RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी Exercise 5.3

समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.3

Question 1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योगफल ज्ञात कीजिए
(i) 1, 3, 5, 7, ...., 12 पदों तक
(ii) 8, 3, – 2, ..., 22 पदों तक
(iii) \( \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots \ldots, \) 11 पदों तक
Answer:
(i) इस समांतर श्रेणी में, पहला पद \( a = 1 \), पदों के बीच का अंतर \( d = 2 \) और कुल पदों की संख्या \( n = 12 \) है। हम योग निकालने का सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) का उपयोग करते हैं।
\( S_{12} = \frac{12}{2}[2 \times 1 + (12-1) \times 2] \)
\( S_{12} = 6[2 + 11 \times 2] \)
\( S_{12} = 6[2 + 22] \)
\( S_{12} = 6 \times 24 \)
\( S_{12} = 144 \)
इसका मतलब है कि इस समांतर श्रेणी के पहले 12 पदों को जोड़ने पर 144 आता है।
(ii) इस श्रेणी में पहला पद \( a = 8 \), पदों के बीच का अंतर \( d = 3 - 8 = -5 \) और कुल पदों की संख्या \( n = 22 \) है। योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) में ये मान डालने पर:
\( S_{22} = \frac{22}{2}[2 \times 8 + (22-1) \times (-5)] \)
\( S_{22} = 11[16 + 21 \times (-5)] \)
\( S_{22} = 11[16 - 105] \)
\( S_{22} = 11 \times (-89) \)
\( S_{22} = -979 \)
इसका अर्थ है कि इस समांतर श्रेणी के पहले 22 पदों का कुल जोड़ -979 है।
(iii) इस समांतर श्रेणी में, पहला पद \( a = \frac{1}{15} \) है। पदों के बीच का अंतर \( d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60} \) है, और हमें \( n = 11 \) पदों का योग निकालना है। हम योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) का उपयोग करते हैं।
\( S_{11} = \frac{11}{2}[2 \times \frac{1}{15} + (11-1) \times \frac{1}{60}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + 10 \times \frac{1}{60}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{2}{15} + \frac{1}{6}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{4+5}{30}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2}[\frac{9}{30}] \)
\( S_{11} = \frac{11}{2} \times \frac{3}{10} \)
\( S_{11} = \frac{33}{20} \)
यह इस श्रेणी के पहले 11 भिन्नात्मक पदों का जोड़ है।
In simple words: हमने तीनों श्रेणियों के पहले पद, उनके बीच का अंतर, और पदों की संख्या का उपयोग करके योग का सूत्र लगाया। इससे हमें उन सभी पदों का कुल जोड़ मिल गया।

🎯 Exam Tip: योगफल ज्ञात करने के लिए हमेशा पहला पद (a), सार्व अंतर (d), और पदों की संख्या (n) को सही ढंग से पहचानें। भिन्नात्मक संख्याओं के लिए गणना में सावधानी बरतें।

Question 2. निम्नलिखित का योगफल ज्ञात कीजिए-
(i) 3 + 11 + 19 +, ...., + 803
(ii) 7 + \( 10 \frac{1}{2} \) + 14 + .... + 84
Answer:
(i) इस समांतर श्रेणी में पहला पद \( a = 3 \), आखिरी पद \( l = 803 \) और पदों के बीच का अंतर \( d = 11 - 3 = 8 \) है। सबसे पहले, हमने आखिरी पद के सूत्र \( a_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करके कुल पदों की संख्या \( n \) निकाली।
\( 803 = 3 + (n-1) \times 8 \)
\( 800 = (n-1) \times 8 \)
\( n-1 = \frac{800}{8} \)
\( n-1 = 100 \)
\( n = 101 \)
इसके बाद, हमने योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) में सभी मान रखकर गणना की।
\( S_{101} = \frac{101}{2}(3 + 803) \)
\( S_{101} = \frac{101}{2}(806) \)
\( S_{101} = 101 \times 403 \)
\( S_{101} = 40703 \)
यह इस श्रेणी के सभी पदों का जोड़ है।
(ii) इस समांतर श्रेणी में, पहला पद \( a = 7 \), आखिरी पद \( l = 84 \) और पदों के बीच का अंतर \( d = 10\frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{7}{2} \) है। सबसे पहले, हमने \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करके कुल पदों की संख्या \( n \) ज्ञात की।
\( 84 = 7 + (n-1)\frac{7}{2} \)
\( 77 = (n-1)\frac{7}{2} \)
\( n-1 = 77 \times \frac{2}{7} \)
\( n-1 = 11 \times 2 \)
\( n-1 = 22 \)
\( n = 23 \)
फिर, हमने योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) में मानों को रखकर गणना की।
\( S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84) \)
\( S_{23} = \frac{23}{2}(91) \)
\( S_{23} = \frac{2093}{2} \)
\( S_{23} = 1046\frac{1}{2} \)
यह इस श्रेणी के सभी भिन्नात्मक पदों का कुल जोड़ है।
In simple words: हमने पहले आखिरी पद के सूत्र का उपयोग करके पदों की संख्या ज्ञात की। फिर, हमने योग के सूत्र में पहला पद और आखिरी पद डालकर सभी पदों का कुल योग पता लगाया।

