RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 9.2

Question 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (3, 5) और (7, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है।
Answer: माना कि आवश्यक बिन्दु \( (x, y) \) है। दिए गए बिन्दु \( (x_1, y_1) = (3, 5) \) और \( (x_2, y_2) = (7, 9) \) हैं। विभाजन का अनुपात \( m_1 : m_2 = 2 : 3 \) है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \)
\( x = \frac{2 \times 7 + 3 \times 3}{2 + 3} \)
\( x = \frac{14 + 9}{5} \)
\( x = \frac{23}{5} \)
\( y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} \)
\( y = \frac{2 \times 9 + 3 \times 5}{2 + 3} \)
\( y = \frac{18 + 15}{5} \)
\( y = \frac{33}{5} \)
इसलिए, अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक \( \left( \frac{23}{5}, \frac{33}{5} \right) \) हैं। यह बिन्दु दिए गए रेखाखण्ड को आंतरिक रूप से 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
In simple words: हमें एक ऐसे बिन्दु का पता लगाना था जो दो दिए गए बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा को 2:3 के अनुपात में बांटता है। हमने सूत्र का उपयोग करके 'x' और 'y' मानों को पाया।

🎯 Exam Tip: आंतरिक विभाजन सूत्र को सही ढंग से याद रखना महत्वपूर्ण है, और गणना करते समय चिह्नों (प्लस/माइनस) का ध्यान रखें।

Question 2. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (5, -2) और (-13, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 7 : 9 में बाह्य विभाजित करता है।
Answer: माना कि अभीष्ट बिन्दु \( (x, y) \) है। दिए गए बिन्दु \( (x_1, y_1) = (5, -2) \) और \( (x_2, y_2) = (-13, 4) \) हैं। विभाजन का अनुपात \( m_1 : m_2 = 7 : 9 \) है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2} \)
\( x = \frac{7 \times (-13) - 9 \times 5}{7 - 9} \)
\( x = \frac{-91 - 45}{-2} \)
\( x = \frac{-136}{-2} \)
\( x = 68 \)
\( y = \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2} \)
\( y = \frac{7 \times 4 - 9 \times (-2)}{7 - 9} \)
\( y = \frac{28 - (-18)}{-2} \)
\( y = \frac{28 + 18}{-2} \)
\( y = \frac{46}{-2} \)
\( y = -23 \)
इसलिए, अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक \( (68, -23) \) हैं। यह बिन्दु दिए गए रेखाखण्ड को बाहरी रूप से 7:9 के अनुपात में विभाजित करता है।
In simple words: हमने दो बिन्दुओं के बीच की रेखा को 7:9 के अनुपात में बाहर से विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक निकाले। बाह्य विभाजन के सूत्र में घटाव का चिह्न होता है।

🎯 Exam Tip: आंतरिक और बाह्य विभाजन सूत्रों के बीच के अंतर को ध्यान से समझें, विशेष रूप से हर में (प्लस बनाम माइनस) और अंश में (प्लस बनाम माइनस) ताकि कोई गलती न हो।

Question 3. सिद्ध कीजिए कि मूल बिन्दु O बिन्दुओं A(1, -3) और B(-3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 1:3 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है। बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि मूल बिन्दु \( O(0,0) \) है। दिए गए बिन्दु \( A(1, -3) \) और \( B(-3, 9) \) हैं।
**1. आंतरिक विभाजन:**
माना कि बिन्दु O, AB को \( m_1 : m_2 = 1 : 3 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times (-3) + 3 \times 1}{1 + 3} = \frac{-3 + 3}{4} = \frac{0}{4} = 0 \)
\( y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 9 + 3 \times (-3)}{1 + 3} = \frac{9 - 9}{4} = \frac{0}{4} = 0 \)
चूँकि गणना किए गए निर्देशांक \( (0,0) \) हैं, जो मूल बिन्दु के निर्देशांक हैं, यह सिद्ध होता है कि मूल बिन्दु O, A और B को 1:3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

