
इस समीकरण की तुलना \( y = mx + c \) से करने पर,
प्रवणता \( m = \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( m = \tan \theta \), जहाँ \( \theta \) रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनाया गया कोण है।
इसलिए, \( \tan \theta = \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
अतः, रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या \( \tan \theta = \tan 60^\circ \).

(ii) रेखा का समीकरण:
\( x + \sqrt{3}y - 2\sqrt{3} = 0 \)
इसे ढलान-अंतःखंड रूप \( y = mx + c \) में बदलने पर:
\( \sqrt{3}y = -x + 2\sqrt{3} \)
\( y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2 \)
इस समीकरण की तुलना \( y = mx + c \) से करने पर,
प्रवणता \( m = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
हम जानते हैं कि \( m = \tan \theta \)
इसलिए, \( \tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
हम जानते हैं कि \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
चूँकि स्पर्शज्या ऋणात्मक है, कोण दूसरे चतुर्थांश में होगा:
\( \tan \theta = -\tan 30^\circ \)
\( \tan \theta = \tan (180^\circ - 30^\circ) \)
\( \tan \theta = \tan 150^\circ \)
अतः, रेखा द्वारा x-अक्ष की धन दिशा से बनने वाले कोण की स्पर्शज्या \( \tan \theta = \tan 150^\circ \).
In simple words: रेखा का झुकाव (ढलान) ही \( \tan \theta \) होता है, जहाँ \( \theta \) वह कोण है जो रेखा x-अक्ष से बनाती है। हमने समीकरण को \( y = mx + c \) रूप में बदला, \( m \) का मान निकाला और फिर \( \tan \theta = m \) से कोण की स्पर्शज्या बताई।

🎯 Exam Tip: कोण की स्पर्शज्या (tan θ) सीधे रेखा की प्रवणता (m) होती है। यदि m ऋणात्मक हो, तो कोण दूसरे चतुर्थांश में होता है, जिसे \( 180^\circ - \text{संदर्भ कोण} \) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एक रेखा का समीकरण और उसके मध्यबिंदु:
यदि एक रेखा का समीकरण \( \frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1 \) हो,
इसकी तुलना अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
हमें x-अन्तःखण्ड \( a = 2x_1 \) और y-अन्तःखण्ड \( b = 2y_1 \) मिलते हैं।
अक्षों के मध्य कटे हुए भाग के सिरे (अन्तःखण्ड बिंदु) \( A(2x_1, 0) \) और \( B(0, 2y_1) \) हैं।
इन बिंदुओं का मध्यबिंदु \( (x_m, y_m) \) ज्ञात करने के लिए मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( x_m = \frac{2x_1 + 0}{2} = x_1 \)
\( y_m = \frac{0 + 2y_1}{2} = y_1 \)
अतः, इस अन्तःखण्ड का मध्यबिंदु \( (x_1, y_1) \) है। यह सूत्र अक्सर निर्देशांक ज्यामिति में प्रयोग होता है।

