RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 10 सीमा एवं अवकलज Exercise 10.3

Question 1. \( x^2 - 2 \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ पर \( f(x) = x^2 - 2 \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2 - 2) - (x^2 - 2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 2 - x^2 + 2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2x+h) \)
\( = 2x + 0 \)
\( = 2x \)
In simple words: हमें फलन \( f(x) = x^2 - 2 \) का अवकलज निकालना था। इसके लिए हमने सीमा की परिभाषा का उपयोग किया और अंत में इसका अवकलज \( 2x \) मिला।

🎯 Exam Tip: अवकलज ज्ञात करने के लिए हमेशा सूत्र \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) का प्रयोग करें और बीजगणितीय सरलीकरण पर विशेष ध्यान दें।

Question 2. \( x = 50 \) पर \( 49x \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ पर \( f(x) = 49x \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( f'(50) = \lim_{h \to 0} \frac{f(50+h) - f(50)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{49(50+h) - 49 \times 50}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{49 \times 50 + 49h - 49 \times 50}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{49h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} 49 \)
\( = 49 \)
In simple words: हमने \( f(x) = 49x \) का अवकलज \( x = 50 \) पर निकाला। अवकलज की परिभाषा का उपयोग करने पर, हमें इसका मान 49 मिला। यह एक सीधा फलन था, इसलिए इसका अवकलज एक स्थिर संख्या है।

🎯 Exam Tip: किसी रैखिक फलन \( f(x) = mx + c \) का अवकलज हमेशा \( m \) होता है। इसलिए, \( 49x \) का अवकलज 49 होगा, भले ही x का मान कुछ भी हो।

Question 3. प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) \( x^3 - 16 \)
(ii) \( (x - 1) (x - 2) \)
(iii) \( \frac { 1 }{ x^2 } \)
(iv) \( \frac { x+1 }{ x-1 } \)
Answer:
(i) माना कि \( f(x) = x^3 - 16 \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^3 - 16) - (x^3 - 16)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 16 - x^3 + 16}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) \)
\( = 3x^2 + 3x(0) + (0)^2 \)
\( = 3x^2 \)
(ii) माना कि \( f(x) = (x - 1) (x - 2) \)
\( = x^2 - 2x - x + 2 \)
\( = x^2 - 3x + 2 \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{((x+h)^2 - 3(x+h) + 2) - (x^2 - 3x + 2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 2 - x^2 + 3x - 2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 - 3h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h - 3)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3) \)
\( = 2x + 0 - 3 \)
\( = 2x - 3 \)
(iii) माना कि \( f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{(x+h)^2 x^2}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h(x+h)^2 x^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - x^2 - 2xh - h^2}{h(x+h)^2 x^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h(x+h)^2 x^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x - h)}{h(x+h)^2 x^2} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{(x+h)^2 x^2} \)
\( = \frac{-2x - 0}{(x+0)^2 x^2} \)
\( = \frac{-2x}{x^2 \cdot x^2} \)
\( = \frac{-2x}{x^4} \)
\( = \frac{-2}{x^3} \)
(iv) माना कि \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \)
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x+h+1}{x+h-1} - \frac{x+1}{x-1}}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(x-1)(x+h+1) - (x+1)(x+h-1)}{h(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2+xh+x-x-h-1) - (x^2+xh-x+x+h-1)}{h(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2+xh-h-1) - (x^2+xh+h-1)}{h(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+xh-h-1-x^2-xh-h+1}{h(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2h}{h(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2}{(x+h-1)(x-1)} \)
\( = \frac{-2}{(x+0-1)(x-1)} \)
\( = \frac{-2}{(x-1)(x-1)} \)
\( = \frac{-2}{(x-1)^2} \)
In simple words: हमने प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके चार अलग-अलग फलनों के अवकलज निकाले। हर बार हमने \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) सूत्र का इस्तेमाल किया और बीजगणित की मदद से हर फलन का अवकलज ज्ञात किया। यह तरीका अवकलज की मूल परिभाषा पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: प्रथम सिद्धांत से अवकलज निकालते समय, विस्तार करने और समान पदों को रद्द करने में सावधानी बरतें। हर चरण में \( h \) को बाहर निकालना और फिर \( h \to 0 \) की सीमा लागू करना महत्वपूर्ण है। भिन्न वाले फलनों में लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर ध्यान दें।

