RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Exercise 10.2

प्रश्न 1. (a) \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + x - 6} \) (b) \( \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(x - 1)}{2x^2 + x - 3} \)
Answer:
(a) हम फलन को सरल कर सकते हैं:
\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + x - 6} \)
पहले, अंश और हर के गुणनखंड करें:
\( x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) \)
\( x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \)
इसलिए, व्यंजक बनता है:
\( \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 1)}{(x + 3)(x - 2)} \)
क्योंकि \( x \to 2 \), \( x \neq 2 \), इसलिए \( (x - 2) \) को रद्द कर सकते हैं:
\( = \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x + 3} \)
अब \( x = 2 \) रखने पर:
\( = \frac{2 - 1}{2 + 3} \)
\( = \frac{1}{5} \)
(b) हम फलन को सरल कर सकते हैं:
\( \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(x - 1)}{2x^2 + x - 3} \)
पहले, हर के गुणनखंड करें:
\( 2x^2 + x - 3 = 2x^2 + 3x - 2x - 3 \)
\( = x(2x + 3) - 1(2x + 3) \)
\( = (x - 1)(2x + 3) \)
इसलिए, व्यंजक बनता है:
\( \lim_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(x - 1)}{(x - 1)(2x + 3)} \)
क्योंकि \( x \to 1 \), \( x \neq 1 \), इसलिए \( (x - 1) \) को रद्द कर सकते हैं:
\( = \lim_{x \to 1} \frac{2x - 3}{2x + 3} \)
अब \( x = 1 \) रखने पर:
\( = \frac{2(1) - 3}{2(1) + 3} \)
\( = \frac{2 - 3}{2 + 3} \)
\( = \frac{-1}{5} \)
In simple words: हमें दिए गए लिमिट वाले व्यंजकों का मान निकालना है। पहले, हम व्यंजकों को आसान बनाने के लिए गुणनखंड करते हैं, फिर \( x \) के मान को रखकर उत्तर निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि \( \frac{0}{0} \) का रूप आता है, तो पहले अंश और हर के गुणनखंड करें और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काट दें, फिर मान सब्स्टीट्यूट करें।

प्रश्न 2. (a) \( \lim_{\alpha \to \pi/4} \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\alpha - \pi/4} \) (b) \( \lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} \)
Answer:
(a) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम \( \alpha = \frac{\pi}{4} + h \) प्रतिस्थापित करेंगे। जब \( \alpha \to \frac{\pi}{4} \), तो \( h \to 0 \)।
व्यंजक है:
\( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + h) - \cos(\frac{\pi}{4} + h)}{(\frac{\pi}{4} + h) - \frac{\pi}{4}} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + h) - \cos(\frac{\pi}{4} + h)}{h} \)
अब, \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) और \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \) का उपयोग करें।
यहाँ \( A = \frac{\pi}{4} \) और \( B = h \)। हम जानते हैं कि \( \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)।
\( \sin(\frac{\pi}{4} + h) = \sin \frac{\pi}{4} \cos h + \cos \frac{\pi}{4} \sin h = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos h + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h \)
\( \cos(\frac{\pi}{4} + h) = \cos \frac{\pi}{4} \cos h - \sin \frac{\pi}{4} \sin h = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos h - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h \)
तो अंश बन जाता है:
\( (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos h + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h) - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos h - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos h + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos h + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin h \)
\( = \frac{2}{\sqrt{2}} \sin h = \sqrt{2} \sin h \)
इसलिए, लिमिट है:
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2} \sin h}{h} \)
हम जानते हैं कि \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \)।
\( = \sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2} \)
(b) यह लिमिट एक मानक सूत्र पर आधारित है: \( \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} = n a^{n-1} \)।
यहाँ, \( a = 1 \)।
\( \lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} \)
हम इसे ऐसे लिख सकते हैं:
\( \lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1^n}{x - 1} \)
इस सूत्र को लागू करने पर:
\( = n (1)^{n-1} \)
\( = n \times 1 \)
\( = n \)
In simple words: पहला भाग बदलने वाले चर (variable) के साथ एक ट्रिग्नोमेट्रिक लिमिट है, जिसे हम \( h \) विधि से हल करते हैं। दूसरा भाग एक सामान्य बीजगणितीय लिमिट का रूप है, जिसके लिए एक सीधा सूत्र होता है।

