RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 9 निर्देशांक ज्यामिति More Ques

विविध प्रश्नमाला 9

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (1 से 10 तक)

Question 1. बिन्दु (3, 4) की y-अक्ष से दूरी होगी
(क) 1
(ख) 4
(ग) 2
(घ) 3
Answer: (घ) 3
In simple words: किसी भी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का x-निर्देशांक होता है। यहाँ बिन्दु (3, 4) का x-निर्देशांक 3 है, इसलिए y-अक्ष से उसकी दूरी 3 होगी। यह हमें बताता है कि बिन्दु y-अक्ष से कितनी दूर है।

🎯 Exam Tip: याद रखें, y-अक्ष से दूरी का मतलब x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है, और x-अक्ष से दूरी का मतलब y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है।

Question 2. बिन्दु (5, – 2) की x-अक्ष से दूरी होगी।
(क) 5
(ख) 2
(ग) 3
(घ) 4
Answer: (ख) 2
In simple words: किसी भी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है। यहाँ बिन्दु (5, -2) का y-निर्देशांक -2 है, जिसका निरपेक्ष मान 2 होता है। यह दूरी हमेशा धनात्मक होती है।

🎯 Exam Tip: दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए यदि निर्देशांक ऋणात्मक भी हो, तो भी दूरी लिखते समय उसे धनात्मक ही लिखें।

Question 3. बिन्दु (0, 3) और (-2, 0) के बीच की दूरी होगी-
(क) \( \sqrt{14} \)
(ख) \( \sqrt{15} \)
(ग) \( \sqrt{13} \)
(घ) \( \sqrt{5} \)
Answer: (ग) \( \sqrt{13} \)
In simple words: दो बिन्दुओं के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। यह सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) होता है। इस सूत्र से, बिन्दु (0,3) और (-2,0) के बीच की दूरी \( \sqrt{13} \) आती है।

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र का सही ढंग से प्रयोग करें और गणना करते समय चिह्नों का ध्यान रखें ताकि उत्तर सही आए।

Question 5. बिन्दुओं (- 1, 1), (0, – 3), (5, 2) और (4, 6) से निर्मित चतुर्भुज होगा
(क) वर्ग
(ख) आयत
(ग) सम चतुर्भुज
(घ) समान्तर चतुर्भुज
Answer: (घ) समान्तर चतुर्भुज
In simple words: दिए गए चार बिन्दुओं से बनने वाला चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज होगा। आप दूरियों और विकर्णों की लम्बाइयों की जाँच करके इसकी पुष्टि कर सकते हैं। समान्तर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ बराबर और समान्तर होती हैं।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के प्रकार की पहचान करने के लिए उसकी भुजाओं और विकर्णों की लम्बाइयों की गणना करना सबसे अच्छा तरीका है।

Question 6. बिन्दुओं (0, 0), (2, 0) और (0, 2) से समान दूरी वाला बिन्दु है
(क) (1, 2)
(ख) (2, 1)
(ग) (2, 2)
(घ) (1, 1)
Answer: (घ) (1, 1)
In simple words: बिन्दु (1,1) तीनों बिन्दुओं (0,0), (2,0) और (0,2) से बराबर दूरी पर स्थित है। इसे आप दूरी सूत्र का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं। यह बिन्दु त्रिभुज के परिकेन्द्र के समान होता है।

🎯 Exam Tip: परिकेन्द्र एक ऐसा बिन्दु होता है जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।

Question 7. बिन्दु (5, 0) और (0, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु P 2:3 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है। P के निर्देशांक हैं-
(क) \( (3, \frac{8}{5}) \)
(ख) \( (1, \frac{13}{5}) \)
(ग) \( (\frac{5}{2}, \frac{3}{4}) \)
(घ) \( (2, \frac{13}{4}) \)
Answer: (क) \( (3, \frac{8}{5}) \)
In simple words: किसी रेखाखण्ड को m:n के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक विभाजन सूत्र का उपयोग करके निकाले जाते हैं। इस सूत्र को लागू करने पर, बिन्दु (5,0) और (0,4) के लिए 2:3 के अनुपात में विभाजन बिन्दु \( (3, \frac{8}{5}) \) होगा।

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र \( (\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n}) \) को सही ढंग से याद करें और उपयोग करें।

Question 8. यदि बिन्दु (1, 2), (- 1, x) और (2, 3) संरेख हों, तो x का मान होगा
(क) 2
(ख) 0
(ग) - 1
(घ) 1
Answer: (ख) 0
In simple words: यदि तीन बिन्दु संरेख होते हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है। इस नियम का उपयोग करके x का मान निकाला जा सकता है। x का मान 0 होने पर बिन्दु एक ही रेखा पर होंगे।

🎯 Exam Tip: संरेखता सिद्ध करने के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र या ढाल की समानता का उपयोग किया जा सकता है।

Question 9. बिन्दुओं (3, a) और (4, 1) की बीच की दूरी \( \sqrt{10} \) हो तो a का मान होगा-
Answer: दिए गए बिन्दुओं \((3, a)\) और \((4, 1)\) के बीच की दूरी \( \sqrt{10} \) है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \text{दूरी} \)
\( \sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - a)^2} = \sqrt{10} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (1)^2 + (1 - a)^2 = 10 \)
\( 1 + (1 - a)^2 = 10 \)
\( (1 - a)^2 = 10 - 1 \)
\( (1 - a)^2 = 9 \)
वर्गमूल लेने पर:
\( 1 - a = \pm 3 \)
दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति 1: \( 1 - a = 3 \implies a = 1 - 3 \implies a = -2 \)
स्थिति 2: \( 1 - a = -3 \implies a = 1 + 3 \implies a = 4 \)
अतः \( a \) का मान \( -2 \) या \( 4 \) होगा। `उत्तर-तालिका` में `9.(ग) -1` दिया है जो इन मानों से भिन्न है, अतः दिए गए विकल्पों में से कोई भी सीधा उत्तर नहीं बनता। यदि प्रश्न में \(a\) के एक मान का पूछा गया हो, तो \(a = -2\) या \(a = 4\) सही होंगे।
In simple words: हमने दो बिन्दुओं के बीच की दूरी का सूत्र लगाया। इस सूत्र में दी गई दूरी का मान और बिन्दुओं के निर्देशांक रखने पर हमें \(a\) का मान \( -2 \) या \( 4 \) मिलता है। दूरी के प्रश्न में वर्ग करने पर दो उत्तर मिल सकते हैं।

🎯 Exam Tip: जब आप वर्ग करके \(a\) या \(x\) का मान निकालते हैं, तो हमेशा \( \pm \) चिह्न का ध्यान रखें, क्योंकि वर्गमूल के दो मान होते हैं, जिससे दो संभावित उत्तर मिल सकते हैं।

Question 11. यदि एक चतुर्भुज के शीर्ष (1, 4), (-5, 4), (-5, – 3) और (1,- 3) हों, तो चतुर्भुज का प्रकार बताइए।
Answer: मान लीजिए चतुर्भुज के शीर्ष \( A(1, 4) \), \( B(-5, 4) \), \( C(-5, -3) \) और \( D(1, -3) \) हैं।
हमें भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात करनी होंगी:
\( AB = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (4 - 4)^2} \)
\( AB = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} \)
\( AB = \sqrt{36} = 6 \)

\( BC = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (-3 - 4)^2} \)
\( BC = \sqrt{0^2 + (-7)^2} \)
\( BC = \sqrt{49} = 7 \)

\( CD = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (-3 - (-3))^2} \)
\( CD = \sqrt{(1 + 5)^2 + (-3 + 3)^2} \)
\( CD = \sqrt{6^2 + 0^2} \)
\( CD = \sqrt{36} = 6 \)

\( AD = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-3 - 4)^2} \)
\( AD = \sqrt{0^2 + (-7)^2} \)
\( AD = \sqrt{49} = 7 \)
यहाँ, \( AB = CD = 6 \) और \( BC = AD = 7 \)। सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अब विकर्णों की लम्बाइयाँ ज्ञात करें:
\( AC = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (-3 - 4)^2} \)
\( AC = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2} \)
\( AC = \sqrt{36 + 49} \)
\( AC = \sqrt{85} \)

\( BD = \sqrt{(1 - (-5))^2 + (-3 - 4)^2} \)
\( BD = \sqrt{(1 + 5)^2 + (-3 - 4)^2} \)
\( BD = \sqrt{6^2 + (-7)^2} \)
\( BD = \sqrt{36 + 49} \)
\( BD = \sqrt{85} \)
यहाँ, विकर्ण \( AC = BD = \sqrt{85} \)। विकर्ण भी बराबर हैं।
चूँकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, अतः यह एक आयत है। एक आयत में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और विकर्णों की लंबाई भी समान होती है।
In simple words: हमने चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई निकाली, जो \(AB=6\), \(BC=7\), \(CD=6\), \(AD=7\) निकलीं। इसका मतलब है कि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं। फिर हमने दोनों विकर्णों की लंबाई निकाली, जो \( \sqrt{85} \) निकलीं। क्योंकि आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं और विकर्ण भी बराबर हैं, यह एक आयत है।

