RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 11 सरल रेखा Exercise 11.1

Question 1. उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तर है तथा
(i) मूल बिन्दु से ऊपर की ओर 5 इकाई की दूरी पर है।
(ii) मूल बिन्दु से नीचे की ओर 3 इकाई दूरी पर है।
Answer:
(i) जब रेखा x-अक्ष के समान्तर हो और मूल बिन्दु से 5 इकाई ऊपर हो, तो उसका समीकरण \( y = 5 \) होगा। यह दर्शाता है कि रेखा पर सभी बिन्दुओं का y-निर्देशांक 5 है।
(ii) जब रेखा x-अक्ष के समान्तर हो और मूल बिन्दु से 3 इकाई नीचे हो, तो उसका समीकरण \( y = -3 \) होगा। यह दर्शाता है कि रेखा पर सभी बिन्दुओं का y-निर्देशांक -3 है।
In simple words: x-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( y = \text{स्थिरांक} \) होता है। यदि रेखा मूल बिन्दु से ऊपर है, तो स्थिरांक धनात्मक होता है, और यदि नीचे है, तो ऋणात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि x-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण हमेशा \( y = k \) होता है, जहाँ \( k \) x-अक्ष से उसकी दूरी है।

Question 2. उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष के समान्तरे हैं और इससे
(i) \( a + b \)
(ii) \( a^2 - b^2 \)
(iii) \( b \cos \theta \) दूरी पर स्थित है।
Answer: चूंकि रेखाएँ x-अक्ष के समान्तर हैं, तो उनका समीकरण \( y = k \) के रूप में होगा, जहाँ \( k \) रेखा की x-अक्ष से दूरी है। यह दूरी धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है, जो उसकी स्थिति पर निर्भर करता है।
(i) दूरी \( a + b \) पर स्थित रेखा का समीकरण: \( y = \pm (a + b) \)
(ii) दूरी \( a^2 - b^2 \) पर स्थित रेखा का समीकरण: \( y = \pm (a^2 - b^2) \)
(iii) दूरी \( b \cos \theta \) पर स्थित रेखा का समीकरण: \( y = \pm (b \cos \theta) \)
In simple words: जो रेखाएँ x-अक्ष के साथ चलती हैं, उनका समीकरण \( y = \text{संख्या} \) होता है। यह संख्या x-अक्ष से उस रेखा की दूरी होती है।

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि दूरी हमेशा धनात्मक होती है, लेकिन समीकरण में \( \pm \) चिह्न का उपयोग करना ज़रूरी है क्योंकि रेखा x-अक्ष के ऊपर या नीचे हो सकती है।

Question 3. y-अक्ष के समान्तर उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से क्रमशः।
(i) 5
(ii) -3
(iii) \( \frac {2}{5} \) इकाई दूरी पर हैं।
Answer: y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( x = c \) होता है, जहाँ \( c \) रेखा की y-अक्ष से दूरी होती है। y-अक्ष के समान्तर रेखा पर सभी बिन्दुओं का x-निर्देशांक समान होता है।
(i) जब दूरी \( c = 5 \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = 5 \) होगा।
(ii) जब दूरी \( c = -3 \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = -3 \) होगा।
(iii) जब दूरी \( c = \frac {2}{5} \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = \frac {2}{5} \) होगा।
In simple words: y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण हमेशा \( x = \text{संख्या} \) होता है, जहाँ संख्या y-अक्ष से उस रेखा की दूरी होती है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( x = k \) होता है, जहाँ \( k \) y-अक्ष से रेखा की दूरी है, जबकि x-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( y = k \) होता है।

Question 4. उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो y-अक्ष के समान्तर है तथा उनसे
(i) \( \sqrt{7} \)
(ii) \( -\sqrt{3} + 2 \)
(iii) \( p + q \) की दूरी पर स्थित है।
Answer: चूँकि रेखाएँ y-अक्ष के समान्तर हैं, तो उनका समीकरण \( x = c \) के रूप में होगा, जहाँ \( c \) रेखा की y-अक्ष से दूरी है। यह दूरी धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है।
(i) जब दूरी \( c = \sqrt{7} \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = \sqrt{7} \) होगा।
(ii) जब दूरी \( c = -\sqrt{3} + 2 \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = -\sqrt{3} + 2 \) होगा।
(iii) जब दूरी \( c = p + q \) है, तो रेखा का समीकरण \( x = p + q \) होगा।
In simple words: जो रेखाएँ y-अक्ष के साथ चलती हैं, उनका समीकरण \( x = \text{संख्या} \) होता है। यह संख्या y-अक्ष से उस रेखा की दूरी होती है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( x = k \) है, और मूल बिन्दु से दूरी \( |k| \) होती है। इसलिए \( k \) धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

