RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण एवं असमिकाएँ More Ques

विविध प्रश्नमाला

Question 1. k के किस मान के लिए समीकरण युग्म x + y - 4 = 0; 2x + ky - 3 = 0 का कोई हल नहीं होगा
(क) 0
(ख) 2
(ग) 6
(घ) 8
Answer: (ख) 2
In simple words: जब समीकरणों का कोई हल नहीं होता, तो उनके \( a_1/a_2 \) और \( b_1/b_2 \) अनुपात बराबर होते हैं, लेकिन \( c_1/c_2 \) अनुपात अलग होता है। इस नियम को लगाने पर, \( k \) का मान 2 आता है।

🎯 Exam Tip: "कोई हल नहीं" की स्थिति के लिए हमेशा अनुपात शर्त \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) को याद रखें।

Question 2. के किस मान के लिए समीकरण युग्म 3x – 2y = 0 तथा kx + 5y = 0 के अनन्त हल होंगे
(क) \( \frac { 1 }{ 2 } \)
(ख) 3
(ग) \( \frac { -5 }{ 3 } \)
(घ) \( \frac { -15 }{ 2 } \)
Answer: (घ) \( \frac { -15 }{ 2 } \)
In simple words: अनन्त हल होने के लिए, समीकरणों के \( a_1/a_2 \), \( b_1/b_2 \) और \( c_1/c_2 \) सभी अनुपात बराबर होने चाहिए। यहाँ \( c_1 \) और \( c_2 \) दोनों शून्य हैं, इसलिए केवल \( a_1/a_2 = b_1/b_2 \) की शर्त लगाने पर \( k \) का मान \( \frac{-15}{2} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: अनन्त हल की स्थिति में सभी अनुपात समान होते हैं: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)। इसका मतलब है कि रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर (संपाती) होती हैं।

Question 3. समीकरण युग्म kx - y = 2; 6x – 2y = 3 का हल अद्वितीय होगा, यदि
(क) k = 2
(ख) k = 3
(ग) k \( \neq \) 3
(घ) k \( \neq \) 0
Answer: (ग) k \( \neq \) 3
In simple words: अद्वितीय हल के लिए, समीकरणों की रेखाएँ एक बिंदु पर काटनी चाहिए, जिसका मतलब है कि \( a_1/a_2 \) और \( b_1/b_2 \) अनुपात बराबर नहीं होने चाहिए। जब हम इस शर्त को दिए गए समीकरणों पर लागू करते हैं, तो \( k \) का मान 3 के बराबर नहीं होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: अद्वितीय हल की स्थिति के लिए \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) शर्त का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें।

Question 4. Typesetting math: 6% के संगत समीकरण व्यक्त करते हैं
Answer: (ग) अनन्त हल (संपाती रेखाएँ)
In simple words: इस प्रश्न का पाठ OCR में अस्पष्ट है, लेकिन अगर यह रैखिक समीकरणों के युग्म के बारे में पूछ रहा है, और विकल्प (ग) सही है, तो यह अक्सर अनन्त हल या संपाती रेखाओं को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: जब प्रश्न अधूरा हो, तो ज्ञात विकल्पों और संदर्भ (जैसे रैखिक समीकरणों के हल) के आधार पर सबसे संभावित अर्थ निकालें।

Question 5. असमिका y - 3 \( \leq \) 0 के संगत रेखा के लिए निम्न कथन सत्य है
(क) x-अक्ष के समान्तर है।
(ख) 1-अक्ष के समान्तर है
(ग) x-अक्ष को विभाजित करती है
(घ) मूल बिन्दु से गुजरती है।
Answer: (क) x-अक्ष के समान्तर है।
In simple words: असमिका \( y - 3 \leq 0 \) का मतलब है \( y \leq 3 \)। इसकी संगत रेखा \( y = 3 \) है, जो हमेशा x-अक्ष के समानांतर होती है, क्योंकि यह x-अक्ष से 3 इकाई ऊपर एक सीधी क्षैतिज रेखा है।

🎯 Exam Tip: किसी भी अचर \( c \) के लिए रेखा \( y = c \) हमेशा x-अक्ष के समानांतर होती है, जबकि \( x = c \) रेखा y-अक्ष के समानांतर होती है।

Question 6. निम्न रैखिक समीकरण युग्म के हलों की संख्या लिखिए- x + 2y - 8 = 0; 2x + 4y = 16
Answer: समीकरण युग्म हैं:
\( x + 2y - 8 = 0 \) ...(i)
\( 2x + 4y = 16 \)
दूसरे समीकरण को \( 2x + 4y - 16 = 0 \) ...(ii) के रूप में भी लिख सकते हैं।
अब, हम समीकरण (i) और (ii) के गुणांकों की तुलना करते हैं:
पहले समीकरण से: \( a_1 = 1, b_1 = 2, c_1 = -8 \)
दूसरे समीकरण से: \( a_2 = 2, b_2 = 4, c_2 = -16 \)
अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए समीकरण युग्म के अनगिनत (असीमित) हल होंगे। इसका मतलब है कि रेखाएँ संपाती हैं, यानी एक-दूसरे के ऊपर हैं।
In simple words: जब दो समीकरणों की रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर होती हैं (यानी, एक समीकरण दूसरे का गुणज होता है), तो उनके बहुत सारे हल होते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं और उनके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

Question 7. यदि समीकरण युग्म 2x + 3y = 7, (a + b)x + (2a - b)y = 21 के अनन्त हल हों तो a, b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए समीकरण युग्म हैं:
\( 2x + 3y = 7 \) ...(i)
\( (a + b)x + (2a - b)y = 21 \) ...(ii)
इन समीकरणों को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में बदलने पर:
\( 2x + 3y - 7 = 0 \)
\( (a + b)x + (2a - b)y - 21 = 0 \)
अनन्त हल होने के लिए, गुणांकों का अनुपात बराबर होना चाहिए: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
यहां, \( a_1 = 2, b_1 = 3, c_1 = -7 \)
और \( a_2 = (a + b), b_2 = (2a - b), c_2 = -21 \)
मान रखने पर:
\( \frac{2}{a+b} = \frac{3}{2a-b} = \frac{-7}{-21} \)
सबसे पहले, \( \frac{-7}{-21} \) को सरल करते हैं, जो \( \frac{1}{3} \) के बराबर है।
इसलिए, हम लिख सकते हैं:
\( \frac{2}{a+b} = \frac{1}{3} \)
\( \implies 2 \times 3 = 1 \times (a+b) \)
\( \implies a+b = 6 \) ...(iii)
और दूसरे अनुपात से:
\( \frac{3}{2a-b} = \frac{1}{3} \)
\( \implies 3 \times 3 = 1 \times (2a-b) \)
\( \implies 2a-b = 9 \) ...(iv)
अब, समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर:
\( (a+b) + (2a-b) = 6 + 9 \)
\( 3a = 15 \)
\( \implies a = \frac{15}{3} \)
\( \implies a = 5 \)
\( a \) का मान समीकरण (iii) में रखने पर:
\( 5 + b = 6 \)
\( \implies b = 6 - 5 \)
\( \implies b = 1 \)
इस प्रकार, \( a=5 \) और \( b=1 \) अभीष्ट हल हैं।
In simple words: अगर दो समीकरणों के बहुत सारे हल हैं, तो उनके \( a, b, c \) मानों का अनुपात एक जैसा होना चाहिए। इस नियम का उपयोग करके, हमें दो सरल समीकरण मिलते हैं। इन समीकरणों को हल करने पर, हमें \( a \) का मान 5 और \( b \) का मान 1 मिलता है।

🎯 Exam Tip: अनन्त हल वाले प्रश्नों में, अनुपात समानता की शर्त को दो अलग-अलग समीकरणों में तोड़कर हल करना सबसे आसान तरीका है।

Question 8. समुच्चय को छायांकित कीजिए।
Answer: क्योंकि प्रश्न में किसी विशिष्ट समुच्चय (जैसे कि एक वेन आरेख या संख्या रेखा) का उल्लेख नहीं किया गया है, इसलिए उसका चित्र बनाना संभव नहीं है। आमतौर पर, किसी समुच्चय को छायांकित करने का मतलब है कि वे सभी क्षेत्र दिखाए जाएं जो उस समुच्चय के सदस्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक वेन आरेख में समुच्चय 'A' को छायांकित करना हो, तो हम 'A' से संबंधित पूरे वृत्त को रंग देंगे।
In simple words: सवाल में कोई खास सेट नहीं दिया गया है। जब हमें किसी सेट को छायांकित करने के लिए कहा जाता है, तो हम उस सेट के सभी हिस्सों को भर देते हैं, जैसे किसी गोल घेरे (वृत्त) को रंगना।

🎯 Exam Tip: किसी भी छायांकन प्रश्न में, यह सुनिश्चित करें कि आप उन सभी क्षेत्रों को पूरी तरह से रंग दें जो दिए गए समुच्चय या शर्त का प्रतिनिधित्व करते हैं।

Question 9. असमिका 2x + 3y \( \geq \) 3 के हल समुच्चय को छायांकित कीजिए।
Answer: असमिका \( 2x + 3y \geq 3 \) के हल समुच्चय को छायांकित करने के लिए, हम इन चरणों का पालन करते हैं:
1. सबसे पहले, दी गई असमिका के संगत रैखिक समीकरण \( 2x + 3y = 3 \) पर विचार करते हैं।
2. इस रेखा को आलेखित करने के लिए, हम दो बिंदु ज्ञात करते हैं:
- जब \( x = 0 \), तो \( 3y = 3 \implies y = 1 \)। इसलिए, बिंदु \( (0, 1) \) है।
- जब \( y = 0 \), तो \( 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \)। इसलिए, बिंदु \( (\frac{3}{2}, 0) \) है।
3. चूंकि असमिका में 'बराबर' का चिह्न \( (\geq) \) शामिल है, इसलिए रेखा को ठोस (डॉटेड नहीं) बनाया जाता है, क्योंकि रेखा पर स्थित बिंदु भी हल का हिस्सा होते हैं।
4. अब, यह निर्धारित करने के लिए कि किस क्षेत्र को छायांकित करना है, हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखकर जाँचते हैं:
\( 2(0) + 3(0) \geq 3 \)
\( 0 \geq 3 \)
यह कथन असत्य है।
5. क्योंकि मूल बिंदु असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए हल क्षेत्र वह होगा जो रेखा \( 2x + 3y = 3 \) के दूसरी तरफ है (मूल बिंदु के विपरीत)। इसमें रेखा स्वयं भी शामिल होगी।
इस प्रक्रिया के बाद, ग्राफ में मूल बिंदु के विपरीत दिशा वाले क्षेत्र को छायांकित किया जाएगा।
In simple words: पहले \( 2x + 3y = 3 \) रेखा बनाते हैं। यह रेखा ठोस होगी क्योंकि इसमें 'बराबर' का चिह्न है। फिर, यह देखने के लिए कि कौन सा क्षेत्र छायांकित करना है, मूल बिंदु \( (0,0) \) को जाँचते हैं। क्योंकि \( 0 \geq 3 \) गलत है, इसलिए मूल बिंदु वाला हिस्सा छायांकित नहीं होगा। हम रेखा के दूसरी तरफ के क्षेत्र को रंग देंगे, जिसमें रेखा भी शामिल है।