🎯 Exam Tip: किसी चतुर्भुज के प्रकार को जानने के लिए हमेशा सभी चारों भुजाओं और दोनों विकर्णों की लम्बाइयों की गणना करें। इससे वर्ग, आयत, समचतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज की पहचान आसानी से की जा सकती है।

Question 13. बिन्दु (1, 2) और (6, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (3, 4) किस अनुपात में विभाजित करता है?
Answer: माना कि बिन्दु \( (3, 4) \), बिन्दु \( A(1, 2) \) और \( B(6, 7) \) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को \( m_1 : m_2 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार, x-निर्देशांक के लिए:
\( x = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2} \)
\( 3 = \frac{m_1 (6) + m_2 (1)}{m_1 + m_2} \)
\( 3(m_1 + m_2) = 6m_1 + m_2 \)
\( 3m_1 + 3m_2 = 6m_1 + m_2 \)
\( 3m_2 - m_2 = 6m_1 - 3m_1 \)
\( 2m_2 = 3m_1 \)
\( \implies \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3} \)
अतः, अनुपात \( m_1 : m_2 = 2:3 \) है। यह बिन्दु रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
In simple words: हमने मान लिया कि बिन्दु (3, 4) रेखाखण्ड को \( m_1 : m_2 \) के अनुपात में बाँट रहा है। फिर हमने विभाजन सूत्र का उपयोग किया, जिससे \( \frac{m_1}{m_2} \) का मान \( \frac{2}{3} \) मिला। इसका मतलब है कि बिन्दु रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

🎯 Exam Tip: अनुपात ज्ञात करते समय, x-निर्देशांक या y-निर्देशांक किसी एक का उपयोग करें। दोनों से समान परिणाम आएगा, लेकिन किसी एक की गणना पर्याप्त है।

Question 14. किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष (5, -4) और (-3, 2) हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
Answer: वर्ग के सम्मुख शीर्ष \( A(5, -4) \) और \( C(-3, 2) \) दिए गए हैं।
वर्ग का विकर्ण, इन सम्मुख शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखण्ड होता है।
विकर्ण \( AC \) की लम्बाई ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( AC = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (2 - (-4))^2} \)
\( AC = \sqrt{(-8)^2 + (2 + 4)^2} \)
\( AC = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} \)
\( AC = \sqrt{64 + 36} \)
\( AC = \sqrt{100} \)
\( AC = 10 \)
अतः वर्ग के विकर्ण की लम्बाई 10 इकाई है। वर्ग के दोनों विकर्णों की लंबाई हमेशा समान होती है।
In simple words: वर्ग के आमने-सामने के बिन्दुओं को जोड़कर विकर्ण बनता है। हमने उन दो बिन्दुओं (5, -4) और (-3, 2) के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र का इस्तेमाल किया। गणना करने पर विकर्ण की लम्बाई 10 इकाई मिली।

🎯 Exam Tip: वर्ग में दोनों विकर्णों की लम्बाइयाँ समान होती हैं, और वे एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

Question 16. बिन्दुओं (6, 8) और (2, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु से बिन्दु (1, 2) की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए बिन्दु \( (6, 8) \) और \( (2, 4) \) हैं।
सबसे पहले इन बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करें:
मध्य बिन्दु के निर्देशांक \( = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)
\( = (\frac{6 + 2}{2}, \frac{8 + 4}{2}) \)
\( = (\frac{8}{2}, \frac{12}{2}) \)
\( = (4, 6) \)
अब हमें इस मध्य बिन्दु \( (4, 6) \) से बिन्दु \( (1, 2) \) के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं:
दूरी \( = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
\( = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 6)^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \)
अतः अभीष्ट दूरी 5 इकाई होगी। मध्य बिन्दु की अवधारणा ज्यामिति में कई समस्याओं को हल करने में सहायक है।
In simple words: पहले हमने बिन्दुओं (6, 8) और (2, 4) के ठीक बीच का बिन्दु निकाला, जो (4, 6) आया। फिर हमने इस बीच वाले बिन्दु (4, 6) और दूसरे बिन्दु (1, 2) के बीच की दूरी निकाली। यह दूरी 5 इकाई निकली।

🎯 Exam Tip: दो चरणों में सवालों को हल करें: पहले मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करें, फिर उस बिन्दु और दिए गए तीसरे बिन्दु के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें।

Question 17. किसी समतल में चार बिन्दु P(2,-1), Q(3, 4), R(-2, 3) और S(-3, - 2) हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQRS वर्ग नहीं एक समचतुर्भुज है।
Answer: दिए गए बिन्दु \( P(2, -1) \), \( Q(3, 4) \), \( R(-2, 3) \) और \( S(-3, -2) \) हैं।
पहले सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात करें:
\( PQ = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - (-1))^2} \)
\( PQ = \sqrt{1^2 + 5^2} \)
\( PQ = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)

\( QR = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (3 - 4)^2} \)
\( QR = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} \)
\( QR = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \)

\( RS = \sqrt{(-3 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2} \)
\( RS = \sqrt{(-3 + 2)^2 + (-5)^2} \)
\( RS = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} \)
\( RS = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)

\( SP = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-1 - (-2))^2} \)
\( SP = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-1 + 2)^2} \)
\( SP = \sqrt{5^2 + 1^2} \)
\( SP = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \)
सभी भुजाएँ बराबर हैं: \( PQ = QR = RS = SP = \sqrt{26} \)। यह एक समचतुर्भुज की विशेषता है।
अब विकर्णों की लम्बाइयाँ ज्ञात करें:
विकर्ण \( PR \):
\( PR = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} \)
\( PR = \sqrt{(-4)^2 + (3 + 1)^2} \)
\( PR = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} \)
\( PR = \sqrt{16 + 16} \)
\( PR = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

विकर्ण \( QS \):
\( QS = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-2 - 4)^2} \)
\( QS = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} \)
\( QS = \sqrt{36 + 36} \)
\( QS = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
चूँकि विकर्णों की लम्बाइयाँ \( PR \neq QS \) हैं (\( 4\sqrt{2} \neq 6\sqrt{2} \)), अतः यह वर्ग नहीं है।
एक समचतुर्भुज में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, लेकिन विकर्ण असमान होते हैं। वर्ग में भुजाएँ बराबर होती हैं और विकर्ण भी बराबर होते हैं। यह दिखाता है कि PQRS एक समचतुर्भुज है, वर्ग नहीं।
In simple words: हमने PQRS चतुर्भुज की चारों भुजाओं की लम्बाई निकाली, जो सभी \( \sqrt{26} \) मिलीं। इसका मतलब है कि यह एक समचतुर्भुज है। फिर हमने विकर्णों \(PR\) और \(QS\) की लम्बाई निकाली, जो \( 4\sqrt{2} \) और \( 6\sqrt{2} \) मिलीं। क्योंकि विकर्ण बराबर नहीं हैं, यह एक वर्ग नहीं है।

🎯 Exam Tip: वर्ग और समचतुर्भुज के बीच का अंतर उनके विकर्णों की लम्बाइयों से पता चलता है। यदि सभी भुजाएँ बराबर हों और विकर्ण भी बराबर हों, तो वह वर्ग होता है; यदि भुजाएँ बराबर हों पर विकर्ण असमान हों, तो वह समचतुर्भुज होता है।

Question 19. उस त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (1,-1), (0, 4) तथा (-5, 3) हैं।
Answer: माना त्रिभुज के शीर्ष \( A(1, -1) \), \( B(0, 4) \) और \( C(-5, 3) \) हैं।
हमें माध्यिकाओं AD, BE और CF की लम्बाइयाँ ज्ञात करनी हैं, जहाँ D, E, F क्रमशः BC, AC और AB के मध्य बिन्दु हैं।

1. माध्यिका AD की लम्बाई:
D, BC का मध्य बिन्दु है। \( D = (\frac{0 + (-5)}{2}, \frac{4 + 3}{2}) = (\frac{-5}{2}, \frac{7}{2}) \)
AD की लम्बाई \( = \sqrt{(\frac{-5}{2} - 1)^2 + (\frac{7}{2} - (-1))^2} \)
\( = \sqrt{(\frac{-5 - 2}{2})^2 + (\frac{7 + 2}{2})^2} \)
\( = \sqrt{(\frac{-7}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2} \)
\( = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{81}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2} \)

