RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Exercise 10.1

प्रश्न 1. प्रदर्शित कीजिए कि फलन \(f(x) = \frac{\log x}{x-1}\) की x = 1 पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।
Answer: दिया गया फलन \(f(x) = \frac{\log x}{x-1}\) है। हमें \(x=1\) पर इस फलन की दायीं और बायीं सीमा जाँचनी है।

** \(x = 1\) पर दायीं सीमा:**
\( \lim_{h \to 0} f(1+h) = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{(1+h)-1} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+h)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \dots}{h} \) (यहां \( \log(1+x) \) के प्रसार का उपयोग किया गया है)
\( = \lim_{h \to 0} \left(1 - \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3} - \dots \right) \)
\( = 1 - 0 + 0 - \dots = 1 \)
इस प्रकार, \( f(1+0) = 1 \).....(1)

** \(x = 1\) पर बायीं सीमा:**
\( \lim_{h \to 0} f(1-h) = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1-h)}{(1-h)-1} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1-h)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-\left(h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} + \dots\right)}{-h} \) (यहां \( \log(1-x) \) के प्रसार का उपयोग किया गया है)
\( = \lim_{h \to 0} \left(1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3} + \dots \right) \)
\( = 1 + 0 + 0 + \dots = 1 \)
इस प्रकार, \( f(1-0) = 1 \).....(2)

समीकरण (1) तथा (2) से,
\( f(1+0) = f(1-0) = 1 \)
अतः सिद्ध होता है कि फलन \(f(x) = \frac{\log x}{x-1}\) की \(x = 1\) पर दायीं सीमा एवं बायीं सीमा समान हैं तथा इनका मान 1 है।
In simple words: हमने इस फ़ंक्शन की सीमा को \(x=1\) के पास से दोनों तरफ से (दाएं और बाएं) देखा. दोनों ही मामलों में, फ़ंक्शन का मान 1 के करीब आता है. इसका मतलब है कि \(x=1\) पर इस फ़ंक्शन की सीमा मौजूद है और उसका मान 1 है.

🎯 Exam Tip: सीमा वाले प्रश्नों में, यदि संभव हो, तो दायीं और बायीं सीमा दोनों की गणना करें, खासकर जब \(x\) के पास के मानों के लिए फ़ंक्शन का व्यवहार भिन्न हो सकता है।

प्रश्न 2. क्या x = 0 पर फलन \(f(x) = \frac{x+|x|}{x}\) की सीमाएँ अस्तित्व में है।
Answer: दिया गया फलन \(f(x) = \frac{x+|x|}{x}\) है। हमें \(x=0\) पर इस फलन की सीमाएँ अस्तित्व में हैं या नहीं, यह जाँच करनी है।

** \(x = 0\) पर दायीं सीमा:**
जब \(x > 0\), तो \(|x| = x\) होता है।
\( f(x) = \frac{x+x}{x} = \frac{2x}{x} = 2 \)
अतः, \( \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} 2 = 2 \)
इस प्रकार, \( f(0+0) = 2 \).....(1)

** \(x = 0\) पर बायीं सीमा:**
जब \(x < 0\), तो \(|x| = -x\) होता है।
\( f(x) = \frac{x+(-x)}{x} = \frac{x-x}{x} = \frac{0}{x} = 0 \)
अतः, \( \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} 0 = 0 \)
इस प्रकार, \( f(0-0) = 0 \).....(2)

समीकरण (1) और (2) से स्पष्ट है कि \( f(0+0) \neq f(0-0) \)
चूंकि दायीं सीमा और बायीं सीमा बराबर नहीं हैं, इसलिए \(x = 0\) पर दिए गए फलन की सीमा अस्तित्व में नहीं है।
In simple words: हमने देखा कि जब हम \(x=0\) के करीब दायीं ओर से आते हैं, तो फ़ंक्शन का मान 2 होता है, लेकिन जब हम बायीं ओर से आते हैं, तो यह 0 होता है. चूंकि ये मान अलग-अलग हैं, इसलिए \(x=0\) पर इस फ़ंक्शन की कोई एक निश्चित सीमा नहीं है.