Question 4. फलन \( f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \ldots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \) के लिए सिद्ध कीजिए कि \( f'(1) = 100 f'(0) \).
Answer: दिया गया फलन है: \( f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \ldots + \frac{x^2}{2} + x + 1 \)
अब, इसका अवकलज \( f'(x) \) ज्ञात करते हैं:
\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{100}}{100} \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{99}}{99} \right) + \ldots + \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} \right) + \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (1) \)
\( = \frac{1}{100} (100x^{99}) + \frac{1}{99} (99x^{98}) + \ldots + \frac{1}{2} (2x) + 1 + 0 \)
\( = x^{99} + x^{98} + \ldots + x + 1 \)

अब \( f'(1) \) का मान निकालते हैं:
\( f'(1) = (1)^{99} + (1)^{98} + \ldots + 1 + 1 \)
चूंकि यह 100 पदों की एक श्रृंखला है, जिसमें प्रत्येक पद 1 है:
\( f'(1) = 1 + 1 + \ldots + 1 = 100 \)

अब \( f'(0) \) का मान निकालते हैं:
\( f'(0) = (0)^{99} + (0)^{98} + \ldots + 0 + 1 \)
\( = 0 + 0 + \ldots + 0 + 1 \)
\( = 1 \)

हमें सिद्ध करना है कि \( f'(1) = 100 f'(0) \)
हम जानते हैं कि \( f'(1) = 100 \) और \( f'(0) = 1 \).
इसलिए, \( 100 = 100 \times 1 \)
\( 100 = 100 \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने एक दिए गए बड़े फलन का अवकलज निकाला। फिर हमने अवकलज में \( x=1 \) और \( x=0 \) रखकर मान ज्ञात किए। हमने देखा कि \( f'(1) \) का मान 100 था और \( f'(0) \) का मान 1 था। इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया कि \( f'(1) \) का मान \( 100 \times f'(0) \) के बराबर है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, पहले फलन का सामान्य अवकलज ज्ञात करें। फिर दिए गए बिंदुओं पर मानों को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करें। पदों की संख्या गिनने में गलती न करें।

Question 5. किसी अचर वास्तविक संख्या \( a \) के लिए \( x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \ldots + a^{n-1} x + a^n \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि \( f(x) = x^n + ax^{n-1} + a^2x^{n-2} + \ldots + a^{n-1} x + a^n \)
फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद का अलग-अलग अवकलज ज्ञात करेंगे:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^n) + \frac{d}{dx}(ax^{n-1}) + \frac{d}{dx}(a^2x^{n-2}) + \ldots + \frac{d}{dx}(a^{n-1}x) + \frac{d}{dx}(a^n) \)
\( \implies f'(x) = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1}(1) + 0 \)
\( \implies f'(x) = nx^{n-1} + a(n-1)x^{n-2} + a^2(n-2)x^{n-3} + \ldots + a^{n-1} \)
In simple words: हमने एक फलन का अवकलज ज्ञात किया जिसमें \( x \) की घटती हुई घातें और \( a \) की बढ़ती हुई घातें थीं। प्रत्येक पद के लिए हमने घात नियम (\( \frac{d}{dx} x^k = kx^{k-1} \)) का उपयोग किया और यह ध्यान रखा कि अचर \( a \) केवल गुणा के रूप में रहता है और \( a^n \) का अवकलज शून्य होता है क्योंकि यह एक स्थिर पद है।

🎯 Exam Tip: बहुपद फलन का अवकलज ज्ञात करते समय, प्रत्येक पद का अलग से अवकलज ज्ञात करें। \( x^n \) का अवकलज \( nx^{n-1} \) होता है, और किसी भी अचर का अवकलज हमेशा शून्य होता है। अचर गुणनफल \( ax^n \) का अवकलज \( a(nx^{n-1}) \) होता है।

Question 6. किन्हीं अचरों \( a \) और \( b \) के लिए, निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) \( (x – a) (x - b) \)
(ii) \( (ax² + b)² \)
(iii) \( \frac { x-a }{ x-b } \)
Answer:
(i) माना कि \( f(x) = (x-a)(x-b) \)
हम गुणन नियम (\( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)) का प्रयोग करेंगे।
यहाँ \( u = (x-a) \) और \( v = (x-b) \).
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x-a) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(a) = 1 - 0 = 1 \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x-b) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(b) = 1 - 0 = 1 \)
\( f'(x) = (x-a)(1) + (x-b)(1) \)
\( = x - a + x - b \)
\( = 2x - a - b \)
वैकल्पिक रूप से, पहले फलन को विस्तारित करें: \( f(x) = x^2 - bx - ax + ab = x^2 - (a+b)x + ab \)
अब अवकलज ज्ञात करें: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}((a+b)x) + \frac{d}{dx}(ab) \)
\( = 2x - (a+b)(1) + 0 \)
\( = 2x - a - b \)