🎯 Exam Tip: असमिका के हल क्षेत्र को छायांकित करते समय, 'बराबर' चिह्न \( (\geq \text{ या } \leq) \) होने पर हमेशा ठोस रेखा बनाएं और 'बराबर' चिह्न न होने पर \( (> \text{ या } <) \) हमेशा डैश वाली रेखा बनाएं।

Question 10. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि 4x +3y = a है। x +3y = 6; 2x – 3y = 12 (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer: दिए गए समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण के लिए बिंदुओं की एक सारणी बनाते हैं और उन्हें ग्राफ पर आलेखित करते हैं।

**समीकरण 1: \( x + 3y = 6 \)**
इस समीकरण को \( y \) के लिए हल करने पर: \( 3y = 6 - x \implies y = \frac{6-x}{3} \)
बिंदु ज्ञात करने के लिए:
- जब \( x = 0 \), तो \( y = \frac{6-0}{3} = 2 \)। बिंदु \( (0, 2) \)
- जब \( x = 3 \), तो \( y = \frac{6-3}{3} = 1 \)। बिंदु \( (3, 1) \)
- जब \( x = 6 \), तो \( y = \frac{6-6}{3} = 0 \)। बिंदु \( (6, 0) \)
 

**समीकरण 2: \( 2x - 3y = 12 \)**
इस समीकरण को \( y \) के लिए हल करने पर: \( 3y = 2x - 12 \implies y = \frac{2x-12}{3} \)
बिंदु ज्ञात करने के लिए:
- जब \( x = 0 \), तो \( y = \frac{2(0)-12}{3} = -4 \)। बिंदु \( (0, -4) \)
- जब \( x = 3 \), तो \( y = \frac{2(3)-12}{3} = \frac{6-12}{3} = -2 \)। बिंदु \( (3, -2) \)
- जब \( x = 6 \), तो \( y = \frac{2(6)-12}{3} = \frac{12-12}{3} = 0 \)। बिंदु \( (6, 0) \)

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करके रेखाएँ खींचने पर, दोनों रेखाएँ बिंदु \( P(6, 0) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए, समीकरण युग्म का हल \( x=6 \) और \( y=0 \) है।

अब, \( a \) का मान ज्ञात करने के लिए, हम हल \( (x=6, y=0) \) को समीकरण \( 4x + 3y = a \) में प्रतिस्थापित करते हैं:
\( 4(6) + 3(0) = a \)
\( 24 + 0 = a \)
\( a = 24 \)
In simple words: पहले दोनों समीकरणों के लिए ग्राफ पर कुछ बिंदु बनाते हैं। फिर, इन बिंदुओं को जोड़कर रेखाएँ खींचते हैं। जहाँ ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही समीकरणों का हल होता है, जो कि \( (6,0) \) है। इस हल को \( 4x + 3y = a \) में डालने पर, \( a \) का मान 24 निकलता है।

🎯 Exam Tip: आलेखीय विधि से हल करते समय, सटीक ग्राफ के लिए कम से कम तीन बिंदु लेना एक अच्छा अभ्यास है ताकि रेखा की सटीकता सुनिश्चित हो सके।

Question 11. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखिक विधि से हल कीजिए तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ निरूपित रेखाएँ y-अक्ष को काटती हैं। 3x + 2y = 12; 5x – 2y = 4
Answer: दिए गए समीकरण युग्म को आलेखीय विधि से हल करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण के लिए बिंदुओं की एक सारणी बनाते हैं और उन्हें ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।

**समीकरण 1: \( 3x + 2y = 12 \)**
इस समीकरण को \( y \) के लिए हल करने पर: \( 2y = 12 - 3x \implies y = \frac{12-3x}{2} \)
बिंदु ज्ञात करने के लिए:
- जब \( x = 0 \), तो \( y = \frac{12-0}{2} = 6 \)। बिंदु \( (0, 6) \)। यह y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु है।
- जब \( x = 2 \), तो \( y = \frac{12-3(2)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)। बिंदु \( (2, 3) \)
- जब \( x = 4 \), तो \( y = \frac{12-3(4)}{2} = 0 \)। बिंदु \( (4, 0) \)
 

**समीकरण 2: \( 5x - 2y = 4 \)**
इस समीकरण को \( y \) के लिए हल करने पर: \( 2y = 5x - 4 \implies y = \frac{5x-4}{2} \)
बिंदु ज्ञात करने के लिए:
- जब \( x = 0 \), तो \( y = \frac{5(0)-4}{2} = -2 \)। बिंदु \( (0, -2) \)। यह y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु है।
- जब \( x = 2 \), तो \( y = \frac{5(2)-4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)। बिंदु \( (2, 3) \)

इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करके दोनों रेखाएँ खींचने पर, वे एक-दूसरे को बिंदु \( (2, 3) \) पर काटती हैं। अतः, समीकरण युग्म का हल \( x=2, y=3 \) है।
वे बिंदु जहाँ रेखाएँ y-अक्ष को काटती हैं:
- समीकरण \( 3x + 2y = 12 \) y-अक्ष को बिंदु \( (0, 6) \) पर काटता है।
- समीकरण \( 5x - 2y = 4 \) y-अक्ष को बिंदु \( (0, -2) \) पर काटता है।
In simple words: पहले दोनों समीकरणों के लिए बिंदु निकाल कर ग्राफ पर रेखाएँ बनाते हैं। ये रेखाएँ बिंदु \( (2,3) \) पर मिलती हैं, जो कि हमारा हल है। पहली रेखा y-अक्ष को \( (0,6) \) पर काटती है, और दूसरी रेखा y-अक्ष को \( (0,-2) \) पर काटती है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण में \( x=0 \) रखें और \( y \) का मान निकालें। x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए, \( y=0 \) रखें और \( x \) का मान ज्ञात करें।

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Question 1. यदि 2x + y = 6 हो तो इसको सन्तुष्ट करने वाला युग्म है
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (2, 2)
(D) (1, 1)
Answer: (C) (2, 2)
In simple words: समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, \( x \) और \( y \) के मान समीकरण में रखने पर, समीकरण का बायाँ और दाहिना पक्ष बराबर आना चाहिए। विकल्प (C) के \( x=2 \) और \( y=2 \) रखने पर, \( 2(2) + 2 = 6 \) आता है, जो सही है।

🎯 Exam Tip: MCQs में, प्रत्येक विकल्प को समीकरण में रखकर देखें कि कौन सा विकल्प समीकरण को संतुष्ट करता है।

Question 2. यदि \( \frac{4}{x}+5y=7 \) तथा \( x=-\frac{4}{3} \) हो, तो y का मान होगा-
(A) \( \frac{37}{15} \)
(B) 2
(C) \( \frac{1}{2} \)
(D) \( \frac{1}{3} \)
Answer: (B) 2
In simple words: दिए गए \( x \) के मान को समीकरण में रखने पर, हमें \( y \) के लिए एक सरल समीकरण मिलता है। \( x = -\frac{4}{3} \) रखने पर, \( -3 + 5y = 7 \) हो जाता है, जिसे हल करने पर \( y = 2 \) आता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दिए गए चर के मान को समीकरण में सावधानी से प्रतिस्थापित करें और फिर दूसरे चर के लिए हल करें। भिन्नों को सही ढंग से गुणा/भाग करना सुनिश्चित करें।

Question 3. समीकरण \( \frac{y-3}{7}-\frac{x}{2}=1 \) में यदि y = 10 हो, तो x बराबर है-
(A) 0
(B) 1
(C) - 2
(D) 2
Answer: (A) 0
In simple words: समीकरण में \( y=10 \) रखने पर, \( \frac{10-3}{7} \) का मान 1 हो जाता है। तब समीकरण \( 1 - \frac{x}{2} = 1 \) बन जाता है, जिससे \( -\frac{x}{2} = 0 \) और अंत में \( x = 0 \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: भिन्नों वाले समीकरणों में, चरों को प्रतिस्थापित करने के बाद सावधानी से सरल करें, विशेषकर हर (denominator) के साथ।

Question 4. यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत है, तो इसके आलेख की रेखायें होंगी-
(A) समान्तर
(B) सदैव सम्पाती
(C) प्रतिच्छेदी या संपाती
(D) कोई हल नहीं
Answer: (C) प्रतिच्छेदी या संपाती
In simple words: संगत समीकरण युग्म वह होता है जिसका कम से कम एक हल हो। ऐसा तब होता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं (प्रतिच्छेदी) या एक-दूसरे के ऊपर होती हैं (संपाती)।

🎯 Exam Tip: संगत युग्म का अर्थ है कि समीकरणों का कोई हल मौजूद है। यदि हल अद्वितीय है तो रेखाएँ प्रतिच्छेदी होंगी, और यदि अनेक हल हैं तो रेखाएँ संपाती होंगी।

Question 5. का एक हल है
(A) का एक हल है
(B) के दो हल हैं।
(C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(D) का कोई हल नहीं है।
Answer: (D) का कोई हल नहीं है।
In simple words: इस प्रश्न का पाठ स्पष्ट नहीं है, क्योंकि यह विकल्पों से शुरू होता है। लेकिन यदि सही उत्तर (D) है, तो यह उस स्थिति को दर्शाता है जहाँ समीकरणों के युग्म या असमिका का कोई समाधान मौजूद नहीं है।

🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न अधूरा है, तो दिए गए विकल्पों के संदर्भ को समझें, विशेष रूप से 'हल की संख्या' से संबंधित विकल्पों के लिए।

