RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 9.1

निर्देशांक ज्यामिति Ex 9.1

Question 1. दी गयी आकृति से बिन्दुओं P, Q, R व S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए

Answer: आकृति में बिन्दु P के निर्देशांक \( (5, 3) \) हैं।

बिन्दु Q के निर्देशांक \( (-4, 6) \) हैं।
बिन्दु R के निर्देशांक \( (-3, -2) \) हैं।
बिन्दु S के निर्देशांक \( (1, -5) \) हैं। ये निर्देशांक अक्षों पर बिन्दुओं की स्थिति को बताते हैं।
In simple words: ग्राफ में, P की जगह \( (5, 3) \) पर है, Q की जगह \( (-4, 6) \) पर है, R की जगह \( (-3, -2) \) पर है, और S की जगह \( (1, -5) \) पर है।

🎯 Exam Tip: आकृति में बिन्दुओं की सही स्थिति को पहचानने और उनके x और y निर्देशांकों को ध्यान से पढ़ने का अभ्यास करें। याद रखें, x-निर्देशांक पहले आता है, फिर y-निर्देशांक।

Question 2. निम्नलिखित निर्देशांकों वाले बिन्दुओं को आलेखित कीजिए- \( (1, 2), (- 1, 3), (- 2, – 4), (3, – 2), (2, 0), (0, 3) \)

Answer: दिए गए निर्देशांकों को ग्राफ पेपर पर प्लॉट करने के लिए, पहले x-अक्ष पर सही संख्या ढूंढें और फिर y-अक्ष पर। जहां दोनों मिलते हैं, वहां बिंदु लगाएं। ऊपर दिए गए ग्राफ में सभी बिन्दु ठीक इसी तरह से आलेखित किए गए हैं। प्रत्येक बिन्दु निर्देशांक समतल में एक खास जगह दिखाता है।
In simple words: ग्राफ पर दिए गए बिंदुओं को उनकी x और y संख्याओं को देखकर सही जगह पर रखें।

🎯 Exam Tip: बिन्दुओं को प्लॉट करते समय x-निर्देशांक (क्षैतिज) और y-निर्देशांक (ऊर्ध्वाधर) को हमेशा सही क्रम में जांचें। पहले x फिर y।

Question 3. आयतीय निर्देशांक अक्षों को लेते हुए बिन्दु O(0, 0), P(3, 0) और R(0, 4) को आलेखित यदि OPQR एक आयत हो, तो बिन्दु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer: एक आयत बनाने के लिए, O(0,0), P(3,0) और R(0,4) दिए गए हैं। आयत की विशेषता है कि विपरीत भुजाएं समानांतर और बराबर होती हैं। बिन्दु O से P की दूरी 3 इकाई है, और O से R की दूरी 4 इकाई है। इसलिए, बिंदु Q के निर्देशांक \( (3,4) \) होंगे, जिससे OPQR एक पूर्ण आयत बन जाएगा। यह बिंदु P के x-निर्देशांक और R के y-निर्देशांक को मिलाकर बनता है।
In simple words: आयत को पूरा करने के लिए, O(0,0), P(3,0) और R(0,4) दिए गए हैं, तो आखिरी बिन्दु Q \( (3,4) \) होगा।

🎯 Exam Tip: आयत या किसी भी ज्यामितीय आकृति के गुणधर्मों को याद रखना बहुत ज़रूरी है। विपरीत भुजाएं समान और समानांतर होती हैं, जिससे चौथे बिंदु के निर्देशांक आसानी से ज्ञात किए जा सकते हैं।

Question 4. बिन्दुओं (-1, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1) को आलेखित कीजिए और इन्हें क्रम से मिलाने पर कौन सी आकृति प्राप्त होती है?

Answer: दिए गए बिन्दुओं \( (-1, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1) \) को ग्राफ पर प्लॉट करके उन्हें क्रम से जोड़ने पर एक पंचभुज (pentagon) आकृति प्राप्त होती है। यह एक पाँच भुजाओं वाला बहुभुज है, जो ग्राफ पर स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।
In simple words: बिन्दुओं को जोड़कर एक पाँच कोने वाली आकृति बनती है जिसे पंचभुज कहते हैं।

🎯 Exam Tip: बिन्दुओं को प्लॉट करने के बाद, उन्हें सही क्रम में जोड़ें, जैसा कि प्रश्न में दिया गया है। इससे बनी हुई आकृति की पहचान करना आसान हो जाता है।

Question 5. चतुर्भुज बनाइए, यदि उसके शीर्ष निम्नलिखित हों- (i) (1, 1), (2, 4), (8, 4) और (10, 1) प्रत्येक स्थिति में बने चतुर्भुज का प्रकार भी बताइये।

Answer: दिए गए शीर्षों \( (1,1), (2,4), (8,4) \) और \( (10,1) \) को जोड़ने पर एक चतुर्भुज बनता है। इस चतुर्भुज में, भुजा QR (जो y-निर्देशांक 4 पर है) और भुजा PS (जो y-निर्देशांक 1 पर है) एक-दूसरे के समानांतर हैं, जबकि भुजा PQ और RS समानांतर नहीं हैं। इसलिए, यह आकृति एक समलम्ब चतुर्भुज (trapezium) है, जिसमें कम से कम एक जोड़ा समानांतर भुजाओं का होता है।
In simple words: बिन्दुओं को जोड़कर जो चार भुजाओं वाली आकृति बनती है, उसमें दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं, इसलिए यह एक समलम्ब चतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के प्रकार की पहचान करने के लिए, उसकी भुजाओं की लंबाई और ढलान (slope) की गणना करें। समानांतर भुजाएं समलम्ब चतुर्भुज की पहचान होती हैं।

Question 5. (ii) (-2, – 2), (- 4, 2), (-6, - 2) और (-4, - 6) प्रत्येक स्थिति में बने चतुर्भुज का प्रकार भी बताइये।

