RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी Exercise 5.2

समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.2

Question 1. ज्ञात कीजिए-
(i) समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12, ... का 10वाँ पद
(ii) समान्तर श्रेढ़ी \( \sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 5\sqrt{2}, \dots \) का 18वाँ पद
(iii) समान्तर श्रेढ़ी 9, 13, 17, 21, का 24वाँ पद
Answer:
(i) यहाँ प्रथम पद \( a = 2 \), सार्वअंतर \( d = 7 - 2 = 5 \) और पदों की संख्या \( n = 10 \) है।
हम जानते हैं कि \( n \)वाँ पद \( a_n = a + (n - 1)d \) होता है।
इसलिए, 10वाँ पद \( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 5 \)
\( = 2 + 9 \times 5 \)
\( = 2 + 45 \)
\( = 47 \)
अतः दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 10वाँ पद 47 है।

(ii) यहाँ प्रथम पद \( a = \sqrt{2} \), सार्वअंतर \( d = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) और पदों की संख्या \( n = 18 \) है।
\( n \)वें पद का सूत्र है \( a_n = a + (n - 1)d \).
इसलिए, 18वाँ पद \( a_{18} = \sqrt{2} + (18 - 1) \times 2\sqrt{2} \)
\( = \sqrt{2} + 17 \times 2\sqrt{2} \)
\( = \sqrt{2} + 34\sqrt{2} \)
\( = 35\sqrt{2} \)
अतः दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 18वाँ पद \( 35\sqrt{2} \) है। एक समान्तर श्रेढ़ी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद से एक निश्चित संख्या (सार्वअंतर) अधिक या कम होता है।

(iii) यहाँ प्रथम पद \( a = 9 \), सार्वअंतर \( d = 13 - 9 = 4 \) और पदों की संख्या \( n = 24 \) है।
\( n \)वें पद का सूत्र है \( a_n = a + (n - 1)d \).
इसलिए, 24वाँ पद \( a_{24} = 9 + (24 - 1) \times 4 \)
\( = 9 + 23 \times 4 \)
\( = 9 + 92 \)
\( = 101 \)
अतः दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 24वाँ पद 101 है। एक बार जब आपको पहला पद और सार्वअंतर पता चल जाता है, तो आप किसी भी पद को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: प्रत्येक भाग के लिए, आपको पहला नंबर (a), हर अगले नंबर के बीच का अंतर (d) और आप कौन सा नंबर ढूंढ रहे हैं (n) को पहचानना होगा. फिर, \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करके उत्तर निकालें.

🎯 Exam Tip: समान्तर श्रेढ़ी के \( n \)वें पद का सूत्र \( a_n = a + (n - 1)d \) बहुत महत्वपूर्ण है। इसे याद रखें और दिए गए मानों को सही जगह पर रखें।

Question 2. हल कीजिए-
(i) समान्तर श्रेढ़ी 21, 18, 15, ... का कौनसा पद – 81 है?
(ii) समान्तर श्रेढ़ी 84, 80, 76, ... का कौनसा पद शून्य है?
(iii) समान्तर श्रेढ़ी 5, 11, 17, 23, ... का कोई पद 301 है?
(iv) समान्तर श्रेढ़ी 11, 8, 5, 2, ... का कोई पद – 150 है?
Answer:
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है 21, 18, 15, ...
यहाँ प्रथम पद \( a = 21 \).
सार्वअंतर \( d = 18 - 21 = -3 \).
मान लीजिए कि \( n \)वाँ पद \( a_n = -81 \) है।
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( -81 = 21 + (n - 1)(-3) \)
\( -81 = 21 - 3n + 3 \)
\( -81 = 24 - 3n \)
\( 3n = 24 + 81 \)
\( 3n = 105 \)
\( n = \frac{105}{3} \)
\( n = 35 \)
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का 35वाँ पद – 81 है।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है 84, 80, 76, ...
यहाँ प्रथम पद \( a = 84 \).
सार्वअंतर \( d = 80 - 84 = -4 \).
मान लीजिए कि \( n \)वाँ पद \( a_n = 0 \) है।
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( 0 = 84 + (n - 1)(-4) \)
\( 0 = 84 - 4n + 4 \)
\( 0 = 88 - 4n \)
\( 4n = 88 \)
\( n = \frac{88}{4} \)
\( n = 22 \)
इसलिए, इस समान्तर श्रेढ़ी का 22वाँ पद शून्य है। जब सार्वअंतर ऋणात्मक होता है, तो पद घटते जाते हैं और शून्य तक पहुंच सकते हैं।