Question 6. पिता की आयु पुत्र की आयु की तिगुनी है, यदि पिता की आयु x वर्ष है, तो 5 वर्ष बाद पुत्र की आयु होगी।
(A) \( 3x +5 \)
(B) \( x +5 \)
(C) \( \frac{x}{3}+5 \)
(D) \( \frac{x+5}{3} \)
Answer: (C) \( \frac{x}{3}+5 \)
In simple words: पिता की वर्तमान आयु \( x \) है और वह पुत्र की आयु की तिगुनी है, तो पुत्र की वर्तमान आयु \( x/3 \) होगी। 5 साल बाद पुत्र की आयु में 5 साल जुड़ जाएंगे।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी प्रश्नों में, वर्तमान आयु के आधार पर संबंध स्थापित करें और फिर भविष्य या भूतकाल की आयु के लिए उचित रूप से जोड़ या घटाव करें।

Question 7. x-अक्ष पर बिन्दु है
(A) (2; 3)
(B) (2, 0)
(C) (0, 2)
(D) (2, 2)
Answer: (B) (2, 0)
In simple words: x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है। दिए गए विकल्पों में, केवल \( (2,0) \) इस शर्त को पूरा करता है।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर बिंदु \( (x, 0) \) के रूप में होते हैं, और y-अक्ष पर बिंदु \( (0, y) \) के रूप में होते हैं।

Question 8. बिन्दु P(3, – 4) जिस चतुर्थाश में है, वह है
(A) प्रथम
(B) द्वितीय
(C) तृतीय
(D) चतुर्थ
Answer: (D) चतुर्थ
In simple words: निर्देशांक \( (3, -4) \) में \( x \) धनात्मक है और \( y \) ऋणात्मक है। ऐसा बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में आता है, जहाँ x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों के चिह्नों को याद रखें: प्रथम (+,+), द्वितीय (-,+), तृतीय (-,-), चतुर्थ (+,-)।

Question 9. एक असमिका का चिह्न-
(A) बदलता है जब हम असमिको के दोनों ओर एक धनात्मक संख्या से गुणा करते हैं।
(B) बदलता है जब असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं।
(C) निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता है।
(D) Typesetting math: 6%
Answer: (B) बदलता है जब असमिका के दोनों ओर एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं।
In simple words: जब आप असमिका को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो उसका चिह्न (जैसे \( < \) या \( > \)) विपरीत हो जाता है। धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न नहीं बदलता।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं को हल करते समय, ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न पलटना एक सामान्य गलती है; हमेशा इस नियम को ध्यान में रखें।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. K के किस मान के लिए समीकरण निकाय 2x + ky = 1; 3x – 5y = 7 का कोई हल विद्यमान नहीं है?
Answer: समीकरण निकाय का कोई हल न होने के लिए, गुणांकों का अनुपात \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) होना चाहिए।
दिए गए समीकरण हैं:
\( 2x + ky - 1 = 0 \)
\( 3x - 5y - 7 = 0 \)
यहां, \( a_1 = 2, b_1 = k, c_1 = -1 \)
और \( a_2 = 3, b_2 = -5, c_2 = -7 \)
शर्त लागू करने पर:
\( \frac{2}{3} = \frac{k}{-5} \)
\( \implies 3k = -10 \)
\( \implies K = -\frac{10}{3} \)
हमें यह भी जांचना होगा कि \( \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
\( \frac{k}{-5} \neq \frac{-1}{-7} \)
\( \frac{-\frac{10}{3}}{-5} \neq \frac{1}{7} \)
\( \frac{10}{15} \neq \frac{1}{7} \)
\( \frac{2}{3} \neq \frac{1}{7} \)
यह स्थिति सत्य है। अतः, \( K = -\frac{10}{3} \) मान के लिए समीकरण निकाय का कोई हल विद्यमान नहीं होगा।
In simple words: जब दो रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं और कभी नहीं मिलतीं, तो उनका कोई हल नहीं होता। इसके लिए हमें \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \) लेकिन \( \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त का उपयोग करना पड़ता है। इससे \( K \) का मान \( -\frac{10}{3} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: "कोई हल नहीं" की शर्त में \( \frac{c_1}{c_2} \) के साथ असमानता की जांच करना न भूलें; यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ समानांतर हैं, संपाती नहीं।

Question 2. अनुपातों \( \frac{a_{1}}{a_{2}} \), \( \frac{b_{1}}{b_{2}} \) और \( \frac{c_{1}}{c_{2}} \) की तुलना कर ज्ञात कीजिये कि रैखिक समीकरणों 2x - 2y - 2 = 0 तथा 4x – 4y - 5 = 0 के युग्म संगत हैं। या असंगत
Answer: दिए गए रैखिक समीकरण हैं:
\( 2x - 2y - 2 = 0 \)
\( 4x - 4y - 5 = 0 \)
इन समीकरणों की मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) से तुलना करने पर, हमें गुणांक मिलते हैं:
पहले समीकरण से: \( a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2 \)
दूसरे समीकरण से: \( a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रेखाएँ समानांतर हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। ऐसे समीकरण युग्म असंगत होते हैं।
In simple words: हमने देखा कि \( a_1/a_2 \) और \( b_1/b_2 \) बराबर हैं, लेकिन \( c_1/c_2 \) अलग है। इसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं और उनका कोई हल नहीं है। इसलिए, यह समीकरण युग्म असंगत है।

🎯 Exam Tip: यदि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) हो, तो समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ समानांतर होती हैं और युग्म असंगत होता है।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 3. तथा 3x – 12y + 8 = 0
Answer: दिए गए प्रश्न में दूसरा समीकरण \( 3x - 12y + 8 = 0 \) है। चूंकि एक रैखिक समीकरण युग्म की तुलना की जा रही है, हम यह मानेंगे कि पहला समीकरण \( x - 4y + 5 = 0 \) है (जैसा कि समाधान में \( a_1=1, b_1=-4, c_1=5 \) के रूप में संकेतित है)।
समीकरण युग्म हैं:
\( x - 4y + 5 = 0 \)
\( 3x - 12y + 8 = 0 \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
पहले समीकरण से: \( a_1 = 1, b_1 = -4, c_1 = 5 \)
दूसरे समीकरण से: \( a_2 = 3, b_2 = -12, c_2 = 8 \)
अब, अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{8} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रेखाएँ समानांतर हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। समीकरणों का यह युग्म असंगत है।
In simple words: हमने समीकरण युग्म के गुणांकों की तुलना की। हमें पता चला कि पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन तीसरा अनुपात अलग है। इसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं और कभी नहीं मिलेंगी, इसलिए समीकरण युग्म असंगत है।

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों का एक युग्म दिया गया हो, तो हमेशा पहले प्रत्येक समीकरण को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में लिखें और फिर अनुपातों की तुलना करें।

Question 4. दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का निरूपण एवं हल प्रस्तुत करने की विधियाँ लिखिए।
Answer: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को निरूपित करने और हल करने की प्रमुख विधियाँ निम्नलिखित हैं:
1. **ग्राफीय विधि (Graphical Method):** इस विधि में, हम प्रत्येक रैखिक समीकरण को ग्राफ पेपर पर एक सीधी रेखा के रूप में आलेखित करते हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु (यदि कोई हो) समीकरण युग्म का हल होता है। यदि रेखाएँ समानांतर हों, तो कोई हल नहीं होता, और यदि वे संपाती हों, तो अनन्त हल होते हैं।
2. **बीजीय विधि (Algebraic Method):** इस विधि में, समीकरणों को गणितीय नियमों का उपयोग करके हल किया जाता है। बीजीय विधि में कई उप-विधियाँ शामिल हैं:
- **प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):** इस विधि में, एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त किया जाता है, और फिर इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक चर वाले समीकरण को हल किया जाता है।
- **विलोपन विधि (Elimination Method):** इस विधि में, समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर के गुणांकों को बराबर किया जाता है, और फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर उस चर को विलोपित (हटाया) किया जाता है।
- **वज्रगुणन विधि (Cross-Multiplication Method):** यह विधि चरों के मानों को सीधे सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करने के लिए उपयोगी होती है, जो गुणांकों के वज्रगुणन से प्राप्त होता है।
In simple words: दो चरों वाले समीकरणों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं: पहला, ग्राफ बनाकर रेखाएँ खींचना और उनका मिलन बिंदु खोजना (ग्राफीय विधि)। दूसरा, गणित के नियमों का उपयोग करके हल निकालना (बीजीय विधि), जिसमें प्रतिस्थापन, विलोपन और वज्रगुणन जैसे तरीके शामिल हैं।

🎯 Exam Tip: प्रत्येक विधि की अपनी शक्तियां और कमजोरियां हैं; समीकरणों के प्रकार के आधार पर सबसे उपयुक्त विधि का चयन करें।

Question 5. रैखिक समीकरणों के असंगत युग्म से आप क्या समझते हो?
Answer: रैखिक समीकरणों का एक असंगत युग्म (Inconsistent pair of linear equations) वह होता है जिसका कोई हल नहीं होता है। इसका मतलब है कि चरों का ऐसा कोई भी मान मौजूद नहीं है जो समीकरण युग्म में दिए गए दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट कर सके।
ग्राफीय रूप से, असंगत समीकरण युग्म का अर्थ है कि समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करतीं। क्योंकि वे कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई ऐसा साझा बिंदु नहीं होता जो दोनों समीकरणों का हल हो।
गणितीय रूप से, यह तब होता है जब गुणांकों का अनुपात \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) होता है।
In simple words: असंगत समीकरण युग्म का मतलब है कि उन समीकरणों का कोई भी हल नहीं है। ऐसा तब होता है जब समीकरणों को दर्शाने वाली रेखाएँ समानांतर होती हैं और कभी नहीं मिलतीं।

🎯 Exam Tip: असंगत युग्म को \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त से पहचानना महत्वपूर्ण है, जो बताता है कि रेखाएँ समानांतर और भिन्न हैं।