Answer: दिए गए शीर्षों P(-2,-2), Q(-4,2), R(-6,-2) और S(-4,-6) को जोड़ने पर एक चतुर्भुज बनता है। दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने पर हमें \( PQ = QR = RS = SP \) मिलता है। जब एक चतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, तो वह एक सम चतुर्भुज (rhombus) कहलाता है। एक सम चतुर्भुज एक प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है जहाँ सभी भुजाएं बराबर होती हैं।
In simple words: चारों बिन्दुओं को जोड़ने से जो आकृति बनती है उसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए यह एक सम चतुर्भुज है।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, लेकिन कोण समकोण नहीं होते। भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करें।

Question 6. निम्नलिखित बिन्दुओं के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए-
(i) \( (- 6, 7) \) और \( (-1, – 5) \)
(ii) \( (-1, - 1) \) और \( (8, – 2) \)
(iii) \( (at_1^2, 2at_1) \) और \( (at_2^2, 2at_2) \)
Answer:
(i) दिए गए दो बिन्दुओं P(-6, 7) और Q(-1, -5) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) का उपयोग करते हैं:
\( PQ = \sqrt{(-1 - (-6))^2 + (-5 - 7)^2} \)
\( PQ = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \)
\( PQ = \sqrt{25 + 144} \)
\( PQ = \sqrt{169} \)
\( PQ = 13 \)

(ii) बिन्दुओं P(-1, -1) और Q(8, -2) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करते हैं:
\( PQ = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (-2 - (-1))^2} \)
\( PQ = \sqrt{(9)^2 + (-1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{81 + 1} \)
\( PQ = \sqrt{82} \)

(iii) दिए गए बिन्दुओं P(\(at_1^2\), \(2at_1\)) और Q(\(at_2^2\), \(2at_2\)) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( PQ = \sqrt{(at_2^2 - at_1^2)^2 + (2at_2 - 2at_1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{a^2(t_2^2 - t_1^2)^2 + (2a(t_2 - t_1))^2} \)
\( PQ = \sqrt{a^2((t_2 - t_1)(t_2 + t_1))^2 + 4a^2(t_2 - t_1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{a^2(t_2 - t_1)^2(t_2 + t_1)^2 + 4a^2(t_2 - t_1)^2} \)
\( PQ = \sqrt{a^2(t_2 - t_1)^2[(t_2 + t_1)^2 + 4]} \)
\( PQ = |a(t_2 - t_1)|\sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4} \)
In simple words: दो बिन्दुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए, उनके x-निर्देशांकों के अंतर का वर्ग करें और y-निर्देशांकों के अंतर का वर्ग करें, फिर दोनों को जोड़कर वर्गमूल निकालें। बीजगणितीय पदों के लिए भी यही सूत्र इस्तेमाल होता है।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) का उपयोग करते समय, निर्देशांकों को सही ढंग से घटाना सुनिश्चित करें। वर्ग करने पर हमेशा धनात्मक परिणाम मिलेगा। ऋणात्मक मानों को घटाते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें, खासकर जब बीजगणितीय व्यंजकों से निपट रहे हों।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P(2, -2), Q(-2, 1) और R(5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु P(2, -2), Q(-2, 1) और R(5, 2) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। दूरी सूत्र का प्रयोग करके भुजाओं के वर्गों की लंबाई ज्ञात करते हैं:
\( PQ^2 = (-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 \)
\( \implies PQ^2 = (-4)^2 + (3)^2 \)
\( \implies PQ^2 = 16 + 9 \)
\( \implies PQ^2 = 25 \)
\( QR^2 = (5 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 \)
\( \implies QR^2 = (7)^2 + (1)^2 \)
\( \implies QR^2 = 49 + 1 \)
\( \implies QR^2 = 50 \)
\( PR^2 = (5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 \)
\( \implies PR^2 = (3)^2 + (4)^2 \)
\( \implies PR^2 = 9 + 16 \)
\( \implies PR^2 = 25 \) चूंकि \( PQ^2 + PR^2 = 25 + 25 = 50 = QR^2 \), पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (Converse of Pythagorean Theorem) के अनुसार, दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। इस मामले में, बिंदु P पर समकोण है।
In simple words: त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई का वर्ग निकालें। अगर दो छोटी भुजाओं के वर्गों का जोड़ सबसे बड़ी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी त्रिभुज को समकोण त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, उसकी सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें और फिर जांचें कि क्या पाइथागोरस प्रमेय \( (a^2 + b^2 = c^2) \) लागू होता है।

Question 8. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1,-2), (3, 0), (1, 2) और (-1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।

Answer: दिए गए चार बिन्दुओं A(1,-2), B(3,0), C(1,2) और D(-1,0) को वर्ग के शीर्ष सिद्ध करने के लिए, हम दूरी सूत्र का उपयोग करके सभी भुजाओं और विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं। भुजाओं की लंबाई:
\( AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(1-3)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( CD = \sqrt{(-1-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( DA = \sqrt{(1-(-1))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) सभी भुजाएँ \( AB=BC=CD=DA=2\sqrt{2} \) हैं। विकर्णों की लंबाई:
\( AC = \sqrt{(1-1)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \)
\( BD = \sqrt{(3-(-1))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \) दोनों विकर्ण \( AC=BD=4 \) हैं। क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए दिए गए बिन्दु एक वर्ग के शीर्ष हैं। वर्ग की खासियत यह है कि उसकी सभी भुजाएँ और विकर्ण बराबर होते हैं।
In simple words: सभी चार भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें। अगर सभी भुजाएँ और विकर्ण बराबर हों, तो यह एक वर्ग है।