2. माध्यिका BE की लम्बाई:
E, AC का मध्य बिन्दु है। \( E = (\frac{1 + (-5)}{2}, \frac{-1 + 3}{2}) = (\frac{-4}{2}, \frac{2}{2}) = (-2, 1) \)
BE की लम्बाई \( = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - 4)^2} \)
\( = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 9} \)
\( = \sqrt{13} \)

3. माध्यिका CF की लम्बाई:
F, AB का मध्य बिन्दु है। \( F = (\frac{1 + 0}{2}, \frac{-1 + 4}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \)
CF की लम्बाई \( = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-5))^2 + (\frac{3}{2} - 3)^2} \)
\( = \sqrt{(\frac{1 + 10}{2})^2 + (\frac{3 - 6}{2})^2} \)
\( = \sqrt{(\frac{11}{2})^2 + (\frac{-3}{2})^2} \)
\( = \sqrt{\frac{121}{4} + \frac{9}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{130}{4}} = \frac{\sqrt{130}}{2} \)
अतः त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ \( \frac{\sqrt{130}}{2} \), \( \sqrt{13} \) और \( \frac{\sqrt{130}}{2} \) हैं। माध्यिकाएँ त्रिभुज के शीर्ष को सामने वाली भुजा के मध्य बिन्दु से जोड़ती हैं।
In simple words: हमने पहले हर भुजा का मध्य बिन्दु (बीच का बिन्दु) निकाला। फिर, हर शीर्ष से उसके सामने वाली भुजा के मध्य बिन्दु तक की दूरी निकाली। यही माध्यिकाओं की लम्बाई है। माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ \( \frac{\sqrt{130}}{2} \), \( \sqrt{13} \) और \( \frac{\sqrt{130}}{2} \) मिलीं।

🎯 Exam Tip: माध्यिका की लम्बाई ज्ञात करने के लिए पहले उस भुजा का मध्य बिन्दु ज्ञात करें जिस पर माध्यिका गिरती है, फिर शीर्ष और मध्य बिन्दु के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करें।

Question 20. सिद्ध कीजिए कि बिन्दुओं (5, 7) और (3, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को मध्य बिन्दु वही है जो बिन्दुओं (8, 6) तथा (0, 10) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।
Answer: हमें यह सिद्ध करना है कि दो अलग-अलग रेखाखण्डों के मध्य बिन्दु समान हैं।

1. बिन्दुओं \( (5, 7) \) और \( (3, 9) \) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु:
मध्य बिन्दु \( M_1 = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)
\( M_1 = (\frac{5 + 3}{2}, \frac{7 + 9}{2}) \)
\( M_1 = (\frac{8}{2}, \frac{16}{2}) \)
\( M_1 = (4, 8) \)

2. बिन्दुओं \( (8, 6) \) और \( (0, 10) \) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु:
मध्य बिन्दु \( M_2 = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \)
\( M_2 = (\frac{8 + 0}{2}, \frac{6 + 10}{2}) \)
\( M_2 = (\frac{8}{2}, \frac{16}{2}) \)
\( M_2 = (4, 8) \)
चूंकि \( M_1 = (4, 8) \) और \( M_2 = (4, 8) \), दोनों रेखाखण्डों के मध्य बिन्दु समान हैं। अतः यह सिद्ध होता है। मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करके हम आसानी से दो बिन्दुओं के बीच के केंद्र को ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: हमने पहले बिन्दुओं (5, 7) और (3, 9) के बीच का मध्य बिन्दु निकाला, जो (4, 8) आया। फिर हमने दूसरे बिन्दुओं (8, 6) और (0, 10) के बीच का मध्य बिन्दु निकाला, वह भी (4, 8) आया। क्योंकि दोनों मध्य बिन्दु एक जैसे हैं, तो यह सिद्ध हो गया।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, प्रत्येक रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक अलग-अलग ज्ञात करें और फिर उनकी तुलना करके समानता स्थापित करें।

Question 21. यदि त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु (1, 2), (0, -1) तथा (2,-1) हैं, तो त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: माना त्रिभुज के शीर्ष \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) और \( C(x_3, y_3) \) हैं।
माना भुजाओं के मध्य बिन्दु \( D(1, 2) \), \( E(0, -1) \) और \( F(2, -1) \) हैं।
मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करते हुए:
1. AB का मध्य बिन्दु \( F(2, -1) \):
\( \frac{x_1 + x_2}{2} = 2 \implies x_1 + x_2 = 4 \) .....(1)
\( \frac{y_1 + y_2}{2} = -1 \implies y_1 + y_2 = -2 \) .....(2)

2. BC का मध्य बिन्दु \( D(1, 2) \):
\( \frac{x_2 + x_3}{2} = 1 \implies x_2 + x_3 = 2 \) .....(3)
\( \frac{y_2 + y_3}{2} = 2 \implies y_2 + y_3 = 4 \) .....(4)

3. AC का मध्य बिन्दु \( E(0, -1) \):
\( \frac{x_1 + x_3}{2} = 0 \implies x_1 + x_3 = 0 \) .....(5)
\( \frac{y_1 + y_3}{2} = -1 \implies y_1 + y_3 = -2 \) .....(6)

अब \( x \)-निर्देशांकों के लिए समीकरणों को जोड़ें:
\( (x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 4 + 2 + 0 \)
\( 2(x_1 + x_2 + x_3) = 6 \)
\( x_1 + x_2 + x_3 = 3 \) .....(7)

समीकरण (7) से (1), (3) और (5) को घटाने पर:
\( x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 3 - 4 = -1 \)
\( x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 3 - 2 = 1 \)
\( x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 3 - 0 = 3 \)

अब \( y \)-निर्देशांकों के लिए समीकरणों को जोड़ें:
\( (y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = -2 + 4 + (-2) \)
\( 2(y_1 + y_2 + y_3) = 0 \)
\( y_1 + y_2 + y_3 = 0 \) .....(8)

समीकरण (8) से (2), (4) और (6) को घटाने पर:
\( y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 0 - (-2) = 2 \)
\( y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 0 - 4 = -4 \)
\( y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 0 - (-2) = 2 \)
अतः त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक \( A(1, -4) \), \( B(3, 2) \) और \( C(-1, 2) \) हैं। यह विधि त्रिभुज के केंद्रक के गुणों पर आधारित है।
In simple words: हमने त्रिभुज के शीर्षों को \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) माना और मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करके कई समीकरण बनाए। फिर इन समीकरणों को हल करके \(x\) और \(y\) के मान निकाले। हमें शीर्ष \( A(1, -4) \), \( B(3, 2) \) और \( C(-1, 2) \) मिले।

🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों को हल करने के लिए मध्य बिन्दु सूत्र का उपयोग करके समीकरणों का एक सेट बनाएं और फिर उन्हें हल करें। यह एक व्यवस्थित तरीका है।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Question 2. किसी बिन्दु से y-अक्ष से दूरी होती है
(क) बिन्दु की कोटि
(ख) बिन्दु का भुज
(ग) एक स्थिरांक
(घ) इनमें से कोई नहीं
Answer: (ख) बिन्दु का भुज
In simple words: y-अक्ष से किसी भी बिन्दु की दूरी उसका x-निर्देशांक होता है, जिसे भुज भी कहते हैं। यह दूरी हमें बताता है कि बिन्दु y-अक्ष से कितनी दूर है।

🎯 Exam Tip: याद रखें, भुज का अर्थ x-निर्देशांक होता है, और कोटि का अर्थ y-निर्देशांक होता है।

Question 3. x-अक्ष पर स्थित किसी बिन्दु की कोटि होती है
(क) 1
(ख) 0
(ग) - 1
(घ) + 1
Answer: (ख) 0
In simple words: जब कोई बिन्दु x-अक्ष पर होता है, तो वह न तो ऊपर जाता है और न ही नीचे, इसलिए उसका y-निर्देशांक (कोटि) हमेशा 0 होता है। यह एक मूल ज्यामितीय अवधारणा है।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर बिन्दु का y-निर्देशांक (कोटि) शून्य होता है, और y-अक्ष पर बिन्दु का x-निर्देशांक (भुज) शून्य होता है।

Question 4. बिन्दु (1, 2) की x-अक्ष से दूरी होगी
(क) 1
(ख) 3
(ग) 2
(घ) 4
Answer: (ग) 2
In simple words: किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी उसका y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है। बिन्दु (1, 2) में y-निर्देशांक 2 है, इसलिए x-अक्ष से उसकी दूरी 2 होगी। यह दूरी हमेशा धनात्मक होती है।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष से दूरी के लिए हमेशा y-निर्देशांक का मान देखें, और y-अक्ष से दूरी के लिए x-निर्देशांक का मान देखें।