Question 5. उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, 2) से होकर जाती है तथा क्रमशः x-अक्ष के लम्बवत् एवं भू-अक्ष के समान्तर है।
Answer: हम दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात करेंगे, जो बिन्दु \( (-3, 2) \) से होकर जाती हैं।
1. **x-अक्ष के लम्बवत् रेखा (अर्थात् y-अक्ष के समान्तर):**
जो रेखा x-अक्ष के लम्बवत् होती है, वह y-अक्ष के समान्तर होती है। इसका समीकरण \( x = k \) रूप में होता है। चूँकि यह रेखा बिन्दु \( (-3, 2) \) से होकर जाती है, तो इसका x-निर्देशांक \( -3 \) होगा।
अतः, रेखा का समीकरण है: \( x = -3 \) या \( x + 3 = 0 \)
2. **भू-अक्ष (अर्थात् x-अक्ष) के समान्तर रेखा:**
जो रेखा x-अक्ष के समान्तर होती है, उसका समीकरण \( y = k \) रूप में होता है। चूँकि यह रेखा बिन्दु \( (-3, 2) \) से होकर जाती है, तो इसका y-निर्देशांक \( 2 \) होगा।
अतः, रेखा का समीकरण है: \( y = 2 \)
In simple words: किसी बिन्दु से गुजरने वाली x-अक्ष के सीधी खड़ी रेखा का समीकरण \( x = \text{उस बिन्दु का x-मान} \) होता है। उसी बिन्दु से गुजरने वाली x-अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण \( y = \text{उस बिन्दु का y-मान} \) होता है।

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि x-अक्ष के लम्बवत् रेखा एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है, और x-अक्ष के समान्तर रेखा एक क्षैतिज रेखा होती है।

Question 6. बिन्दु (3, 4) से होकर जाने वाली अक्षों के समान्तर रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए। इन रेखाओं से 8 इकाई की दूरी पर और इनके समान्तर रेखाओं के समीकरण भी ज्ञात कीजिए।
Answer: हम बिन्दु \( (3, 4) \) से होकर जाने वाली और अक्षों के समान्तर रेखाओं के समीकरण ज्ञात करेंगे, तथा उनसे 8 इकाई दूर समान्तर रेखाओं के समीकरण भी ज्ञात करेंगे।
**1. बिन्दु \( (3, 4) \) से होकर जाने वाली अक्षों के समान्तर रेखाएँ:**
(a) x-अक्ष के समान्तर रेखा: यह रेखा बिन्दु \( (3, 4) \) से होकर जाती है, तो इसका y-निर्देशांक \( 4 \) होगा। अतः समीकरण \( y = 4 \) है।
(b) y-अक्ष के समान्तर रेखा: यह रेखा बिन्दु \( (3, 4) \) से होकर जाती है, तो इसका x-निर्देशांक \( 3 \) होगा। अतः समीकरण \( x = 3 \) है।
**2. इन रेखाओं से 8 इकाई की दूरी पर स्थित समान्तर रेखाएँ:**
(a) रेखा \( y = 4 \) से 8 इकाई दूर समान्तर रेखाएँ:
\( y = 4 \pm 8 \)
\( \implies y = 4 + 8 \) या \( y = 4 - 8 \)
\( \implies y = 12 \) या \( y = -4 \)
(b) रेखा \( x = 3 \) से 8 इकाई दूर समान्तर रेखाएँ:
\( x = 3 \pm 8 \)
\( \implies x = 3 + 8 \) या \( x = 3 - 8 \)
\( \implies x = 11 \) या \( x = -5 \)
इन समीकरणों में \( \pm \) का प्रयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि रेखा किसी भी तरफ 8 इकाई दूर हो सकती है।
In simple words: पहले हमने बिन्दु \( (3, 4) \) से गुजरने वाली सीधी और आड़ी रेखाएँ निकालीं। फिर, हर रेखा से 8 कदम दूर, उसी दिशा में चलती हुई दो और रेखाएँ निकालीं।

