RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.5

बहुपद Ex 3.5

प्रश्न 1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए-
(i) \( 2x^2 – 3x + 5 = 0 \)
(ii) \( 2x^2 - 4x + 3 = 0 \)
(iii) \( 2x^2 + x - 1 = 0 \)
(iv) \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
(v) \( 2x^2 + 5x + 5 = 0 \)
(vi) \( 3x^2 - 2x + \frac {1}{3} = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण है: \( 2x^2 – 3x + 5 = 0 \)
यहां \( a = 2, b = -3 \) और \( c = 5 \) है।
विविक्तकर (Discriminant) \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 5 \)
\( D = 9 - 40 \)
\( D = -31 \)
चूँकि \( D < 0 \) है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विविक्तकर मूलों की प्रकृति तय करता है।
(ii) दिया गया समीकरण है: \( 2x^2 - 4x + 3 = 0 \)
यहां \( a = 2, b = -4 \) और \( c = 3 \) है।
विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 3 \)
\( D = 16 - 24 \)
\( D = -8 \)
चूँकि \( D < 0 \) है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
(iii) दिया गया समीकरण है: \( 2x^2 + x - 1 = 0 \)
यहां \( a = 2, b = 1 \) और \( c = -1 \) है।
विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) \)
\( D = 1 + 8 \)
\( D = 9 \)
चूँकि \( D > 0 \) है, अतः समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
(iv) दिया गया समीकरण है: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)
यहां \( a = 1, b = -4 \) और \( c = 4 \) है।
विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 \)
\( D = 16 - 16 \)
\( D = 0 \)
चूँकि \( D = 0 \) है, अतः समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
(v) दिया गया समीकरण है: \( 2x^2 + 5x + 5 = 0 \)
यहां \( a = 2, b = 5 \) और \( c = 5 \) है।
विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (5)^2 - 4 \times 2 \times 5 \)
\( D = 25 - 40 \)
\( D = -15 \)
चूँकि \( D < 0 \) है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
(vi) दिया गया समीकरण है: \( 3x^2 - 2x + \frac{1}{3} = 0 \)
यहां \( a = 3, b = -2 \) और \( c = \frac{1}{3} \) है।
विविक्तकर \( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (-2)^2 - 4 \times 3 \times \frac{1}{3} \)
\( D = 4 - 4 \)
\( D = 0 \)
चूँकि \( D = 0 \) है, अतः समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।
In simple words: मूलों की प्रकृति जानने के लिए, हम विविक्तकर (D) का मान निकालते हैं। यदि D धनात्मक है, तो मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे। यदि D शून्य है, तो मूल वास्तविक और बराबर होंगे। और यदि D ऋणात्मक है, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे।

🎯 Exam Tip: Remember the three conditions for the discriminant (D) to determine the nature of roots: \( D > 0 \) (real and distinct), \( D = 0 \) (real and equal), and \( D < 0 \) (no real roots). Showing the calculation of D clearly is crucial.