🎯 Exam Tip: किसी भी आकृति को वर्ग सिद्ध करने के लिए, पहले सभी चार भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें और दिखाएं कि वे बराबर हैं। फिर दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें और दिखाएं कि वे भी बराबर हैं।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \( (a, a), (-a, -4) \) और \( (-\sqrt{3}a, \sqrt{3}a) \) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना दिए गए बिन्दु क्रमशः A(a, a), B(-a, -a) तथा C\( (-\sqrt{3}a, \sqrt{3}a) \) हैं। भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
\( AB = \sqrt{(-a-a)^2 + (-a-a)^2} \)
\( \implies AB = \sqrt{(-2a)^2 + (-2a)^2} \)
\( \implies AB = \sqrt{4a^2+4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(-\sqrt{3}a - (-a))^2 + (\sqrt{3}a - (-a))^2} \)
\( \implies BC = \sqrt{(a-\sqrt{3}a)^2 + (a+\sqrt{3}a)^2} \)
\( \implies BC = \sqrt{a^2(1-\sqrt{3})^2 + a^2(1+\sqrt{3})^2} \)
\( \implies BC = a\sqrt{1-2\sqrt{3}+3 + 1+2\sqrt{3}+3} \)
\( \implies BC = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \)
\( CA = \sqrt{(a - (-\sqrt{3}a))^2 + (a - \sqrt{3}a)^2} \)
\( \implies CA = \sqrt{(a+\sqrt{3}a)^2 + (a-\sqrt{3}a)^2} \)
\( \implies CA = \sqrt{a^2(1+\sqrt{3})^2 + a^2(1-\sqrt{3})^2} \)
\( \implies CA = a\sqrt{1+2\sqrt{3}+3 + 1-2\sqrt{3}+3} \)
\( \implies CA = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \) चूंकि \( AB = BC = CA = 2a\sqrt{2} \) है, इसलिए दिए गए बिन्दु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। समबाहु त्रिभुज में सभी भुजाएँ समान होती हैं।
In simple words: तीनों भुजाओं की लंबाई निकालें। अगर सभी भुजाएँ बराबर हों, तो वह एक समबाहु त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, तीनों भुजाओं के बीच की दूरियाँ ज्ञात करें। यदि सभी दूरियाँ समान आती हैं, तो वह एक समबाहु त्रिभुज होता है। गणना में चिन्हों और वर्गों का ध्यान रखें।

Question 10. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु \( (1, 1), (-2, 7) \) और \( (3, -3) \) संरेख
Answer: माना दिए हुए बिन्दु A(1, 1), B(-2, 7) तथा C(3, – 3) हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
\( AB = \sqrt{(-2-1)^{2}+(7-1)^{2}} = \sqrt{(-3)^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(3-(-2))^{2}+(-3-7)^{2}} = \sqrt{5^2+(-10)^2} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)
\( CA = \sqrt{(1-3)^{2}+(1-(-3))^{2}} = \sqrt{(-2)^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) अब, यह जांचते हैं कि क्या दो छोटी दूरियों का योग सबसे बड़ी दूरी के बराबर है:
\( AB + CA = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \) चूंकि \( AB + CA = BC \) (यानी \( 5\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)) है, इसलिए दिए हुए बिन्दु एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं (संरेख हैं)। यह दर्शाता है कि तीनों बिंदु एक ही लाइन पर आते हैं।
In simple words: तीन बिन्दुओं के बीच की सभी दूरियाँ निकालें। अगर दो छोटी दूरियों का जोड़ सबसे बड़ी दूरी के बराबर हो, तो वे बिन्दु एक ही लाइन पर हैं

🎯 Exam Tip: संरेखता (collinearity) सिद्ध करने के लिए, बिन्दुओं के सभी संभावित युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात करें। यदि किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर आता है, तो बिन्दु संरेख होते हैं।

Question 11. x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-2, - 5) और (2,- 3) से समान दूरी पर स्थित है।
Answer: माना वह बिन्दु P(x, 0) है जो x-अक्ष पर स्थित है। दिए गए बिन्दु A(-2, -5) और B(2, -3) हैं। चूंकि बिन्दु P, A और B से समान दूरी पर है, इसलिए \( PA = PB \)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \( PA^2 = PB^2 \):
\( (-2 - x)^2 + (-5 - 0)^2 = (2 - x)^2 + (-3 - 0)^2 \)
\( \implies (4 + 4x + x^2) + 25 = (4 - 4x + x^2) + 9 \)
\( \implies x^2 + 4x + 29 = x^2 - 4x + 13 \) दोनों तरफ से \( x^2 \) को रद्द करने पर:
\( 4x + 29 = -4x + 13 \)
\( \implies 4x + 4x = 13 - 29 \)
\( \implies 8x = -16 \)
\( \implies x = \frac{-16}{8} \)
\( \implies x = -2 \) अतः, x-अक्ष पर वह बिन्दु \( (-2, 0) \) है जो A और B से समान दूरी पर स्थित है। यह बिंदु दोनों दिए गए स्थानों से बराबर दूर होता है।
In simple words: x-अक्ष पर वह बिन्दु \( (-2, 0) \) है जो दिए गए दोनों बिन्दुओं से बराबर दूरी पर है।

🎯 Exam Tip: जब कोई बिंदु x-अक्ष पर होता है, तो उसका y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है। इसी तरह, y-अक्ष पर बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है। समान दूरी के लिए, दूरियों के वर्गों को बराबर करके समीकरण को हल करें।

Question 12. y-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-5, -2) और (3, 2) से समान दूरी पर स्थित है।
Answer: माना वह बिन्दु P(0, y) है जो y-अक्ष पर स्थित है। दिए गए बिन्दु A(-5, -2) और B(3, 2) हैं। चूंकि बिन्दु P, A और B से समान दूरी पर है, इसलिए \( PA = PB \)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \( PA^2 = PB^2 \):
\( (-5 - 0)^2 + (-2 - y)^2 = (3 - 0)^2 + (2 - y)^2 \)
\( \implies 25 + (4 + 4y + y^2) = 9 + (4 - 4y + y^2) \)
\( \implies 25 + 4 + 4y + y^2 = 9 + 4 - 4y + y^2 \)
\( \implies y^2 + 4y + 29 = y^2 - 4y + 13 \) दोनों तरफ से \( y^2 \) को रद्द करने पर:
\( 4y + 29 = -4y + 13 \)
\( \implies 4y + 4y = 13 - 29 \)
\( \implies 8y = -16 \)
\( \implies y = \frac{-16}{8} \)
\( \implies y = -2 \) अतः, y-अक्ष पर वह बिन्दु \( (0, -2) \) है जो A और B से समान दूरी पर स्थित है। यह बिंदु दोनों दिए गए स्थानों से बराबर दूर होता है।
In simple words: y-अक्ष पर वह बिन्दु \( (0, -2) \) है जो दिए गए दोनों बिन्दुओं से बराबर दूरी पर है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष पर बिंदु हमेशा \( (0, y) \) के रूप में होता है। समान दूरी वाले प्रश्नों में, अक्सर वर्ग समीकरणों का उपयोग करके हल किया जाता है, जिसमें \( y^2 \) पद आमतौर पर कट जाते हैं, जिससे एक रैखिक समीकरण बनता है।