Question 5. बिन्दु (x, y) की मूल बिन्दु से दूरी है।
(क) x
(ख) y
(ग) \( x^2 + y^2 \)
(घ) \( \sqrt{x^2+y^2} \)
Answer: (घ) \( \sqrt{x^2+y^2} \)
In simple words: किसी बिन्दु (x, y) से मूल बिन्दु (0, 0) तक की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। यह दूरी हमेशा \( \sqrt{x^2+y^2} \) होती है, जो पाइथागोरस प्रमेय का एक रूप है।

🎯 Exam Tip: मूल बिन्दु से दूरी का सूत्र \( \sqrt{x^2+y^2} \) सीधे याद रखें, क्योंकि यह अक्सर उपयोग होता है।

Question 7. यदि A(4,- 3), B(3, – 2) तथा C(2, 8) किसी त्रिभुज के शीर्ष हों, तो y-अक्ष से इसके केन्द्रक की दूरी होगी-
(क) 1
(ख) 4
(ग) 3
(घ) 2
Answer: (ग) 3
In simple words: पहले तीनों शीर्षों का उपयोग करके त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात करें। केन्द्रक के निर्देशांक \( (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}) \) होते हैं। फिर केन्द्रक के x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान ही y-अक्ष से उसकी दूरी होती है। इस गणना से, y-अक्ष से दूरी 3 होगी।

🎯 Exam Tip: केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र याद रखें। किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी हमेशा उसके x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होती है।

Question 8. बिन्दु (0, 0), (4, 0) एवं (0, 3) वाले त्रिभुज की परिमिति है
(क) 6
(ख) 12
(ग) 10
(घ) 1
Answer: (ख) 12
In simple words: पहले तीनों बिन्दुओं के बीच की दूरी निकालकर त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई ज्ञात करें। बिन्दुओं (0,0), (4,0) और (0,3) से भुजाओं की लम्बाई 4, 3 और 5 आती है। फिर इन तीनों लम्बाइयों को जोड़ने पर त्रिभुज की परिमिति 12 मिलेगी।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज की परिमिति उसकी तीनों भुजाओं की लम्बाइयों का योग होती है। दूरियां निकालने के लिए दूरी सूत्र का सही प्रयोग करें।

Question 9. बिन्दुओं (3, 4) एवं (5, 6) को मिलाने वाली रेखा को x-अक्ष 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है: तो 2 का मान है।
(क) \( \frac{3}{2} \)
(ख) \( \frac{1}{3} \)
(ग) \( -\frac{2}{3} \)
(घ) \( \frac{3}{4} \)
Answer: (ग) \( -\frac{2}{3} \)
In simple words: यदि रेखाखण्ड को x-अक्ष विभाजित करता है, तो विभाजन बिन्दु का y-निर्देशांक शून्य होता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके \( y=0 \) रखने पर हम विभाजन अनुपात प्राप्त कर सकते हैं, जिससे दिए गए विकल्प का मान \( -\frac{2}{3} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब रेखाखण्ड को x-अक्ष विभाजित करे तो \( y \)-निर्देशांक को शून्य मानें और जब y-अक्ष विभाजित करे तो \( x \)-निर्देशांक को शून्य मानें।

Question 10. (1, 1) और (4, – 5) को बिन्दु (2, – 1) किस अनुपात में विभाजित करता है-
(क) 1:2
(ख) 2:1
(ग) 1:1
(घ) 2:3
Answer: (क) 1:2
In simple words: बिन्दु (2, -1) द्वारा (1, 1) और (4, -5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित किया जाता है, यह विभाजन सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है। x या y निर्देशांक का उपयोग करके अनुपात 1:2 आता है।

🎯 Exam Tip: विभाजन अनुपात निकालने के लिए आप x-निर्देशांक या y-निर्देशांक दोनों में से किसी भी एक का उपयोग कर सकते हैं। दोनों से परिणाम समान आएगा।

Question 11. दो बिन्दुओं (0, cos) तथा (sin θ, 0) के मध्य दूरी है
(क) 1
(ख) sin θ + cos θ
(ग) \( \frac{1}{2}(\sin \theta+\cos \theta) \)
(घ) 0
Answer: (क) 1
In simple words: दो बिन्दुओं (0, cos θ) और (sin θ, 0) के बीच की दूरी निकालने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। इसे हल करने पर, हमें \( \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} \) मिलता है, जो \( \sqrt{1} \) के बराबर होता है, जिसका मान 1 है। यह त्रिकोणमितीय पहचान पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) को याद रखें, यह दूरी से संबंधित कई प्रश्नों में उपयोगी होती है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. बिन्दु (5, – 2) की y अक्ष से दूरी लिखिए।
Answer: बिन्दु \( (5, -2) \) की y-अक्ष से दूरी उस बिन्दु का x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होती है। यहाँ x-निर्देशांक 5 है। इसलिए, y-अक्ष से दूरी 5 इकाई होगी। यह हमें बताता है कि बिन्दु y-अक्ष से कितनी दूर स्थित है।
In simple words: बिन्दु (5, -2) की y-अक्ष से दूरी 5 है, क्योंकि y-अक्ष से दूरी x-निर्देशांक का मान होती है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष से दूरी का मतलब x-निर्देशांक का निरपेक्ष मान और x-अक्ष से दूरी का मतलब y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान होता है।

Question 2. बिन्दु (-2, 2), (8, – 2) तथा (-4, - 3) किस तरह के त्रिभुज के शीर्ष हैं?
Answer: मान लीजिए दिए गए बिन्दु \( A(-2, 2) \), \( B(8, -2) \) और \( C(-4, -3) \) हैं।
पहले भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात करें:
\( AB = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} \)
\( AB = \sqrt{(8 + 2)^2 + (-4)^2} \)
\( AB = \sqrt{10^2 + (-4)^2} \)
\( AB = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} \)

\( BC = \sqrt{(-4 - 8)^2 + (-3 - (-2))^2} \)
\( BC = \sqrt{(-12)^2 + (-3 + 2)^2} \)
\( BC = \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2} \)
\( BC = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145} \)

\( CA = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (2 - (-3))^2} \)
\( CA = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (2 + 3)^2} \)
\( CA = \sqrt{2^2 + 5^2} \)
\( CA = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \)
अब पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: \( AB^2 + CA^2 = BC^2 \)
\( (\sqrt{116})^2 + (\sqrt{29})^2 = (\sqrt{145})^2 \)
\( 116 + 29 = 145 \)
\( 145 = 145 \)
चूंकि \( AB^2 + CA^2 = BC^2 \) है, अतः दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। इसमें कोण A समकोण होगा।
In simple words: हमने त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाई निकाली: \( AB = \sqrt{116} \), \( BC = \sqrt{145} \), और \( CA = \sqrt{29} \)। फिर हमने जाँच की कि क्या सबसे बड़ी भुजा के वर्ग का मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है। हमें \( 116 + 29 = 145 \) मिला, जो बताता है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के प्रकार की पहचान करने के लिए सबसे पहले सभी भुजाओं की लम्बाइयाँ ज्ञात करें। फिर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके देखें कि क्या वह समकोण त्रिभुज है। यदि दो भुजाएँ बराबर हों तो समद्विबाहु, और यदि सभी असमान हों तो विषमबाहु त्रिभुज होगा।

Question 3. यदि (4, 3) और (2, – 1) किसी समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख शीर्ष हों तथा इसका तीसरा शीर्ष (1, 0) हो तो चौथे शीर्ष के निर्देशांकों का गुणनफल क्या होगा?
Answer: मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष \( A(4, 3) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(2, -1) \) और \( D(x, y) \) हैं।
हमें दिया गया है कि \( A(4, 3) \) और \( C(2, -1) \) सम्मुख शीर्ष हैं, और तीसरा शीर्ष \( B(1, 0) \) है। हमें चौथे शीर्ष \( D(x, y) \) के निर्देशांक ज्ञात करने हैं।
समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि विकर्णों का मध्य बिन्दु समान होता है।
विकर्ण AC का मध्य बिन्दु \( = (\frac{4 + 2}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}) \)
\( = (\frac{6}{2}, \frac{2}{2}) \)
\( = (3, 1) \)

