RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ी Exercise 5.1

समान्तर श्रेढ़ी Ex 5.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद \( a \) एवं सार्वअन्तर \( d \) ज्ञात कीजिए-
(i) 6, 9, 12, 15, .....
(ii) – 7, – 9, – 11, - 13, .....
(iii) \( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}, \dots \).
(iv) 1, – 2, – 5, – 8, .....
(v) -1, \( \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \dots \).
(vi) 3, 1, – 1, – 3, ....
(vii) 3, – 2, – 7, – 12, ....
Answer:
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी 6, 9, 12, 15, ..... के लिए प्रथम पद \( a = 6 \) है. सार्वअन्तर \( d = 9 - 6 = 3 \) है. यहाँ प्रत्येक अगले पद और पिछले पद का अंतर 3 है.
(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी - 7, - 9, - 11, - 13, ..... के लिए प्रथम पद \( a = -7 \) है. सार्वअन्तर \( d = -9 - (-7) = -9 + 7 = -2 \) है. यहाँ प्रत्येक पद में से 2 कम हो रहा है.
(iii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी \( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, \frac{-3}{2}, \ldots \) के लिए प्रथम पद \( a = \frac{3}{2} \) है. सार्वअन्तर \( d = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) है. हर अगले पद में 1 कम होता जा रहा है.
(iv) दी गई समान्तर श्रेढ़ी 1, - 2, - 5, - 8, ..... के लिए प्रथम पद \( a = 1 \) है. सार्वअन्तर \( d = -2 - 1 = -3 \) है. प्रत्येक पद में से 3 घट रहा है.
(v) दी गई समान्तर श्रेढ़ी -1, \( \frac{1}{4}, \frac{3}{2}, \dots \) के लिए प्रथम पद \( a = -1 \) है. सार्वअन्तर \( d = \frac{1}{4} - (-1) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \) है. यहाँ प्रत्येक पद में \( \frac{5}{4} \) जुड़ रहा है.
(vi) दी गई समान्तर श्रेढ़ी 3, 1, – 1, – 3, ....
(vii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी 3, – 2, – 7, – 12, ....
In simple words: हमें दी गई श्रेणियों का पहला पद (a) और पदों के बीच का अंतर (d) बताना है. पहला पद तो साफ-साफ दिख जाता है, और अंतर निकालने के लिए किसी भी पद में से उसके ठीक पहले वाला पद घटा दो.

🎯 Exam Tip: सार्वअन्तर (d) निकालते समय हमेशा अगले पद में से पिछले पद को घटाएं, और ऋणात्मक संख्याओं के चिन्हों का ध्यान रखें.