🎯 Exam Tip: ट्रिग्नोमेट्रिक लिमिट्स को हल करते समय \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) जैसे मानक सूत्रों को याद रखें। \( \frac{0}{0} \) के रूप में बीजगणितीय लिमिट्स के लिए, \( \lim_{x \to a} \frac{x^n - a^n}{x - a} \) सूत्र बहुत उपयोगी है।

प्रश्न 3. (a) \( \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{\sqrt{1 + x} - 1} \) (b) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} \)
Answer:
(a) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम जानते हैं कि \( a^x = 1 + x \log_e a + \frac{(x \log_e a)^2}{2!} + \dots \) और \( (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 + \dots \)।
यहाँ \( a = 2 \), इसलिए \( 2^x = 1 + x \log_e 2 + \frac{(x \log_e 2)^2}{2!} + \dots \)।
अंश \( 2^x - 1 \) बन जाता है:
\( (1 + x \log_e 2 + \frac{(x \log_e 2)^2}{2!} + \dots) - 1 \)
\( = x \log_e 2 + \frac{(x \log_e 2)^2}{2!} + \dots \)
हर \( \sqrt{1 + x} - 1 = (1 + x)^{1/2} - 1 \) बन जाता है:
\( (1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)}{2!} x^2 + \dots) - 1 \)
\( = \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots \)
अब, लिमिट में इन मानों को प्रतिस्थापित करें:
\( \lim_{x \to 0} \frac{x \log_e 2 + \frac{(x \log_e 2)^2}{2!} + \dots}{\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \dots} \)
अंश और हर दोनों से \( x \) उभयनिष्ठ लेकर काट दें (क्योंकि \( x \to 0 \), \( x \neq 0 \)):
\( = \lim_{x \to 0} \frac{\log_e 2 + \frac{x (\log_e 2)^2}{2!} + \dots}{\frac{1}{2} - \frac{1}{8}x + \dots} \)
अब \( x = 0 \) रखने पर:
\( = \frac{\log_e 2 + 0 + 0 + \dots}{\frac{1}{2} - 0 + 0 + \dots} \)
\( = \frac{\log_e 2}{1/2} \)
\( = 2 \log_e 2 \)
(b) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम संयुग्मी (conjugate) से गुणा और भाग करेंगे:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} \times \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}} \)
अंश \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करके सरल करें:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{x^2 (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x^2 - 1 + x^2}{x^2 (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})} \)
\( = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2 (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})} \)
क्योंकि \( x \to 0 \), \( x \neq 0 \), इसलिए \( x^2 \) को रद्द कर सकते हैं:
\( = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}} \)
अब \( x = 0 \) रखने पर:
\( = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}} \)
\( = \frac{2}{1 + 1} \)
\( = \frac{2}{2} \)
\( = 1 \)
In simple words: पहले भाग में, हम \( 2^x \) और \( \sqrt{1+x} \) के विस्तार का उपयोग करके लिमिट निकालते हैं। दूसरे भाग में, हम व्यंजक को उसके संयुग्मी से गुणा करते हैं ताकि वर्गमूल हट जाएं और फिर इसे सरल करके मान निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: जब लिमिट \( \frac{0}{0} \) का रूप ले और उसमें वर्गमूल हों, तो संयुग्मी से गुणा और भाग करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है। \( a^x \) और \( (1+x)^n \) के श्रेणी विस्तारों को याद रखना कठिन लिमिट्स को हल करने में मदद करता है।