अब विकर्ण BD का मध्य बिन्दु भी \( (3, 1) \) होना चाहिए।
विकर्ण BD का मध्य बिन्दु \( = (\frac{1 + x}{2}, \frac{0 + y}{2}) \)
इसलिए, \( (\frac{1 + x}{2}, \frac{y}{2}) = (3, 1) \)
x-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\( \frac{1 + x}{2} = 3 \implies 1 + x = 6 \implies x = 5 \)
y-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\( \frac{y}{2} = 1 \implies y = 2 \)
अतः चौथे शीर्ष \( D \) के निर्देशांक \( (5, 2) \) हैं।
हमें चौथे शीर्ष के निर्देशांकों का गुणनफल ज्ञात करना है:
गुणनफल \( = x \times y = 5 \times 2 = 10 \)
चौथे शीर्ष के निर्देशांकों का गुणनफल 10 होगा। यह मध्य बिन्दु सूत्र का एक व्यावहारिक उपयोग है।
In simple words: समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को बीच से काटते हैं। हमने दिए गए सम्मुख शीर्षों का मध्य बिन्दु निकाला, जो (3, 1) आया। फिर हमने तीसरे शीर्ष और चौथे अज्ञात शीर्ष का मध्य बिन्दु भी (3, 1) के बराबर रखा। इससे हमें चौथा शीर्ष (5, 2) मिला। अंत में, हमने चौथे शीर्ष के x और y निर्देशांकों का गुणा किया, जो \( 5 \times 2 = 10 \) आया।

🎯 Exam Tip: समान्तर चतुर्भुज के प्रश्नों में विकर्णों के मध्य बिन्दु के समान होने की संपत्ति का उपयोग करें। यह आपको अज्ञात शीर्षों के निर्देशांक आसानी से ज्ञात करने में मदद करेगा।

प्रश्न 5. (-3, -4) तथा (1, – 2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखाखण्ड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है? लिखिए।
Answer: हम यह पता लगाना चाहते हैं कि y-अक्ष दिए गए दो बिंदुओं (-3, -4) और (1, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है। y-अक्ष पर x-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है। हम विभाजन सूत्र का उपयोग करते हैं और x-निर्देशांक को शून्य के बराबर रखते हैं।
माना y-अक्ष रेखाखंड को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
\( x = \frac{\lambda x_2 + 1 x_1}{\lambda+1} \)
\( 0 = \frac{\lambda (1) + 1 (-3)}{\lambda+1} \)
\( 0 (\lambda+1) = \lambda - 3 \)
\( 0 = \lambda - 3 \)
\( \implies \lambda = 3 \)
अतः, y-अक्ष रेखाखंड को \( 3 : 1 \) के अनुपात में विभाजित करता है। आप विभाजन सूत्र में y-निर्देशांक का भी उपयोग करके यह अनुपात प्राप्त कर सकते हैं, परिणाम समान ही होगा।
In simple words: हम पता करते हैं कि y-अक्ष दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को किस अनुपात में काटती है. y-अक्ष पर x का मान हमेशा शून्य होता है. हम एक सूत्र का उपयोग करके पाते हैं कि यह अनुपात 3:1 है.

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र का उपयोग करते समय, x-निर्देशांक (या y-निर्देशांक) को उस अक्ष पर शून्य के बराबर रखना याद रखें जिस पर बिंदु विभाजित होता है (उदाहरण के लिए, y-अक्ष के लिए x=0 और x-अक्ष के लिए y=0)।

प्रश्न 6. बिन्दु (x, 5) तथा (4, 2) के मध्य दूरी 3 सेमी. हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो बिंदुओं (x, 5) और (4, 2) के बीच की दूरी 3 सेमी दी गई है। हम दूरी सूत्र का उपयोग करके x का मान ज्ञात करेंगे। यह दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है।
दूरी सूत्र है: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
दूरी \( d = 3 \), बिंदु 1 \( (x_1, y_1) = (x, 5) \) और बिंदु 2 \( (x_2, y_2) = (4, 2) \)
\( 3 = \sqrt{(4-x)^2 + (2-5)^2} \)
\( 3 = \sqrt{(4-x)^2 + (-3)^2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 3^2 = (4-x)^2 + (-3)^2 \)
\( 9 = (4-x)^2 + 9 \)
\( 9 - 9 = (4-x)^2 \)
\( 0 = (4-x)^2 \)
\( \implies 4-x = 0 \)
\( \implies x = 4 \)
In simple words: दो बिंदुओं के बीच की दूरी 3 सेमी है. हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं और x का मान 4 पाते हैं.

🎯 Exam Tip: दूरी सूत्र का उपयोग करते समय, गणना को आसान बनाने के लिए पहले दोनों पक्षों का वर्ग करना याद रखें, खासकर जब अज्ञात चर ज्ञात करना हो।

प्रश्न 7. बिन्दुओं (-2, 6) व (4, – 2) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
Answer: दो बिंदुओं (-2, 6) और (4, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करते हैं। मध्यबिंदु सूत्र रेखाखंड के बिल्कुल केंद्र का पता लगाने में मदद करता है।
मध्यबिंदु सूत्र है: \( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (-2, 6) \) और \( (x_2, y_2) = (4, -2) \)
मध्यबिंदु के x-निर्देशांक \( = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
मध्यबिंदु के y-निर्देशांक \( = \frac{6+(-2)}{2} = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
अतः, मध्यबिंदु के निर्देशांक \( (1, 2) \) हैं।
In simple words: दो बिंदुओं के बीच का मध्यबिंदु ज्ञात करने के लिए, हम x-मानों को जोड़कर 2 से भाग देते हैं, और y-मानों को जोड़कर 2 से भाग देते हैं. मध्यबिंदु (1, 2) है.

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु सूत्र को सही ढंग से लागू करने के लिए, x-निर्देशांकों को एक साथ और y-निर्देशांकों को एक साथ औसत करना याद रखें।

प्रश्न 8. किसी वर्ग के सम्मुख शीर्ष (-5, -4) और (3, 2) हैं। इसके विकर्ण की लम्बाई लिखिए।
Answer: हमें एक वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-5, -4) और (3, 2) दिए गए हैं। वर्ग के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम इन दो बिंदुओं के बीच दूरी सूत्र का उपयोग करेंगे। वर्ग का विकर्ण उसकी भुजा से \( \sqrt{2} \) गुना लंबा होता है।
दूरी सूत्र है: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (-5, -4) \) और \( (x_2, y_2) = (3, 2) \)
विकर्ण की लंबाई \( = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (2 - (-4))^2} \)
\( = \sqrt{(3+5)^2 + (2+4)^2} \)
\( = \sqrt{8^2 + 6^2} \)
\( = \sqrt{64 + 36} \)
\( = \sqrt{100} \)
\( = 10 \)
अतः, वर्ग के विकर्ण की लंबाई 10 इकाई है।
In simple words: वर्ग के दो विपरीत कोनों के बीच की दूरी को विकर्ण की लंबाई कहते हैं. हम दूरी सूत्र का उपयोग करके इस लंबाई को पाते हैं, जो 10 है.

🎯 Exam Tip: वर्ग के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको केवल दो विपरीत शीर्षों के बीच की दूरी की गणना करनी होगी, क्योंकि विकर्ण की लंबाई समान होती है।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. बिन्दु (2,-2) एवं (-1, 2) के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दो बिंदु (2, -2) और (-1, 2) दिए गए हैं, और हमें इनके बीच की दूरी ज्ञात करनी है। हम इस गणना के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं, जो दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की लंबाई बताता है।
दूरी सूत्र है: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (2, -2) \) और \( (x_2, y_2) = (-1, 2) \)
दूरी \( = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-(-2))^2} \)
\( = \sqrt{(-3)^2 + (2+2)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 4^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \)
अतः, बिंदुओं के बीच की दूरी 5 इकाई है।
In simple words: हमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करनी है. हम दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं, जो कि 5 है.

🎯 Exam Tip: जब भी दूरी सूत्र में ऋणात्मक संख्याएँ हों, तो वर्ग करते समय सावधान रहें, क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है।

प्रश्न 2. मूल बिन्दु से बिन्दु (3, 4) की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें मूल बिंदु (0, 0) से बिंदु (3, 4) तक की दूरी ज्ञात करनी है। मूल बिंदु ग्राफ का शुरुआती बिंदु होता है। हम इस दूरी को ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
दूरी सूत्र है: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) (मूल बिंदु) और \( (x_2, y_2) = (3, 4) \)
दूरी \( = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} \)
\( = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16} \)
\( = \sqrt{25} \)
\( = 5 \)
अतः, मूल बिंदु से बिंदु (3, 4) की दूरी 5 इकाई है।
In simple words: हम बिंदु (3, 4) से मूल बिंदु (0, 0) तक की दूरी ज्ञात कर रहे हैं. दूरी सूत्र का उपयोग करके, हमें 5 की दूरी मिलती है.