Question 13. र्या 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियाँ बराबर हों, तो K का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रश्न में दिए गए बिन्दुओं की जानकारी के अनुसार, यदि कोई समीकरण हल करने पर \( -4K = -4 \) प्राप्त होता है, तो K का मान इस प्रकार निकाला जा सकता है:
\( -4K = -4 \)
\( \implies K = \frac{-4}{-4} \)
\( \implies K = 1 \) अतः K का मान 1 है। यह मान उस स्थिति में आता है जब कोई अज्ञात K-आधारित समीकरण सरलीकृत होकर यह रूप लेता है।
In simple words: समीकरण \( -4K = -4 \) को हल करने पर K का मान 1 आता है।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय, अज्ञात चर (variable) को एक तरफ अलग करें और सभी संख्याओं को दूसरी तरफ ले जाएं। चिन्हों का ध्यान रखें, खासकर जब गुणा या भाग कर रहे हों।

Question 14. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः \( (a \cos \theta, b \sin \theta) \) और \( (- a \sin \theta, b \cos \theta) \) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \( OP^2+ OQ^2 = a^2 + b^2 \), जहाँ O मूल बिन्दु है।
Answer: प्रश्नानुसार, बिन्दु P\( (a \cos \theta, b \sin \theta) \), Q\( (- a \sin \theta, b \cos \theta) \) तथा मूल बिन्दु O\( (0, 0) \) हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके \( OP^2 \) और \( OQ^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( OP^2 = (a \cos \theta - 0)^2 + (b \sin \theta - 0)^2 \)
\( \implies OP^2 = a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta \) इसी प्रकार,
\( OQ^2 = (-a \sin \theta - 0)^2 + (b \cos \theta - 0)^2 \)
\( \implies OQ^2 = a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta \) अब \( OP^2 + OQ^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( OP^2 + OQ^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) \)
\( \implies OP^2 + OQ^2 = a^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \)
\( \implies OP^2 + OQ^2 = a^2 (1) + b^2 (1) \) (चूंकि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \))
\( \implies OP^2 + OQ^2 = a^2 + b^2 \) यह सिद्ध हो गया है कि \( OP^2 + OQ^2 = a^2 + b^2 \)।
In simple words: मूल बिंदु से P और Q की दूरी के वर्गों को जोड़कर, हमें \( a^2 + b^2 \) मिलता है, क्योंकि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \) का मान हमेशा 1 होता है।

🎯 Exam Tip: निर्देशांक ज्यामिति के प्रश्नों में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (trigonometric identities) का उपयोग करना बहुत आम है, खासकर जब कोणों \( (\theta) \) वाले निर्देशांक दिए गए हों। \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) सबसे महत्वपूर्ण है।

Question 15. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष \( (0, 0), (3, \sqrt{3}) \) हों, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Answer: माना दिए हुए बिन्दु A\( (0, 0) \) और B\( (3, \sqrt{3}) \) हैं। माना तीसरा शीर्ष C\( (x, y) \) है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः, \( AB = BC = CA \)। पहले \( AB \) की लंबाई ज्ञात करते हैं:
\( AB = \sqrt{(3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} \)
\( \implies AB = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} \)
\( \implies AB = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) अब \( AC = AB \) और \( BC = AB \) का उपयोग करते हैं, जिसका अर्थ है \( AC^2 = AB^2 \) और \( BC^2 = AB^2 \)।
\( AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2 \)
\( \implies x^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12 \) ..... (i)
\( BC^2 = (x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 \)
\( \implies (2\sqrt{3})^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 \)
\( \implies 12 = (x^2 + y^2) - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 \) समीकरण (i) से \( (x^2 + y^2) \) का मान रखने पर:
\( 12 = 12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 \)
\( \implies 0 = -6x - 2\sqrt{3}y + 12 \)
\( \implies 6x + 2\sqrt{3}y = 12 \) दो से भाग देने पर:
\( \implies 3x + \sqrt{3}y = 6 \)
\( \implies \sqrt{3}y = 6 - 3x \)
\( \implies y = \frac{6 - 3x}{\sqrt{3}} \) ..... (ii) समीकरण (ii) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( x^2 + \left(\frac{6 - 3x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 12 \)
\( \implies x^2 + \frac{(6 - 3x)^2}{3} = 12 \)
\( \implies 3x^2 + (36 - 36x + 9x^2) = 36 \)
\( \implies 12x^2 - 36x + 36 = 36 \)
\( \implies 12x^2 - 36x = 0 \)
\( \implies 12x(x - 3) = 0 \) इससे \( x = 0 \) या \( x = 3 \) प्राप्त होता है। जब \( x = 0 \) हो, तो समीकरण (ii) से:
\( y = \frac{6 - 3(0)}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \) तो एक तीसरा शीर्ष C\( (0, 2\sqrt{3}) \) है। जब \( x = 3 \) हो, तो समीकरण (ii) से:
\( y = \frac{6 - 3(3)}{\sqrt{3}} = \frac{6 - 9}{\sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \) तो दूसरा तीसरा शीर्ष C\( (3, -\sqrt{3}) \) है। अतः तीसरा शीर्ष C\( (0, 2\sqrt{3}) \) या C\( (3, -\sqrt{3}) \) हो सकता है। एक समबाहु त्रिभुज के दिए गए दो शीर्षों के लिए, तीसरा शीर्ष हमेशा दो स्थानों पर हो सकता है।
In simple words: दो शीर्ष दिए होने पर, तीसरे शीर्ष \( (x, y) \) को ज्ञात करने के लिए, दूरी सूत्र और समबाहु त्रिभुज की विशेषता (सभी भुजाएँ बराबर) का उपयोग करें। इससे दो संभावित उत्तर मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के तीसरे शीर्ष को ज्ञात करने के लिए, दूरी सूत्र और यह तथ्य कि सभी भुजाएँ समान होती हैं, का उपयोग करें। दो समीकरण बनेंगे जिन्हें हल करके x और y के मान ज्ञात किए जा सकते हैं। आमतौर पर दो संभावित समाधान होते हैं।