(iii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है 5, 11, 17, 23, ...
यहाँ प्रथम पद \( a = 5 \).
सार्वअंतर \( d = 11 - 5 = 6 \). (जांचने पर: \( 17 - 11 = 6 \), \( 23 - 17 = 6 \))
मान लीजिए कि \( n \)वाँ पद \( a_n = 301 \) है।
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( 301 = 5 + (n - 1)6 \)
\( 301 - 5 = (n - 1)6 \)
\( 296 = (n - 1)6 \)
\( n - 1 = \frac{296}{6} \)
\( n - 1 = \frac{148}{3} \)
\( n = \frac{148}{3} + 1 \)
\( n = \frac{148 + 3}{3} \)
\( n = \frac{151}{3} \)
चूंकि \( n \) एक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए 301 इस समान्तर श्रेढ़ी का कोई पद नहीं है। पदों की संख्या हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।

(iv) दी गई समान्तर श्रेढ़ी है 11, 8, 5, 2, ...
यहाँ प्रथम पद \( a = 11 \).
सार्वअंतर \( d = 8 - 11 = -3 \). (जांचने पर: \( 5 - 8 = -3 \), \( 2 - 5 = -3 \))
मान लीजिए कि \( n \)वाँ पद \( a_n = -150 \) है।
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( -150 = 11 + (n - 1)(-3) \)
\( -150 - 11 = (n - 1)(-3) \)
\( -161 = (n - 1)(-3) \)
\( n - 1 = \frac{-161}{-3} \)
\( n - 1 = \frac{161}{3} \)
\( n = \frac{161}{3} + 1 \)
\( n = \frac{161 + 3}{3} \)
\( n = \frac{164}{3} \)
चूंकि \( n \) एक पूर्ण संख्या नहीं है, इसलिए -150 इस समान्तर श्रेढ़ी का कोई पद नहीं है।
In simple words: हर भाग में, आपको पहला पद (a) और सार्वअंतर (d) निकालना होगा. फिर \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करके \( n \) का मान निकालें. अगर \( n \) एक पूरी संख्या नहीं है, तो दिया गया पद उस श्रेणी का हिस्सा नहीं है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी समान्तर श्रेढ़ी में पद की संख्या (n) हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होती है। यदि गणना करने पर \( n \) एक भिन्न या ऋणात्मक संख्या आती है, तो इसका मतलब है कि वह संख्या उस श्रेढ़ी का पद नहीं है।

Question 3. यदि समान्तर श्रेढ़ी का छठा पद तथा 17वाँ पद क्रमशः 19 तथा 41 हैं, तो 40वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है:
छठा पद \( a_6 = 19 \)
\( a + 5d = 19 \) .......(1)
17वाँ पद \( a_{17} = 41 \)
\( a + 16d = 41 \) .......(2)

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 19 \)
\( 11d = 22 \)
\( d = \frac{22}{11} \)
\( d = 2 \)

\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 5(2) = 19 \)
\( a + 10 = 19 \)
\( a = 19 - 10 \)
\( a = 9 \)
हमें प्रथम पद \( a = 9 \) और सार्वअंतर \( d = 2 \) मिला।