🎯 Exam Tip: जब आखिरी पद दिया हो, तो पहले पदों की संख्या (n) ज्ञात करना महत्वपूर्ण होता है। भिन्नात्मक सार्व अंतर वाली श्रेणियों में गणना करते समय ध्यान दें।

Question 3. पदों की संख्या ज्ञात कीजिए
(i) समान्तर श्रेढ़ी 9, 17, 25, ..... के कितने पद लिए जायें कि उनका योगफल 636 हो ?
(ii) समान्तर श्रेढ़ी 63, 60, 57, ... के कितने पद लिए जायें कि उनका योगफल 693 हो ?
Answer:
(i) इस समांतर श्रेणी में पहला पद \( a = 9 \), पदों के बीच का अंतर \( d = 17 - 9 = 8 \) और कुल योग \( S_n = 636 \) है। हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है। हमने समांतर श्रेणी के योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) में मान रखकर एक द्विघात समीकरण बनाया।
\( 636 = \frac{n}{2}[2 \times 9 + (n-1) \times 8] \)
\( 1272 = n[18 + 8n - 8] \)
\( 1272 = n[10 + 8n] \)
\( 1272 = 10n + 8n^2 \)
\( 4n^2 + 5n - 636 = 0 \)
इस समीकरण को द्विघात सूत्र \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) से हल करने पर:
\( D = (5)^2 - 4 \times 4 \times (-636) \)
\( D = 25 + 10176 = 10201 \)
\( \sqrt{D} = 101 \)
\( n = \frac{-5 \pm 101}{2 \times 4} \)
\( n = \frac{-5 \pm 101}{8} \)
\( n = \frac{-5 + 101}{8} \) या \( n = \frac{-5 - 101}{8} \)
\( n = \frac{96}{8} = 12 \) या \( n = \frac{-106}{8} = -\frac{53}{4} \)
चूँकि पदों की संख्या ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकती, इसलिए सही उत्तर \( n = 12 \) है। अतः, 12 पदों का योग 636 होगा।
(ii) इस समांतर श्रेणी में पहला पद \( a = 63 \), पदों के बीच का अंतर \( d = 60 - 63 = -3 \) और कुल योग \( S_n = 693 \) है। हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है। हमने योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया।
\( 693 = \frac{n}{2}[2 \times 63 + (n-1) \times (-3)] \)
\( 1386 = n[126 - 3n + 3] \)
\( 1386 = n[129 - 3n] \)
\( 1386 = 129n - 3n^2 \)
\( 3n^2 - 129n + 1386 = 0 \)
\( n^2 - 43n + 462 = 0 \)
इस समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करने पर:
\( n^2 - 21n - 22n + 462 = 0 \)
\( n(n-21) - 22(n-21) = 0 \)
\( (n-21)(n-22) = 0 \)
\( n = 21 \) या \( n = 22 \)
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि सार्व अंतर \( d \) ऋणात्मक है, और 22वां पद 0 हो सकता है, जिससे 21 या 22 पदों का योग समान हो जाता है। अतः, 21 या 22 पदों का योग 693 होगा।
In simple words: हमें योग दिया गया था और हमें पदों की संख्या \( n \) निकालनी थी। हमने योग के सूत्र से द्विघात समीकरण बनाए और उन्हें हल करके \( n \) का मान ज्ञात किया। चूंकि \( n \) ऋणात्मक या भिन्न नहीं हो सकता, हमने केवल धनात्मक पूर्णांक मानों को स्वीकार किया।