🎯 Exam Tip: अक्षों के समान्तर रेखाओं के लिए, \( x = \text{x-निर्देशांक} \) (y-अक्ष के समान्तर) और \( y = \text{y-निर्देशांक} \) (x-अक्ष के समान्तर) का उपयोग करें। दूरी वाली रेखाओं के लिए \( \pm \) चिह्न का ध्यान रखें।

Question 7. \( x = \pm4 \), और \( y = \pm3 \) के प्रतिच्छेद बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिए और उनसे निर्मित आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखाएँ \( x = \pm4 \) और \( y = \pm3 \) हैं।
ये रेखाएँ क्रमशः y-अक्ष और x-अक्ष के समान्तर हैं। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु निम्नलिखित हैं:
1. \( (4, 3) \)
2. \( (4, -3) \)
3. \( (-4, 3) \)
4. \( (-4, -3) \)
ये बिन्दु एक आयत बनाते हैं। आयत की लम्बाई और चौड़ाई की गणना इस प्रकार की जाएगी:
आयत की लम्बाई \( = 4 - (-4) = 8 \) इकाई
आयत की चौड़ाई \( = 3 - (-3) = 6 \) इकाई
यह आयत की लम्बाई और चौड़ाई को दर्शाता है, जो x और y अक्ष पर बिंदुओं के बीच की कुल दूरी है।
आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} = 8 \times 6 = 48 \) वर्ग इकाई
In simple words: \( x = 4 \), \( x = -4 \), \( y = 3 \), और \( y = -3 \) रेखाएँ जहाँ एक-दूसरे को काटती हैं, वे चार बिन्दु एक डिब्बा बनाते हैं। उस डिब्बे की लम्बाई \( (4 - (-4)) = 8 \) और चौड़ाई \( (3 - (-3)) = 6 \) है, तो उसका कुल क्षेत्रफल \( 8 \times 6 = 48 \) होता है।

🎯 Exam Tip: प्रतिच्छेद बिन्दुओं को सही ढंग से लिखें, और आयत की लम्बाई व चौड़ाई को निकालने के लिए x और y-निर्देशांकों के बीच की दूरियों का उपयोग करें।

Question 8. उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से होकर जाती है तथा
(i) x-अक्ष से -135° का कोण बनाती है।
(ii) प्रथम चतुर्थांश में OY से 60° का कोण बनाती है।
(iii) y-अक्ष की धनदिशा से 5 इकाई के बराबर अन्त:खण्ड काटती है और कोण XOY के समद्विभाजक के समान्तर है।
Answer: हम मूल बिन्दु से होकर जाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात करेंगे। मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण \( y = mx \) होता है, जहाँ \( m \) रेखा की प्रवणता है।
(i) जब रेखा x-अक्ष से \( -135^\circ \) का कोण बनाती है:
प्रवणता \( m = \tan(-135^\circ) = -\tan(135^\circ) = -(-1) = 1 \)
अतः, रेखा का समीकरण \( y = 1x \) या \( y = x \) है।
इसे \( x - y = 0 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।
(ii) जब रेखा प्रथम चतुर्थांश में OY से \( 60^\circ \) का कोण बनाती है:
यदि रेखा OY से \( 60^\circ \) का कोण बनाती है, तो वह OX से \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \) का कोण बनाएगी।
प्रवणता \( m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
अतः, रेखा का समीकरण \( y = \frac{1}{\sqrt{3}} x \) है।
इसे \( \sqrt{3}y = x \) या \( x - \sqrt{3}y = 0 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(iii) जब रेखा y-अक्ष की धनदिशा में 5 इकाई का अन्त:खण्ड काटती है और कोण XOY के समद्विभाजक के समान्तर है:
कोण XOY का समद्विभाजक रेखा \( y = x \) होती है, जिसकी प्रवणता \( \tan(45^\circ) = 1 \) होती है।
चूँकि अभीष्ट रेखा इस समद्विभाजक के समान्तर है, तो इसकी प्रवणता भी \( m = 1 \) होगी।
रेखा y-अक्ष की धनदिशा में 5 इकाई का अन्त:खण्ड काटती है, तो \( c = 5 \)।
रेखा का समीकरण \( y = mx + c \) से:
\( y = 1x + 5 \)
\( y = x + 5 \)
इसे \( x - y + 5 = 0 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है।