🎯 Exam Tip: मूल बिंदु से दूरी की गणना करते समय, आप सीधे \( \sqrt{x^2+y^2} \) सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

प्रश्न 3. यदि A, B और C के निर्देशांक क्रमशः (6, -1), (1, 3) तथा (x, 8) हैं तो x का मान ज्ञात कीजिये जबकि AB = BC हो।
Answer: हमें तीन बिंदु A(6, -1), B(1, 3) और C(x, 8) दिए गए हैं। हमें x का मान ज्ञात करना है, यह जानते हुए कि बिंदु A से B की दूरी (AB) बिंदु B से C की दूरी (BC) के बराबर है। इसका मतलब है कि बिंदु B, A और C से समान दूरी पर है।
पहले \( AB^2 \) की गणना करें:
\( AB^2 = (1-6)^2 + (3-(-1))^2 \)
\( = (-5)^2 + (3+1)^2 \)
\( = (-5)^2 + 4^2 \)
\( = 25 + 16 \)
\( = 41 \)
अब \( BC^2 \) की गणना करें:
\( BC^2 = (x-1)^2 + (8-3)^2 \)
\( = (x-1)^2 + 5^2 \)
\( = (x-1)^2 + 25 \)
चूंकि \( AB = BC \), इसलिए \( AB^2 = BC^2 \)
\( 41 = (x-1)^2 + 25 \)
\( 41 - 25 = (x-1)^2 \)
\( 16 = (x-1)^2 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( x-1 = \pm \sqrt{16} \)
\( x-1 = \pm 4 \)
दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति 1: \( x-1 = 4 \implies x = 4+1 \implies x = 5 \)
स्थिति 2: \( x-1 = -4 \implies x = -4+1 \implies x = -3 \)
अतः, x के मान 5 या -3 हो सकते हैं।
In simple words: हमें पता है कि बिंदु A से B की दूरी, B से C की दूरी के बराबर है. हम दूरी सूत्र का उपयोग करके x का मान निकालते हैं. x के दो संभावित मान 5 और -3 हैं.

🎯 Exam Tip: जब \( (x-a)^2 = k \) जैसे समीकरण को हल कर रहे हों, तो \( x-a = \pm \sqrt{k} \) के रूप में दोनों सकारात्मक और नकारात्मक वर्गमूलों को लेना न भूलें, जिससे आमतौर पर चर के लिए दो समाधान मिलते हैं।

प्रश्न 4. यदि बिन्दु (x, y) बिन्दुओं (a + b, b - a) और (a - b, a + b) से बराबर दूरी पर स्थित हो, तो सिद्ध कीजिये कि bx = ay.
Answer: हमें दिया गया है कि बिंदु P(x, y) दो अन्य बिंदुओं A(a + b, b - a) और C(a - b, a + b) से समान दूरी पर है। हमें यह सिद्ध करना है कि bx = ay. यह दर्शाता है कि P, A और C को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
चूंकि बिंदु P(x, y), A और C से समान दूरी पर है, तो \( PA = PC \)।
इसलिए, \( PA^2 = PC^2 \)
दूरी सूत्र का उपयोग करके:
\( (x - (a+b))^2 + (y - (b-a))^2 = (x - (a-b))^2 + (y - (a+b))^2 \)
विस्तार करने पर:
\( x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2 + y^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = x^2 - 2x(a-b) + (a-b)^2 + y^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2 \)
दोनों पक्षों से \( x^2, y^2 \) को रद्द करने पर:
\( -2x(a+b) + (a+b)^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = -2x(a-b) + (a-b)^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2 \)
ध्यान दें कि \( (a+b)^2 \) और \( (b-a)^2 = (a-b)^2 \) दोनों तरफ हैं, इसलिए उन्हें भी रद्द किया जा सकता है।
\( -2x(a+b) - 2y(b-a) = -2x(a-b) - 2y(a+b) \)
दोनों पक्षों को -2 से भाग देने पर:
\( x(a+b) + y(b-a) = x(a-b) + y(a+b) \)
\( ax + bx + by - ay = ax - bx + ay + by \)
दोनों पक्षों से \( ax \) और \( by \) को रद्द करने पर:
\( bx - ay = -bx + ay \)
\( bx + bx = ay + ay \)
\( 2bx = 2ay \)
\( \implies bx = ay \)
यह सिद्ध हुआ।
In simple words: एक बिंदु (x,y) दो अन्य बिंदुओं से बराबर दूरी पर है. हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं और इसे सरल करते हैं. अंत में, हम यह दिखाते हैं कि bx हमेशा ay के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रूफ-आधारित प्रश्नों में, विस्तार और सरलीकरण चरणों को सावधानी से करें ताकि बीजगणितीय त्रुटियों से बचा जा सके, और अंततः सही परिणाम पर पहुँच सकें।

प्रश्न 5. यदि बिन्दु A (2, 5) और बिन्दु B को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु P (-1, 2) हो, तो बिन्दु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें बिंदु A(2, 5) और रेखाखंड AB का मध्यबिंदु P(-1, 2) दिया गया है। हमें बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके हम अज्ञात निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।
मध्यबिंदु सूत्र है: \( P(x, y) = \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
यहाँ, \( A(x_1, y_1) = (2, 5) \), \( P(x, y) = (-1, 2) \)। मान लीजिए \( B(x_2, y_2) = (x_B, y_B) \)।
x-निर्देशांक के लिए:
\( -1 = \frac{2 + x_B}{2} \)
\( -1 \times 2 = 2 + x_B \)
\( -2 = 2 + x_B \)
\( x_B = -2 - 2 \)
\( x_B = -4 \)
y-निर्देशांक के लिए:
\( 2 = \frac{5 + y_B}{2} \)
\( 2 \times 2 = 5 + y_B \)
\( 4 = 5 + y_B \)
\( y_B = 4 - 5 \)
\( y_B = -1 \)
अतः, बिंदु B के निर्देशांक \( (-4, -1) \) हैं।
In simple words: हमें एक रेखाखंड का एक छोर (A) और उसका मध्यबिंदु (P) पता है. हम मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके दूसरे छोर (B) के निर्देशांक ज्ञात करते हैं. बिंदु B के निर्देशांक (-4, -1) हैं.

🎯 Exam Tip: जब मध्यबिंदु और एक छोर दिया गया हो, तो अज्ञात छोर को हल करने के लिए मध्यबिंदु सूत्र को प्रत्येक निर्देशांक के लिए अलग-अलग समीकरण के रूप में लिखना सबसे अच्छा है।

प्रश्न 6. बिन्दुओं (1, -2) तथा (4, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (2, 1) किस अनुपात में विभाजित करता है?
Answer: हमें दो बिंदु A(1, -2) और B(4, 7) दिए गए हैं, और एक बिंदु P(2, 1) है जो रेखाखंड AB को विभाजित करता है। हमें वह अनुपात ज्ञात करना है जिसमें P, AB को विभाजित करता है। हम इसे विभाजन सूत्र का उपयोग करके कर सकते हैं। आप x-निर्देशांक या y-निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं, दोनों से समान परिणाम मिलेगा।
माना बिंदु P, AB को \( \lambda : 1 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र है: \( x = \frac{\lambda x_2 + 1 x_1}{\lambda+1} \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (1, -2) \), \( (x_2, y_2) = (4, 7) \), और विभाजन बिंदु \( P(x, y) = (2, 1) \)
x-निर्देशांक का उपयोग करते हुए:
\( 2 = \frac{\lambda(4) + 1(1)}{\lambda+1} \)
\( 2(\lambda+1) = 4\lambda + 1 \)
\( 2\lambda + 2 = 4\lambda + 1 \)
\( 2 - 1 = 4\lambda - 2\lambda \)
\( 1 = 2\lambda \)
\( \implies \lambda = \frac{1}{2} \)
अतः, अनुपात \( \frac{1}{2} : 1 \) है, जिसे \( 1 : 2 \) के रूप में भी लिखा जा सकता है। आप चाहें तो y-निर्देशांक का उपयोग करके भी इस अनुपात को निकाल सकते हैं।
In simple words: हमें दो बिंदु दिए गए हैं, और एक तीसरा बिंदु है जो उन्हें जोड़ने वाली रेखा को काटता है. हम यह पता लगाते हैं कि यह बिंदु रेखा को किस अनुपात में काटता है. अनुपात 1:2 है.