प्रश्न 2. यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी के लिए प्रथम पद \( a \) एवं सार्वअन्तर \( d \) निम्नानुसार दिया हुआ है, तो उस श्रेढ़ी के प्रथम चार पद लिखिए।
(i) \( a = -1, d = \frac{1}{2} \)
(ii) \( a = \frac{1}{3}, d = \frac{4}{3} \)
(iii) \( a = 0.6, d = 1.1 \)
(iv) \( a = 4, d = -3 \)
(v) \( a = 11, d = -4 \)
(vi) \( a = -1.25, d = -0.25 \)
(vii) \( a = 20, d = \frac{-3}{4} \)
Answer: समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( a, a+d, a+2d, a+3d \) होते हैं.
(i) \( a = -1, d = \frac{1}{2} \) के लिए पद हैं:
\( -1 \)
\( -1 + \frac{1}{2} = \frac{-1}{2} \)
\( -1 + 2 \times \frac{1}{2} = -1 + 1 = 0 \)
\( -1 + 3 \times \frac{1}{2} = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \) हैं. प्रत्येक पद में \( \frac{1}{2} \) जुड़ रहा है.
(ii) \( a = \frac{1}{3}, d = \frac{4}{3} \) के लिए पद हैं:
\( \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \)
\( \frac{1}{3} + 2 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
\( \frac{1}{3} + 3 \times \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{13}{3} \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3} \) हैं. यहाँ प्रत्येक पद में \( \frac{4}{3} \) जोड़ा जा रहा है.
(iii) \( a = 0.6, d = 1.1 \) के लिए पद हैं:
\( 0.6 \)
\( 0.6 + 1.1 = 1.7 \)
\( 0.6 + 2 \times 1.1 = 0.6 + 2.2 = 2.8 \)
\( 0.6 + 3 \times 1.1 = 0.6 + 3.3 = 3.9 \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( 0.6, 1.7, 2.8, 3.9 \) हैं. यह एक अंकगणितीय प्रगति है.
(iv) \( a = 4, d = -3 \) के लिए पद हैं:
\( 4 \)
\( 4 + (-3) = 1 \)
\( 4 + 2 \times (-3) = 4 - 6 = -2 \)
\( 4 + 3 \times (-3) = 4 - 9 = -5 \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( 4, 1, -2, -5 \) हैं. यहाँ हर अगले पद में 3 की कमी हो रही है.
(v) \( a = 11, d = -4 \) के लिए पद हैं:
\( 11 \)
\( 11 + (-4) = 7 \)
\( 11 + 2 \times (-4) = 11 - 8 = 3 \)
\( 11 + 3 \times (-4) = 11 - 12 = -1 \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( 11, 7, 3, -1 \) हैं. यहाँ प्रत्येक पद में से 4 घट रहा है.
(vi) \( a = -1.25, d = -0.25 \) के लिए पद हैं:
\( -1.25 \)
\( -1.25 + (-0.25) = -1.50 \)
\( -1.25 + 2 \times (-0.25) = -1.25 - 0.50 = -1.75 \)
\( -1.25 + 3 \times (-0.25) = -1.25 - 0.75 = -2.00 \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 \) हैं. हर अगले पद में 0.25 कम हो रहा है.
(vii) \( a = 20, d = \frac{-3}{4} \) के लिए पद हैं:
\( 20 \)
\( 20 + (\frac{-3}{4}) = \frac{80-3}{4} = \frac{77}{4} \)
\( 20 + 2 \times (\frac{-3}{4}) = 20 - \frac{6}{4} = 20 - \frac{3}{2} = \frac{40-3}{2} = \frac{37}{2} = \frac{74}{4} \)
\( 20 + 3 \times (\frac{-3}{4}) = 20 - \frac{9}{4} = \frac{80-9}{4} = \frac{71}{4} \)
अतः, श्रेढ़ी के प्रथम चार पद \( 20, \frac{77}{4}, \frac{74}{4}, \frac{71}{4} \) हैं. यहाँ प्रत्येक पद में से \( \frac{3}{4} \) घट रहा है.
In simple words: हमें पहला पद और अंतर दिया गया है. किसी भी समान्तर श्रेढ़ी में अगला पद निकालने के लिए बस पिछले पद में अंतर को जोड़ते जाओ. पहले चार पद \( a \), फिर \( a+d \), फिर \( a+2d \), और आखिर में \( a+3d \) होते हैं.

🎯 Exam Tip: भिन्न या दशमलव संख्याओं के साथ काम करते समय गणना में बहुत सावधानी बरतें, खासकर जब ऋणात्मक चिन्ह शामिल हों.