In simple words: मूल बिन्दु से जाने वाली रेखाओं के लिए \( y = mx \) सूत्र का उपयोग करते हैं। \( m \) पता करने के लिए कोण का \( \tan \) मान निकालते हैं। यदि रेखा कहीं और से जाती है और उसका ढलान \( m \) है, तो \( y = mx + c \) सूत्र का उपयोग करते हैं।

🎯 Exam Tip: कोणों के मानों को ध्यान से बदलें (जैसे OY से कोण को OX से कोण में), और मूल बिन्दु से जाने वाली रेखाओं के लिए \( c = 0 \) होता है।

Question 9. उन सरल रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों पर अन्त:खण्ड क्रमशः
(i) 5, 3
(ii) -2, 3 हैं।
Answer: रेखा के अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) होता है, जहाँ \( a \) x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड और \( b \) y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड है।
(i) जब x-अक्ष पर अन्त:खण्ड \( a = 5 \) और y-अक्ष पर अन्त:खण्ड \( b = 3 \) है:
अभीष्ट समीकरण होगा: \( \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1 \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, \( 15 \):
\( \frac{3x + 5y}{15} = 1 \)
\( \implies 3x + 5y = 15 \)
(ii) जब x-अक्ष पर अन्त:खण्ड \( a = -2 \) और y-अक्ष पर अन्त:खण्ड \( b = 3 \) है:
अभीष्ट समीकरण होगा: \( \frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1 \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, \( -6 \):
\( \frac{3x - 2y}{-6} = 1 \)
\( \implies 3x - 2y = -6 \)
\( \implies 3x - 2y + 6 = 0 \)
In simple words: जब हमें पता हो कि कोई सीधी रेखा x-अक्ष और y-अक्ष को कहाँ काटती है, तो हम \( \frac{x}{\text{x-अन्त:खण्ड}} + \frac{y}{\text{y-अन्त:खण्ड}} = 1 \) इस आसान सूत्र का उपयोग करके रेखा का समीकरण बता सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अन्त:खण्ड रूप \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। \( a \) और \( b \) के मानों को ध्यान से प्रतिस्थापित करें, खासकर जब वे ऋणात्मक हों।

Question 10. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 3) से गुजरती है तथा अक्षों पर बराबर अन्त:खण्ड काटती है।
Answer: माना रेखा का अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है।
चूँकि रेखा अक्षों पर बराबर अन्त:खण्ड काटती है, तो \( a = b \) होगा।
समीकरण में \( b = a \) रखने पर:
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \)
\( \implies \frac{x+y}{a} = 1 \)
\( \implies x + y = a \) ... (1)
यह रेखा बिन्दु \( (2, 3) \) से होकर जाती है, तो यह बिन्दु रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
अर्थात्, \( x = 2 \) और \( y = 3 \) समीकरण (1) में रखने पर:
\( 2 + 3 = a \)
\( \implies a = 5 \)
\( a \) का मान समीकरण (1) में वापस रखने पर:
\( x + y = 5 \)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण \( x + y = 5 \) है। यह रेखा x और y-अक्ष को 5-5 इकाई की दूरी पर काटती है।
In simple words: जब कोई रेखा दोनों अक्षों को एक बराबर दूरी पर काटती है, तो उसका समीकरण \( x + y = \text{उस दूरी} \) होता है। अगर वह रेखा किसी ख़ास बिन्दु से गुजरती है, तो उस बिन्दु के x और y मानों को जोड़कर हम उस दूरी को पता कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब अन्त:खण्ड बराबर हों तो \( a=b \) लें, और दिए गए बिन्दु के निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करके अज्ञात मान ज्ञात करें।