(ii) माना कि \( f(x) = (ax^2 + b)^2 \)
हम यहाँ भी गुणन नियम का प्रयोग कर सकते हैं, जहाँ \( u = (ax^2+b) \) और \( v = (ax^2+b) \).
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2+b) = a(2x) + 0 = 2ax \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(ax^2+b) = a(2x) + 0 = 2ax \)
\( f'(x) = (ax^2+b)(2ax) + (ax^2+b)(2ax) \)
\( = 2ax(ax^2+b) + 2ax(ax^2+b) \)
\( = 4ax(ax^2+b) \)
वैकल्पिक रूप से, श्रृंखला नियम (chain rule) का प्रयोग कर सकते हैं।
माना \( y = u^2 \) जहाँ \( u = ax^2 + b \).
\( \frac{dy}{du} = 2u \) और \( \frac{du}{dx} = 2ax \).
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (2u)(2ax) = 2(ax^2+b)(2ax) = 4ax(ax^2+b) \)

(iii) माना कि \( f(x) = \frac{x-a}{x-b} \)
भागफल नियम (\( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)) का प्रयोग करने पर।
यहाँ \( u = (x-a) \) और \( v = (x-b) \).
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x-a) = 1 \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x-b) = 1 \)
\( f'(x) = \frac{(x-b)(1) - (x-a)(1)}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{x-b-x+a}{(x-b)^2} \)
\( = \frac{a-b}{(x-b)^2} \)
In simple words: हमने तीन अलग-अलग फलनों के अवकलज ज्ञात किए। पहले दो फलनों के लिए हमने गुणन नियम या उन्हें सरल करके अवकलज निकाला। तीसरे फलन के लिए, जो एक भिन्न के रूप में था, हमने भागफल नियम का उपयोग किया ताकि अंश और हर दोनों के अवकलज को ध्यान में रख सकें।

🎯 Exam Tip: गुणन नियम और भागफल नियम जैसे अवकलज के नियमों को याद रखें। यदि संभव हो, तो फलन को अवकलज करने से पहले सरल बना लें। जटिल फलनों के लिए श्रृंखला नियम का भी अभ्यास करें। अचरों \( a \) और \( b \) को संख्याओं की तरह मानें, उनका अवकलज शून्य होता है यदि वे अकेले हों, और यदि वे किसी चर के साथ गुणा में हों, तो वे गुणनफल में बने रहते हैं।

Question 7. किसी अचर \( a \) के लिए \( \frac { x^n-a^n }{ x-a } \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि \( f(x) = \frac{x^n - a^n}{x-a} \)
भागफल नियम (\( \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)) का प्रयोग करने पर।
यहाँ \( u = x^n - a^n \) और \( v = x-a \).
\( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^n - a^n) = nx^{n-1} - 0 = nx^{n-1} \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x-a) = 1 - 0 = 1 \)
अब, भागफल नियम में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
\( f'(x) = \frac{(x-a)(nx^{n-1}) - (x^n - a^n)(1)}{(x-a)^2} \)
\( = \frac{nx^n - anx^{n-1} - x^n + a^n}{(x-a)^2} \)
\( = \frac{x^n(n-1) - anx^{n-1} + a^n}{(x-a)^2} \)
In simple words: हमें एक भिन्न वाले फलन का अवकलज ज्ञात करना था जिसमें अंश और हर दोनों में \( x \) था। हमने भागफल नियम का उपयोग किया। अंश का अवकलज \( nx^{n-1} \) आया और हर का अवकलज 1 आया। इन मानों को सूत्र में रखकर और सरल करके, हमें अंतिम अवकलज प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: भागफल नियम के प्रयोग में, अंश और हर दोनों का अवकलज अलग-अलग ज्ञात करें, फिर उन्हें सही ढंग से सूत्र में रखें। अंतिम व्यंजक को सरल करना सुनिश्चित करें, विशेष रूप से \( x^n \) और \( x^{n-1} \) जैसे पदों को संयोजित करके।

Question 8. निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) \( 2x - \frac{3}{4} \)
(ii) \( (5x^3 + 3x - 1) (x - 1) \)
(iii) \( x^5 - \frac{6}{x^2} \)
(iv) \( x^4(3-4x^{-5}) \)
(v) \( \frac{2}{x+1} - \frac{x^2}{3x-1} \)
Answer:
(i) माना कि \( f(x) = 2x - \frac{3}{4} \)
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{4}\right) \)
\( = 2(1) - 0 \)
\( = 2 \)