निर्देशांक ज्यामिति Ex 9.1

Question 1. दी गयी आकृति से बिन्दुओं P, Q, R व S के निर्देशांक ज्ञात कीजिए
Answer: दी गई आकृति में, हम देख सकते हैं कि:
P के निर्देशांक : (5, 3)
Q के निर्देशांक : (-4, 6)
R के निर्देशांक : (-3, -2)
S के निर्देशांक : (1, -5)
इन बिंदुओं को देखकर आप ग्राफ पर उनकी सही स्थिति बता सकते हैं।
In simple words: ग्राफ देखकर हर बिंदु की X और Y जगह को लिखिए. X-अक्ष पर कितनी दूर है, फिर Y-अक्ष पर कितनी दूर है, यही उसके निर्देशांक होते हैं.

🎯 Exam Tip: निर्देशांकों को हमेशा X-अक्ष के मान (भुज) को पहले और Y-अक्ष के मान (कोटि) को बाद में कोष्ठक में लिखकर (x, y) के रूप में दर्शाएं।

Question 2. निम्नलिखित निर्देशांकों वाले बिन्दुओं को आलेखित कीजिए- (1, 2), (- 1, 3), (- 2, – 4), (3, – 2), (2, 0), (0, 3)
Answer: इन बिन्दुओं को आलेखित करने के लिए, हम XOX' और YOY' नामक दो लंबवत् रेखाएँ खींचते हैं, जो मूल बिन्दु O पर काटती हैं। फिर दिए गए बिन्दुओं A(1, 2), B(-1, 3), C(-2, -4), D(3, -2), E(2, 0) और F(0, 3) को ग्राफ पेपर पर दर्शाया जाता है। हर बिंदु को उसकी X और Y दूरी के हिसाब से सही जगह पर रखा जाता है।
In simple words: एक ग्राफ पेपर पर X और Y लाइनें बनाओ. फिर हर दिए गए बिंदु को उसकी सही जगह पर निशान लगाओ.

🎯 Exam Tip: बिंदुओं को आलेखित करते समय, धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के लिए सही दिशा (X-अक्ष पर दाएँ/बाएँ, Y-अक्ष पर ऊपर/नीचे) का ध्यान रखें।

Question 3. आयतीय निर्देशांक अक्षों को लेते हुए बिन्दु O(0, 0), P(3, 0) और R(0, 4) को आलेखित यदि OPQR एक आयत हो, तो बिन्दु Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हम XOX' और YOY' दो परस्पर लम्बवत् रेखाएँ खींचते हैं जो बिन्दु O पर काटती हैं। इस पर O (0, 0), P (3, 0) और R (0, 4) को आलेखित किया जाता है।
क्योंकि OPQR एक आयत है, तो OP भुजा RQ के समानांतर और बराबर होगी, और OR भुजा PQ के समानांतर और बराबर होगी।
P का X-निर्देशांक 3 है, और R का Y-निर्देशांक 4 है।
इसलिए, बिंदु Q के निर्देशांक (3, 4) होंगे।
In simple words: O(0,0), P(3,0) और R(0,4) दिए हैं. अगर OPQR एक आयत है, तो Q बिंदु P के X मान और R के Y मान पर होगा.

🎯 Exam Tip: आयत में सम्मुख भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं, और कोण 90 डिग्री के होते हैं। इससे आप चौथे शीर्ष के निर्देशांक आसानी से निकाल सकते हैं।

Question 4. बिन्दुओं (-1, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 2), (-1, 1) को आलेखित कीजिए और इन्हें क्रम से मिलाने पर कौन सी आकृति प्राप्त होती है?
Answer: दिए गए बिन्दुओं A(-1, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 2) और E(-1, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित किया जाता है।
इन बिन्दुओं को क्रम से मिलाने पर एक पंचभुज प्राप्त होता है।
In simple words: दिए गए बिंदुओं को ग्राफ पर लगाओ. फिर उन्हें क्रम से एक-दूसरे से सीधी रेखा से जोड़ो. जो तस्वीर बनेगी, वह पंचभुज होगी.

🎯 Exam Tip: सभी बिन्दुओं को सही क्रम में ही मिलाएँ, नहीं तो आकृति अलग बन सकती है। हर बिंदु की पहचान के लिए उस पर उसका नाम लिख सकते हैं।

Question 5. चतुर्भुज बनाइए, यदि उसके शीर्ष निम्नलिखित हों-
(i) (1, 1), (2, 4), (8, 4) और (10, 1)
(ii) (-2, – 2), (- 4, 2), (-6, - 2) और (-4, - 6)
प्रत्येक स्थिति में बने चतुर्भुज का प्रकार भी बताइये।
Answer:
(i) बिन्दुओं P(1, 1), Q(2, 4), R(8, 4) और S(10, 1) को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने पर, यह स्पष्ट है कि भुजा PQ और QR परस्पर समान्तर हैं, लेकिन भुजा PQ और RS समान्तर नहीं हैं।
इस प्रकार, यह चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है। एक समलम्ब चतुर्भुज में भुजाओं का केवल एक युग्म समानांतर होता है।
(ii) बिन्दुओं P(-2, -2), Q(-4, 2), R(-6, -2) और S(-4, -6) को आलेखित करने पर, उपरोक्त चित्र से यह स्पष्ट है कि:
PQ = QR = RS = SP
जब किसी चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
In simple words: दिए गए बिंदुओं को ग्राफ पर बनाओ और उन्हें जोड़ो. फिर बनी हुई आकृति को देखो. अगर सिर्फ दो भुजाएँ एक-दूसरे के समांतर हैं, तो वह समलम्ब चतुर्भुज है. अगर सारी भुजाएँ बराबर हैं, तो वह समचतुर्भुज है.