Question 5. सरल रेखा \( 3x + 4y = 6 \) से अक्षों के मध्य कटे हुए अन्तःखण्ड की लम्बाई और उसका मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई सरल रेखा का समीकरण:
\( 3x + 4y = 6 \)
इसे अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) में बदलने के लिए दोनों पक्षों को 6 से भाग दें:
\( \frac{3x}{6} + \frac{4y}{6} = \frac{6}{6} \)
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{3/2} = 1 \)
इस समीकरण की तुलना \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर,
x-अन्तःखण्ड \( a = 2 \)
y-अन्तःखण्ड \( b = \frac{3}{2} \)
अक्षों के मध्य कटे हुए अन्तःखण्ड के सिरे \( A(2, 0) \) और \( B(0, \frac{3}{2}) \) हैं।
अन्तःखण्ड की अभीष्ट लम्बाई ज्ञात करने के लिए दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र उपयोग करेंगे:
लम्बाई \( L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( L = \sqrt{(0 - 2)^2 + (\frac{3}{2} - 0)^2} \)
\( L = \sqrt{(-2)^2 + (\frac{3}{2})^2} \)
\( L = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} \)
\( L = \sqrt{\frac{16+9}{4}} \)
\( L = \sqrt{\frac{25}{4}} \)
\( L = \frac{5}{2} \) इकाई
अन्तःखण्ड का अभीष्ट मध्य बिन्दु ज्ञात करने के लिए मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करेंगे:
मध्य बिन्दु \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)
\( M = \left(\frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + \frac{3}{2}}{2}\right) \)
\( M = \left(\frac{2}{2}, \frac{3/2}{2}\right) \)
\( M = \left(1, \frac{3}{4}\right) \)
In simple words: हमने पहले रेखा के समीकरण को \( x/a+y/b=1 \) रूप में बदला। इससे हमें पता चला कि रेखा x-अक्ष को 2 पर और y-अक्ष को 3/2 पर काटती है। फिर, इन दो कटान बिंदुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग किया और उनका बीच का बिंदु खोजने के लिए मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: अंतःखण्ड की लम्बाई और मध्यबिंदु ज्ञात करने के लिए सबसे पहले रेखा के समीकरण को अंतःखण्ड रूप \( x/a + y/b = 1 \) में बदलें। इससे आपको x और y अक्षों पर कटान बिंदु सीधे मिल जाएंगे, जो आगे की गणनाओं के लिए आसान होंगे।

Question 6. यदि समीकरण \( 5x - 4y = 20 \) और \( ax - by + 1 = 0 \) एक ही सरल रेखा को प्रदर्शित करें, तो \( a \) और \( b \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहली रेखा का समीकरण है:
\( 5x - 4y = 20 \)
इसे अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{X_a} + \frac{y}{Y_b} = 1 \) में बदलने के लिए दोनों पक्षों को 20 से भाग दें:
\( \frac{5x}{20} - \frac{4y}{20} = \frac{20}{20} \)
\( \frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 1 \)
\( \frac{x}{4} + \frac{y}{-5} = 1 \)...(1)
दूसरी रेखा का समीकरण है:
\( ax - by + 1 = 0 \)
इसे अंतःखण्ड रूप में बदलने के लिए अचर पद को दाहिनी ओर ले जाएँ और फिर दोनों पक्षों को उससे भाग दें। ताकि दाहिनी ओर 1 हो:
\( ax - by = -1 \)
दोनों पक्षों को -1 से भाग दें:
\( -ax + by = 1 \)
\( \frac{-ax}{1} + \frac{by}{1} = 1 \)
\( \frac{x}{-1/a} + \frac{y}{1/b} = 1 \)...(2)
चूंकि दोनों रेखाएँ एक ही रेखा को प्रदर्शित करती हैं, उनके अंतःखण्ड समान होने चाहिए। समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर:
\( \frac{x}{4} = \frac{x}{-1/a} \implies 4 = -\frac{1}{a} \implies a = -\frac{1}{4} \)
\( \frac{y}{-5} = \frac{y}{1/b} \implies -5 = \frac{1}{b} \implies b = -\frac{1}{5} \)
अतः, \( a = -\frac{1}{4} \) और \( b = -\frac{1}{5} \) हैं। यह विधि दो समान रेखाओं के गुणांकों की तुलना करने पर आधारित है।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों को एक ही रूप में बदला, ताकि हम उनके x और y अक्ष पर कटान बिंदुओं की तुलना कर सकें। जब दोनों रेखाएं एक ही हों, तो उनके कटान बिंदु भी एक ही जगह पर होंगे। इस तरह हमें \( a \) और \( b \) के मान मिल गए।

🎯 Exam Tip: जब दो समीकरण एक ही रेखा को प्रदर्शित करते हैं, तो उनके संबंधित गुणांकों का अनुपात समान होता है, या उन्हें समान मानक रूप में बदलकर सीधे तुलना की जा सकती है। अंतःखण्ड रूप तुलना के लिए एक प्रभावी तरीका है।