(ii) माना कि \( f(x) = (5x^3 + 3x - 1) (x - 1) \)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर (\( u = 5x^3 + 3x - 1 \), \( v = x - 1 \)):
\( \frac{du}{dx} = 15x^2 + 3 \)
\( \frac{dv}{dx} = 1 \)
\( f'(x) = (5x^3 + 3x - 1)(1) + (x - 1)(15x^2 + 3) \)
\( = 5x^3 + 3x - 1 + 15x^3 + 3x - 15x^2 - 3 \)
\( = 20x^3 - 15x^2 + 6x - 4 \)

(iii) माना कि \( f(x) = x^5 - \frac{6}{x^2} = x^5 - 6x^{-2} \)
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) - \frac{d}{dx}(6x^{-2}) \)
\( = 5x^{5-1} - 6(-2)x^{-2-1} \)
\( = 5x^4 + 12x^{-3} \)
\( = 5x^4 + \frac{12}{x^3} \)

(iv) माना कि \( f(x) = x^4(3 - 4x^{-5}) \)
पहले फलन को विस्तारित करते हैं:
\( f(x) = 3x^4 - 4x^4x^{-5} \)
\( = 3x^4 - 4x^{4-5} \)
\( = 3x^4 - 4x^{-1} \)
अब अवकलज ज्ञात करते हैं:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(4x^{-1}) \)
\( = 3(4)x^{4-1} - 4(-1)x^{-1-1} \)
\( = 12x^3 + 4x^{-2} \)
\( = 12x^3 + \frac{4}{x^2} \)

(v) माना कि \( f(x) = \frac{2}{x+1} - \frac{x^2}{3x-1} \)
पहले पद का अवकलज ज्ञात करते हैं: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x+1}\right) \) भागफल नियम से।
\( u=2, v=x+1 \implies \frac{du}{dx}=0, \frac{dv}{dx}=1 \)
\( \frac{(x+1)(0) - 2(1)}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2} \)
दूसरे पद का अवकलज ज्ञात करते हैं: \( \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3x-1}\right) \) भागफल नियम से।
\( u=x^2, v=3x-1 \implies \frac{du}{dx}=2x, \frac{dv}{dx}=3 \)
\( \frac{(3x-1)(2x) - x^2(3)}{(3x-1)^2} = \frac{6x^2-2x - 3x^2}{(3x-1)^2} = \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2} \)
तो, \( f'(x) = \frac{-2}{(x+1)^2} - \frac{3x^2-2x}{(3x-1)^2} \)
In simple words: हमने पाँच अलग-अलग गणितीय फलनों का अवकलज ज्ञात किया। सरल फलनों के लिए सीधे अवकलज नियम लगाए, गुणन वाले फलनों के लिए गुणन नियम का उपयोग किया, और भिन्नों वाले फलनों के लिए भागफल नियम का उपयोग किया। हर चरण में, हमने फलन को सरल बनाया और फिर अवकलज नियम लागू किए।

🎯 Exam Tip: अवकलज के नियमों को याद रखना और उन्हें सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप गुणन नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम के बीच अंतर कर सकते हैं। ऋणात्मक घातांकों के साथ काम करते समय सावधानी बरतें। जटिल फलनों को छोटे, प्रबंधनीय भागों में तोड़ना अक्सर सहायक होता है।

Question 9. प्रथम सिद्धान्त से \( \cos x \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि \( f(x) = \cos x \)
प्रथम सिद्धांत से अवकलज का सूत्र है:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} \)
हम जानते हैं कि \( \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \).
यहाँ \( A = x+h \) और \( B = x \).
\( \frac{A+B}{2} = \frac{x+h+x}{2} = \frac{2x+h}{2} = x + \frac{h}{2} \)
\( \frac{A-B}{2} = \frac{x+h-x}{2} = \frac{h}{2} \)
तो, \( \cos(x+h) - \cos x = -2 \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \).
अब इसे अवकलज के सूत्र में रखते हैं:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \)
इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ -\sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \right] \)
हम जानते हैं कि \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
यहाँ \( \theta = \frac{h}{2} \). जैसे ही \( h \to 0 \), \( \frac{h}{2} \to 0 \).
तो, \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = 1 \).
अब सीमा लागू करते हैं:
\( f'(x) = -\sin\left(x + \frac{0}{2}\right) \cdot 1 \)
\( = -\sin(x) \)
इसलिए, \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \).
In simple words: हमने \( \cos x \) का अवकलज प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके निकाला। इसके लिए हमने \( \cos A - \cos B \) के सूत्र का इस्तेमाल किया और फिर सीमा (\( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \)) के एक खास नियम का प्रयोग किया। अंत में, हमें पता चला कि \( \cos x \) का अवकलज \( -\sin x \) होता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज के लिए प्रथम सिद्धांत का उपयोग करते समय, त्रिकोणमितीय योग-अंतर सूत्रों और विशेष सीमा \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \) को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। \( \frac{h}{2} \) को \( \theta \) के रूप में मानकर \( \sin\left(\frac{h}{2}\right) \) के साथ \( \frac{h}{2} \) को व्यवस्थित करना न भूलें।