प्रश्न 2. निम्न द्विघात समीकरणों में k का वह मान ज्ञात कीजिए कि उसके मूल वास्तविक तथा बराबर हों।
(i) \( kx(x - 2) + 6 = 0 \)
(ii) \( x^2 - 2(k+1)x + k^2 = 0 \)
(iii) \( 2x^2 + kx + 3 = 0 \)
(iv) \( (k + 1)x^2 - 2(k - 1)x + 1 = 0 \)
(v) \( (k + 4) x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 \)
(vi) \( kx^2 – 5x + k = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण है: \( kx(x - 2) + 6 = 0 \)
इसे विस्तारित करने पर, हमें प्राप्त होता है: \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \)
यहां \( a = k, b = -2k \) और \( c = 6 \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2k)^2 - 4(k)(6) = 0 \)
\( 4k^2 - 24k = 0 \)
दोनों तरफ से \( 4k \) को कॉमन लेने पर:
\( 4k(k - 6) = 0 \)
इससे \( 4k = 0 \) या \( k - 6 = 0 \)
यदि \( 4k = 0 \), तो \( k = 0 \)। लेकिन, यदि \( k = 0 \) होता है, तो समीकरण \( 6 = 0 \) हो जाता है, जो एक द्विघात समीकरण नहीं है। इसलिए \( k \neq 0 \)।
अतः \( k - 6 = 0 \implies k = 6 \)। इसलिए, \( k \) का सही मान 6 है।
(ii) दिया गया समीकरण है: \( x^2 - 2(k+1)x + k^2 = 0 \)
यहां \( a = 1, b = -2(k+1) \) और \( c = k^2 \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2(k+1))^2 - 4(1)(k^2) = 0 \)
\( 4(k+1)^2 - 4k^2 = 0 \)
\( 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 = 0 \)
\( 4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 = 0 \)
\( 8k + 4 = 0 \)
\( 8k = -4 \)
\( k = -\frac{4}{8} \implies k = -\frac{1}{2} \)।
(iii) दिया गया समीकरण है: \( 2x^2 + kx + 3 = 0 \)
यहां \( a = 2, b = k \) और \( c = 3 \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (k)^2 - 4(2)(3) = 0 \)
\( k^2 - 24 = 0 \)
\( k^2 = 24 \)
\( k = \pm \sqrt{24} \)
\( k = \pm \sqrt{4 \times 6} \)
\( k = \pm 2\sqrt{6} \)।
(iv) दिया गया समीकरण है: \( (k + 1)x^2 - 2(k - 1)x + 1 = 0 \)
यहां \( a = (k+1), b = -2(k-1) \) और \( c = 1 \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-2(k-1))^2 - 4(k+1)(1) = 0 \)
\( 4(k-1)^2 - 4(k+1) = 0 \)
\( 4(k^2 - 2k + 1) - 4k - 4 = 0 \)
\( 4k^2 - 8k + 4 - 4k - 4 = 0 \)
\( 4k^2 - 12k = 0 \)
\( 4k(k - 3) = 0 \)
इससे \( 4k = 0 \) या \( k - 3 = 0 \)
यदि \( 4k = 0 \), तो \( k = 0 \)। इस स्थिति में, समीकरण \( -2(-1)x + 1 = 0 \implies 2x+1=0 \) बन जाता है, जो एक द्विघात समीकरण नहीं है। इसलिए \( k \neq 0 \)।
अतः \( k - 3 = 0 \implies k = 3 \)।
(v) दिया गया समीकरण है: \( (k + 4) x^2 + (k + 1)x + 1 = 0 \)
यहां \( a = (k+4), b = (k+1) \) और \( c = 1 \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (k+1)^2 - 4(k+4)(1) = 0 \)
\( k^2 + 2k + 1 - 4k - 16 = 0 \)
\( k^2 - 2k - 15 = 0 \)
अब, इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए मध्य पद को विभाजित करें:
\( k^2 - 5k + 3k - 15 = 0 \)
\( k(k - 5) + 3(k - 5) = 0 \)
\( (k - 5)(k + 3) = 0 \)
इससे \( k - 5 = 0 \) या \( k + 3 = 0 \)
अतः \( k = 5 \) या \( k = -3 \)।
(vi) दिया गया समीकरण है: \( kx^2 - 5x + k = 0 \)
यहां \( a = k, b = -5 \) और \( c = k \) है।
मूल वास्तविक और बराबर होने के लिए, विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (-5)^2 - 4(k)(k) = 0 \)
\( 25 - 4k^2 = 0 \)
\( 4k^2 = 25 \)
\( k^2 = \frac{25}{4} \)
\( k = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \)
\( k = \pm \frac{5}{2} \)।
In simple words: जब किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होते हैं, तो उसका विविक्तकर (D) हमेशा शून्य होता है। हमें \( D = b^2 - 4ac = 0 \) समीकरण का उपयोग करके \( k \) का मान निकालना होता है। यदि \( k \) का मान समीकरण को द्विघात नहीं रहने देता, तो उस मान को छोड़ना पड़ता है।

🎯 Exam Tip: Always remember to check for cases where the 'a' coefficient (which often contains 'k') might become zero, as this would change the equation from quadratic to linear, and thus change the meaning of "roots".

प्रश्न 3. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल वास्तविक व भिन्न हों-
(i) \( kx^2 + 2x + 1 = 0 \)
(ii) \( kx^2 + 6x + 1 = 0 \)
(iii) \( x^2 - kx + 9 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया द्विघात समीकरण है: \( kx^2 + 2x + 1 = 0 \)
यहां \( a = k, b = 2 \) और \( c = 1 \) है।
मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए, विविक्तकर \( D > 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac > 0 \)
\( (2)^2 - 4(k)(1) > 0 \)
\( 4 - 4k > 0 \)
\( 4 > 4k \)
\( 1 > k \)
अतः \( k < 1 \) होना चाहिए। यह बताता है कि k का मान 1 से कम होना चाहिए।
(ii) दिया गया द्विघात समीकरण है: \( kx^2 + 6x + 1 = 0 \)
यहां \( a = k, b = 6 \) और \( c = 1 \) है।
मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए, विविक्तकर \( D > 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac > 0 \)
\( (6)^2 - 4(k)(1) > 0 \)
\( 36 - 4k > 0 \)
\( 36 > 4k \)
\( 9 > k \)
अतः \( k < 9 \) होना चाहिए।
(iii) दिया गया द्विघात समीकरण है: \( x^2 - kx + 9 = 0 \)
यहां \( a = 1, b = -k \) और \( c = 9 \) है।
मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए, विविक्तकर \( D > 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac > 0 \)
\( (-k)^2 - 4(1)(9) > 0 \)
\( k^2 - 36 > 0 \)
\( k^2 > 36 \)
\( \implies k > 6 \) या \( k < -6 \)।
यह बताता है कि k का मान 6 से बड़ा होना चाहिए या -6 से छोटा होना चाहिए।
In simple words: जब मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं, तो विविक्तकर (D) हमेशा शून्य से बड़ा होता है। इस स्थिति में, हम \( b^2 - 4ac > 0 \) का उपयोग करके \( k \) के उन मानों को निकालते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं।