Question. (b) \( \lim_{x \to a} \frac{(x + 2)^{3/2} - (a + 2)^{3/2}}{x - a} \)
Answer:
इस लिमिट को हल करने के लिए, हम \( y = x + 2 \) और \( b = a + 2 \) प्रतिस्थापित करेंगे।
जब \( x \to a \), तो \( y \to b \)।
दिया गया व्यंजक है:
\( \lim_{x \to a} \frac{(x + 2)^{3/2} - (a + 2)^{3/2}}{x - a} \)
हम हर को \( (x + 2) - (a + 2) \) के रूप में लिख सकते हैं, क्योंकि \( (x+2) - (a+2) = x + 2 - a - 2 = x - a \)।
तो, व्यंजक बन जाता है:
\( \lim_{y \to b} \frac{y^{3/2} - b^{3/2}}{y - b} \)
यह मानक सूत्र \( \lim_{x \to c} \frac{x^n - c^n}{x - c} = n c^{n-1} \) के रूप में है।
यहाँ \( n = \frac{3}{2} \) और \( c = b \)।
सूत्र लागू करने पर:
\( = \frac{3}{2} b^{\frac{3}{2} - 1} \)
\( = \frac{3}{2} b^{\frac{1}{2}} \)
अब \( b \) का मान वापस प्रतिस्थापित करें, \( b = a + 2 \):
\( = \frac{3}{2} (a + 2)^{1/2} \)
\( = \frac{3}{2} \sqrt{a + 2} \)
In simple words: हम इस लिमिट को एक विशेष सूत्र की मदद से हल करते हैं। पहले, हम व्यंजक को सूत्र के रूप में बदलने के लिए चरों को बदलते हैं, फिर सूत्र का उपयोग करके उत्तर निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: लिमिट के प्रश्नों में, यदि व्यंजक \( \frac{x^n - a^n}{x - a} \) के रूप में है, तो \( n a^{n-1} \) सूत्र का उपयोग करना समय बचाता है और सटीक उत्तर देता है। चरों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 5. (a) \( \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{\sqrt{x - \cos x}} \) (b) \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2 - 1} - \sqrt{2n^2 - 1}}{4n + 3} \)
Answer:
(a) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम अंश और हर को \( x \) से भाग देंगे (सबसे बड़ी घात):
\( \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{\sqrt{x - \cos x}} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{\sqrt{\frac{x}{x^2} - \frac{\cos x}{x^2}}} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{\cos x}{x^2}}} \)
हम जानते हैं कि जब \( x \to \infty \), तो \( \frac{\sin x}{x} \to 0 \) और \( \frac{\cos x}{x^2} \to 0 \) (क्योंकि \( \sin x \) और \( \cos x \) परिमित मानों \([-1, 1]\) के बीच रहते हैं)।
\( = \frac{1 + 0}{\sqrt{0 - 0}} \)
\( = \frac{1}{0} \)
यह अपरिभाषित है, जिसका अर्थ है कि लिमिट का मान अनंत है।
*यहां पर OCR में दिया गया हल त्रुटिपूर्ण है, जो \( (1+0 \times [-1,1])/(1-0 \times [-1,1]) = \sqrt{1}=1 \) दिखाता है, जो गलत है। सही हल है कि जब हर शून्य की ओर अग्रसर हो और अंश एक धनात्मक संख्या हो, तो लिमिट अनंत होगी।*
सही तरीका: अंश और हर से \( \sqrt{x} \) कॉमन निकालें, क्योंकि यह \( \sqrt{x - \cos x} \approx \sqrt{x} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{\sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{\cos x}{x}}} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} ( \sqrt{x} + \frac{\sin x}{\sqrt{x}} )}{\sqrt{x} \sqrt{1 - \frac{\cos x}{x}}} \)
\( = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + \frac{\sin x}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1 - \frac{\cos x}{x}}} \)
जब \( x \to \infty \), \( \sqrt{x} \to \infty \), \( \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \to 0 \), \( \frac{\cos x}{x} \to 0 \)।
\( = \frac{\infty + 0}{\sqrt{1 - 0}} \)
\( = \infty \)
(b) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम अंश और हर को \( n \) से भाग देंगे:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3n^2 - 1} - \sqrt{2n^2 - 1}}{4n + 3} \)
अंश और हर से \( n \) को बाहर निकालने पर:
\( = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2(3 - \frac{1}{n^2})} - \sqrt{n^2(2 - \frac{1}{n^2})}}{n(4 + \frac{3}{n})} \)
\( = \lim_{n \to \infty} \frac{n\sqrt{3 - \frac{1}{n^2}} - n\sqrt{2 - \frac{1}{n^2}}}{n(4 + \frac{3}{n})} \)
\( n \) को अंश से उभयनिष्ठ लेकर हर के \( n \) से काट दें (क्योंकि \( n \to \infty \), \( n \neq 0 \)):
\( = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3 - \frac{1}{n^2}} - \sqrt{2 - \frac{1}{n^2}}}{4 + \frac{3}{n}} \)
अब, जब \( n \to \infty \), तो \( \frac{1}{n^2} \to 0 \) और \( \frac{3}{n} \to 0 \)।
\( = \frac{\sqrt{3 - 0} - \sqrt{2 - 0}}{4 + 0} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} \)
In simple words: पहले भाग में, हम देखते हैं कि लिमिट अनंत की ओर जाती है क्योंकि अंश हर से तेज़ी से बढ़ता है। दूसरे भाग में, हम \( n \) की उच्चतम घात को अंश और हर से अलग करते हैं, फिर \( n \) को अनंत पर भेजते हैं ताकि आसान मान मिल सकें।