**2. बाह्य विभाजन:**
अब, बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात करते हैं, जब यह AB को 1:3 के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{m_1 x_2 - m_2 x_1}{m_1 - m_2} = \frac{1 \times (-3) - 3 \times 1}{1 - 3} = \frac{-3 - 3}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \)
\( y = \frac{m_1 y_2 - m_2 y_1}{m_1 - m_2} = \frac{1 \times 9 - 3 \times (-3)}{1 - 3} = \frac{9 - (-9)}{-2} = \frac{9 + 9}{-2} = \frac{18}{-2} = -9 \)
इसलिए, बाह्य विभाजन करने वाले बिन्दु P के निर्देशांक \( (3, -9) \) हैं।
In simple words: हमने पहले यह दिखाया कि मूल बिन्दु A और B को 1:3 के अनुपात में बीच से कैसे बांटता है। फिर हमने उसी अनुपात में, लेकिन बाहर से बांटने वाले एक नए बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब 'सिद्ध कीजिए' वाले प्रश्न आते हैं, तो आपको गणना करके दिखाना होगा कि दिया गया कथन सत्य है। साथ ही, आंतरिक और बाह्य विभाजन दोनों के लिए सूत्र सही से लागू करें।

Question 4. बिन्दुओं (22, 20) और (0, 16) को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि दिए गए बिन्दु \( (x_1, y_1) = (22, 20) \) और \( (x_2, y_2) = (0, 16) \) हैं।
मध्य बिन्दु P के निर्देशांक \( (x, y) \) ज्ञात करने के लिए मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
\( x = \frac{22 + 0}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
\( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
\( y = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
इसलिए, मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( P(x, y) = (11, 18) \) हैं।
In simple words: हमने दो बिन्दुओं के ठीक बीच वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात किए। इसके लिए हमने x-मानों को जोड़ा और 2 से भाग दिया, फिर y-मानों के साथ भी यही किया।

🎯 Exam Tip: मध्य बिन्दु सूत्र बहुत सीधा है: बस दोनों x-निर्देशांकों को जोड़कर 2 से भाग दें और दोनों y-निर्देशांकों को जोड़कर 2 से भाग दें।

Question 5. बिन्दुओं (5, 3) और (-3, - 2) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा किस अनुपात में विभाजित होता है?
Answer: x-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का y-निर्देशांक शून्य होता है।
माना कि बिन्दु P \( (x, 0) \) रेखाखण्ड को \( m_1 : m_2 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए बिन्दु \( (x_1, y_1) = (5, 3) \) और \( (x_2, y_2) = (-3, -2) \) हैं।
y-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} \)
चूँकि P, x-अक्ष पर है, \( y = 0 \):
\( 0 = \frac{m_1 (-2) + m_2 (3)}{m_1 + m_2} \)
\( 0 \times (m_1 + m_2) = -2m_1 + 3m_2 \)
\( 0 = -2m_1 + 3m_2 \)
\( 2m_1 = 3m_2 \)
\( \frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{2} \)
इसलिए, रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा 3:2 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित होता है।
In simple words: हमने ज्ञात किया कि x-अक्ष दो बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा को किस अनुपात में काटता है। हमने y-निर्देशांक का उपयोग किया क्योंकि x-अक्ष पर y हमेशा शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: जब कोई रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा विभाजित होता है, तो विभाजन बिन्दु का y-निर्देशांक शून्य होता है। जब y-अक्ष द्वारा विभाजित होता है, तो x-निर्देशांक शून्य होता है।

Question 6. बिन्दुओं (2, – 3) और (5, 6) को मिलाने वाला रेखाखण्ड y-अक्ष से किस अनुपात में विभाजित होता है?
Answer: y-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिन्दु का x-निर्देशांक शून्य होता है।
माना कि बिन्दु P \( (0, y) \) रेखाखण्ड को \( m_1 : m_2 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
दिए गए बिन्दु \( (x_1, y_1) = (2, -3) \) और \( (x_2, y_2) = (5, 6) \) हैं।
x-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \)
चूँकि P, y-अक्ष पर है, \( x = 0 \):
\( 0 = \frac{m_1 (5) + m_2 (2)}{m_1 + m_2} \)
\( 0 \times (m_1 + m_2) = 5m_1 + 2m_2 \)
\( 0 = 5m_1 + 2m_2 \)
\( 5m_1 = -2m_2 \)
\( \frac{m_1}{m_2} = -\frac{2}{5} \)
ऋणात्मक अनुपात दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है। इसलिए, रेखाखण्ड y-अक्ष द्वारा 2:5 के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित होता है।
In simple words: हमने पता लगाया कि y-अक्ष दो बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा को किस अनुपात में काटता है। हमने x-निर्देशांक का उपयोग किया क्योंकि y-अक्ष पर x हमेशा शून्य होता है। ऋणात्मक उत्तर का मतलब है कि विभाजन बाहर से होता है।