Question 11. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2) से होकर जाती है तथा अक्षों पर काटे गये अन्तःखण्ड को दुगुना है।
Answer: माना रेखा का अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है।
प्रश्नानुसार, x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड y-अक्ष पर काटे गए अन्त:खण्ड का दुगुना है।
अर्थात्, \( a = 2b \) ... (2)
समीकरण (2) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( \frac{x}{2b} + \frac{y}{b} = 1 \)
\( \implies \frac{x + 2y}{2b} = 1 \)
\( \implies x + 2y = 2b \) ... (3)
यह रेखा बिन्दु \( (1, 2) \) से होकर जाती है, तो यह बिन्दु समीकरण (3) को संतुष्ट करेगा।
\( x = 1 \) और \( y = 2 \) को समीकरण (3) में रखने पर:
\( 1 + 2(2) = 2b \)
\( \implies 1 + 4 = 2b \)
\( \implies 5 = 2b \)
\( \implies b = \frac{5}{2} \) ... (4)
\( b \) का मान समीकरण (4) को समीकरण (3) में रखने पर, हमें अभीष्ट समीकरण प्राप्त होता है:
\( x + 2y = 2 \left( \frac{5}{2} \right) \)
\( \implies x + 2y = 5 \)
अतः, अभीष्ट सरल रेखा का समीकरण \( x + 2y = 5 \) है।
In simple words: हमने एक रेखा का समीकरण पता किया जो एक ख़ास बिन्दु से गुजरती है। हमें यह भी पता था कि रेखा x-अक्ष को जहाँ काटती है, वह दूरी y-अक्ष को काटने वाली दूरी का दोगुना है।

🎯 Exam Tip: प्रश्न की भाषा को ध्यान से समझें, जैसे "अन्त:खण्ड को दुगुना है" का अर्थ \( a = 2b \) हो सकता है या \( b = 2a \), दिए गए सन्दर्भ में \( a=2b \) उचित है।

Question 12. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-3, -5) से होकर जाती है तथा दोनों अक्षों के मध्य, रेखा का कटा हुआ अन्त:खण्ड इस बिन्दु पर समद्विभाजित करता है।
Answer: माना रेखा का अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) है।
यहाँ \( a \) x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड है (बिन्दु \( (a, 0) \)) और \( b \) y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड है (बिन्दु \( (0, b) \))।
प्रश्नानुसार, अक्षों के मध्य रेखा का कटा हुआ अन्त:खण्ड बिन्दु \( (-3, -5) \) पर समद्विभाजित होता है। इसका मतलब है कि \( (-3, -5) \) इन दो अन्त:खण्ड बिन्दुओं का मध्य बिन्दु है।
मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करने पर:
\( \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = (-3, -5) \)
\( \implies \frac{a}{2} = -3 \) और \( \frac{b}{2} = -5 \)
\( \implies a = -6 \) और \( b = -10 \)
\( a \) और \( b \) के मानों को अन्त:खण्ड समीकरण में रखने पर:
\( \frac{x}{-6} + \frac{y}{-10} = 1 \)
\( \implies \frac{-x}{6} - \frac{y}{10} = 1 \)
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( 30 \) लेने पर:
\( \frac{-5x - 3y}{30} = 1 \)
\( \implies -5x - 3y = 30 \)
\( \implies 5x + 3y = -30 \)
\( \implies 5x + 3y + 30 = 0 \)
अतः, सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण \( 5x + 3y + 30 = 0 \) है।
In simple words: हमने एक रेखा का समीकरण निकाला जो एक ख़ास बिन्दु से गुजरती है। यह बिन्दु रेखा के उन दो टुकड़ों के ठीक बीच में था, जो रेखा x-अक्ष और y-अक्ष पर बनाती है।

🎯 Exam Tip: मध्य बिन्दु की अवधारणा का सही ढंग से उपयोग करें: यदि \( (x_m, y_m) \) मध्य बिन्दु है और अन्त:खण्ड \( (a,0) \) तथा \( (0,b) \) हैं, तो \( x_m = a/2 \) और \( y_m = b/2 \) होता है।