Question 6. निम्न समीकरण निकाय के हलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए- 2x + 4y = 7, 3x + 6y = 10
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
\( 2x + 4y = 7 \) ...(i)
\( 3x + 6y = 10 \) ...(ii)
इन समीकरणों को मानक रूप \( Ax + By + C = 0 \) में लिखने पर:
\( 2x + 4y - 7 = 0 \)
\( 3x + 6y - 10 = 0 \)
गुणांकों की तुलना करने पर:
पहले समीकरण से: \( a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -7 \)
दूसरे समीकरण से: \( a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -10 \)
अब, हम अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए समीकरण निकाय द्वारा निरूपित रेखाएँ समानांतर हैं और वे कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगी। इस प्रकार, समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है, और हलों की प्रकृति असंगत है।
In simple words: हमने समीकरणों के गुणांकों को देखा। क्योंकि \( a_1/a_2 = b_1/b_2 \) है लेकिन \( \neq c_1/c_2 \), इसका मतलब है कि रेखाएँ समानांतर हैं। समानांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं, इसलिए इस समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है और यह असंगत है।

🎯 Exam Tip: हलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2} \) की तुलना करना सबसे तेज़ तरीका है।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. K के किस मान के लिए समीकरण निकाय \( 2x + ky = 1 \); \( 3x – 5y = 7 \) का कोई हल विद्यमान नहीं है?
Answer: दिए गए समीकरण निकाय के कोई हल न होने की शर्त है कि अनुपात \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) हो।
यहां, \( a_1 = 2 \), \( b_1 = k \), \( c_1 = -1 \)
और \( a_2 = 3 \), \( b_2 = -5 \), \( c_2 = -7 \)
मान रखने पर:
\( \frac{2}{3} = \frac{k}{-5} \neq \frac{-1}{-7} \)
पहले दो पदों को हल करने पर:
\( \frac{2}{3} = \frac{k}{-5} \)
\( 2 \times (-5) = 3 \times k \)
\( -10 = 3k \)
\( k = \frac{-10}{3} \)
इस मान के लिए, \( \frac{2}{3} \neq \frac{1}{7} \) (जो सही है).
इसलिए, \( k = -\frac{10}{3} \) होने पर समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होगा। यह मान सुनिश्चित करता है कि रेखाएं समानांतर होंगी और कभी नहीं मिलेंगी।
In simple words: हमें k का वह मान चाहिए जिसके लिए दो रेखाओं का कोई हल न हो, मतलब वे समानांतर हों। इसके लिए, उनके x-गुणांकों का अनुपात, y-गुणांकों के अनुपात के बराबर होना चाहिए, लेकिन स्थिर पदों के अनुपात के बराबर नहीं होना चाहिए। गणना करने पर हमें k का मान \( -\frac{10}{3} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: "कोई हल नहीं" की स्थिति के लिए हमेशा अनुपात \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) का उपयोग करें और सभी तीन अनुपातों की जांच करना न भूलें ताकि शर्त पूरी हो सके.

Question 2. अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} \) की तुलना कर ज्ञात कीजिये कि रैखिक समीकरणों \( 2x - 2y - 2 = 0 \) तथा \( 4x – 4y - 5 = 0 \) के युग्म संगत हैं या असंगत।
Answer: दिए गए समीकरणों के युग्म हैं:
\( 2x - 2y - 2 = 0 \)
\( 4x - 4y - 5 = 0 \)
इनकी तुलना मानक रूप \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) से करने पर, हमें मिलता है:
\( a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2 \)
\( a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5 \)
अब अनुपातों की गणना करते हैं:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
यहां हम देखते हैं कि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \).
यह स्थिति दर्शाती है कि रेखाएं समानांतर हैं और उनका कोई उभयनिष्ठ हल नहीं है। इसलिए, रैखिक समीकरणों का यह युग्म असंगत है। समानांतर रेखाएं कभी नहीं मिलतीं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता।
In simple words: हमने समीकरणों के x, y और स्थिर पदों के अनुपातों की तुलना की। हमें पता चला कि पहले दो अनुपात बराबर हैं, लेकिन तीसरा अनुपात अलग है। इसका मतलब है कि रेखाएं समानांतर हैं और उनका कोई हल नहीं है, इसलिए वे असंगत हैं।

🎯 Exam Tip: असंगत युग्म की पहचान हमेशा \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) शर्त से करें, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ समानांतर होंगी और कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी.

Question 9. समीकरण \( 5y - 3x - 10 = 0 \) में \( y \) को \( x \) के रूप में व्यक्त कीजिए। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ समीकरण \( 5y - 3x - 10 = 0 \) द्वारा निरूपित रेखा y-अक्ष को काटती है।
Answer: दिया गया समीकरण है:
\( 5y - 3x - 10 = 0 \)
\( y \) को \( x \) के रूप में व्यक्त करने के लिए, \( 5y \) को एक तरफ रखें और बाकी को दूसरी तरफ ले जाएं:
\( 5y = 3x + 10 \)
\( y = \frac{3x + 10}{5} \)
रेखा y-अक्ष को उस बिन्दु पर काटती है जहां \( x = 0 \) होता है। इस मान को \( y \) के समीकरण में रखने पर:
\( y = \frac{3(0) + 10}{5} \)
\( y = \frac{0 + 10}{5} \)
\( y = \frac{10}{5} \)
\( y = 2 \)
अतः, रेखा y-अक्ष को बिन्दु \( (0, 2) \) पर काटती है। यह बिंदु रेखा का y-अंतःखंड कहलाता है।
In simple words: पहले हमने समीकरण को \( y = ... \) के रूप में लिखा। फिर, यह पता करने के लिए कि रेखा y-अक्ष को कहाँ काटती है, हमने \( x \) की जगह शून्य रखा और \( y \) का मान \( 2 \) पाया। तो रेखा \( (0, 2) \) पर y-अक्ष को काटती है।

🎯 Exam Tip: किसी भी रेखा का y-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए हमेशा \( x=0 \) रखें, और x-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए \( y=0 \) रखें.

Question 10. यदि रैखिक समीकरण \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) तथा \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) में यदि \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) हो, तो इस स्थिति का अर्थ स्पष्ट कीजिए।
Answer: यदि रैखिक समीकरणों के युग्म में \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) हो, तो इसका अर्थ है कि समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक-दूसरे को एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होता है और इसे संगत युग्म कहा जाता है। इसका मतलब है कि रेखाएं केवल एक जगह पर मिलती हैं।
In simple words: जब x और y के गुणांकों का अनुपात बराबर नहीं होता, तो रेखाएं एक-दूसरे को केवल एक बिंदु पर काटती हैं। इससे हमें समीकरणों का एक ही सही उत्तर मिलता है, और ऐसे समीकरणों को "संगत" कहते हैं।

🎯 Exam Tip: "अद्वितीय हल" की शर्त को याद रखें, जो \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) है, और इसका मतलब है कि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और संगत होती हैं.

Question 11. \( p \) के किन मानों के लिए, निम्न समीकरणों के युग्म का एक अद्वितीय हल है? \( 4x + py + 8 = 0 \); \( 2x + 2y + 2 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( 4x + py + 8 = 0 \)
\( 2x + 2y + 2 = 0 \)
यहां, \( a_1 = 4, b_1 = p, c_1 = 8 \)
और \( a_2 = 2, b_2 = 2, c_2 = 2 \)
एक अद्वितीय हल होने के लिए शर्त है: \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
इस शर्त में दिए गए मानों को रखने पर:
\( \frac{4}{2} \neq \frac{p}{2} \)
\( 2 \neq \frac{p}{2} \)
दोनों तरफ \( 2 \) से गुणा करने पर:
\( 4 \neq p \)
अतः, \( p \) के सभी मानों के लिए जो \( 4 \) के बराबर नहीं हैं, समीकरणों के इस युग्म का एक अद्वितीय हल होगा। यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ समानांतर या संपाती न हों।
In simple words: इन दो समीकरणों का एक ही उत्तर तब होगा जब p का मान \( 4 \) न हो। अगर \( p \) का मान \( 4 \) के अलावा कुछ और होगा, तो रेखाएं एक ही जगह पर मिलेंगी।

🎯 Exam Tip: अद्वितीय हल के लिए केवल \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) शर्त की जाँच करना पर्याप्त होता है, \( c_1 \) और \( c_2 \) के अनुपातों की जाँच की आवश्यकता नहीं होती.

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 12. असमिका क्या है?
Answer: एक असमिका एक गणितीय कथन है जिसमें दो राशियों या अभिव्यक्तियों के बीच संबंध को दर्शाने के लिए असमानता के चिन्हों (जैसे \( > \), \( < \), \( \ge \), या \( \le \)) का उपयोग किया जाता है। यह एक या एक से अधिक चर वाली हो सकती है। असमिकाएं हमें यह समझने में मदद करती हैं कि एक राशि दूसरी राशि से बड़ी, छोटी, बड़ी या बराबर, या छोटी या बराबर कब होती है।
In simple words: असमिका एक ऐसा गणितीय वाक्य है जो दिखाता है कि दो चीजें बराबर नहीं हैं, बल्कि एक दूसरे से बड़ी या छोटी है।

🎯 Exam Tip: असमिका को समीकरण से अलग करने के लिए हमेशा असमानता के चिन्हों ( Inequality signs ) पर ध्यान दें, न कि बराबर के चिन्ह पर.

Question 13. एक चर वाली रैखिक असमिकायें किसे कहते हैं?
Answer: एक चर वाली रैखिक असमिकाएं वे असमिकाएं होती हैं जिनमें केवल एक चर (जैसे \( x \)) और चर की सबसे बड़ी घात एक होती है, और उन्हें असमानता के चिन्हों का उपयोग करके लिखा जाता है। इनका सामान्य रूप \( ax + b < 0 \), \( ax + b \le 0 \), \( ax + b > 0 \), या \( ax + b \ge 0 \) होता है, जहां \( a \) एक अशून्य वास्तविक संख्या है। ये असमिकाएं एक सरल रेखा पर हल का एक अंतराल दर्शाती हैं।
In simple words: एक चर वाली रैखिक असमिकाएं वे हैं जिनमें सिर्फ एक अक्षर (जैसे x) होता है और कोई घात नहीं होती, और उनमें बराबर की जगह बड़ा या छोटा का निशान होता है।

🎯 Exam Tip: एक चर वाली रैखिक असमिकाओं के हल हमेशा संख्या रेखा पर एक अंतराल ( Interval ) के रूप में दर्शाये जा सकते हैं.