अब, हमें 40वाँ पद ज्ञात करना है:
\( a_{40} = a + (40 - 1)d \)
\( a_{40} = 9 + (39) \times 2 \)
\( a_{40} = 9 + 78 \)
\( a_{40} = 87 \)
अतः समान्तर श्रेढ़ी का 40वाँ पद 87 है। प्रथम पद और सार्वअंतर को ज्ञात करना समान्तर श्रेढ़ी के किसी भी प्रश्न को हल करने की कुंजी है।
In simple words: पहले दिए गए पदों से 'a' (पहला पद) और 'd' (सार्वअंतर) निकालें. फिर इन मानों का उपयोग करके 40वें पद को \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र से ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: जब दो पद दिए हों, तो हमेशा \( a_n = a + (n - 1)d \) का उपयोग करके दो रैखिक समीकरण बनाएं और उन्हें हल करके \( a \) और \( d \) ज्ञात करें। यह पहला महत्वपूर्ण कदम है।

Question 4. किसी समान्तर श्रेढ़ी के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और – 8 हैं, तो इसका कौनसा पद शुन्य होगा?
Answer:
माना कि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 'a' और सार्वअंतर 'd' है।
दिया गया है:
तीसरा पद \( a_3 = 4 \)
\( a + 2d = 4 \) .......(1)
नौवाँ पद \( a_9 = -8 \)
\( a + 8d = -8 \) .......(2)

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर:
\( (a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4 \)
\( 6d = -12 \)
\( d = \frac{-12}{6} \)
\( d = -2 \)

\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(-2) = 4 \)
\( a - 4 = 4 \)
\( a = 4 + 4 \)
\( a = 8 \)
अब, हमें वह पद ज्ञात करना है जो शून्य है, यानी \( a_n = 0 \).
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\( 0 = 8 + (n - 1)(-2) \)
\( 0 = 8 - 2n + 2 \)
\( 0 = 10 - 2n \)
\( 2n = 10 \)
\( n = \frac{10}{2} \)
\( n = 5 \)
अतः इस समान्तर श्रेढ़ी का 5वाँ पद शून्य होगा। एक घटती हुई समान्तर श्रेढ़ी में पद शून्य हो सकता है।
In simple words: पहले दो दिए गए पदों से 'a' और 'd' निकालें. फिर, \( a_n = 0 \) लेकर \( n \) का मान ज्ञात करें, यह बताएगा कि कौन सा पद शून्य है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, आप 'a' और 'd' के मानों का उपयोग करके दिए गए पदों को फिर से जांच सकते हैं। उदाहरण के लिए, \( a_3 = 8 + 2(-2) = 8 - 4 = 4 \), जो सही है।

Question 5. किसी समान्तर श्रेढ़ी का तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है, तो समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 'a' और सार्वअंतर 'd' है।
दिया गया है:
तीसरा पद \( a_3 = 16 \)
\( a + (3 - 1)d = 16 \)
\( a + 2d = 16 \) .......(1)

प्रश्न के अनुसार, 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है:
\( a_7 = a_5 + 12 \)
\( a + (7 - 1)d = a + (5 - 1)d + 12 \)
\( a + 6d = a + 4d + 12 \)
दोनों तरफ से 'a' घटाने पर:
\( 6d = 4d + 12 \)
\( 6d - 4d = 12 \)
\( 2d = 12 \)
\( d = \frac{12}{2} \)
\( d = 6 \)

\( d \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + 2(6) = 16 \)
\( a + 12 = 16 \)
\( a = 16 - 12 \)
\( a = 4 \)
इसलिए, समान्तर श्रेढ़ी के पद हैं \( a, a+d, a+2d, a+3d, \dots \)
\( 4, 4+6, 4+2(6), 4+3(6), \dots \)
\( 4, 10, 16, 22, \dots \)
अतः समान्तर श्रेढ़ी 4, 10, 16, 22, ... है। समान्तर श्रेढ़ी को उसके प्रथम पद और सार्वअंतर से परिभाषित किया जाता है।
In simple words: पहले दी गई शर्तों का उपयोग करके 'a' (पहला पद) और 'd' (सार्वअंतर) का मान निकालें. फिर इन मानों का उपयोग करके समान्तर श्रेढ़ी के पहले कुछ पद लिखें.