🎯 Exam Tip: जब पदों की संख्या ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण बने, तो \( n \) के दोनों मानों की जाँच करें। पदों की संख्या हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।

Question 4. निम्न श्रेढियों के पहले 25 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है
(i) \( a_n = 3 + 4n \)
(ii) \( a_n = 7 - 3n \)
Answer:
(i) हमें \( n \)वाँ पद \( a_n = 3 + 4n \) दिया गया है और हमें पहले 25 पदों का योग ज्ञात करना है।
\( n=1 \) रखने पर, पहला पद \( a_1 = 3 + 4 \times 1 = 7 \)। तो \( a = 7 \)।
\( n=2 \) रखने पर, दूसरा पद \( a_2 = 3 + 4 \times 2 = 11 \)।
सार्व अंतर \( d = a_2 - a_1 = 11 - 7 = 4 \)।
अब, हमारे पास \( a=7, d=4 \) और \( n=25 \) है। योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) में मान रखकर गणना करें।
\( S_{25} = \frac{25}{2}[2 \times 7 + (25-1) \times 4] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[14 + 24 \times 4] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[14 + 96] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[110] \)
\( S_{25} = 25 \times 55 \)
\( S_{25} = 1375 \)
पहले 25 पदों का योग 1375 है।
(ii) हमें \( n \)वाँ पद \( a_n = 7 - 3n \) दिया गया है और हमें पहले 25 पदों का योग ज्ञात करना है।
\( n=1 \) रखने पर, पहला पद \( a_1 = 7 - 3 \times 1 = 4 \)। तो \( a = 4 \)।
\( n=2 \) रखने पर, दूसरा पद \( a_2 = 7 - 3 \times 2 = 1 \)।
सार्व अंतर \( d = a_2 - a_1 = 1 - 4 = -3 \)।
अब, हमारे पास \( a=4, d=-3 \) और \( n=25 \) है। योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) में मान रखकर गणना करें।
\( S_{25} = \frac{25}{2}[2 \times 4 + (25-1) \times (-3)] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[8 + 24 \times (-3)] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[8 - 72] \)
\( S_{25} = \frac{25}{2}[-64] \)
\( S_{25} = 25 \times (-32) \)
\( S_{25} = -800 \)
पहले 25 पदों का योग -800 है।
In simple words: हमने \( n \)वें पद के सूत्र का उपयोग करके श्रेणी का पहला पद और सार्व अंतर ज्ञात किया। फिर, हमने योग के सूत्र में इन मानों और पदों की संख्या को रखकर कुल योग की गणना की।

🎯 Exam Tip: जब \( n \)वाँ पद दिया गया हो, तो हमेशा \( n=1 \) और \( n=2 \) रखकर पहले दो पद ज्ञात करें। इससे आपको पहला पद (a) और सार्व अंतर (d) दोनों मिल जाएँगे।

Question 5. एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले 51 पदों का योग ज्ञात कीजिये जिसमें द्वितीय तथा तृतीय पद क्रमशः 14 तथा 18 हैं।
Answer: हमें समांतर श्रेणी का दूसरा पद \( a_2 = 14 \) और तीसरा पद \( a_3 = 18 \) दिया गया है, साथ ही हमें पहले 51 पदों का योग ज्ञात करना है।
सार्व अंतर \( d = a_3 - a_2 = 18 - 14 = 4 \)।
दूसरा पद \( a_2 = a + d \) होता है।
\( 14 = a + 4 \)
\( a = 14 - 4 = 10 \)।
अब हमारे पास पहला पद \( a = 10 \), सार्व अंतर \( d = 4 \) और पदों की संख्या \( n = 51 \) है।
योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) में इन मानों को रखने पर:
\( S_{51} = \frac{51}{2}[2 \times 10 + (51-1) \times 4] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 50 \times 4] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200] \)
\( S_{51} = \frac{51}{2}[220] \)
\( S_{51} = 51 \times 110 \)
\( S_{51} = 5610 \)
इस तरह, समांतर श्रेणी के पहले 51 पदों का कुल योग 5610 है।
In simple words: हमें दूसरा और तीसरा पद दिया गया था। इससे हमने सार्व अंतर (d) और पहला पद (a) पता लगाया। फिर, हमने इन मानों का उपयोग करके पहले 51 पदों का योग निकालने के लिए सूत्र का इस्तेमाल किया, जिससे हमें 5610 मिला।