Question 13. ऐसी दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (4,-3) से होकर जाती है तथा अक्षों से काटे हुए अन्तःखण्डों का योग 5 इकाई है।
Answer: माना रेखा का अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) ... (1) है।
प्रश्नानुसार, अक्षों से काटे गए अन्त:खण्डों का योग 5 इकाई है:
\( a + b = 5 \) ... (2)
समीकरण (2) से, \( b = 5 - a \)
चूँकि रेखा बिन्दु \( (4, -3) \) से होकर जाती है, तो यह बिन्दु समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा:
\( \frac{4}{a} + \frac{-3}{b} = 1 \)
\( \implies \frac{4}{a} - \frac{3}{b} = 1 \)
\( \implies 4b - 3a = ab \) ... (3)
\( b = 5 - a \) का मान समीकरण (3) में रखने पर:
\( 4(5 - a) - 3a = a(5 - a) \)
\( \implies 20 - 4a - 3a = 5a - a^2 \)
\( \implies 20 - 7a = 5a - a^2 \)
\( \implies a^2 - 12a + 20 = 0 \)
यह एक द्विघाती समीकरण है। इसे हल करने पर:
\( a^2 - 10a - 2a + 20 = 0 \)
\( \implies a(a - 10) - 2(a - 10) = 0 \)
\( \implies (a - 10)(a - 2) = 0 \)
तो, \( a = 10 \) या \( a = 2 \)
**केस 1:** जब \( a = 10 \)
\( b = 5 - a = 5 - 10 = -5 \)
रेखा का समीकरण: \( \frac{x}{10} + \frac{y}{-5} = 1 \)
\( \implies \frac{x - 2y}{10} = 1 \)
\( \implies x - 2y = 10 \) या \( x - 2y - 10 = 0 \)
**केस 2:** जब \( a = 2 \)
\( b = 5 - a = 5 - 2 = 3 \)
रेखा का समीकरण: \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1 \)
\( \implies \frac{3x + 2y}{6} = 1 \)
\( \implies 3x + 2y = 6 \) या \( 3x + 2y - 6 = 0 \)
अतः, दो अभीष्ट सरल रेखाओं के समीकरण \( x - 2y - 10 = 0 \) और \( 3x + 2y - 6 = 0 \) हैं।
In simple words: हमने ऐसी दो सीधी रेखाएँ निकालीं जो एक ख़ास बिन्दु से गुजरती थीं। हमें यह भी पता था कि दोनों रेखाएँ x-अक्ष और y-अक्ष पर जो टुकड़े काटती थीं, उन टुकड़ों की कुल लम्बाई 5 थी।

🎯 Exam Tip: अन्त:खण्डों के योग या अन्तर से एक अन्त:खण्ड को दूसरे के रूप में व्यक्त करें, फिर इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक द्विघाती समीकरण प्राप्त करें। द्विघाती समीकरण के दोनों हल दो अलग-अलग रेखाएँ देंगे।

Question 14. सिद्ध कीजिए कि उस सरल रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अन्त:खण्डों के व्युत्क्रम \( a \) और \( b \) हैं, \( ax + by = 1 \) है।
Answer: हम जानते हैं कि रेखा के अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{X}{A} + \frac{Y}{B} = 1 \) होता है, जहाँ \( A \) x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड और \( B \) y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड है।
प्रश्नानुसार, x-अक्ष पर काटे गए अन्त:खण्ड का व्युत्क्रम \( a \) है, और y-अक्ष पर काटे गए अन्त:खण्ड का व्युत्क्रम \( b \) है।
इसका अर्थ है: \( \frac{1}{A} = a \implies A = \frac{1}{a} \)
और \( \frac{1}{B} = b \implies B = \frac{1}{b} \)
\( A \) और \( B \) के इन मानों को अन्त:खण्ड रूप के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
\( \frac{x}{\frac{1}{a}} + \frac{y}{\frac{1}{b}} = 1 \)
\( \implies ax + by = 1 \)
यह सिद्ध होता है। यह एक सीधा संबंध है जो व्युत्क्रम अन्त:खण्डों के साथ रेखा का समीकरण देता है।
In simple words: यदि किसी रेखा के x-अक्ष और y-अक्ष पर काटे गए टुकड़ों के उलटे मान \( a \) और \( b \) हैं, तो उस रेखा का समीकरण हमेशा \( ax + by = 1 \) होता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, आपको दिए गए तथ्यों को मानक सूत्रों में सही ढंग से प्रतिस्थापित करना होता है। व्युत्क्रम का अर्थ \( 1/\text{मान} \) होता है।