Question 7. निम्न समीकरणों को \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) के रूप में। परिवर्तित कीजिए।
(i) \( x + y + \sqrt{2} = 0 \)
(ii) \( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण:
\( x + y + \sqrt{2} = 0 \)
हम जानते हैं कि \( p \) (मूल बिंदु से लंब की दूरी) हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए समीकरण को \( -x - y = \sqrt{2} \) के रूप में लिखें।
अब, \( A = -1 \) और \( B = -1 \) है। हमें \( \sqrt{A^2 + B^2} \) से भाग देना होगा।
\( \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
समीकरण के दोनों पक्षों को \( \sqrt{2} \) से भाग देने पर:
\( \frac{-x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)
\( \frac{-1}{\sqrt{2}}x + \frac{-1}{\sqrt{2}}y = 1 \)
इसकी तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर:
\( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( p = 1 \)
चूंकि \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) दोनों ऋणात्मक हैं, कोण \( \alpha \) तीसरे चतुर्थांश में होगा।
संदर्भ कोण \( 45^\circ \) है। तीसरे चतुर्थांश में \( \alpha = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ \)
अतः, अभीष्ट अभिलम्ब रूप है: \( x \cos 225^\circ + y \sin 225^\circ = 1 \).

(ii) दिया गया समीकरण:
\( \sqrt{3}x - y + 2 = 0 \)
स्थिर पद को दाहिनी ओर ले जाएँ:
\( \sqrt{3}x - y = -2 \)
चूंकि \( p \) हमेशा धनात्मक होता है, समीकरण को -1 से गुणा करें:
\( -\sqrt{3}x + y = 2 \)
यहाँ, \( A = -\sqrt{3} \) और \( B = 1 \) है। हमें \( \sqrt{A^2 + B^2} \) से भाग देना होगा।
\( \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \)
समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:
\( \frac{-\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{2} \)
\( -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = 1 \)
इसकी तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर:
\( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \)
\( p = 1 \)
चूंकि \( \cos \alpha \) ऋणात्मक और \( \sin \alpha \) धनात्मक है, कोण \( \alpha \) दूसरे चतुर्थांश में होगा।
संदर्भ कोण \( 30^\circ \) है। दूसरे चतुर्थांश में \( \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)
अतः, अभीष्ट अभिलम्ब रूप है: \( x \cos 150^\circ + y \sin 150^\circ = 1 \).
In simple words: किसी रेखा को अभिलम्ब रूप में बदलने के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होता है कि दाहिनी ओर का मान (p) हमेशा धनात्मक हो। फिर, हम रेखा के गुणांकों के वर्गों के योग के वर्गमूल से पूरे समीकरण को भाग देते हैं। इससे हमें \( \cos \alpha \), \( \sin \alpha \) और \( p \) मिल जाते हैं।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब रूप में परिवर्तित करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि दाहिने हाथ का पद (p) धनात्मक हो। यदि यह ऋणात्मक हो, तो पूरे समीकरण को -1 से गुणा करें। कोण \( \alpha \) का चतुर्थांश निर्धारित करने के लिए \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के चिह्नों पर ध्यान दें।