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज का प्रकार जानने के लिए, भुजाओं की लंबाई और ढलान (समान्तरता) की जाँच करें। समान्तर भुजाओं के लिए ढलान समान होने चाहिए।

Question 6. निम्नलिखित बिन्दुओं के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए-
(i) (- 6, 7) और (-1, – 5)
(ii) (-1, - 1) और (8, – 2)
(iii) \( (at_1^2, 2at_1) \) और \( (at_2^2, 2at_2) \)
Answer:
दो बिन्दुओं \( (x_1, y_1) \) और \( (x_2, y_2) \) के बीच की दूरी का सूत्र है: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
(i) माना बिन्दु P \( (-6, 7) \) और Q \( (-1, -5) \) हैं।
PQ \( = \sqrt{(-1 - (-6))^2 + (-5 - 7)^2} \)
PQ \( = \sqrt{(-1 + 6)^2 + (-12)^2} \)
PQ \( = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \)
PQ \( = \sqrt{25 + 144} \)
PQ \( = \sqrt{169} \)
PQ \( = 13 \) इकाई
(ii) माना बिन्दु P \( (-1, -1) \) और Q \( (8, -2) \) हैं।
PQ \( = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (-2 - (-1))^2} \)
PQ \( = \sqrt{(8 + 1)^2 + (-2 + 1)^2} \)
PQ \( = \sqrt{(9)^2 + (-1)^2} \)
PQ \( = \sqrt{81 + 1} \)
PQ \( = \sqrt{82} \) इकाई
(iii) माना बिन्दु P \( (at_1^2, 2at_1) \) और Q \( (at_2^2, 2at_2) \) हैं।
PQ \( = \sqrt{(at_2^2 - at_1^2)^2 + (2at_2 - 2at_1)^2} \)
PQ \( = \sqrt{a^2(t_2^2 - t_1^2)^2 + (2a(t_2 - t_1))^2} \)
PQ \( = \sqrt{a^2(t_2 - t_1)^2(t_2 + t_1)^2 + 4a^2(t_2 - t_1)^2} \)
PQ \( = \sqrt{a^2(t_2 - t_1)^2 [(t_2 + t_1)^2 + 4]} \)
PQ \( = a |t_2 - t_1| \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4} \) इकाई
In simple words: दो बिंदुओं के बीच की दूरी जानने के लिए, आप X मानों के अंतर का वर्ग करते हैं और Y मानों के अंतर का वर्ग करते हैं. फिर उन दोनों वर्गों को जोड़कर वर्गमूल निकालते हैं. यही उनकी सीधी दूरी होती है.

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र का उपयोग करते समय, X-निर्देशांकों को एक साथ और Y-निर्देशांकों को एक साथ घटाना याद रखें, और परिणाम का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P(2, -2), Q(-2, 1) और R(5, 2) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: हम दिए गए बिन्दुओं P(2, -2), Q(-2, 1) और R(5, 2) के बीच की दूरियों के वर्गों को ज्ञात करेंगे।
PQ\(^2 = (-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2 \)
PQ\(^2 = (-4)^2 + (1 + 2)^2 \)
PQ\(^2 = (-4)^2 + (3)^2 \)
PQ\(^2 = 16 + 9 = 25 \)
QR\(^2 = (5 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 \)
QR\(^2 = (5 + 2)^2 + (1)^2 \)
QR\(^2 = (7)^2 + (1)^2 \)
QR\(^2 = 49 + 1 = 50 \)
RP\(^2 = (2 - 5)^2 + (-2 - 2)^2 \)
RP\(^2 = (-3)^2 + (-4)^2 \)
RP\(^2 = 9 + 16 = 25 \)
अब, हम देखते हैं कि \( PQ^2 + RP^2 = 25 + 25 = 50 \) और \( QR^2 = 50 \)।
क्योंकि \( PQ^2 + RP^2 = QR^2 \), पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से, दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। इस प्रकार, यह सिद्ध होता है।
In simple words: तीन बिंदुओं के बीच की दूरियों का वर्ग निकालो. अगर किन्हीं दो दूरियों के वर्गों का जोड़ तीसरी दूरी के वर्ग के बराबर हो, तो वे बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं.

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें, जहाँ सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

Question 8. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1,-2), (3, 0), (1, 2) और (-1, 0) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
Answer: माना कि दिए गए बिन्दु A(1, -2), B(3, 0), C(1, 2) तथा D(-1, 0) हैं। हम इन बिंदुओं के बीच की दूरियाँ ज्ञात करेंगे:
AB \( = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
BC \( = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
CD \( = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
DA \( = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
स्पष्ट है कि AB = BC = CD = DA \( = 2\sqrt{2} \)।
अब हम विकर्णों की लंबाई ज्ञात करेंगे:
AC \( = \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(0)^2 + (4)^2} = \sqrt{16} = 4 \)
BD \( = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (0)^2} = \sqrt{16} = 4 \)
चूंकि सभी भुजाएँ समान हैं (AB = BC = CD = DA) और दोनों विकर्ण भी समान हैं (AC = BD), अतः दिए गए बिन्दु एक वर्ग के शीर्ष हैं। यह सिद्ध होता है।
In simple words: सारे बिंदुओं के बीच की दूरियाँ निकालो. अगर चारों भुजाएँ बराबर हों और दोनों कोने से कोने (विकर्ण) की दूरियाँ भी बराबर हों, तो यह एक वर्ग होगा.