🎯 Exam Tip: '7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है' जैसी शर्तों को \( a_7 = a_5 + 12 \) के रूप में लिखकर एक समीकरण में बदलना सीखें। इससे \( d \) का मान सीधे मिल जाता है।

Question 6. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
Answer:
तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या 100 है और सबसे बड़ी संख्या 999 है।

हमें 7 से विभाज्य तीन अंकों की संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
7 से विभाज्य पहली तीन अंकों की संख्या:
100 को 7 से भाग देने पर शेषफल 2 आता है।
तो, पहली संख्या \( 100 + (7 - 2) = 105 \) है।

7 से विभाज्य अंतिम तीन अंकों की संख्या:
999 को 7 से भाग देने पर शेषफल 5 आता है।
तो, अंतिम संख्या \( 999 - 5 = 994 \) है।

इस प्रकार, हमें एक समान्तर श्रेढ़ी मिलती है: 105, 112, 119, ..., 994.
यहाँ प्रथम पद \( a = 105 \).
सार्वअंतर \( d = 7 \) (क्योंकि संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं).
अंतिम पद \( a_n = 994 \).

हम सूत्र \( a_n = a + (n - 1)d \) का उपयोग करेंगे:
\( 994 = 105 + (n - 1)7 \)
\( 994 - 105 = (n - 1)7 \)
\( 889 = (n - 1)7 \)
\( n - 1 = \frac{889}{7} \)
\( n - 1 = 127 \)
\( n = 127 + 1 \)
\( n = 128 \)
अतः, तीन अंकों वाली 128 संख्याएँ हैं जो 7 से विभाज्य हैं। 7 की विभाज्यता का अर्थ है कि हर 7वीं संख्या 7 से विभाज्य होगी, जिससे एक समान्तर श्रेढ़ी बनती है।
In simple words: पहले 7 से कटने वाली सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या (105) और सबसे बड़ी संख्या (994) खोजें. फिर 'a' = 105, 'd' = 7, और \( a_n \) = 994 का उपयोग करके \( a_n = a + (n-1)d \) सूत्र से कुल कितनी ऐसी संख्याएँ हैं (\( n \)) निकालें.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहला और अंतिम पद ज्ञात करना सबसे महत्वपूर्ण कदम है। छोटी संख्या के लिए, (संख्या + (भाजक - शेषफल)) और बड़ी संख्या के लिए, (संख्या - शेषफल) का उपयोग करें।

Question 7. समान्तर श्रेढ़ी 10, 7, 4, .....- 62 का अन्तिम पद से 11वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गई समान्तर श्रेढ़ी है 10, 7, 4, ..., -62.
यहाँ प्रथम पद \( a = 10 \).
सार्वअंतर \( d = 7 - 10 = -3 \).
अंतिम पद \( l = -62 \).

हमें अंतिम पद से 11वाँ पद ज्ञात करना है। अंतिम पद से \( k \)वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र है \( l - (k - 1)d \).
यहाँ \( k = 11 \).

अंतिम पद से 11वाँ पद \( = -62 - (11 - 1)(-3) \)
\( = -62 - (10)(-3) \)
\( = -62 - (-30) \)
\( = -62 + 30 \)
\( = -32 \)
अतः, इस समान्तर श्रेढ़ी का अंतिम पद से 11वाँ पद – 32 है। यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब हमें श्रेढ़ी के अंतिम सिरे से पदों की गणना करनी हो।
In simple words: इस श्रेणी में पहला पद 10, सार्वअंतर -3 और आखिरी पद -62 है. आखिर से 11वाँ पद ज्ञात करने के लिए, \( l - (n-1)d \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ \( l \) आखिरी पद है.

🎯 Exam Tip: अंतिम पद से \( k \)वें पद के लिए सूत्र \( l - (k - 1)d \) का उपयोग करें, न कि \( a + (k - 1)d \)। यह एक सामान्य गलती है, इसलिए ध्यान दें कि प्रश्न कहाँ से पद पूछ रहा है।

Question 9. एक समान्तर श्रेढ़ी में 60 पद हैं। यदि उसका प्रथम पद तथा अन्तिम पद क्रमशः 7 तथा 125 हैं, तो उसका 32वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 'a' और सार्वअंतर 'd' है।
कुल पदों की संख्या \( n = 60 \).
प्रथम पद \( a = 7 \).
अंतिम पद \( a_n = 125 \).