Question 8. सरल रेखा \( 3x – 4y – 11 = 0 \) को लम्ब रूप में परिवर्तित कीजिए तथा इस रेखा पर मूल बिन्दु से डाले गये लम्बे की लम्बाई और x-अक्ष से उसकी प्रवणता ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( 3x - 4y - 11 = 0 \)
या \( 3x - 4y = 11 \)
हमें इसे लम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में बदलना है।
यहाँ, \( A = 3 \) और \( B = -4 \) है। हम \( \sqrt{A^2 + B^2} \) से भाग देंगे।
\( \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से भाग देने पर:
\( \frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y = \frac{11}{5} \)
इसकी तुलना \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) से करने पर:
\( \cos \alpha = \frac{3}{5} \)
\( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \)
\( p = \frac{11}{5} \)
यहाँ, \( p = \frac{11}{5} \) मूल बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लम्बाई है।
चूँकि \( \cos \alpha \) धनात्मक और \( \sin \alpha \) ऋणात्मक है, कोण \( \alpha \) चौथे चतुर्थांश में है। \( \alpha = \cos^{-1}(\frac{3}{5}) \approx 36.87^\circ \) या \( \sin^{-1}(-\frac{4}{5}) \approx -53.13^\circ \). चौथे चतुर्थांश में \( \alpha \approx 360^\circ - 53.13^\circ = 306.87^\circ \).
रेखा की प्रवणता (ढलान) \( m \) ज्ञात करने के लिए, समीकरण को \( y = mx + c \) रूप में बदलें:
\( -4y = -3x + 11 \)
\( y = \frac{3}{4}x - \frac{11}{4} \)
यहाँ, प्रवणता \( m = \frac{3}{4} \) है।
x-अक्ष से झुकाव कोण \( \theta \) है, जहाँ \( \tan \theta = m \)
\( \tan \theta = \frac{3}{4} \)
\( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \)
यह कोण लगभग \( 36.87^\circ \) है।
In simple words: हमने रेखा के समीकरण को अभिलम्ब रूप में बदलकर मूल बिंदु से उसकी दूरी \( p \) निकाली। फिर, रेखा को ढलान-अंतःखंड रूप में बदलकर उसकी ढलान \( m \) और x-अक्ष से बनने वाले कोण \( \theta \) को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में, \( p \) हमेशा मूल बिंदु से लम्ब की लम्बाई होती है, और यह सदैव धनात्मक होनी चाहिए। रेखा की प्रवणता \( m \) और लम्ब रूप में \( \cos \alpha, \sin \alpha \) के बीच संबंध होते हैं, जैसे \( m = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Question 9. सरल \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} =1 \) तथा \( 2x – 3y = 5 \) एक ही रेखा निरूपित करते हैं, तो \( a \) और \( b \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई रेखा का समीकरण है:
\( 2x - 3y = 5 \)
इसे अंतःखण्ड रूप \( \frac{x}{X_a} + \frac{y}{Y_b} = 1 \) में बदलने के लिए दोनों पक्षों को 5 से भाग दें:
\( \frac{2x}{5} - \frac{3y}{5} = \frac{5}{5} \)
\( \frac{x}{5/2} + \frac{y}{-5/3} = 1 \)...(1)
यह समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) के समान रेखा को निरूपित करता है।
समीकरण (1) की तुलना \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) से करने पर:
\( a = \frac{5}{2} \)
\( b = -\frac{5}{3} \)
In simple words: चूंकि दोनों रेखाएं एक ही हैं, उनके समीकरण भी एक ही अंतःखण्ड रूप में होने चाहिए। इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को अंतःखण्ड रूप में बदला और फिर \( x \) और \( y \) के नीचे के मानों की सीधी तुलना करके \( a \) और \( b \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब दो समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, तो उन्हें हमेशा एक ही मानक रूप (जैसे ढलान-अंतःखंड, अंतःखण्ड, या सामान्य रूप) में बदलें और फिर संबंधित गुणांकों या अंतःखण्डों की तुलना करके अज्ञात मान ज्ञात करें।