Question 14. दो चर वाली रैखिक असमिकायें क्या हैं?
Answer: दो चर वाली रैखिक असमिकाएं वे होती हैं जिनमें दो चर (जैसे \( x \) और \( y \)) होते हैं, दोनों चरों की घात एक होती है, और उन्हें असमानता के चिन्हों के साथ व्यक्त किया जाता है। इनका सामान्य रूप \( ax + by < c \), \( ax + by \le c \), \( ax + by > c \), या \( ax + by \ge c \) होता है, जहां \( a \) और \( b \) अशून्य वास्तविक संख्याएं हैं, और \( c \) एक स्थिर पद है। इन असमिकाओं का हल एक ग्राफ पेपर पर एक छायांकित क्षेत्र के रूप में दर्शाया जाता है।
In simple words: दो चर वाली रैखिक असमिकाएं वे होती हैं जिनमें दो अक्षर (जैसे x और y) होते हैं, उनकी घात एक होती है, और उनमें बड़ा या छोटा का निशान होता है।

🎯 Exam Tip: दो चर वाली रैखिक असमिकाओं का हल हमेशा xy-तल में एक क्षेत्र ( Region ) होता है, जिसे अक्सर छायांकित करके दर्शाया जाता है.

Question 15. यदि मूल बिन्दु असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है तो छायांकित क्षेत्र रेखा के किस तरफ होगा?
Answer: यदि मूल बिन्दु \( (0, 0) \) असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है, तो असमिका का छायांकित हल क्षेत्र रेखा के उस तरफ होगा जो मूल बिन्दु के विपरीत है। इसका मतलब है कि मूल बिन्दु स्वयं उस हल क्षेत्र का हिस्सा नहीं होगा। इस तरह, रेखा xy-तल को दो भागों में बांटती है, और हल क्षेत्र वह भाग होता है जिसमें मूल बिन्दु नहीं आता।
In simple words: अगर मूल बिंदु असमिका के नियम को पूरा नहीं करता, तो हल वाला क्षेत्र रेखा के उस तरफ होगा जहां मूल बिंदु नहीं है।

🎯 Exam Tip: मूल बिन्दु \( (0,0) \) को असमिका में रखकर हल क्षेत्र की पहचान करना एक सरल और प्रभावी तरीका है. यदि \( (0,0) \) संतुष्ट करता है, तो हल क्षेत्र मूल बिन्दु की ओर होगा, अन्यथा विपरीत दिशा में.

Question 16. सरल रेखा \( ax + by = c \), xy-तल को कितने भागों में विभाजित करती है और वे कौन-कौनसे हैं?
Answer: एक सरल रेखा \( ax + by = c \) xy-तल को दो भागों में विभाजित करती है। ये दो भाग क्रमशः \( ax + by \le c \) और \( ax + by \ge c \) द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं। रेखा स्वयं भी इन दोनों क्षेत्रों में शामिल होती है। इन भागों को अक्सर अर्ध-तल (half-planes) कहा जाता है।
In simple words: एक सीधी रेखा xy-तल को दो हिस्सों में बांटती है। इन दो हिस्सों को \( ax + by \le c \) और \( ax + by \ge c \) से दिखाया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि रेखा \( ax + by = c \) स्वयं भी इन दो अर्ध-तलों की सीमा होती है, और जब \( \le \) या \( \ge \) का चिन्ह होता है तो रेखा को ठोस रेखा से दर्शाया जाता है.

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. निम्न समीकरण निकाय के हलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए-
(i) \( 5x - 4y + 8 = 0 \) और \( 7x + 6y - 9 = 0 \)
(ii) \( 9x + 3y + 12 = 0 \) और \( 18x + 6y + 24 = 0 \)
(iii) \( 6x - 3y + 10 = 0 \) और \( 2x - y + 9 = 0 \)
Answer:
(i) दिए गए समीकरण हैं:
\( 5x - 4y + 8 = 0 \)
\( 7x + 6y - 9 = 0 \)
यहां \( a_1 = 5, b_1 = -4, c_1 = 8 \)
और \( a_2 = 7, b_2 = 6, c_2 = -9 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3} \)
चूंकि \( \frac{5}{7} \neq \frac{-2}{3} \), यानी \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है और रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) दिए गए समीकरण हैं:
\( 9x + 3y + 12 = 0 \)
\( 18x + 6y + 24 = 0 \)
यहां \( a_1 = 9, b_1 = 3, c_1 = 12 \)
और \( a_2 = 18, b_2 = 6, c_2 = 24 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं और रेखाएँ संपाती हैं।

(iii) दिए गए समीकरण हैं:
\( 6x - 3y + 10 = 0 \)
\( 2x - y + 9 = 0 \)
यहां \( a_1 = 6, b_1 = -3, c_1 = 10 \)
और \( a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 9 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है और रेखाएँ समानांतर हैं। इस स्थिति में, रेखाएं कभी नहीं मिलतीं।
In simple words: हमने हर समीकरण युग्म के गुणांकों के अनुपातों की जांच की। (i) में अनुपात अलग थे, मतलब रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। (ii) में सभी अनुपात बराबर थे, मतलब रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर हैं। (iii) में पहले दो अनुपात बराबर थे, लेकिन तीसरा अलग था, मतलब रेखाएं समानांतर हैं और कभी नहीं मिलेंगी।

🎯 Exam Tip: समीकरण युग्मों की प्रकृति जानने के लिए \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2} \) अनुपातों की तुलना करें: अद्वितीय हल (\( \neq \)), अनेक हल (\( = = \)), कोई हल नहीं (\( = \neq \)).

Question 2. अनुपातों की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत।
(i) \( 3x + 2y = 5 \); \( 2x – 3y = 7 \)
(ii) \( \frac{3}{2}x+\frac{5}{3} y=7 \); \( 9x - 10y=14 \)
Answer:
(i) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
\( 3x + 2y = 5 \implies 3x + 2y - 5 = 0 \)
\( 2x - 3y = 7 \implies 2x - 3y - 7 = 0 \)
यहां \( a_1 = 3, b_1 = 2, c_1 = -5 \)
और \( a_2 = 2, b_2 = -3, c_2 = -7 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3} \)
चूंकि \( \frac{3}{2} \neq \frac{-2}{3} \), यानी \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म संगत है क्योंकि इसका एक अद्वितीय हल है।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
\( \frac{3}{2}x+\frac{5}{3} y=7 \implies \frac{3}{2}x+\frac{5}{3} y-7=0 \)
\( 9x - 10y=14 \implies 9x - 10y-14=0 \)
यहां \( a_1 = \frac{3}{2}, b_1 = \frac{5}{3}, c_1 = -7 \)
और \( a_2 = 9, b_2 = -10, c_2 = -14 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3/2}{9} = \frac{3}{2 \times 9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{5/3}{-10} = \frac{5}{3 \times (-10)} = \frac{5}{-30} = \frac{-1}{6} \)
चूंकि \( \frac{1}{6} \neq \frac{-1}{6} \), यानी \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म संगत है क्योंकि इसका एक अद्वितीय हल है। इन रेखाओं का एक ही प्रतिच्छेद बिंदु होगा।
In simple words: हमने दोनों भागों में समीकरणों के गुणांकों के अनुपातों को देखा। दोनों ही मामलों में, \( x \) और \( y \) के गुणांकों का अनुपात बराबर नहीं आया। इसका मतलब है कि दोनों समीकरण युग्म संगत हैं, क्योंकि उनकी रेखाएं एक-दूसरे को एक ही बिंदु पर काटती हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक गुणांक वाले समीकरणों में अनुपातों की गणना करते समय विशेष सावधानी बरतें, खासकर जब \( a_1/a_2 \) और \( b_1/b_2 \) की तुलना कर रहे हों.

Question 3. नीचे दिये गये निम्न रैखिक समीकरणों की जाँच कीजिये कि कौनसे समीकरण युग्म संगत हैं या असंगत।
(i) \( 5x - 3y = 11 \); \( – 10x + 6y = - 22 \)
(ii) \( \frac{4}{3}x+2y=8 \); \( 2x + 3y = 12 \)
Answer:
(i) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
\( 5x - 3y = 11 \implies 5x - 3y - 11 = 0 \)
\( -10x + 6y = -22 \implies -10x + 6y + 22 = 0 \)
यहां \( a_1 = 5, b_1 = -3, c_1 = -11 \)
और \( a_2 = -10, b_2 = 6, c_2 = 22 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-11}{22} = -\frac{1}{2} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म संगत है और इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं क्योंकि रेखाएँ संपाती हैं।

(ii) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
\( \frac{4}{3}x+2y=8 \implies \frac{4}{3}x+2y-8=0 \)
\( 2x+3y=12 \implies 2x+3y-12=0 \)
यहां \( a_1 = \frac{4}{3}, b_1 = 2, c_1 = -8 \)
और \( a_2 = 2, b_2 = 3, c_2 = -12 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4/3}{2} = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म संगत है और इसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं क्योंकि रेखाएँ संपाती हैं।
In simple words: हमने दोनों भागों में समीकरणों के गुणांकों के अनुपातों की जांच की। दोनों ही मामलों में, सभी अनुपात बराबर आए, जिसका मतलब है कि रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर हैं। इसलिए, दोनों समीकरण युग्म संगत हैं और उनके अनगिनत हल हैं।

🎯 Exam Tip: "अपरिमित रूप से अनेक हल" की स्थिति में रेखाएं संपाती होती हैं, जिसका अर्थ है कि वे एक ही रेखा पर स्थित होती हैं और उनके सभी बिंदु उभयनिष्ठ होते हैं.

Question 4. \( k \) के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे? \( kx + 3y - (k - 3) = 0 \); \( 12x + ky - k = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण हैं:
\( kx + 3y - (k - 3) = 0 \)
\( 12x + ky - k = 0 \)
यहां, \( a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3) = 3 - k \)
और \( a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k \)
अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए शर्त है: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
मानों को रखने पर:
\( \frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{3 - k}{-k} \)
पहले और दूसरे पद को बराबर करने पर:
\( \frac{k}{12} = \frac{3}{k} \)
\( k^2 = 12 \times 3 \)
\( k^2 = 36 \)
\( k = \pm 6 \)
अब दूसरे और तीसरे पद को बराबर करने पर:
\( \frac{3}{k} = \frac{3 - k}{-k} \)
\( 3(-k) = k(3 - k) \)
\( -3k = 3k - k^2 \)
\( k^2 - 6k = 0 \)
\( k(k - 6) = 0 \)
इससे \( k = 0 \) या \( k = 6 \) मिलता है।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाला \( k \) का मान \( 6 \) है। क्योंकि \( k = -6 \) दूसरे समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है \( (-6)(-6-6) = 72 \neq 0 \).
अतः, \( k = 6 \) के लिए समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे। यह सुनिश्चित करता है कि दोनों रेखाएं संपाती हों।
In simple words: हमें k का ऐसा मान चाहिए जिससे दोनों समीकरणों के अनगिनत हल हों, मतलब दोनों रेखाएं एक-दूसरे के ऊपर हों। इसके लिए हमने तीनों अनुपातों को बराबर रखा और उन्हें हल किया। दोनों शर्तों को पूरा करने वाला k का मान \( 6 \) है।

🎯 Exam Tip: "अपरिमित रूप से अनेक हल" के प्रश्नों में हमेशा सभी तीन अनुपातों को बराबर रखें और \( k \) के उन मानों की जाँच करें जो सभी शर्तों को संतुष्ट करते हैं.