🎯 Exam Tip: यदि क्रमागत पद दिए गए हों, तो सार्व अंतर सीधे घटाकर प्राप्त किया जा सकता है। पहला पद ज्ञात करने के लिए हमेशा \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करें।

Question 7. 1 से 1000 के बीच 3 से भाज्य सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें 1 से 1000 के बीच उन सभी विषम संख्याओं का योग ज्ञात करना है जो 3 से विभाजित होती हैं।
ऐसी संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: \( 3, 9, 15, 21, ..., 999 \)।
इस श्रेणी में पहला पद \( a = 3 \), सार्व अंतर \( d = 9 - 3 = 6 \) (क्योंकि हम केवल विषम गुणज ले रहे हैं) और आखिरी पद \( l = a_n = 999 \) है।
सबसे पहले, हम आखिरी पद के सूत्र \( a_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करके कुल पदों की संख्या \( n \) निकालेंगे।
\( 999 = 3 + (n-1) \times 6 \)
\( 996 = (n-1) \times 6 \)
\( n-1 = \frac{996}{6} \)
\( n-1 = 166 \)
\( n = 167 \)
इसके बाद, हम योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) में इन मानों को रखकर गणना करेंगे।
\( S_{167} = \frac{167}{2}(3 + 999) \)
\( S_{167} = \frac{167}{2}(1002) \)
\( S_{167} = 167 \times 501 \)
\( S_{167} = 83667 \)
यह उन सभी विशिष्ट संख्याओं का कुल योग है।
In simple words: हमने 1 से 1000 के बीच 3 से भाग होने वाली सभी विषम संख्याओं को चुना, जैसे 3, 9, 15, ..., 999। फिर हमने गिना कि ऐसी कितनी संख्याएँ हैं (167)। आखिर में, हमने पहली और आखिरी संख्या को जोड़कर, उसे पदों की संख्या के आधे से गुणा किया, जिससे कुल योग 83667 आया।

🎯 Exam Tip: "3 से भाज्य सभी विषम संख्याएँ" का मतलब है कि संख्याओं का सार्व अंतर \( 3 \times 2 = 6 \) होगा, न कि 3। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जिसे याद रखना चाहिए।

Question 8. एक समान्तर श्रेढ़ी में प्रथम पद 8 है, nवाँ घद 33 है तथा पहले n पदों का योग 123 है तो n तथा सार्वअन्तर d को ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें एक समांतर श्रेणी का पहला पद \( a = 8 \), \( n \)वाँ पद (अंतिम पद) \( l = 33 \) और पहले \( n \) पदों का योग \( S_n = 123 \) दिया गया है। हमें पदों की संख्या \( n \) और सार्व अंतर \( d \) ज्ञात करना है।
सबसे पहले, हम योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) का उपयोग करके \( n \) का मान ज्ञात करेंगे।
\( 123 = \frac{n}{2}(8 + 33) \)
\( 123 = \frac{n}{2}(41) \)
\( 246 = 41n \)
\( n = \frac{246}{41} \)
\( n = 6 \)
अब, हम \( n \)वें पद के सूत्र \( a_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करके \( d \) का मान ज्ञात करेंगे।
\( 33 = 8 + (6-1)d \)
\( 33 = 8 + 5d \)
\( 25 = 5d \)
\( d = \frac{25}{5} \)
\( d = 5 \)
इस तरह, समांतर श्रेणी में 6 पद हैं और हर अगले पद में 5 जुड़ता है।
In simple words: हमें पहला पद, आखिरी पद और कुल जोड़ दिया गया था। हमने इन जानकारियों से पहले कुल पदों की संख्या (\( n \)) निकाली, जो 6 थी। फिर, हमने इस \( n \) का उपयोग करके पता लगाया कि हर अगले पद में कितना जुड़ता है (\( d \)), जो 5 था।