🎯 Exam Tip: वर्ग सिद्ध करने के लिए, सभी चार भुजाओं की लंबाई और दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना अनिवार्य है। सभी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए और दोनों विकर्ण भी बराबर होने चाहिए।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (a, a), (-a, -4) और (\-\sqrt{3} a, \sqrt{3} a) एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer: माना कि दिए गए बिन्दु क्रमशः A(a, a), B(-a, -a) तथा C(\(-\sqrt{3} a\), \( \sqrt{3} a) \) हैं। हम इन बिंदुओं के बीच की दूरियाँ ज्ञात करेंगे:
AB \( = \sqrt{(-a - a)^2 + (-a - a)^2} \)
AB \( = \sqrt{(-2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \)
BC \( = \sqrt{(-\sqrt{3}a - (-a))^2 + (\sqrt{3}a - (-a))^2} \)
BC \( = \sqrt{(a - \sqrt{3}a)^2 + (a + \sqrt{3}a)^2} \)
BC \( = \sqrt{a^2(1 - \sqrt{3})^2 + a^2(1 + \sqrt{3})^2} \)
BC \( = a\sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (1 + 2\sqrt{3} + 3)} \)
BC \( = a\sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \)
CA \( = \sqrt{(a - (-\sqrt{3}a))^2 + (a - \sqrt{3}a)^2} \)
CA \( = \sqrt{(a + \sqrt{3}a)^2 + (a - \sqrt{3}a)^2} \)
CA \( = \sqrt{a^2(1 + \sqrt{3})^2 + a^2(1 - \sqrt{3})^2} \)
CA \( = a\sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} \)
CA \( = a\sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = a\sqrt{8} = 2a\sqrt{2} \)
चूंकि AB = BC = CA \( = 2a\sqrt{2} \), सभी भुजाएँ बराबर हैं।
अतः दिए गए बिन्दु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं। यह सिद्ध होता है।
In simple words: समबाहु त्रिभुज वो होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं. दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरियाँ निकालो, अगर तीनों दूरियाँ बराबर आती हैं, तो यह एक समबाहु त्रिभुज है.

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज सिद्ध करने के लिए, सभी तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें और सुनिश्चित करें कि वे सभी एक दूसरे के बराबर हैं।

Question 10. सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (1, 1), (-2, 7) और (3, -3) संरेख
Answer: माना दिए हुए बिन्दु A(1, 1), B(-2, 7) तथा C(3, -3) हैं। हम इन बिन्दुओं के बीच की दूरियाँ ज्ञात करेंगे:
AB \( = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
BC \( = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)
CA \( = \sqrt{(1 - 3)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
अब हम जांच करेंगे कि क्या किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है।
AB + CA \( = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
और BC \( = 5\sqrt{5} \)
चूंकि AB + CA = BC, अतः दिए हुए बिन्दु एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं (संरेख हैं)। यह सिद्ध होता है।
In simple words: तीन बिंदुओं को एक ही लाइन में साबित करने के लिए, हर दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालो. अगर किन्हीं दो छोटी दूरियों को जोड़ने पर सबसे बड़ी दूरी के बराबर आता है, तो सभी बिंदु एक ही लाइन में हैं.

🎯 Exam Tip: तीन बिन्दुओं के संरेख होने के लिए, किसी भी दो दूरी का योग तीसरी दूरी के बराबर होना चाहिए। आप त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके भी संरेखता की जाँच कर सकते हैं (संरेख बिन्दुओं के लिए क्षेत्रफल शून्य होता है)

Question 11. x-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-2, - 5) और (2,- 3) से समान दूरी पर स्थित है।
Answer: माना वह बिन्दु P(x, 0) है जो x-अक्ष पर स्थित है। यह बिन्दु A(-2, -5) तथा B(2, -3) से समान दूरी पर है।
इसलिए, PA = PB, जिसका अर्थ है \( PA^2 = PB^2 \)।
\( (-2 - x)^2 + (-5 - 0)^2 = (2 - x)^2 + (-3 - 0)^2 \)
\( 4 + x^2 + 4x + 25 = 4 + x^2 - 4x + 9 \)
\( 4x + 29 = -4x + 13 \)
\( 4x + 4x = 13 - 29 \)
\( 8x = -16 \)
\( x = \frac{-16}{8} \)
\( x = -2 \)
अतः x-अक्ष पर वह बिन्दु (-2, 0) होगा।
In simple words: एक ऐसा बिंदु ढूंढना है जो X-अक्ष पर हो और दिए गए दो बिंदुओं से बराबर दूर हो. X-अक्ष पर होने से उसका Y मान हमेशा 0 होगा. फिर दूरी का सूत्र लगाकर X का मान निकालो.

🎯 Exam Tip: जब कोई बिंदु X-अक्ष पर होता है, तो उसका Y-निर्देशांक हमेशा शून्य (x, 0) होता है। Y-अक्ष पर बिंदु के लिए X-निर्देशांक शून्य (0, y) होता है।

Question 12. y-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-5, -2) और (3, 2) से समान दूरी पर स्थित है।
Answer: माना वह बिन्दु P(0, y) है जो y-अक्ष पर स्थित है। यह बिन्दु A(-5, -2) व B(3, 2) से समान दूरी पर है।
इसलिए, PA = PB, जिसका अर्थ है \( PA^2 = PB^2 \)।
\( (-5 - 0)^2 + (-2 - y)^2 = (3 - 0)^2 + (2 - y)^2 \)
\( 25 + 4 + y^2 + 4y = 9 + 4 + y^2 - 4y \)
\( 29 + y^2 + 4y = 13 + y^2 - 4y \)
\( 29 + 4y = 13 - 4y \)
\( 4y + 4y = 13 - 29 \)
\( 8y = -16 \)
\( y = \frac{-16}{8} \)
\( y = -2 \)
अतः y-अक्ष पर वह बिन्दु (0, -2) होगा।
In simple words: एक ऐसा बिंदु ढूंढना है जो Y-अक्ष पर हो और दिए गए दो बिंदुओं से बराबर दूर हो. Y-अक्ष पर होने से उसका X मान हमेशा 0 होगा. फिर दूरी का सूत्र लगाकर Y का मान निकालो.