Question 5. द्विविमीय तल में असमिका \( 3x - 6 \ge 0 \) का आलेखन-विधि से हल कीजिए।
Answer: दी गई असमिका है:
\( 3x - 6 \ge 0 \)
इस असमिका को सरल करने पर:
\( 3x \ge 6 \)
\( x \ge 2 \)
इस असमिका के संगत समीकरण \( x = 2 \) है। यह रेखा y-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो \( x = 2 \) पर x-अक्ष को काटती है।
चूंकि असमिका \( x \ge 2 \) है, हल क्षेत्र रेखा \( x = 2 \) के दायीं ओर होगा, जिसमें रेखा \( x = 2 \) पर स्थित सभी बिन्दु भी शामिल हैं। यह हल क्षेत्र एक अर्ध-तल है।

In simple words: असमिका \( 3x - 6 \ge 0 \) का मतलब है \( x \ge 2 \)। इसका हल दिखाने के लिए, हमने \( x=2 \) पर एक सीधी खड़ी रेखा खींची। चूंकि \( x \) दो या दो से बड़ा है, हमने रेखा के दाहिने तरफ के पूरे क्षेत्र को रंग दिया।

🎯 Exam Tip: असमानता \( \ge \) या \( \le \) होने पर रेखा को हमेशा ठोस खींचा जाता है, क्योंकि रेखा पर स्थित बिंदु भी हल क्षेत्र में शामिल होते हैं.

Question 6. \( y < 2 \) को आलेखन विधि से हल कीजिए।
Answer: दी गई असमिका है:
\( y < 2 \)
इस असमिका के संगत समीकरण \( y = 2 \) है। यह रेखा x-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है जो y-अक्ष को \( y = 2 \) पर काटती है।
चूंकि असमिका \( y < 2 \) है, हल क्षेत्र रेखा \( y = 2 \) के नीचे की ओर होगा। इस मामले में, रेखा \( y = 2 \) पर स्थित कोई भी बिन्दु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है, इसलिए रेखा को एक बिंदीदार या डैश वाली रेखा से दर्शाया जाता है। यह हल क्षेत्र भी एक अर्ध-तल है।

In simple words: असमिका \( y < 2 \) का मतलब है कि \( y \) का मान दो से छोटा है। इसे ग्राफ पर दिखाने के लिए, हमने \( y=2 \) पर एक डैश वाली सीधी आड़ी रेखा खींची। चूंकि \( y \) दो से छोटा है, हमने रेखा के नीचे के पूरे क्षेत्र को रंग दिया।

🎯 Exam Tip: असमानता \( < \) या \( > \) होने पर रेखा को हमेशा डैश वाली खींचा जाता है, क्योंकि रेखा पर स्थित बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होते हैं.

Question. असमिका \( x+y < 5 \) का आलेखीय हल ज्ञात कीजिए।
Answer: दी गई असमिका है:
\( x+y < 5 \)
इस असमिका के संगत समीकरण \( x+y = 5 \) है।
इस रेखा को खींचने के लिए, हम कुछ बिंदु ज्ञात करते हैं:
जब \( x=0 \), \( y=5 \). बिन्दु \( (0, 5) \).
जब \( y=0 \), \( x=5 \). बिन्दु \( (5, 0) \).
चूंकि असमिका \( x+y < 5 \) है (जिसमें बराबर का चिन्ह नहीं है), रेखा \( x+y=5 \) को एक डैश वाली रेखा के रूप में खींचा जाएगा।
हल क्षेत्र की पहचान करने के लिए, हम मूल बिन्दु \( (0,0) \) को असमिका में रखते हैं:
\( 0 + 0 < 5 \implies 0 < 5 \)
यह कथन सत्य है। अतः, मूल बिन्दु \( (0,0) \) असमिका के हल क्षेत्र में है। इसलिए, छायांकित क्षेत्र रेखा \( x+y=5 \) के उस तरफ होगा जिसमें मूल बिन्दु स्थित है।

In simple words: \( x+y < 5 \) को ग्राफ पर दिखाने के लिए, हमने पहले \( x+y=5 \) की रेखा खींची। क्योंकि इसमें "बराबर" का निशान नहीं है, रेखा को डैश वाली बनाया गया। फिर हमने \( (0,0) \) बिंदु को जांचा। यह असमिका को सही साबित करता है, इसलिए हमने रेखा के उस तरफ के क्षेत्र को रंग दिया जहां \( (0,0) \) है।

🎯 Exam Tip: किसी भी असमिका को ग्राफीय विधि से हल करने के लिए, सबसे पहले उसके संगत समीकरण को एक रेखा के रूप में खींचें, फिर मूल बिन्दु का परीक्षण करके हल क्षेत्र का निर्धारण करें.

निबन्धात्मक प्रश्न

Question 1. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) \( x - y = 8 \) और \( 3x - 3y = 16 \)
(ii) \( 2x + y - 6 = 0 \) और \( 4x - 2y - 4 = 0 \)
(iii) \( 2x - 2y - 2 = 0 \) और \( 4x - 4y - 5 = 0 \)
Answer:
(i) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
\( x - y = 8 \implies x - y - 8 = 0 \)
\( 3x - 3y = 16 \implies 3x - 3y - 16 = 0 \)
यहां \( a_1 = 1, b_1 = -1, c_1 = -8 \)
और \( a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -16 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं होगा। इसलिए, इसे ग्राफीय विधि से हल करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि रेखाएँ समानांतर होंगी।

(ii) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
\( 2x + y - 6 = 0 \)
\( 4x - 2y - 4 = 0 \)
यहां \( a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -6 \)
और \( a_2 = 4, b_2 = -2, c_2 = -4 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \).
अतः, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म संगत है और इसका एक अद्वितीय हल होगा। इसे ग्राफीय विधि से हल करने पर:
समीकरण \( 2x + y - 6 = 0 \) या \( y = 6 - 2x \) के लिए हल सारणी:

समीकरण \( 4x - 2y - 4 = 0 \) या \( 2y = 4x - 4 \) या \( y = 2x - 2 \) के लिए हल सारणी:

इन बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करने और रेखाएं खींचने पर, हम पाते हैं कि रेखाएं बिन्दु \( (2, 2) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं। अतः, समीकरण युग्म का हल \( x = 2, y = 2 \) है।

(iii) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
\( 2x - 2y - 2 = 0 \)
\( 4x - 4y - 5 = 0 \)
यहां \( a_1 = 2, b_1 = -2, c_1 = -2 \)
और \( a_2 = 4, b_2 = -4, c_2 = -5 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं होगा। रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।

In simple words: (i) अनुपातों की जांच से पता चला कि रेखाएं समानांतर हैं, इसलिए कोई हल नहीं है। (ii) अनुपातों की जांच से पता चला कि रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं, और ग्राफीय विधि से हमने हल \( x=2, y=2 \) पाया। (iii) अनुपातों की जांच से पता चला कि रेखाएं समानांतर हैं, इसलिए कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: जब समीकरण युग्म संगत हो, तो ग्राफीय हल के लिए कम से कम दो बिंदु ज्ञात करें, रेखाएं खींचें और प्रतिच्छेद बिंदु को स्पष्ट रूप से दर्शाएं.

Question 2. निम्न समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए: \( 2x + 3y = 13 \); \( 5x - 2y = 4 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 2x + 3y = 13 \)
2. \( 5x - 2y = 4 \)
इन समीकरणों को आलेखीय विधि से हल करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण के लिए हल सारणी बनाते हैं:
समीकरण 1: \( 2x + 3y = 13 \implies 3y = 13 - 2x \implies y = \frac{13 - 2x}{3} \)

समीकरण 2: \( 5x - 2y = 4 \implies 2y = 5x - 4 \implies y = \frac{5x - 4}{2} \)

इन सारणियों से प्राप्त बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने और रेखाएं खींचने पर, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं बिन्दु \( (2, 3) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः, दिए गए समीकरण निकाय का हल \( x = 2 \) और \( y = 3 \) है। यह प्रतिच्छेद बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है।

In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदुओं की सारणी बनाई और उन्हें ग्राफ पर खींचा। जहां दोनों रेखाएं मिलीं, वह बिंदु \( (2,3) \) ही इन समीकरणों का हल है।

🎯 Exam Tip: ग्राफीय विधि से हल करते समय, प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो बिंदुओं का सटीक निर्धारण करें और रेखाओं को सही ढंग से खींचें, ताकि प्रतिच्छेद बिंदु स्पष्ट हो सके.

Question 3. आलेखीय विधि द्वारा निम्न समीकरण निकाय का हल ज्ञात कीजिए: \( 2x + 4y = 10 \); \( 3x + 6y = 12 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय हैं:
1. \( 2x + 4y = 10 \)
2. \( 3x + 6y = 12 \)
पहले हम अनुपातों की तुलना करके निकाय की प्रकृति की जांच करते हैं:
यहां \( a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -10 \)
और \( a_2 = 3, b_2 = 6, c_2 = -12 \)
अनुपातों की तुलना करने पर:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-10}{-12} = \frac{5}{6} \)
चूंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \).
अतः, दिए गए समीकरण युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं होगा। रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर हैं और कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।
ग्राफीय विधि से हल करने के लिए, हम प्रत्येक समीकरण के लिए हल सारणी बनाते हैं:
समीकरण 1: \( 2x + 4y = 10 \implies 4y = 10 - 2x \implies y = \frac{10 - 2x}{4} \)

समीकरण 2: \( 3x + 6y = 12 \implies 6y = 12 - 3x \implies y = \frac{12 - 3x}{6} \)

इन सारणियों से प्राप्त बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करने और रेखाएं खींचने पर, हम देखते हैं कि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं और कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करतीं।
अतः, इस समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है। यह दर्शाता है कि रेखाएं समानांतर होने के कारण कभी नहीं मिलेंगी।

In simple words: हमने अनुपातों की जांच की और पाया कि दोनों समीकरणों की रेखाएं समानांतर हैं। इसका मतलब है कि उनका कोई हल नहीं है। ग्राफीय विधि से भी, हमने बिंदुओं की सारणी बनाई और रेखाएं खींचीं, जो समानांतर निकलीं और कहीं नहीं मिलीं।

🎯 Exam Tip: जब रेखाएं समानांतर हों, तो कोई हल नहीं होता, और ऐसे निकाय को असंगत कहा जाता है. ग्राफीय प्रतिनिधित्व में दो अलग-अलग, कभी न मिलने वाली रेखाएं दिखाई देंगी.