🎯 Exam Tip: यदि अनुपात की गणना करते समय ऋणात्मक मान आता है, तो इसका मतलब है कि रेखाखण्ड का विभाजन बाह्य रूप से हो रहा है। बस ऋणात्मक चिह्न को हटाकर अनुपात को बताएं।

Question 7. उस अनुपात को ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दु C(11, 15) बिन्दुओं A(15, 5) और B(9, 20) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को विभाजित करता है।
Answer: माना कि बिन्दु C(11, 15), बिन्दुओं \( A(15, 5) \) और \( B(9, 20) \) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{\lambda x_2 + 1 x_1}{\lambda + 1} \)
यहाँ \( x = 11, x_1 = 15, x_2 = 9 \):
\( 11 = \frac{\lambda (9) + 1 (15)}{\lambda + 1} \)
\( 11 (\lambda + 1) = 9\lambda + 15 \)
\( 11\lambda + 11 = 9\lambda + 15 \)
\( 11\lambda - 9\lambda = 15 - 11 \)
\( 2\lambda = 4 \)
\( \lambda = \frac{4}{2} \)
\( \lambda = 2 \)
इसलिए, अभीष्ट अनुपात \( 2 : 1 \) है। आप y-निर्देशांक का उपयोग करके भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं।
In simple words: हमें यह पता लगाना था कि एक बिन्दु, दो अन्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा को कितने अनुपात में बांटता है। हमने विभाजन सूत्र का उपयोग करके अनुपात (लैम्डा) का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: यदि आपको अनुपात ज्ञात करना है, तो आप \( \lambda : 1 \) के रूप में मानकर आगे बढ़ें। यह गणना को सरल बनाता है और आपको सीधे \( \lambda \) का मान देता है।

Question 8. यदि बिन्दु P(3, 5) बिन्दुओं A(-2, 3) और B को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 4 : 7 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है, तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बिन्दु \( P(3, 5) \) है, जो \( A(-2, 3) \) और \( B(x, y) \) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को \( m_1 : m_2 = 4 : 7 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
माना कि बिन्दु B के निर्देशांक \( (x, y) \) हैं।
x-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x_p = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \)
\( 3 = \frac{4x + 7(-2)}{4 + 7} \)
\( 3 = \frac{4x - 14}{11} \)
\( 3 \times 11 = 4x - 14 \)
\( 33 = 4x - 14 \)
\( 4x = 33 + 14 \)
\( 4x = 47 \)
\( x = \frac{47}{4} \)
y-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( y_p = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} \)
\( 5 = \frac{4y + 7(3)}{4 + 7} \)
\( 5 = \frac{4y + 21}{11} \)
\( 5 \times 11 = 4y + 21 \)
\( 55 = 4y + 21 \)
\( 4y = 55 - 21 \)
\( 4y = 34 \)
\( y = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} \)
इसलिए, बिन्दु B के निर्देशांक \( \left( \frac{47}{4}, \frac{17}{2} \right) \) हैं।
In simple words: हमें एक बिन्दु P और विभाजन अनुपात दिया गया था, साथ ही एक छोर का बिन्दु A भी। हमने दूसरे छोर के बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: जब एक अज्ञात बिन्दु और विभाजन बिन्दु दोनों दिए गए हों, तो विभाजन सूत्र का उपयोग करके अज्ञात निर्देशांकों के लिए समीकरणों को ध्यान से हल करें।