Question 10. सरल रेखा \( y = mx + c \) एवं \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) एक ही रेखा को निरूपित करे तो रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण तथा y-अक्ष से काटे गये अन्तःखण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई दो रेखाएं एक ही हैं:
1. \( y = mx + c \)...(1)
2. \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \)...(2)
समीकरण (2) को \( y = mx + c \) के रूप में बदलने पर:
\( y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p \)
\( y = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}x + \frac{p}{\sin \alpha} \)
\( y = (-\cot \alpha)x + \frac{p}{\sin \alpha} \)...(3)
चूँकि समीकरण (1) और (3) एक ही रेखा को दर्शाते हैं, हम उनके संबंधित गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
ढलान की तुलना करने पर:
\( m = -\cot \alpha \)
हम जानते हैं कि \( -\cot \alpha = \tan(90^\circ + \alpha) \)।
इसलिए, \( m = \tan(90^\circ + \alpha) \)
रेखा का x-अक्ष से झुकाव कोण \( \theta \) है, जहाँ \( m = \tan \theta \)।
अतः, \( \tan \theta = \tan(90^\circ + \alpha) \)
\( \implies \theta = 90^\circ + \alpha \)
y-अन्तःखण्ड की तुलना करने पर:
\( c = \frac{p}{\sin \alpha} \)
यह y-अक्ष से काटे गए अन्तःखण्ड की लम्बाई है।
In simple words: हमने दोनों रेखाओं के समीकरणों को ढलान-अंतःखंड रूप में बदला और फिर उनकी ढलान (m) और y-अन्तःखण्ड (c) की तुलना की। इससे हमें x-अक्ष से बनने वाले कोण और y-अक्ष पर कटे हुए भाग की लम्बाई मिल गई।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, दोनों दिए गए समीकरणों को एक सामान्य मानक रूप (जैसे ढलान-अंतःखंड रूप \( y=mx+c \)) में बदलना सबसे अच्छा तरीका है, ताकि आप संबंधित गुणांकों और अचर पदों की सीधी तुलना कर सकें।

बिन्दु झुकाव रूप में रेखा का समीकरण:
एक रेखा द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण \( 45^\circ \) है।
अतः, रेखा का झुकाव \( m = \tan 45^\circ = 1 \) है।
यदि रेखा बिंदु \( (2, 3) \) से होकर जाती है, तो बिंदु-ढलान रूप में रेखा का समीकरण है:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - 3 = 1(x - 2) \)
\( y - 3 = x - 2 \)
\( y = x - 2 + 3 \)
\( y = x + 1 \)
या, \( x - y + 1 = 0 \)
यह एक सीधी रेखा का समीकरण है जो दिए गए बिंदु से गुजरती है और एक निश्चित ढलान रखती है।

Question 12. निम्न दो बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) \( (3, 4) \) और \( (5, 6) \)
(ii) \( (0, -a) \) और \( (b, 0) \)
(iii) \( (a, b) \) और \( (a + b, a - b) \)
(iv) \( (at_1, a/t_1) \) और \( (at_2, a/t_2) \)
(v) \( (a \sec \alpha, b \tan \alpha) \) और \( (a \sec \beta, b \tan \beta) \)
Answer:
दो बिन्दुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

(i) बिन्दु \( (3, 4) \) और \( (5, 6) \):
यहाँ \( (x_1, y_1) = (3, 4) \) और \( (x_2, y_2) = (5, 6) \)
\( \frac{y - 4}{6 - 4} = \frac{x - 3}{5 - 3} \)
\( \frac{y - 4}{2} = \frac{x - 3}{2} \)
\( \implies y - 4 = x - 3 \)
\( \implies y - x = 4 - 3 \)
\( \implies y - x = 1 \)

(ii) बिन्दु \( (0, -a) \) और \( (b, 0) \):
यहाँ \( (x_1, y_1) = (0, -a) \) और \( (x_2, y_2) = (b, 0) \)
\( \frac{y - (-a)}{0 - (-a)} = \frac{x - 0}{b - 0} \)
\( \frac{y + a}{a} = \frac{x}{b} \)
\( \implies b(y + a) = ax \)
\( \implies by + ab = ax \)
\( \implies ax - by = ab \)

(iii) बिन्दु \( (a, b) \) और \( (a + b, a - b) \):
यहाँ \( (x_1, y_1) = (a, b) \) और \( (x_2, y_2) = (a + b, a - b) \)
पहले ढलान \( m \) ज्ञात करें:
\( m = \frac{(a - b) - b}{(a + b) - a} = \frac{a - 2b}{b} \)
अब समीकरण ज्ञात करें:
\( y - b = \frac{a - 2b}{b}(x - a) \)
\( b(y - b) = (a - 2b)(x - a) \)
\( by - b^2 = (a - 2b)x - a(a - 2b) \)
\( by - b^2 = (a - 2b)x - a^2 + 2ab \)
\( \implies (a - 2b)x - by + b^2 + 2ab - a^2 = 0 \)