Question 15. एक सरल रेखा अक्षों से क्रमशः 5 और 3 इकाइयों का अन्त:खण्ड काटती है । इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जब कि अन्त:खण्ड :
(i) अक्षों की धन दिशा में हो।
(ii) अक्षों की ऋण दिशा में हो।
(iii) पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में और दूसरा ऋण दिशा में हो ।
Answer: रेखा के अन्त:खण्ड रूप का समीकरण \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) होता है।
(i) जब अन्त:खण्ड अक्षों की धन दिशा में हैं:
अर्थात्, \( a = 5 \) और \( b = 3 \)
समीकरण: \( \frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1 \)
\( \implies \frac{3x + 5y}{15} = 1 \)
\( \implies 3x + 5y = 15 \)
(ii) जब अन्त:खण्ड अक्षों की ऋण दिशा में हैं:
अर्थात्, \( a = -5 \) और \( b = -3 \)
समीकरण: \( \frac{x}{-5} + \frac{y}{-3} = 1 \)
\( \implies \frac{-3x - 5y}{15} = 1 \)
\( \implies -3x - 5y = 15 \)
\( \implies 3x + 5y = -15 \) या \( 3x + 5y + 15 = 0 \)
(iii) जब पहला अन्त:खण्ड धन दिशा में (x-अक्ष पर) और दूसरा अन्त:खण्ड ऋण दिशा में (y-अक्ष पर) है:
अर्थात्, \( a = 5 \) और \( b = -3 \)
समीकरण: \( \frac{x}{5} + \frac{y}{-3} = 1 \)
\( \implies \frac{x}{5} - \frac{y}{3} = 1 \)
\( \implies \frac{3x - 5y}{15} = 1 \)
\( \implies 3x - 5y = 15 \) या \( 3x - 5y - 15 = 0 \)
In simple words: जब कोई रेखा x और y-अक्ष को काटती है, तो हम \( \frac{x}{\text{x-कटान}} + \frac{y}{\text{y-कटान}} = 1 \) सूत्र का उपयोग करते हैं। कटान की दिशा के अनुसार मानों को धनात्मक या ऋणात्मक लेते हैं।

🎯 Exam Tip: अन्त:खण्डों के चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) का बहुत ध्यान रखें, क्योंकि यह रेखा के समीकरण को बदल देता है। धन दिशा के लिए \( + \) और ऋण दिशा के लिए \( - \) का प्रयोग करें।

Question 16. एक सरल रेखा पर मूल बिन्दु से डाला गया लम्ब y-अक्ष से 30° का कोण बनाता है तथा उसकी लम्बाई 2 इकाई है। इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer: रेखा का अभिलम्ब रूप (Normal Form) का समीकरण \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) होता है।
यहाँ, \( p \) मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई है, जो \( p = 2 \) इकाई दी गई है।
\( \alpha \) वह कोण है जो लम्ब x-अक्ष की धन दिशा के साथ बनाता है।
प्रश्नानुसार, लम्ब y-अक्ष से \( 30^\circ \) का कोण बनाता है। यदि लम्ब y-अक्ष की धन दिशा से \( 30^\circ \) का कोण बनाता है, तो वह x-अक्ष की धन दिशा से \( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) का कोण बनाएगा।
तो, \( \alpha = 60^\circ \)
अब, \( \cos \alpha = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
और \( \sin \alpha = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
इन मानों को अभिलम्ब रूप समीकरण में रखने पर:
\( x \left( \frac{1}{2} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \)
दोनों पक्षों को \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( x + \sqrt{3}y = 4 \)
\( \implies x + \sqrt{3}y - 4 = 0 \)
अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण \( x + \sqrt{3}y - 4 = 0 \) है। यह समीकरण रेखा की स्थिति और उसके लंब की जानकारी को सही ढंग से दर्शाता है।
In simple words: हमने एक सीधी रेखा का समीकरण निकाला। हमें पता था कि मूल बिन्दु से उस रेखा पर खींची गई सीधी रेखा (लम्ब) की लम्बाई 2 है और वह लम्ब y-अक्ष के साथ 30° का कोण बनाता है।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब रूप \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) में \( \alpha \) हमेशा x-अक्ष के साथ लम्ब द्वारा बनाया गया कोण होता है। यदि कोण y-अक्ष से दिया गया हो, तो उसे \( 90^\circ - \text{दिया गया कोण} \) करके x-अक्ष से कोण में बदलें।