🎯 Exam Tip: मापांक (modulus) वाले फलनों में दायीं और बायीं सीमा की गणना करते समय \(|x|\) की परिभाषा का सही उपयोग करना महत्वपूर्ण है: \(|x|=x\) जब \(x \ge 0\) और \(|x|=-x\) जब \(x < 0\)।

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि x = 0 पर फलन \(f(x) = |x| + |x − 1|\) की सीमाएँ अस्तित्व में हैं।
Answer: दिया गया फलन \(f(x) = |x| + |x + 1|\) है। (नोट: हल में \(|x+1|\) का उपयोग किया गया है)। हमें \(x = 0\) पर इस फलन की सीमाएँ अस्तित्व में हैं, यह सिद्ध करना है।

** \(x = 0\) पर बायीं सीमा:**
\( \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} |0-h| + |0-h+1| \)
\( = \lim_{h \to 0} |-h| + |-h+1| \)
\( = \lim_{h \to 0} h + |1-h| \)
चूंकि \(h \to 0\) है, \(1-h\) धनात्मक होगा, इसलिए \(|1-h| = 1-h\).
\( = \lim_{h \to 0} (h + 1-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} 1 = 1 \)
इस प्रकार, \( f(0-0) = 1 \).

** \(x = 0\) पर दायीं सीमा:**
\( \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} |0+h| + |0+h+1| \)
\( = \lim_{h \to 0} |h| + |h+1| \)
चूंकि \(h \to 0\) है, \(h\) धनात्मक होगा, इसलिए \(|h| = h\). साथ ही, \(h+1\) भी धनात्मक होगा, इसलिए \(|h+1| = h+1\).
\( = \lim_{h \to 0} (h + h+1) \)
\( = \lim_{h \to 0} (2h + 1) \)
\( = 2(0) + 1 = 1 \)
इस प्रकार, \( f(0+0) = 1 \).

चूंकि \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \), इसलिए \(x = 0\) पर फलन \(f(x) = |x| + |x + 1|\) की सीमाएँ अस्तित्व में हैं और उनका मान 1 है।
In simple words: हमने इस फ़ंक्शन की सीमा को \(x=0\) के पास से दोनों तरफ से जांचा. बायीं ओर से आने पर मान 1 आता है और दायीं ओर से आने पर भी मान 1 आता है. चूंकि दोनों तरफ से मान समान है, इसलिए \(x=0\) पर इसकी सीमा मौजूद है.

🎯 Exam Tip: जब फलन में मापांक के पद हों, तो \(x\) के मान के आधार पर मापांक की परिभाषा को ठीक से लागू करें। विभिन्न अंतरालों के लिए फ़ंक्शन की परिभाषा बदल सकती है।

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि x = 2 पर फलन \(f(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1, & \text{जब } x \ge 2 \\ x, & \text{जब } x < 2 \end{cases}\) की सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।
Answer: दिया गया फलन एक खंडित फलन (piecewise function) है:
\(f(x) = \begin{cases} x^2 + x + 1, & \text{जब } x \ge 2 \\ x, & \text{जब } x < 2 \end{cases}\)
हमें \(x = 2\) पर इस फलन की सीमाएँ अस्तित्व में हैं या नहीं, यह सिद्ध करना है।

** \(x = 2\) पर बायीं सीमा:**
जब \(x < 2\), तो \(f(x) = x\) होता है।
\( \lim_{h \to 0} f(2-h) = \lim_{h \to 0} (2-h) \)
\( = 2 - 0 = 2 \)
इस प्रकार, \( f(2-0) = 2 \).

** \(x = 2\) पर दायीं सीमा:**
जब \(x \ge 2\), तो \(f(x) = x^2 + x + 1\) होता है।
\( \lim_{h \to 0} f(2+h) = \lim_{h \to 0} \left((2+h)^2 + (2+h) + 1\right) \)
\( = \lim_{h \to 0} \left(4 + h^2 + 4h + 2 + h + 1\right) \)
\( = \lim_{h \to 0} \left(h^2 + 5h + 7\right) \)
\( = 0^2 + 5(0) + 7 = 7 \)
इस प्रकार, \( f(2+0) = 7 \).

चूंकि \( f(2-0) \neq f(2+0) \) (अर्थात् \( 2 \neq 7 \)), इसलिए \(x = 2\) पर दिए गए फलन की सीमाएँ अस्तित्व में नहीं हैं।
In simple words: यह फ़ंक्शन \(x=2\) के दोनों ओर अलग-अलग तरह से काम करता है. जब हम \(x=2\) के करीब बाईं ओर से आते हैं, तो मान 2 होता है, लेकिन दायीं ओर से आने पर मान 7 होता है. चूंकि दोनों मान अलग-अलग हैं, इसलिए \(x=2\) पर फ़ंक्शन की कोई एक सीमा नहीं है.

🎯 Exam Tip: खंडित फलनों के लिए सीमा की गणना करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि \(x\) के मान के आधार पर फ़ंक्शन की कौन सी परिभाषा लागू होती है। बायीं और दायीं सीमा की गणना के लिए सही खंड का उपयोग करें।