प्रश्न 3. संख्याओं की निम्नलिखित सूचियों के लिए समान्तर श्रेढ़ी की जाँच कीजिए। यदि इनमें कोई समान्तर श्रेढ़ी है तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए तथा इसके अगले चार पद भी लिखिए।
(i) \( 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots \)
(ii) \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots \)
(iii) \( a, a^2, a^3, a^4, \dots \)
(iv) \( \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \dots \)
(v) \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots \)
(vi) \( a, 2a, 3a, 4a, \dots \)
(vii) \( 0.2, 0.22, 0.222, \dots \)
(viii) \( (3+\sqrt{2}), (3+2\sqrt{2}), (3+3\sqrt{2}), \dots \)
Answer: एक सूची समान्तर श्रेढ़ी होती है यदि किन्हीं भी दो लगातार पदों का अंतर हमेशा समान रहे. इस अंतर को सार्वअन्तर \( d \) कहते हैं.
(i) दी गई सूची है \( 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots \)
\( a_2 - a_1 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{5-4}{2} = \frac{1}{2} \)
\( a_3 - a_2 = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6-5}{2} = \frac{1}{2} \)
\( a_4 - a_3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7-6}{2} = \frac{1}{2} \)
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी है. इसका सार्वअन्तर \( d = \frac{1}{2} \) है.
अगले चार पद होंगे (अंतिम पद \( \frac{7}{2} \) है):
\( \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \)
\( \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
\( 5 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2} \)
अतः, श्रेढ़ी के अगले चार पद \( 4, \frac{9}{2}, 5, \frac{11}{2} \) हैं. यहाँ प्रत्येक पद में \( \frac{1}{2} \) जोड़ा जा रहा है.
(ii) दी गई सूची है \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \dots \)
\( a_2 - a_1 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)
\( a_3 - a_2 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)
\( a_4 - a_3 = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \)
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है (जो कि 0 है), यह एक समान्तर श्रेढ़ी है. इसका सार्वअन्तर \( d = 0 \) है.
अगले चार पद होंगे (अंतिम पद \( -\frac{1}{2} \) है):
\( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \)
अतः, श्रेढ़ी के अगले चार पद \( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \) हैं. क्योंकि सार्वअन्तर 0 है, पद नहीं बदलते.
(iii) दी गई सूची है \( a, a^2, a^3, a^4, \dots \)
\( a_2 - a_1 = a^2 - a = a(a-1) \)
\( a_3 - a_2 = a^3 - a^2 = a^2(a-1) \)
यहाँ \( a_2 - a_1 \neq a_3 - a_2 \) (जब तक \( a(a-1) = a^2(a-1) \) न हो, जो केवल \( a=0 \) या \( a=1 \) के लिए संभव है).
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान नहीं है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं है.
In simple words: इस तरह की श्रेढ़ी जिसमें पद घात में बढ़ते हैं, अक्सर समान्तर श्रेढ़ी नहीं होती क्योंकि पदों के बीच का अंतर बदलता रहता है.
(iv) दी गई सूची है \( \sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \dots \)
\( a_2 - a_1 = \sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{2}-1) \)
\( a_3 - a_2 = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \)
यहाँ \( a_2 - a_1 \neq a_3 - a_2 \).
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान नहीं है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं है. वर्गमूल वाले पदों में सावधानी बरतें.
(v) दी गई सूची है \( \sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \dots \)
पदों को सरल करें:
\( \sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
अब सूची है \( \sqrt{2}, 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, \dots \)
\( a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \)
\( a_3 - a_2 = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} \)
\( a_4 - a_3 = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2} \)
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी है. इसका सार्वअन्तर \( d = \sqrt{2} \) है.
अगले चार पद होंगे (अंतिम पद \( \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) है):
\( 4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{50} \)
\( 5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{72} \)
\( 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{98} \)
\( 7\sqrt{2} + \sqrt{2} = 8\sqrt{2} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{128} \)
अतः, श्रेढ़ी के अगले चार पद \( \sqrt{50}, \sqrt{72}, \sqrt{98}, \sqrt{128} \) हैं. यह एक नियमित पैटर्न का अनुसरण करता है.
(vi) दी गई सूची है \( a, 2a, 3a, 4a, \dots \)
\( a_2 - a_1 = 2a - a = a \)
\( a_3 - a_2 = 3a - 2a = a \)
\( a_4 - a_3 = 4a - 3a = a \)
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी है. इसका सार्वअन्तर \( d = a \) है.
अगले चार पद होंगे (अंतिम पद \( 4a \) है):
\( 4a + a = 5a \)
\( 5a + a = 6a \)
\( 6a + a = 7a \)
\( 7a + a = 8a \)
अतः, श्रेढ़ी के अगले चार पद \( 5a, 6a, 7a, 8a \) हैं. यहाँ प्रत्येक पद में \( a \) जुड़ रहा है.
(vii) दी गई सूची है \( 0.2, 0.22, 0.222, \dots \)
\( a_2 - a_1 = 0.22 - 0.2 = 0.02 \)
\( a_3 - a_2 = 0.222 - 0.22 = 0.002 \)
यहाँ \( a_2 - a_1 \neq a_3 - a_2 \).
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान नहीं है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी नहीं है. दशमलव स्थानों के कारण अंतर घटता जाता है.
(viii) दी गई सूची है \( (3+\sqrt{2}), (3+2\sqrt{2}), (3+3\sqrt{2}), \dots \)
\( a_2 - a_1 = (3+2\sqrt{2}) - (3+\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}-3-\sqrt{2} = \sqrt{2} \)
\( a_3 - a_2 = (3+3\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = 3+3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2} = \sqrt{2} \)
क्योंकि लगातार पदों का अंतर समान है, यह एक समान्तर श्रेढ़ी है. इसका सार्वअन्तर \( d = \sqrt{2} \) है.
अगले चार पद होंगे (अंतिम पद \( (3+3\sqrt{2}) \) है):
\( 3+3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3+4\sqrt{2} \)
\( 3+4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3+5\sqrt{2} \)
\( 3+5\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3+6\sqrt{2} \)
\( 3+6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3+7\sqrt{2} \)
अतः, श्रेढ़ी के अगले चार पद \( 3+4\sqrt{2}, 3+5\sqrt{2}, 3+6\sqrt{2}, 3+7\sqrt{2} \) हैं. यह एक स्पष्ट पैटर्न के साथ एक समान्तर श्रेढ़ी है.
In simple words: किसी भी संख्याओं की सूची को समान्तर श्रेढ़ी तब कहते हैं जब उनके हर अगले-पिछले पद का अंतर हमेशा एक जैसा रहे. अगर अंतर बदलता है, तो वह समान्तर श्रेढ़ी नहीं होती. अगर है, तो वह अंतर \( d \) होता है और आगे के पद निकालने के लिए बस \( d \) जोड़ते जाओ.

🎯 Exam Tip: समान्तर श्रेढ़ी की जांच करने के लिए कम से कम दो या तीन बार लगातार पदों का अंतर निकालें. अगर सभी अंतर समान हों तभी उसे समान्तर श्रेढ़ी मानें.