Question 9. बिन्दुओं (11, 9) और (1, 2) को मिलाने वाली रेखा को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि बिन्दु A \( (11, 9) \) और बिन्दु B \( (1, 2) \) हैं। समत्रिभाजन का अर्थ है रेखाखण्ड को तीन बराबर भागों में बांटना। इसके लिए दो बिन्दु P और P' की आवश्यकता होती है।
**1. बिन्दु P के निर्देशांक:**
बिन्दु P, रेखाखण्ड AB को \( 1:2 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
यहाँ \( m_1 = 1 \) और \( m_2 = 2 \)।
\( x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 1 + 2 \times 11}{1 + 2} = \frac{1 + 22}{3} = \frac{23}{3} \)
\( y = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} = \frac{1 \times 2 + 2 \times 9}{1 + 2} = \frac{2 + 18}{3} = \frac{20}{3} \)
इसलिए, बिन्दु P के निर्देशांक \( \left( \frac{23}{3}, \frac{20}{3} \right) \) हैं।

**2. बिन्दु P' के निर्देशांक:**
बिन्दु P', रेखाखण्ड AB को \( 2:1 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
यहाँ \( m_1 = 2 \) और \( m_2 = 1 \)।
\( x' = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times 1 + 1 \times 11}{2 + 1} = \frac{2 + 11}{3} = \frac{13}{3} \)
\( y' = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2 \times 2 + 1 \times 9}{2 + 1} = \frac{4 + 9}{3} = \frac{13}{3} \)
इसलिए, बिन्दु P' के निर्देशांक \( \left( \frac{13}{3}, \frac{13}{3} \right) \) हैं।
In simple words: हमने एक रेखा को तीन बराबर हिस्सों में बांटने वाले दो बिन्दुओं के स्थान ज्ञात किए। पहले बिन्दु के लिए हमने 1:2 अनुपात का उपयोग किया, और दूसरे बिन्दु के लिए 2:1 अनुपात का उपयोग किया।

🎯 Exam Tip: समत्रिभाजन (Trisection) का मतलब है कि आपको रेखाखण्ड को 1:2 और 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले दो बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात करने होंगे।

Question 10. बिन्दुओं A(-4, 0) और B(0, 6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। फिर AC के मध्य बिन्दु D और CB के मध्य बिन्दु E के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बिन्दु \( A(-4, 0) \) और \( B(0, 6) \) हैं।
**1. बिन्दु C (AB का मध्य बिन्दु) के निर्देशांक:**
\( x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
\( y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
इसलिए, बिन्दु C के निर्देशांक \( (-2, 3) \) हैं।

**2. बिन्दु D (AC का मध्य बिन्दु) के निर्देशांक:**
अब, \( A(-4, 0) \) और \( C(-2, 3) \) के लिए:
\( x_D = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-4 + (-2)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( y_D = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2} \)
इसलिए, बिन्दु D के निर्देशांक \( \left(-3, \frac{3}{2}\right) \) हैं।

**3. बिन्दु E (CB का मध्य बिन्दु) के निर्देशांक:**
अब, \( C(-2, 3) \) और \( B(0, 6) \) के लिए:
\( x_E = \frac{x_C + x_B}{2} = \frac{-2 + 0}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( y_E = \frac{y_C + y_B}{2} = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} \)
इसलिए, बिन्दु E के निर्देशांक \( \left(-1, \frac{9}{2}\right) \) हैं।
अतः, ये बिन्दु क्रमशः \( \left(-3, \frac{3}{2}\right), (-2, 3) \) और \( \left(-1, \frac{9}{2}\right) \) हैं।
In simple words: हमें पहले दो बिन्दुओं के बीच का मध्य बिन्दु C ज्ञात करना था। फिर हमने C और पहले बिन्दु के बीच का मध्य बिन्दु D निकाला, और अंत में C और दूसरे बिन्दु के बीच का मध्य बिन्दु E निकाला।

🎯 Exam Tip: मध्य बिन्दु सूत्र को बार-बार लागू करते समय प्रत्येक चरण के लिए सही निर्देशांकों का उपयोग करना सुनिश्चित करें। छोटे रेखागणितीय आरेखों का उपयोग करने से आपको बिन्दुओं को सही ढंग से ट्रैक करने में मदद मिल सकती है।