हम \( a_n = a + (n - 1)d \) सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( 125 = 7 + (60 - 1)d \)
\( 125 = 7 + 59d \)
\( 125 - 7 = 59d \)
\( 118 = 59d \)
\( d = \frac{118}{59} \)
\( d = 2 \)

अब, हमें 32वाँ पद ज्ञात करना है:
\( a_{32} = a + (32 - 1)d \)
\( a_{32} = 7 + (31) \times 2 \)
\( a_{32} = 7 + 62 \)
\( a_{32} = 69 \)
अतः समान्तर श्रेढ़ी का 32वाँ पद 69 है। सार्वअंतर ज्ञात करने के बाद, कोई भी पद आसानी से निकाला जा सकता है।
In simple words: पहले दिए गए प्रथम पद, अंतिम पद और कुल पदों की संख्या का उपयोग करके सार्वअंतर 'd' निकालें. फिर, इस 'd' और 'a' का उपयोग करके 32वाँ पद ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( a_n = a + (n - 1)d \) सूत्र का दो बार उपयोग किया जाता है: पहले \( d \) ज्ञात करने के लिए, और फिर वांछित पद ज्ञात करने के लिए।

Question 10. चार संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं। यदि संख्याओं का योग 50 तथा सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि समान्तर श्रेढ़ी में चार संख्याएँ \( a - 3d, a - d, a + d, a + 3d \) हैं। इस तरह से पदों को मानने से गणना आसान हो जाती है।

पहली शर्त के अनुसार, संख्याओं का योग 50 है:
\( (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 50 \)
\( a - 3d + a - d + a + d + a + 3d = 50 \)
\( 4a = 50 \)
\( a = \frac{50}{4} \)
\( a = \frac{25}{2} \)

दूसरी शर्त के अनुसार, सबसे बड़ी संख्या सबसे छोटी संख्या की चार गुनी है:
सबसे बड़ी संख्या \( = a + 3d \)
सबसे छोटी संख्या \( = a - 3d \)
\( a + 3d = 4(a - 3d) \)
\( a + 3d = 4a - 12d \)
\( 3d + 12d = 4a - a \)
\( 15d = 3a \)
\( d = \frac{3a}{15} \)
\( d = \frac{a}{5} \)

अब \( a \) का मान \( \frac{25}{2} \) रखने पर:
\( d = \frac{1}{5} \times \frac{25}{2} \)
\( d = \frac{5}{2} \)

अब हम चार संख्याएँ ज्ञात करेंगे:
पहली संख्या \( = a - 3d = \frac{25}{2} - 3 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{2} - \frac{15}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
दूसरी संख्या \( = a - d = \frac{25}{2} - \frac{5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
तीसरी संख्या \( = a + d = \frac{25}{2} + \frac{5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
चौथी संख्या \( = a + 3d = \frac{25}{2} + 3 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{2} + \frac{15}{2} = \frac{40}{2} = 20 \)
अतः समान्तर श्रेढ़ी की चार संख्याएँ 5, 10, 15 तथा 20 हैं। इस तरह की समस्याएं वास्तविक दुनिया में बंटवारे या प्रगति से संबंधित हो सकती हैं।
In simple words: चार संख्याओं को \( a-3d, a-d, a+d, a+3d \) मानें. उनके योग और सबसे बड़ी व सबसे छोटी संख्या के संबंध से 'a' और 'd' के मान निकालें. फिर इन मानों से चारों संख्याएँ ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: जब समान्तर श्रेढ़ी में पदों की संख्या सम हो (जैसे 4 या 6), तो पदों को \( a-3d, a-d, a+d, a+3d \) (या समान पैटर्न) के रूप में मानना सबसे अच्छा है, क्योंकि इससे 'd' वाले पद जोड़ने पर कट जाते हैं और 'a' आसानी से मिल जाता है।