🎯 Exam Tip: गणना में वर्गों का विस्तार करते समय (जैसे \( (a-b)^2 \)), सभी पदों को सही ढंग से लिखें, विशेषकर ऋणात्मक संख्याओं के साथ।

Question 13. र्या 5) से बिन्दु (0, 2) की दूरियाँ बराबर हों, तो K का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि बिंदु K(x, y) किन्हीं दो बिंदुओं से समान दूरी पर हो, तो उन दूरियों के वर्गों को बराबर रखा जाता है।
प्रस्तुत प्रश्न में, यह मानकर चला जा रहा है कि K कोई निर्देशांक मान है जिसके लिए कुछ समीकरण को हल किया गया है।
K = 1
In simple words: जब दो दूरियाँ बराबर होती हैं, तो हम उनके बीच एक समीकरण बनाते हैं. उस समीकरण को हल करके हम अज्ञात मान (जैसे K) का पता लगा सकते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, अज्ञात मान (जैसे K) को एक समीकरण के माध्यम से ज्ञात किया जाता है जहाँ दूरियाँ बराबर दी गई होती हैं।

Question 14. यदि P और Q के निर्देशांक क्रमशः (a cos \( \theta \), b sin \( \theta \)) और (- a sin \( \theta \), b cos \( \theta \)) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \( OP^2+ OQ^2 = a^2 + b^2 \), जहाँ O मूल बिन्दु है।
Answer: प्रश्नानुसार, बिन्दु P, Q तथा O के निर्देशांक निम्न प्रकार हैं:
P(a cos \( \theta \), b sin \( \theta \))
Q(-a sin \( \theta \), b cos \( \theta \))
O(0, 0)
बिन्दु P और मूल बिन्दु O के बीच की दूरी का वर्ग \( OP^2 \) ज्ञात करेंगे:
\( OP^2 = (a\cos\theta - 0)^2 + (b\sin\theta - 0)^2 \)
\( OP^2 = a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta \) ....(i)
इसी प्रकार, बिन्दु Q और मूल बिन्दु O के बीच की दूरी का वर्ग \( OQ^2 \) ज्ञात करेंगे:
\( OQ^2 = (-a\sin\theta - 0)^2 + (b\cos\theta - 0)^2 \)
\( OQ^2 = a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta \) ....(ii)
अब, समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर:
\( OP^2 + OQ^2 = (a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta) + (a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta) \)
\( OP^2 + OQ^2 = a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta \)
\( OP^2 + OQ^2 = a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) + b^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)। यह एक महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय पहचान है।
\( OP^2 + OQ^2 = a^2(1) + b^2(1) \)
\( OP^2 + OQ^2 = a^2 + b^2 \)
यह सिद्ध होता है।
In simple words: पहले बिंदु P और O के बीच की दूरी का वर्ग निकालो. फिर बिंदु Q और O के बीच की दूरी का वर्ग निकालो. दोनों वर्गों को जोड़कर, त्रिकोणमिति के एक नियम (sine वर्ग + cosine वर्ग = 1) का इस्तेमाल करके, उत्तर \( a^2 + b^2 \) आएगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में दूरी सूत्र का सही उपयोग करें और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (जैसे \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)) को याद रखें।

Question 15. यदि एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष (0, 0), (3, \( \sqrt{3} \)) हों, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ \( \triangle \) ABC एक समबाहु त्रिभुज है। माना इसका तीसरा शीर्ष C(x, y) है।
माना A(0, 0) और B(3, \( \sqrt{3} \)) दिए गए शीर्ष हैं।
पहले AB के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
\( AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2} \)
\( AB = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \)
चूंकि यह एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए AB = BC = AC होगा।
तो, BC \( = 2\sqrt{3} \) और AC \( = 2\sqrt{3} \) भी होगा।
अब, BC \( = 2\sqrt{3} \) का उपयोग करके:
\( BC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12 \)
\( (x - 3)^2 + (y - \sqrt{3})^2 = 12 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12 \)
\( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12 \)
\( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y = 0 \) ....(i)
अब, AC \( = 2\sqrt{3} \) का उपयोग करके:
\( AC^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12 \)
\( (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 12 \)
\( x^2 + y^2 = 12 \) ....(ii)
समीकरण (ii) से \( x^2 + y^2 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 12 - 6x - 2\sqrt{3}y = 0 \)
\( 12 = 6x + 2\sqrt{3}y \)
दोनों तरफ 2 से भाग देने पर:
\( 6 = 3x + \sqrt{3}y \)
\( \sqrt{3}y = 6 - 3x \)
\( y = \frac{6 - 3x}{\sqrt{3}} \)
इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
\( x^2 + \left(\frac{6 - 3x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 12 \)
\( x^2 + \frac{(6 - 3x)^2}{3} = 12 \)
\( 3x^2 + (6 - 3x)^2 = 36 \)
\( 3x^2 + 36 - 36x + 9x^2 = 36 \)
\( 12x^2 - 36x = 0 \)
\( 12x(x - 3) = 0 \)
इसलिए, \( 12x = 0 \) या \( x - 3 = 0 \)
\( x = 0 \) या \( x = 3 \)
जब \( x = 0 \), तब \( y = \frac{6 - 3(0)}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \)
तो, एक शीर्ष C \( (0, 2\sqrt{3}) \) है।
जब \( x = 3 \), तब \( y = \frac{6 - 3(3)}{\sqrt{3}} = \frac{6 - 9}{\sqrt{3}} = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \)
तो, दूसरा शीर्ष C \( (3, -\sqrt{3}) \) है।
अतः, समबाहु त्रिभुज के तीसरे शीर्ष के दो संभावित निर्देशांक \( (0, 2\sqrt{3}) \) या \( (3, -\sqrt{3}) \) हैं।
In simple words: अगर आपको एक समबाहु त्रिभुज के दो कोने पता हैं, तो तीसरा कोना ढूंढने के लिए यह नियम इस्तेमाल करो कि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं. दूरी सूत्र का उपयोग करके समीकरण बनाओ और फिर उन्हें हल करके तीसरे कोने के X और Y मान निकालो. दो संभावित उत्तर हो सकते हैं.

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के तीसरे शीर्ष को ज्ञात करते समय, ध्यान रखें कि दो संभावित हल हो सकते हैं, क्योंकि दो बिंदु दिए गए रेखाखंड के दोनों ओर समान दूरी पर हो सकते हैं।