🎯 Exam Tip: जब \( a, l \) और \( S_n \) दिए गए हों, तो पहले \( n \) ज्ञात करने के लिए योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \) का उपयोग करना सबसे आसान होता है। फिर, \( a_n \) सूत्र से \( d \) ज्ञात करें।

Question 10. एक टेलीविजन सेटों का निर्माता, तीसरे वर्ष 600 टी.वी. तथा सातवें वर्ष में 700 टी.वी. सेटों का उत्पादन करता है। यह मानते हुए कि प्रत्येक वर्ष उत्पादन में एक समान रूप से एक निश्चित संख्या में वृद्धि होती है, ज्ञात कीजिए
(i) प्रथम वर्ष में उत्पादन
(ii) 10वें वर्ष में उत्पादन
(iii) 7 वर्षों में कुल उत्पादन
Answer: चूँकि उत्पादन हर साल एक निश्चित दर से बढ़ता है, इसलिए यह एक समांतर श्रेणी है। हमें तीसरे वर्ष का उत्पादन \( a_3 = 600 \) और सातवें वर्ष का उत्पादन \( a_7 = 700 \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( a_n = a + (n-1)d \)।
\( a_3 = a + 2d = 600 \) (समीकरण 1)
\( a_7 = a + 6d = 700 \) (समीकरण 2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) घटाने पर:
\( (a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600 \)
\( 4d = 100 \)
\( d = \frac{100}{4} = 25 \)
\( d=25 \) को समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2 \times 25 = 600 \)
\( a + 50 = 600 \)
\( a = 550 \)
(i) **प्रथम वर्ष में उत्पादन:**
पहला पद \( a \) ही प्रथम वर्ष का उत्पादन होता है।
\( a = 550 \)
इस तरह, पहले वर्ष में 550 टेलीविजन सेट बनाए गए थे।
(ii) **10वें वर्ष में उत्पादन:**
हमें पहला पद \( a = 550 \) और सार्व अंतर \( d = 25 \) मिला है। 10वें वर्ष का उत्पादन ज्ञात करने के लिए, हम \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करेंगे।
\( a_{10} = 550 + (10-1) \times 25 \)
\( a_{10} = 550 + 9 \times 25 \)
\( a_{10} = 550 + 225 \)
\( a_{10} = 775 \)
इसका मतलब है कि 10वें वर्ष में कुल 775 टेलीविजन सेट बनाए जाएंगे।
(iii) **7 वर्षों में कुल उत्पादन:**
हमें पहला पद \( a = 550 \), सार्व अंतर \( d = 25 \) और पदों की संख्या \( n = 7 \) मिली है। कुल उत्पादन ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी के योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) का उपयोग करेंगे।
\( S_7 = \frac{7}{2}[2 \times 550 + (7-1) \times 25] \)
\( S_7 = \frac{7}{2}[1100 + 6 \times 25] \)
\( S_7 = \frac{7}{2}[1100 + 150] \)
\( S_7 = \frac{7}{2}[1250] \)
\( S_7 = 7 \times 625 \)
\( S_7 = 4375 \)
इसका मतलब है कि पहले 7 सालों में कुल 4375 टेलीविजन सेट बनाए गए।
In simple words: हमने तीसरे और सातवें साल के उत्पादन की जानकारी का उपयोग करके पता लगाया कि पहले साल कितने टीवी बने (\( a=550 \)) और हर साल उत्पादन में कितनी बढ़ोतरी हुई (\( d=25 \))। फिर, इन मानों का उपयोग करके हमने 10वें साल का उत्पादन (775) और पहले 7 सालों का कुल उत्पादन (4375) ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग वर्षों का उत्पादन दिया गया हो, तो हमेशा दो समीकरण बनाकर \( a \) और \( d \) ज्ञात करें। यह समांतर श्रेणी के अनुप्रयोगों के लिए एक मानक तरीका है।