🎯 Exam Tip: When dealing with \( k^2 > \text{constant} \), remember that the solution involves two intervals, for example, \( k^2 > 36 \) means \( k > 6 \) OR \( k < -6 \), not just \( k > 6 \).

प्रश्न 4. k के ऐसे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण \( x^2 + 5kx + 16 = 0 \) के मूल वास्तविक नहीं हों।
Answer:
दिया गया द्विघात समीकरण है: \( x^2 + 5kx + 16 = 0 \)
यहां \( a = 1, b = 5k \) और \( c = 16 \) है।
मूल वास्तविक नहीं होने के लिए, विविक्तकर \( D < 0 \) होना चाहिए।
\( D = b^2 - 4ac < 0 \)
\( (5k)^2 - 4(1)(16) < 0 \)
\( 25k^2 - 64 < 0 \)
\( 25k^2 < 64 \)
\( k^2 < \frac{64}{25} \)
\( k^2 < \left(\frac{8}{5}\right)^2 \)
इसका अर्थ है कि \( -\frac{8}{5} < k < \frac{8}{5} \)।
यह बताता है कि k का मान \( -\frac{8}{5} \) और \( \frac{8}{5} \) के बीच होना चाहिए ताकि मूल वास्तविक न हों।
In simple words: यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक नहीं होते हैं, तो उसका विविक्तकर (D) हमेशा शून्य से छोटा होता है। हम \( b^2 - 4ac < 0 \) का उपयोग करके \( k \) के उपयुक्त मानों का पता लगाते हैं।

🎯 Exam Tip: For roots to be non-real (imaginary), the discriminant must be strictly less than zero (\( D < 0 \)). Remember to solve the inequality correctly, especially when dealing with squares.

प्रश्न 5. यदि द्विघात समीकरण \( (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 \) के मूल वास्तविक व बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि \( 2b = a + c \)
Answer:
दिया गया द्विघात समीकरण है: \( (b - c)x^2 + (c - a)x + (a - b) = 0 \)
इस समीकरण में, \( A = (b - c), B = (c - a) \) और \( C = (a - b) \) है।
चूँकि मूल वास्तविक और बराबर हैं, इसलिए विविक्तकर \( D = 0 \) होना चाहिए।
\( D = B^2 - 4AC = 0 \)
\( (c - a)^2 - 4(b - c)(a - b) = 0 \)
अब, हम इस समीकरण को हल करके \( 2b = a + c \) को सिद्ध करेंगे।
\( (c^2 - 2ac + a^2) - 4(ab - b^2 - ac + bc) = 0 \)
\( c^2 - 2ac + a^2 - 4ab + 4b^2 + 4ac - 4bc = 0 \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( a^2 + 4b^2 + c^2 + 2ac - 4ab - 4bc = 0 \)
यह समीकरण \( (a - 2b + c)^2 = 0 \) का विस्तारित रूप है।
हम जानते हैं कि \( (X+Y+Z)^2 = X^2+Y^2+Z^2+2XY+2YZ+2ZX \)।
यहां, \( X=a, Y=-2b, Z=c \)
इसलिए, \( (a - 2b + c)^2 = a^2 + (-2b)^2 + c^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(c) + 2(c)(a) \)
\( = a^2 + 4b^2 + c^2 - 4ab - 4bc + 2ac \)
जो हमारे हल किए गए समीकरण के समान है।
अतः,
\( (a - 2b + c)^2 = 0 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( a - 2b + c = 0 \)
\( a + c = 2b \)
या \( 2b = a + c \)।
इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि यदि मूल वास्तविक और बराबर हों, तो \( 2b = a + c \) होता है।
In simple words: जब एक द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर होते हैं, तो उसका विविक्तकर शून्य होता है। इस जानकारी का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण को सरल करते हैं और अंत में \( 2b = a + c \) संबंध को प्राप्त करते हैं, जो यह दर्शाता है कि यह एक विशेष प्रकार का द्विघात समीकरण है।

🎯 Exam Tip: For proof-based questions, carefully expand and simplify the discriminant equation \( B^2 - 4AC = 0 \). Look for patterns that match a squared term like \( (X \pm Y \pm Z)^2 \) to simplify the algebraic manipulation and reach the desired proof efficiently.