(iv) बिन्दु \( (at_1, a/t_1) \) और \( (at_2, a/t_2) \):
यहाँ \( (x_1, y_1) = (at_1, a/t_1) \) और \( (x_2, y_2) = (at_2, a/t_2) \)
ढलान \( m \) ज्ञात करें:
\( m = \frac{a/t_2 - a/t_1}{at_2 - at_1} = \frac{a(t_1 - t_2)/(t_1 t_2)}{a(t_2 - t_1)} \)
\( m = \frac{a(t_1 - t_2)}{a t_1 t_2 (t_2 - t_1)} = \frac{-1}{t_1 t_2} \)
अब समीकरण ज्ञात करें:
\( y - \frac{a}{t_1} = \frac{-1}{t_1 t_2}(x - at_1) \)
\( t_1 t_2 (y - \frac{a}{t_1}) = -(x - at_1) \)
\( t_1 t_2 y - at_2 = -x + at_1 \)
\( \implies x + t_1 t_2 y = a(t_1 + t_2) \)

(v) बिन्दु \( (a \sec \alpha, b \tan \alpha) \) और \( (a \sec \beta, b \tan \beta) \):
यहाँ \( (x_1, y_1) = (a \sec \alpha, b \tan \alpha) \) और \( (x_2, y_2) = (a \sec \beta, b \tan \beta) \)
ढलान \( m \) ज्ञात करें:
\( m = \frac{b \tan \beta - b \tan \alpha}{a \sec \beta - a \sec \alpha} = \frac{b(\frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})}{a(\frac{1}{\cos \beta} - \frac{1}{\cos \alpha})} \)
\( m = \frac{b(\frac{\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha}{\cos \beta \cos \alpha})}{a(\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \beta \cos \alpha})} = \frac{b \sin(\beta - \alpha)}{a (\cos \alpha - \cos \beta)} \)
हम जानते हैं कि \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \)
और \( \sin(\beta - \alpha) = 2 \sin\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\beta - \alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)
\( m = \frac{b(-2 \sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2}))}{a(-2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2}))} = \frac{b \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{a \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})} \)
अब समीकरण ज्ञात करें:
\( y - b \tan \alpha = m(x - a \sec \alpha) \)
\( y - b \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{b \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{a \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})}(x - \frac{a}{\cos \alpha}) \)
\( a \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \alpha (y - b \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) = b \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \cos \alpha (x - \frac{a}{\cos \alpha}) \)
\( a y \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \alpha - a b \sin \alpha \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = b x \cos \alpha \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a b \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( b x \cos \alpha \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a y \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \alpha = a b \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a b \sin \alpha \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \)
दोनों पक्षों को \( \cos \alpha \) से भाग देने पर:
\( b x \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a y \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = a b \frac{\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{\cos \alpha} - a b \frac{\sin \alpha \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\cos \alpha} \)
\( b x \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a y \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = a b \frac{\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - \sin \alpha \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{\cos \alpha} \)
अंतिम रूप से सरल करने पर, यह रेखा का समीकरण प्राप्त होता है। यह एक जटिल गणना है जो त्रिकोणमितीय पहचानों पर आधारित है।
\( \implies b x \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - a y \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = a b \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \)
In simple words: हमने दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का सामान्य सूत्र इस्तेमाल किया। हर भाग में, हमने पहले रेखा की ढलान निकाली और फिर बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके रेखा का समीकरण ज्ञात किया। भाग (v) में, त्रिकोणमितीय पहचानों का बहुत अधिक उपयोग हुआ, जिससे समीकरण बहुत लंबा हो गया।

🎯 Exam Tip: दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \) हमेशा याद रखें। जटिल प्राचलिक बिंदुओं के लिए, ढलान की गणना में त्रिकोणमितीय या बीजगणितीय पहचानों का सही उपयोग महत्वपूर्ण है।