🎯 Exam Tip: विभाजन सूत्र में अनुपात को \( \lambda : 1 \) के रूप में मानना एक सामान्य और प्रभावी रणनीति है, क्योंकि यह केवल एक चर \( \lambda \) को हल करने की अनुमति देता है।

प्रश्न 7. यदि बिन्दु A(2, 5) और B को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु P(-1, 2), 3 : 4 के अनुपात में अन्त:विभाजित करता है तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें बिंदु A(2, 5), विभाजन बिंदु P(-1, 2), और वह अनुपात \( m_1 : m_2 = 3 : 4 \) दिया गया है जिसमें P, रेखाखंड AB को विभाजित करता है। हमें बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। हम अज्ञात निर्देशांक ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करेंगे।
माना बिंदु B के निर्देशांक \( (x_B, y_B) \) हैं।
विभाजन सूत्र है: \( P(x, y) = \left( \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1+m_2} \right) \)
x-निर्देशांक के लिए:
\( -1 = \frac{3(x_B) + 4(2)}{3+4} \)
\( -1 = \frac{3x_B + 8}{7} \)
\( -7 = 3x_B + 8 \)
\( 3x_B = -7 - 8 \)
\( 3x_B = -15 \)
\( x_B = \frac{-15}{3} \)
\( x_B = -5 \)
y-निर्देशांक के लिए:
\( 2 = \frac{3(y_B) + 4(5)}{3+4} \)
\( 2 = \frac{3y_B + 20}{7} \)
\( 14 = 3y_B + 20 \)
\( 3y_B = 14 - 20 \)
\( 3y_B = -6 \)
\( y_B = \frac{-6}{3} \)
\( y_B = -2 \)
अतः, बिंदु B के निर्देशांक \( (-5, -2) \) हैं।
In simple words: हमें एक बिंदु A, एक विभाजन बिंदु P और विभाजन अनुपात पता है. हम विभाजन सूत्र का उपयोग करके रेखा के दूसरे छोर, बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात करते हैं. बिंदु B के निर्देशांक (-5, -2) हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणनाएँ सही हैं, हमेशा x-निर्देशांक और y-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र को अलग-अलग लिखें और चरण-दर-चरण हल करें।

प्रश्न 8. यदि बिन्दु (x, 3) और (5, 7) के बीच की दूरी 5 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिये।
Answer: हमें दो बिंदु (x, 3) और (5, 7) दिए गए हैं, और उनके बीच की दूरी 5 इकाई है। हमें x का मान ज्ञात करना है। इस प्रकार के प्रश्न अक्सर अज्ञात निर्देशांक के लिए दो संभावित मान देते हैं।
दूरी सूत्र है: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \)
दिए गए बिंदु हैं \( (x_1, y_1) = (x, 3) \) और \( (x_2, y_2) = (5, 7) \), और दूरी \( d = 5 \)
\( 5 = \sqrt{(5-x)^2 + (7-3)^2} \)
\( 5 = \sqrt{(5-x)^2 + 4^2} \)
\( 5 = \sqrt{(5-x)^2 + 16} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( 5^2 = (5-x)^2 + 16 \)
\( 25 = (5-x)^2 + 16 \)
\( 25 - 16 = (5-x)^2 \)
\( 9 = (5-x)^2 \)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
\( 5-x = \pm \sqrt{9} \)
\( 5-x = \pm 3 \)
दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति 1 (धनात्मक चिह्न लेने पर):
\( 5-x = 3 \)
\( x = 5-3 \)
\( x = 2 \)
स्थिति 2 (ऋणात्मक चिह्न लेने पर):
\( 5-x = -3 \)
\( x = 5+3 \)
\( x = 8 \)
अतः, x के मान 2 या 8 हो सकते हैं।
In simple words: दो बिंदुओं के बीच की दूरी 5 है. हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं और x का मान ज्ञात करते हैं. x के दो संभावित मान 2 और 8 हैं.

🎯 Exam Tip: जब एक वर्गमूल समीकरण को हल कर रहे हों, तो हमेशा दोनों सकारात्मक और नकारात्मक परिणामों पर विचार करें, क्योंकि यह चर के लिए एकाधिक समाधान दे सकता है।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. यदि बिन्दु P(x, y) उस वृत्त पर स्थित हो, जिसका केन्द्र (3, 2) और जिसकी त्रिज्या 3 मात्रक है तो सिद्ध कीजिये कि \( x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \).
Answer: हमें दिया गया है कि एक बिंदु P(x, y) एक वृत्त पर स्थित है, जिसका केंद्र C(3, -2) और त्रिज्या r = 3 इकाई है। (प्रश्न में केंद्र (3,2) दिया है, लेकिन सिद्ध करने वाले समीकरण में \( +4y \) है जो (y+2) के वर्ग से आता है, इसलिए हम हल के साथ संगति बनाए रखने के लिए केंद्र (3,-2) मानेंगे)। वृत्त पर किसी भी बिंदु की केंद्र से दूरी हमेशा त्रिज्या के बराबर होती है।
एक वृत्त का मानक समीकरण है: \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \)
यहाँ, केंद्र \( (h, k) = (3, -2) \) और त्रिज्या \( r = 3 \)
समीकरण में मान रखने पर:
\( (x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 3^2 \)
\( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 9 \)
कोष्ठकों का विस्तार करने पर (सूत्र \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करके):
\( (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) = 9 \)
\( x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 9 \)
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
\( x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 + 4 - 9 = 0 \)
\( x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 \)
यह सिद्ध हुआ। यह समीकरण वृत्त पर सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है, जो केंद्र (3, -2) से ठीक 3 इकाई दूर हैं।
In simple words: एक बिंदु P(x,y) एक वृत्त पर है. वृत्त का केंद्र (3,-2) और त्रिज्या 3 है. हम वृत्त के समीकरण का उपयोग करके यह दिखाते हैं कि दिया गया समीकरण सही है.

🎯 Exam Tip: वृत्त के समीकरण \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) को सही ढंग से याद रखना महत्वपूर्ण है, जहाँ \( (h,k) \) केंद्र और \( r \) त्रिज्या है। विस्तार करते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

प्रश्न 2. यदि बिन्दु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(x, y) क्रम में एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं तो बिन्दु D(x, y) ज्ञात कीजिये।
Answer: हमें एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A(6, 1), B(8, 2) और C(9, 4) दिए गए हैं। हमें चौथे शीर्ष D(x, y) के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। एक समांतर चतुर्भुज की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि विकर्ण AC का मध्यबिंदु विकर्ण BD के मध्यबिंदु के समान होता है।
विकर्ण AC का मध्यबिंदु ज्ञात करें:
\( \left( \frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2} \right) = \left( \frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2} \right) = \left( \frac{15}{2}, \frac{5}{2} \right) \)
विकर्ण BD का मध्यबिंदु ज्ञात करें (जहाँ \( D=(x,y) \)):
\( \left( \frac{x_B+x_D}{2}, \frac{y_B+y_D}{2} \right) = \left( \frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2} \right) \)
चूंकि दोनों मध्यबिंदु समान हैं, हम उनके निर्देशांकों की तुलना कर सकते हैं:
x-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\( \frac{8+x}{2} = \frac{15}{2} \)
\( 8+x = 15 \)
\( x = 15-8 \)
\( x = 7 \)
y-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
\( \frac{2+y}{2} = \frac{5}{2} \)
\( 2+y = 5 \)
\( y = 5-2 \)
\( y = 3 \)
अतः, बिंदु D के निर्देशांक \( (7, 3) \) हैं।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही होता है. हम इस नियम का उपयोग करके चौथे कोने D के निर्देशांक ज्ञात करते हैं. बिंदु D(7, 3) है.

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के शीर्षों से संबंधित समस्याओं के लिए, विकर्णों के मध्यबिंदु को समान करने का गुण अक्सर अज्ञात शीर्षों को ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका होता है।

प्रश्न 3. यदि A तथा B क्रमशः (-2, - 2) और (2,- 4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिये ताकि \( AP = \frac{3}{7} AB \) हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित है।
Answer: हमें दो बिंदु A(-2, -2) और B(2, -4) दिए गए हैं, और एक बिंदु P रेखाखंड AB पर स्थित है, इस तरह कि \( AP = \frac{3}{7} AB \)। हमें P के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। पहले हम विभाजन अनुपात \( AP : PB \) ज्ञात करेंगे।
चूंकि \( AP = \frac{3}{7} AB \), तो \( AB = 7k \) और \( AP = 3k \) मान सकते हैं।
तब, \( PB = AB - AP = 7k - 3k = 4k \)
अतः, अनुपात \( AP : PB = 3k : 4k = 3 : 4 \) है।
अब, हम बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करेंगे, जो रेखाखंड AB को \( 3 : 4 \) के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र है: \( P(x, y) = \left( \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1+m_2} \right) \)
यहाँ, \( (x_1, y_1) = (-2, -2) \), \( (x_2, y_2) = (2, -4) \), \( m_1 = 3 \), \( m_2 = 4 \)
x-निर्देशांक के लिए:
\( x_P = \frac{3(2) + 4(-2)}{3+4} = \frac{6 - 8}{7} = \frac{-2}{7} \)
y-निर्देशांक के लिए:
\( y_P = \frac{3(-4) + 4(-2)}{3+4} = \frac{-12 - 8}{7} = \frac{-20}{7} \)
अतः, बिंदु P के निर्देशांक \( \left( \frac{-2}{7}, \frac{-20}{7} \right) \) हैं। यह अनुपात हमें एक रेखाखंड के साथ एक बिंदु का सटीक स्थान बताने में मदद करता है।
In simple words: हमें A और B बिंदु दिए गए हैं, और बिंदु P रेखाखंड AB पर है, जिसकी दूरी A से AB की कुल लंबाई का 3/7 है. हम पहले अनुपात (3:4) निकालते हैं, फिर विभाजन सूत्र का उपयोग करके P के निर्देशांक ज्ञात करते हैं. P के निर्देशांक \( \left( \frac{-2}{7}, \frac{-20}{7} \right) \) हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दिए गए संबंध \( (AP = \frac{3}{7} AB) \) से विभाजन अनुपात \( (AP:PB) \) को सही ढंग से निकालना पहला महत्वपूर्ण कदम है।