Question 3.
समीकरण युग्म \( kx - y = 2; 6x - 2y = 3 \) का हल अद्वितीय होगा, यदि
(क) \( k = 2 \)
(ख) \( k = 3 \)
(ग) \( k \ne 3 \)
(घ) \( k \ne 0 \)
Answer: (ग) \( k \ne 3 \)
In simple words: दो समीकरणों का एक ही हल होने के लिए, k की कीमत 3 नहीं होनी चाहिए। अगर k, 3 के बराबर हो जाएगा, तो वे समीकरण अद्वितीय हल नहीं देंगे।

🎯 Exam Tip: अद्वितीय हल की शर्त \( \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} \) का उपयोग करें और ध्यान से तुलना करें।

Question 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को आलेखीय विधि से हल कीजिए तथा इसकी सहायता से 'a' का मान ज्ञात कीजिए जबकि \( 4x + 3y = a \) है। \( x + 3y = 6; 2x - 3y = 12 \) (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer:
दिए गए समीकरणों का युग्म है:
(1) \( x + 3y = 6 \)
(2) \( 2x - 3y = 12 \)

समीकरण (1) \( x + 3y = 6 \) के लिए, इसे \( x = 6 - 3y \) के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि \( y = 1 \), तो \( x = 6 - 3(1) = 3 \)
यदि \( y = 2 \), तो \( x = 6 - 3(2) = 0 \)

समीकरण (1) के हल की सारणी:

समीकरण (2) \( 2x - 3y = 12 \) के लिए, इसे \( 3y = 2x - 12 \) या \( y = \frac{2x - 12}{3} \) के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि \( x = 3 \), तो \( y = \frac{2(3) - 12}{3} = \frac{6 - 12}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \)
यदि \( x = 0 \), तो \( y = \frac{2(0) - 12}{3} = \frac{-12}{3} = -4 \)

समीकरण (2) के हल की सारणी:

ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को प्लॉट करके, हम पाते हैं कि दोनों रेखाएँ बिंदु \( P(6, 0) \) पर एक-दूसरे को काटती हैं।
इसलिए, समीकरण युग्म का हल \( x = 6 \) और \( y = 0 \) है।

अब, \( a \) का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण \( 4x + 3y = a \) में \( x = 6 \) और \( y = 0 \) को रखने पर:
\( 4(6) + 3(0) = a \)
\( 24 + 0 = a \)

\( \implies a = 24 \)
In simple words: पहले हमने दोनों समीकरणों के लिए x और y के मानों की सारणी बनाई। फिर इन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करके रेखाएँ खींचीं। जहाँ दोनों रेखाएँ मिलीं, वही उनका हल था (\( x = 6, y = 0 \))। इस हल को तीसरे समीकरण में डालकर हमने 'a' का मान 24 निकाला।

🎯 Exam Tip: ग्राफ बनाते समय पैमाने का सही उपयोग करें और प्रतिच्छेदन बिंदु को स्पष्ट रूप से दर्शाएं। इसके बाद ही \( a \) का मान ज्ञात करें।

Question 5.
निम्न रैखिक समीकरण युग्मों को आलेखीय विधि से हल कीजिए-
(i) \( 3x + 2y - 11 = 0 \)
\( 2x - 3y + 10 = 0 \)
(ii) \( 2x + 3y = 8 \)
\( x - 2y = - 3 \)
Answer:
(i) दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
(1) \( 3x + 2y - 11 = 0 \implies 2y = 11 - 3x \implies y = \frac{11 - 3x}{2} \)
(2) \( 2x - 3y + 10 = 0 \implies 3y = 2x + 10 \implies y = \frac{2x + 10}{3} \)

समीकरण (1) के लिए:
यदि \( x = 1 \), तो \( y = \frac{11 - 3(1)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
यदि \( x = 3 \), तो \( y = \frac{11 - 3(3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

समीकरण (1) के हल की सारणी:

समीकरण (2) के लिए:
यदि \( x = 1 \), तो \( y = \frac{2(1) + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4 \)
यदि \( x = -2 \), तो \( y = \frac{2(-2) + 10}{3} = \frac{-4 + 10}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)

समीकरण (2) के हल की सारणी:

दोनों समीकरणों का ग्राफ प्लॉट करने पर, वे बिंदु \( (1, 4) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, समीकरण युग्म का हल \( x = 1 \) और \( y = 4 \) है।

(ii) दिए गए समीकरण युग्म हैं:
(1) \( 2x + 3y = 8 \implies 3y = 8 - 2x \implies y = \frac{8 - 2x}{3} \)
(2) \( x - 2y = - 3 \implies x + 3 = 2y \implies y = \frac{x + 3}{2} \)

समीकरण (1) के लिए:
यदि \( x = 1 \), तो \( y = \frac{8 - 2(1)}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)
यदि \( x = 4 \), तो \( y = \frac{8 - 2(4)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \)

समीकरण (1) के हल की सारणी:

समीकरण (2) के लिए:
यदि \( x = 1 \), तो \( y = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
यदि \( x = 3 \), तो \( y = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

समीकरण (2) के हल की सारणी:

ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को आलेखित करने पर, दोनों रेखाएँ बिंदु \( B(1, 2) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, समीकरण युग्म का अभीष्ट हल \( x = 1 \) और \( y = 2 \) है।
In simple words: हमने हर समीकरण के लिए कुछ x और y के मान निकाले। फिर उन मानों को लेकर ग्राफ पर दो सीधी रेखाएँ खींचीं। जहाँ ये दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, वही बिंदु (1, 2) हमारा हल है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ पर बिंदुओं को सावधानी से प्लॉट करें और प्रतिच्छेदन बिंदु को स्पष्ट रूप से लेबल करें। प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो बिंदु अवश्य ज्ञात करें।

Question 6.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए \( 2x + y = 6, 2x - y = 2 \) अतः इसकी सहायता से सम्बन्ध \( 6x + 7y \) का मान ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
Answer:
दिए गए समीकरण युग्म हैं:
(1) \( 2x + y = 6 \implies y = 6 - 2x \)
(2) \( 2x - y = 2 \implies y = 2x - 2 \)

समीकरण (1) के लिए:
यदि \( x = 0 \), तो \( y = 6 - 2(0) = 6 \)
यदि \( x = 1 \), तो \( y = 6 - 2(1) = 4 \)

समीकरण (1) के हल की सारणी:

समीकरण (2) के लिए:
यदि \( x = 0 \), तो \( y = 2(0) - 2 = -2 \)
यदि \( x = 1 \), तो \( y = 2(1) - 2 = 0 \)

समीकरण (2) के हल की सारणी:

दोनों समीकरणों को ग्राफ पर प्लॉट करने पर, वे बिंदु \( (2, 2) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
इसलिए, समीकरण युग्म का हल \( x = 2 \) और \( y = 2 \) है।

अब, हमें \( 6x + 7y \) का मान ज्ञात करना है। हल के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
\( 6(2) + 7(2) = 12 + 14 = 26 \)
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के मानों को ग्राफ पर प्लॉट करके हल (जहाँ रेखाएँ मिलती हैं) निकाला, जो \( x = 2 \) और \( y = 2 \) था। फिर, हमने इन मानों को \( 6x + 7y \) में डालकर इसका मान 26 प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: ग्राफ पर प्रतिच्छेदन बिंदु को सटीकता से ज्ञात करें, क्योंकि यह बिंदु ही आपके अगले गणना चरण का आधार है।

Question 7.
रैखिक समीकरणों \( x - y + 1 = 0 \) और \( 3x + 2y - 12 = 0 \) का ग्राफ खींचिये। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिये और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
Answer:
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
(1) \( x - y + 1 = 0 \implies y = x + 1 \)
(2) \( 3x + 2y - 12 = 0 \implies 2y = 12 - 3x \implies y = \frac{12 - 3x}{2} \)

समीकरण (1) के लिए:
यदि \( x = 1 \), तो \( y = 1 + 1 = 2 \)
यदि \( x = 2 \), तो \( y = 2 + 1 = 3 \)

समीकरण (1) के हल की सारणी:

समीकरण (2) के लिए:
यदि \( x = 2 \), तो \( y = \frac{12 - 3(2)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
यदि \( x = 4 \), तो \( y = \frac{12 - 3(4)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)

समीकरण (2) के हल की सारणी:

ग्राफ पर बिंदुओं को आलेखित करने पर, दोनों रेखाएँ बिंदु \( B(2, 3) \) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा \( x - y + 1 = 0 \) x-अक्ष को बिंदु \( D(-1, 0) \) पर काटती है।
रेखा \( 3x + 2y - 12 = 0 \) x-अक्ष को बिंदु \( C(4, 0) \) पर काटती है।
त्रिभुज \( BCD \) बनता है जिसके शीर्ष \( B(2, 3) \), \( C(4, 0) \) और \( D(-1, 0) \) हैं। इस त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित किया गया है।
In simple words: हमने दो समीकरणों के लिए ग्राफ खींचे। ये रेखाएँ x-अक्ष के साथ एक त्रिभुज बनाती हैं। हमने त्रिभुज के कोनों (शीर्षों) का पता लगाया और उस त्रिभुज के अंदर के हिस्से को रंग दिया।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के शीर्षों को सही ढंग से पहचानने के लिए, x-अक्ष पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं और दोनों रेखाओं के आपस में प्रतिच्छेदन बिंदु को ध्यान से चिह्नित करें।