Question 10. निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए
(i) \( \sin x \cos x \)
(ii) \( \sec x \)
(iii) \( \text{cosec} \, x \)
(iv) \( 3 \cot x + 5 \text{cosec} \, x \)
(v) \( 5 \sin x - 6 \cos x + 7 \)
Answer:
(i) माना कि \( f(x) = \sin x \cos x \)
गुणन नियम (\( \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)) का प्रयोग करने पर।
\( f'(x) = \sin x \frac{d}{dx}(\cos x) + \cos x \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( = \sin x (-\sin x) + \cos x (\cos x) \)
\( = -\sin^2 x + \cos^2 x \)
\( = \cos^2 x - \sin^2 x \)
यह \( \cos 2x \) के त्रिकोणमितीय सूत्र के बराबर है।
\( = \cos 2x \)

(ii) माना कि \( f(x) = \sec x \)
हम जानते हैं कि \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \). भागफल नियम का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) \)
\( = \frac{\cos x \frac{d}{dx}(1) - 1 \frac{d}{dx}(\cos x)}{(\cos x)^2} \)
\( = \frac{\cos x (0) - 1 (-\sin x)}{\cos^2 x} \)
\( = \frac{0 + \sin x}{\cos^2 x} \)
\( = \frac{\sin x}{\cos x \cdot \cos x} \)
\( = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right) \)
\( = \tan x \sec x \)

(iii) माना कि \( f(x) = \text{cosec} \, x \)
हम जानते हैं कि \( \text{cosec} \, x = \frac{1}{\sin x} \). भागफल नियम का प्रयोग करने पर:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right) \)
\( = \frac{\sin x \frac{d}{dx}(1) - 1 \frac{d}{dx}(\sin x)}{(\sin x)^2} \)
\( = \frac{\sin x (0) - 1 (\cos x)}{\sin^2 x} \)
\( = \frac{-\cos x}{\sin^2 x} \)
\( = \frac{-\cos x}{\sin x \cdot \sin x} \)
\( = -\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sin x}\right) \)
\( = -\cot x \text{cosec} \, x \)

(iv) माना कि \( f(x) = 3 \cot x + 5 \text{cosec} \, x \)
प्रत्येक पद का अवकलज अलग-अलग ज्ञात करते हैं:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(3 \cot x) + \frac{d}{dx}(5 \text{cosec} \, x) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\text{cosec}^2 x \) और \( \frac{d}{dx}(\text{cosec} \, x) = -\cot x \text{cosec} \, x \).
\( f'(x) = 3(-\text{cosec}^2 x) + 5(-\cot x \text{cosec} \, x) \)
\( = -3 \text{cosec}^2 x - 5 \cot x \text{cosec} \, x \)

(v) माना कि \( f(x) = 5 \sin x - 6 \cos x + 7 \)
प्रत्येक पद का अवकलज अलग-अलग ज्ञात करते हैं:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(5 \sin x) - \frac{d}{dx}(6 \cos x) + \frac{d}{dx}(7) \)
हम जानते हैं कि \( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \), \( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \) और किसी अचर का अवकलज 0 होता है।
\( f'(x) = 5(\cos x) - 6(-\sin x) + 0 \)
\( = 5 \cos x + 6 \sin x \)
In simple words: हमने दिए गए पाँच त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज ज्ञात किए। इसके लिए हमने गुणन नियम, भागफल नियम और त्रिकोणमितीय फलनों के मानक अवकलज सूत्रों का उपयोग किया। अचर पदों और गुणा में आने वाले अचरों को ध्यान में रखते हुए हमने प्रत्येक फलन का अवकलज निकाला।

🎯 Exam Tip: सभी मानक त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज सूत्र याद रखें (\( \sin x \to \cos x \), \( \cos x \to -\sin x \), \( \tan x \to \sec^2 x \), आदि)। गुणन नियम और भागफल नियम को सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है। बहुपदों के साथ त्रिकोणमितीय पद होने पर, प्रत्येक पद का अवकलज अलग से ज्ञात करें।