Question 17. रेखा \( x \sin a + y \cos a = \sin 2a \) के उस भाग की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो अक्षों के मध्य में काटता है। इस भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई रेखा का समीकरण है: \( x \sin a + y \cos a = \sin 2a \)
इसे अन्त:खण्ड रूप \( \frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1 \) में बदलने के लिए, दोनों पक्षों को \( \sin 2a \) से भाग देने पर:
\( \frac{x \sin a}{\sin 2a} + \frac{y \cos a}{\sin 2a} = 1 \)
हमें पता है कि \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \)
\( \implies \frac{x \sin a}{2 \sin a \cos a} + \frac{y \cos a}{2 \sin a \cos a} = 1 \)
\( \implies \frac{x}{2 \cos a} + \frac{y}{2 \sin a} = 1 \)
अतः, x-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड \( A = 2 \cos a \) है (बिन्दु \( (2 \cos a, 0) \))।
और y-अक्ष पर काटा गया अन्त:खण्ड \( B = 2 \sin a \) है (बिन्दु \( (0, 2 \sin a) \))।
अक्षों के मध्य रेखा के काटे गए भाग की लम्बाई (माना AB) ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(0 - 2 \cos a)^2 + (2 \sin a - 0)^2} \)
\( = \sqrt{4 \cos^2 a + 4 \sin^2 a} \)
\( = \sqrt{4 (\cos^2 a + \sin^2 a)} \)
हमें पता है कि \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \)
\( = \sqrt{4(1)} = \sqrt{4} = 2 \)
तो, अक्षों के मध्य रेखा के काटे गए भाग की लम्बाई 2 इकाई है।
अब, इस भाग के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करेंगे:
मध्य बिन्दु \( = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
\( = \left( \frac{2 \cos a + 0}{2}, \frac{0 + 2 \sin a}{2} \right) \)
\( = (\cos a, \sin a) \)
अतः, मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( (\cos a, \sin a) \) हैं। यह दिखाता है कि मध्य बिन्दु की स्थिति \( a \) पर निर्भर करती है।
In simple words: हमने एक सीधी रेखा का समीकरण दिया था। हमने यह पता लगाया कि यह रेखा x और y-अक्ष को कहाँ काटती है। फिर, उन कटान बिन्दुओं के बीच की दूरी (लम्बाई) और उन दोनों बिन्दुओं के ठीक बीच के बिन्दु (मध्य बिन्दु) को निकाला।

🎯 Exam Tip: रेखा के समीकरण को हमेशा अन्त:खण्ड रूप में बदलने की कोशिश करें ताकि आप x और y-अक्ष पर काटे गए अन्त:खण्ड आसानी से पहचान सकें। फिर दूरी सूत्र और मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करें।

Question 18. उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( p = 3 \) तथा \( \cos \alpha = \frac {\sqrt {3}}{2} \) जहाँ \( p \) मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गये लम्ब की लम्बाई तथा \( \alpha \) इस लम्ब द्वारा x-अक्ष से बनाया गया कोण है।
Answer: रेखा का अभिलम्ब रूप (Normal Form) का समीकरण \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) होता है।
यहाँ, \( p \) मूल बिन्दु से रेखा पर डाले गए लम्ब की लम्बाई है, जो \( p = 3 \) इकाई दी गई है।
\( \alpha \) वह कोण है जो लम्ब x-अक्ष की धन दिशा के साथ बनाता है, और \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) का अर्थ है \( \alpha = 30^\circ \)।
अब, हमें \( \sin \alpha \) का मान ज्ञात करना होगा:
\( \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \)
\( = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} \)
\( = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{4 - 3}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{4}} \)
\( \implies \sin \alpha = \frac{1}{2} \)
\( p, \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के मानों को अभिलम्ब रूप समीकरण में रखने पर:
\( x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 3 \)
दोनों पक्षों को \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( \sqrt{3}x + y = 6 \)
\( \implies \sqrt{3}x + y - 6 = 0 \)
अतः, अभीष्ट सरल रेखा का समीकरण \( \sqrt{3}x + y - 6 = 0 \) है। यह समीकरण लंब की लम्बाई और उसके कोण से रेखा की स्थिति को दर्शाता है।
In simple words: हमने एक सीधी रेखा का समीकरण निकाला। हमें पता था कि मूल बिन्दु से उस रेखा पर खींची गई सीधी रेखा (लम्ब) की लम्बाई 3 है और वह लम्ब x-अक्ष के साथ \( 30^\circ \) का कोण बनाता है।

🎯 Exam Tip: अभिलम्ब रूप में \( p \) हमेशा धनात्मक होता है। \( \cos \alpha \) और \( \sin \alpha \) के मान \( \alpha \) के चतुर्भुज के अनुसार सही चिह्न के साथ निर्धारित करें।