प्रश्न 4. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) तथा (-2, – 1) हैं।
Answer: हमें एक समचतुर्भुज (rhombus) ABCD के शीर्ष A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) और D(-2, -1) दिए गए हैं। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें उसके दोनों विकर्णों की लंबाई की आवश्यकता होती है। समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
पहले विकर्ण AC की लंबाई \( (d_1) \) ज्ञात करें:
\( d_1 = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} \)
\( = \sqrt{16 + 16} \)
\( = \sqrt{32} \)
\( = 4\sqrt{2} \) इकाई
अब विकर्ण BD की लंबाई \( (d_2) \) ज्ञात करें:
\( d_2 = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} \)
\( = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} \)
\( = \sqrt{36 + 36} \)
\( = \sqrt{72} \)
\( = 6\sqrt{2} \) इकाई
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र है: \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
\( = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2}) \)
\( = \frac{1}{2} \times (4 \times 6 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}) \)
\( = \frac{1}{2} \times (24 \times 2) \)
\( = \frac{1}{2} \times 48 \)
\( = 24 \) वर्ग इकाई
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
In simple words: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम उसके दोनों विकर्णों की लंबाई निकालते हैं, फिर उन लंबाइयों को गुणा करके 2 से भाग देते हैं. विकर्णों की लंबाई \( 4\sqrt{2} \) और \( 6\sqrt{2} \) है, इसलिए क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है.

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र \( \frac{1}{2} d_1 d_2 \) को याद रखना महत्वपूर्ण है, जहाँ \( d_1 \) और \( d_2 \) विकर्णों की लंबाई हैं। दूरी सूत्र का उपयोग करके विकर्णों की लंबाई सही ढंग से ज्ञात करें।

प्रश्न 5. बिन्दुओं P(-3, 4) तथा Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें बिंदु P(-3, 4) और Q(4, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित (तीन बराबर भागों में विभाजित) करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करने हैं। समत्रिभाजित करने का अर्थ है कि हमें दो बिंदु (मान लीजिए A और B) ज्ञात करने होंगे जो रेखाखंड को \( 1:2 \) और \( 2:1 \) के अनुपात में विभाजित करते हैं।
बिंदु P(-3, 4) और Q(4, 5) हैं।
**बिंदु A के लिए (जो PQ को \( 1:2 \) के अनुपात में विभाजित करता है):**
यहाँ, \( (x_1, y_1) = (-3, 4) \), \( (x_2, y_2) = (4, 5) \), \( m_1 = 1 \), \( m_2 = 2 \)
विभाजन सूत्र का उपयोग करके:
\( x_A = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1+m_2} = \frac{1(4) + 2(-3)}{1+2} = \frac{4 - 6}{3} = \frac{-2}{3} \)
\( y_A = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1+m_2} = \frac{1(5) + 2(4)}{1+2} = \frac{5 + 8}{3} = \frac{13}{3} \)
तो, बिंदु A के निर्देशांक \( \left( \frac{-2}{3}, \frac{13}{3} \right) \) हैं।
**बिंदु B के लिए (जो PQ को \( 2:1 \) के अनुपात में विभाजित करता है):**
यहाँ, \( (x_1, y_1) = (-3, 4) \), \( (x_2, y_2) = (4, 5) \), \( m_1 = 2 \), \( m_2 = 1 \)
विभाजन सूत्र का उपयोग करके:
\( x_B = \frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1+m_2} = \frac{2(4) + 1(-3)}{2+1} = \frac{8 - 3}{3} = \frac{5}{3} \)
\( y_B = \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1+m_2} = \frac{2(5) + 1(4)}{2+1} = \frac{10 + 4}{3} = \frac{14}{3} \)
तो, बिंदु B के निर्देशांक \( \left( \frac{5}{3}, \frac{14}{3} \right) \) हैं।
अतः, रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः \( \left( \frac{-2}{3}, \frac{13}{3} \right) \) और \( \left( \frac{5}{3}, \frac{14}{3} \right) \) हैं।
In simple words: हम P और Q बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को तीन बराबर भागों में बांटने वाले दो बिंदुओं को ज्ञात करते हैं. हम विभाजन सूत्र का उपयोग करके इन बिंदुओं को निकालते हैं. वे \( \left( \frac{-2}{3}, \frac{13}{3} \right) \) और \( \left( \frac{5}{3}, \frac{14}{3} \right) \) हैं.

🎯 Exam Tip: समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के लिए, याद रखें कि पहला बिंदु रेखाखंड को 1:2 के अनुपात में विभाजित करता है और दूसरा बिंदु 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। दोनों मामलों में विभाजन सूत्र लागू करें।

प्रश्न 6. त्रिभुज ABC की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष A(3, -2), B(0, 6) और C(-2, 4) हैं।
Answer: हमें एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(3, -2), B(0, 6) और C(-2, 4) दिए गए हैं। हमें त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात करनी है। माध्यिका एक शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक खींचा गया रेखाखंड होती है। त्रिभुज की माध्यिकाएँ हमेशा केंद्रक नामक एक बिंदु पर मिलती हैं।
**1. माध्यिका AD की लंबाई (A से BC के मध्यबिंदु D तक):**
पहले BC का मध्यबिंदु D ज्ञात करें:
\( D = \left( \frac{0+(-2)}{2}, \frac{6+4}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1, 5) \)
अब A(3, -2) और D(-1, 5) के बीच की दूरी (AD) ज्ञात करें:
\( AD = \sqrt{(-1-3)^2 + (5-(-2))^2} \)
\( = \sqrt{(-4)^2 + (5+2)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 7^2} \)
\( = \sqrt{16 + 49} \)
\( = \sqrt{65} \)
**2. माध्यिका BE की लंबाई (B से AC के मध्यबिंदु E तक):**
पहले AC का मध्यबिंदु E ज्ञात करें:
\( E = \left( \frac{3+(-2)}{2}, \frac{-2+4}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \)
अब B(0, 6) और E\( \left( \frac{1}{2}, 1 \right) \) के बीच की दूरी (BE) ज्ञात करें:
\( BE = \sqrt{\left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + (1-6)^2} \)
\( = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + (-5)^2} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{4} + 25} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{100}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{101}{4}} \)
\( = \frac{\sqrt{101}}{2} \)
**3. माध्यिका CF की लंबाई (C से AB के मध्यबिंदु F तक):**
पहले AB का मध्यबिंदु F ज्ञात करें:
\( F = \left( \frac{3+0}{2}, \frac{-2+6}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \)
अब C(-2, 4) और F\( \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \) के बीच की दूरी (CF) ज्ञात करें:
\( CF = \sqrt{\left(\frac{3}{2}-(-2)\right)^2 + (2-4)^2} \)
\( = \sqrt{\left(\frac{3}{2}+2\right)^2 + (-2)^2} \)
\( = \sqrt{\left(\frac{3+4}{2}\right)^2 + 4} \)
\( = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 4} \)
\( = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{16}{4}} \)
\( = \sqrt{\frac{65}{4}} \)
\( = \frac{\sqrt{65}}{2} \)
अतः, माध्यिकाओं की लंबाइयाँ \( \sqrt{65} \), \( \frac{\sqrt{101}}{2} \) और \( \frac{\sqrt{65}}{2} \) हैं।
In simple words: हम एक त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं. पहले हम प्रत्येक भुजा के मध्यबिंदु निकालते हैं, फिर दूरी सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक शीर्ष से उसके विपरीत मध्यबिंदु तक की दूरी निकालते हैं. लंबाइयाँ \( \sqrt{65} \), \( \frac{\sqrt{101}}{2} \) और \( \frac{\sqrt{65}}{2} \) हैं.

🎯 Exam Tip: माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आपको दो सूत्रों को सही ढंग से लागू करना होगा: पहले मध्यबिंदु सूत्र और फिर दूरी सूत्र। भिन्नों की गणना करते समय सावधानी बरतें।