Question 11. ज्ञात कीजिए कि रेखा \( 3x + y = 9 \) बिन्दुओं (1, 3) तथा (2, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करती है? (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
Answer: माना कि रेखा \( 3x + y = 9 \), बिन्दुओं \( A(1, 3) \) और \( B(2, 7) \) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन बिन्दु P के निर्देशांक \( (x, y) \) विभाजन सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किए जा सकते हैं:
\( x = \frac{\lambda x_2 + 1 x_1}{\lambda + 1} = \frac{\lambda (2) + 1 (1)}{\lambda + 1} = \frac{2\lambda + 1}{\lambda + 1} \)
\( y = \frac{\lambda y_2 + 1 y_1}{\lambda + 1} = \frac{\lambda (7) + 1 (3)}{\lambda + 1} = \frac{7\lambda + 3}{\lambda + 1} \)
चूँकि यह विभाजन बिन्दु रेखा \( 3x + y = 9 \) पर स्थित है, इसलिए यह रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेगा। x और y के मानों को समीकरण में रखने पर:
\( 3 \left( \frac{2\lambda + 1}{\lambda + 1} \right) + \left( \frac{7\lambda + 3}{\lambda + 1} \right) = 9 \)
\( \frac{3(2\lambda + 1) + (7\lambda + 3)}{\lambda + 1} = 9 \)
\( 6\lambda + 3 + 7\lambda + 3 = 9(\lambda + 1) \)
\( 13\lambda + 6 = 9\lambda + 9 \)
\( 13\lambda - 9\lambda = 9 - 6 \)
\( 4\lambda = 3 \)
\( \lambda = \frac{3}{4} \)
इसलिए, अभीष्ट अनुपात \( 3:4 \) है।
In simple words: हमने वह अनुपात ज्ञात किया जिसमें एक सीधी रेखा दो अन्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा को काटती है। हमने पहले विभाजन बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात किए, फिर उन निर्देशांकों को दी गई रेखा के समीकरण में रखकर अनुपात का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, विभाजन बिन्दु के निर्देशांकों को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में ज्ञात करें, फिर उन निर्देशांकों को दी गई रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करके \( \lambda \) का मान निकालें।

Question 12. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जबकि बिन्दु (-3, p) बिन्दुओं (-5,-4) और (-2, 3) को अन्त:विभाजित करता है। p का मान भी ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि बिन्दु \( C(-3, p) \), बिन्दुओं \( A(-5, -4) \) और \( B(-2, 3) \) को \( k : 1 \) के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
x-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x_C = \frac{k x_B + 1 x_A}{k + 1} \)
\( -3 = \frac{k (-2) + 1 (-5)}{k + 1} \)
\( -3(k + 1) = -2k - 5 \)
\( -3k - 3 = -2k - 5 \)
\( -3 + 5 = -2k + 3k \)
\( 2 = k \)
इसलिए, अनुपात \( k : 1 = 2 : 1 \) है।

अब, p का मान ज्ञात करने के लिए y-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करें:
\( y_C = \frac{k y_B + 1 y_A}{k + 1} \)
\( p = \frac{2 (3) + 1 (-4)}{2 + 1} \)
\( p = \frac{6 - 4}{3} \)
\( p = \frac{2}{3} \)
इसलिए, अभीष्ट अनुपात 2:1 है और \( p = \frac{2}{3} \) है।
In simple words: हमने पहले विभाजन बिन्दु के x-मान का उपयोग करके विभाजन अनुपात ज्ञात किया। फिर, उस अनुपात का उपयोग करके विभाजन बिन्दु के y-मान (जो p था) का पता लगाया।

🎯 Exam Tip: जब अनुपात और एक अज्ञात निर्देशांक दोनों ज्ञात करने हों, तो पहले उस निर्देशांक का उपयोग करें जिसके लिए दोनों ज्ञात बिन्दुओं के मान दिए गए हों (x या y), अनुपात ज्ञात करने के लिए, फिर उस अनुपात का उपयोग करके अज्ञात निर्देशांक का पता लगाएं।