Question 8.
निम्न असमिकाओं को आलेखन विधि से हल कीजिए-
(i) \( x \le 2 \)
(ii) \( 2x - y \ge 1 \)
(iii) \( |y - x| \le 3 \)
Answer:
(i) दी गई असमिका है: \( x \le 2 \)
इसके संगत समीकरण \( x = 2 \) है। यह रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु \( (2, 0) \) से गुजरती है।
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 0 \le 2 \), जो सत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( x = 2 \) के बाईं ओर का क्षेत्र है, जिसमें रेखा पर स्थित सभी बिंदु भी शामिल हैं।

(ii) दी गई असमिका है: \( 2x - y \ge 1 \)
इसके संगत समीकरण \( 2x - y = 1 \) है।
इसे \( y = 2x - 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि \( x = 0 \), तो \( y = -1 \). बिंदु \( (0, -1) \).
यदि \( y = 0 \), तो \( 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \). बिंदु \( (\frac{1}{2}, 0) \).
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 2(0) - 0 \ge 1 \implies 0 \ge 1 \), जो असत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( 2x - y = 1 \) के मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है, जिसमें रेखा पर स्थित सभी बिंदु भी शामिल हैं।

(iii) दी गई असमिका है: \( |y - x| \le 3 \)
इसे दो असमिकाओं के रूप में लिखा जा सकता है:
\( -3 \le y - x \le 3 \)
इससे हमें दो असमिकाएँ मिलती हैं:
(a) \( y - x \ge -3 \implies y \ge x - 3 \)
(b) \( y - x \le 3 \implies y \le x + 3 \)

समीकरण \( y = x - 3 \) के लिए:
यदि \( x = 0 \), \( y = -3 \). बिंदु \( (0, -3) \).
यदि \( y = 0 \), \( x = 3 \). बिंदु \( (3, 0) \).
समीकरण \( y = x + 3 \) के लिए:
यदि \( x = 0 \), \( y = 3 \). बिंदु \( (0, 3) \).
यदि \( y = 0 \), \( x = -3 \). बिंदु \( (-3, 0) \).
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को \( y \ge x - 3 \) में रखने पर: \( 0 \ge 0 - 3 \implies 0 \ge -3 \), जो सत्य है।
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को \( y \le x + 3 \) में रखने पर: \( 0 \le 0 + 3 \implies 0 \le 3 \), जो सत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र दोनों रेखाओं के बीच का वह क्षेत्र है जिसमें मूल बिंदु शामिल है, और इसमें रेखा पर स्थित सभी बिंदु भी शामिल हैं।

In simple words: (i) \( x \le 2 \) का मतलब है कि x-अक्ष पर 2 या उससे कम वाले सभी बिंदु। ग्राफ पर, यह y-अक्ष के समानांतर एक रेखा होगी, और हल क्षेत्र इसके बाईं ओर होगा, जिसमें रेखा भी शामिल है। (ii) \( 2x - y \ge 1 \) का मतलब है कि रेखा \( 2x - y = 1 \) के एक तरफ का क्षेत्र। हमने एक बिंदु डालकर जांच की कि मूल बिंदु वाला क्षेत्र हल में है या नहीं, और पाया कि यह विपरीत दिशा में है। (iii) \( |y - x| \le 3 \) का मतलब है कि \( y - x \) का मान -3 और 3 के बीच में है। यह दो समानांतर रेखाओं के बीच का क्षेत्र होगा, जिसमें रेखाएँ भी शामिल होंगी।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं के लिए हमेशा संगत समीकरण को प्लॉट करें। फिर मूल बिंदु (या कोई अन्य परीक्षण बिंदु) का उपयोग करके यह निर्धारित करें कि कौन सा क्षेत्र हल समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि असमिका में "बराबर" चिह्न शामिल है (\( \le \) या \( \ge \)), तो रेखा ठोस होनी चाहिए; यदि नहीं (\( < \) या \( > \)), तो इसे डैश वाली रेखा से दर्शाया जाना चाहिए।

Question 9.
निम्नलिखित असमिकाओं का हल क्षेत्र ज्ञात कीजिए
(i) \( y > 2 \)
(ii) \( x < 3 \)
(iii) \( y \le - 1 \)
(iv) \( x + 2y \ge 1 \)
Answer:
(i) दी गई असमिका है: \( y > 2 \)
इसके संगत समीकरण \( y = 2 \) है। यह रेखा x-अक्ष के समानांतर है।
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 0 > 2 \), जो असत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( y = 2 \) के ऊपर का क्षेत्र है, जिसमें रेखा पर स्थित बिंदु शामिल नहीं हैं (क्योंकि यह एक सख्त असमिका है)।

(ii) दी गई असमिका है: \( x < 3 \)
इसके संगत समीकरण \( x = 3 \) है। यह रेखा y-अक्ष के समानांतर है।
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 0 < 3 \), जो सत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( x = 3 \) के बाईं ओर का क्षेत्र है, जिसमें रेखा पर स्थित बिंदु शामिल नहीं हैं।

(iii) दी गई असमिका है: \( y \le -1 \)
इसके संगत समीकरण \( y = -1 \) है। यह रेखा x-अक्ष के समानांतर है।
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 0 \le -1 \), जो असत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( y = -1 \) के नीचे का क्षेत्र है, जिसमें रेखा पर स्थित सभी बिंदु शामिल हैं।

(iv) दी गई असमिका है: \( x + 2y \ge 1 \)
इसके संगत समीकरण \( x + 2y = 1 \) है।
यदि \( x = 0 \), तो \( 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2} \). बिंदु \( (0, \frac{1}{2}) \).
यदि \( y = 0 \), तो \( x = 1 \). बिंदु \( (1, 0) \).
मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखने पर: \( 0 + 2(0) \ge 1 \implies 0 \ge 1 \), जो असत्य है।
इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( x + 2y = 1 \) के मूल बिंदु के विपरीत दिशा में है, जिसमें रेखा पर स्थित सभी बिंदु भी शामिल हैं।

In simple words: असमिकाओं के हल क्षेत्र का मतलब है ग्राफ पर वह हिस्सा जो असमिका को सही बनाता है। हमने हर असमिका के लिए पहले एक सीधी रेखा बनाई (बराबर का चिह्न मानकर)। फिर मूल बिंदु (0,0) को असमिका में डालकर देखा कि वह सही है या गलत। अगर सही है, तो मूल बिंदु वाला क्षेत्र हल होता है; अगर गलत है, तो रेखा के दूसरी तरफ का क्षेत्र हल होता है। जहाँ \( < \) या \( > \) होता है, वहाँ रेखा हल में शामिल नहीं होती (डैश वाली रेखा); जहाँ \( \le \) या \( \ge \) होता है, वहाँ रेखा भी हल में शामिल होती है (ठोस रेखा)।

🎯 Exam Tip: ग्राफ में हल क्षेत्र को छायांकित करने से पहले, संगत समीकरण की रेखा (ठोस या डैश वाली) को सही ढंग से खींचें और परीक्षण बिंदु (जैसे मूल बिंदु) का उपयोग करके सुनिश्चित करें कि छायांकन सही दिशा में है।

Question 9. (iii) निम्नलिखित असमिकाओं का हल क्षेत्र ज्ञात कीजिए: \( y \le -1 \)
Answer: असमिका \( y \le -1 \) के लिए संगत समीकरण \( y = -1 \) है। यह रेखा x-अक्ष के समानांतर है और \( (0, -1) \) से होकर गुजरती है। मूल बिंदु \( (0, 0) \) इस असमिका को संतुष्ट नहीं करता है क्योंकि \( 0 \le -1 \) असत्य है। इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( y = -1 \) के नीचे का भाग होगा, और रेखा पर स्थित सभी बिंदु भी इसमें शामिल होंगे।
In simple words: हमें \( y \le -1 \) असमिका का हल क्षेत्र दिखाना है। इसके लिए, हम \( y = -1 \) रेखा खींचते हैं। क्योंकि मूल बिंदु इस असमिका को गलत बताता है, हम रेखा के नीचे के क्षेत्र को छायांकित करते हैं, जिसमें रेखा पर के बिंदु भी शामिल होते हैं।

🎯 Exam Tip: जब असमिका में 'बराबर' चिह्न \( (\le \text{ या } \ge) \) शामिल हो, तो रेखा को ठोस खींचें और रेखा पर के बिंदुओं को भी हल क्षेत्र में शामिल करें।

Question 9. (iv) निम्नलिखित असमिकाओं का हल क्षेत्र ज्ञात कीजिए: \( x + 2y \ge 1 \)
Answer: असमिका \( x + 2y \ge 1 \) के लिए संगत समीकरण \( x + 2y = 1 \) है। इस रेखा को खींचने के लिए, हम \( x = 0 \) पर \( y = \frac{1}{2} \) और \( y = 0 \) पर \( x = 1 \) पाते हैं। तो, रेखा बिंदुओं \( (0, \frac{1}{2}) \) और \( (1, 0) \) से होकर गुजरती है। अब हम मूल बिंदु \( (0, 0) \) को असमिका में रखते हैं: \( 0 + 2(0) \ge 1 \implies 0 \ge 1 \), जो कि असत्य है। इसका मतलब है कि मूल बिंदु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है। इसलिए, हल क्षेत्र रेखा \( x + 2y = 1 \) के विपरीत दिशा में (मूल बिंदु से दूर) छायांकित होगा, और रेखा पर के सभी बिंदु भी इसमें शामिल होंगे।
In simple words: हमें \( x + 2y \ge 1 \) का हल क्षेत्र ढूंढना है। पहले हम \( x + 2y = 1 \) रेखा बनाते हैं। यह रेखा \( (1, 0) \) और \( (0, \frac{1}{2}) \) से गुजरती है। क्योंकि मूल बिंदु \( (0,0) \) इस असमिका को संतुष्ट नहीं करता है, हम रेखा के उस तरफ के क्षेत्र को छायांकित करते हैं जिसमें मूल बिंदु नहीं आता है, साथ ही रेखा पर के बिंदुओं को भी शामिल करते हैं।

🎯 Exam Tip: असमिकाओं के लिए हल क्षेत्र का पता लगाने के लिए, हमेशा एक परीक्षण बिंदु (जैसे मूल बिंदु \( (0,0) \)) का उपयोग करें। यदि परीक्षण बिंदु असमिका को संतुष्ट करता है, तो उस तरफ के क्षेत्र को छायांकित करें; अन्यथा, विपरीत तरफ के क्षेत्र को छायांकित करें।