🎯 Exam Tip: जब \( x \to \infty \) वाले लिमिट्स को हल करते हैं, तो अंश और हर में \( x \) की सबसे बड़ी घात से भाग दें। याद रखें कि \( \lim_{x \to \infty} \frac{\text{परिमित राशि}}{x^k} = 0 \) जहाँ \( k > 0 \) हो।

प्रश्न 6. (a) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x} \) (b) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} \)
Answer:
(a) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम जानते हैं कि \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)।
अंश और हर के प्रत्येक पद को \( x \) से भाग दें:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{x} - \frac{\sin 3x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} \)
अब, \( \frac{\sin kx}{x} = k \frac{\sin kx}{kx} \) का उपयोग करें। जब \( x \to 0 \), तो \( kx \to 0 \)।
इसलिए, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k \times 1 = k \)।
अंश बन जाता है:
\( \lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{\sin 5x}{5x} - 3 \frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin x}{x}} \)
लिमिट को प्रत्येक पद पर लागू करने पर:
\( = \frac{5 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} - 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} \)
\( = \frac{5 \times 1 - 3 \times 1}{1} \)
\( = \frac{5 - 3}{1} \)
\( = 2 \)
(b) इस लिमिट को हल करने के लिए, हम जानते हैं कि \( \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1 \)।
यहाँ, \( y = \sin x \)। जब \( x \to 0 \), तो \( \sin x \to 0 \), इसलिए \( y \to 0 \)।
दिए गए व्यंजक को ऐसे लिखें:
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{x} \)
हम इसे \( \sin x \) से गुणा और भाग कर सकते हैं:
\( = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \times \frac{\sin x}{x} \right) \)
अब, लिमिट को अलग-अलग भागों पर लागू करें:
\( = \left( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \)
जैसा कि ऊपर बताया गया है, पहला भाग \( 1 \) हो जाता है (क्योंकि \( \sin x \to 0 \)) और दूसरा भाग भी \( 1 \) हो जाता है।
\( = 1 \times 1 \)
\( = 1 \)
In simple words: पहले भाग में, हम \( \sin x / x \) लिमिट नियम का उपयोग करके व्यंजक को सरल बनाते हैं। दूसरे भाग में, हम \( e^x / x \) लिमिट नियम का उपयोग करते हैं और \( \sin x \) से गुणा व भाग करके इसे मानक रूप में लाते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय लिमिट्स में \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = 1 \) और एक्सपोनेंशियल लिमिट्स में \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) जैसे मानक सूत्र बहुत उपयोगी होते हैं। ध्यान दें कि चर (variable) दोनों जगह समान होना चाहिए।