RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.4

बहुपद Ex 3.4

Question 1. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा निम्न द्विघात समीकरणों को हल कीजिए
(i) \( 3x^{2} - 5x + 2 = 0 \)
(ii) \( 5x^{2} - 6x - 2 = 0 \)
(iii) \( 4x^{2} + 3x + 5 = 0 \)
(iv) \( 4x^{2} + 4\sqrt {3} x + 3 = 0 \)
(v) \( 2x^{2} + x - 4 = 0 \)
(vi) \( 2x^{2} + x + 4 = 0 \)
(vii) \( 4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0 \)
Answer:
(i) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 3x^{2} - 5x + 2 = 0 \)
या \( 3x^{2} - 5x = -2 \)
पूरा वर्ग बनाने के लिए, हमें यह सुनिश्चित करना होता है कि \(x^2\) के साथ कोई और संख्या गुणा न हो (गुणांक 1 हो)।
या \( x^{2}-\frac{5}{3}x = -\frac{2}{3} \)
अब, दोनों तरफ \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते हैं ताकि बाईं ओर एक पूरा वर्ग बन जाए।
या \( x^{2}-\frac{5}{3}x + (-\frac{5}{6})^{2} = -\frac{2}{3} + (-\frac{5}{6})^{2} \)
या \( (x-\frac{5}{6})^{2} = -\frac{2}{3} + \frac{25}{36} \)
या \( (x-\frac{5}{6})^{2} = \frac{-24+25}{36} \)
या \( (x-\frac{5}{6})^{2} = \frac{1}{36} \)
या \( x-\frac{5}{6} = \pm \sqrt{\frac{1}{36}} \)
या \( x-\frac{5}{6} = \pm \frac{1}{6} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x-\frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)
या \( x = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \)
\( x = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x-\frac{5}{6} = -\frac{1}{6} \)
या \( x = -\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \)
\( x = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} \)
\( x = \frac{2}{3} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल 1 और \( \frac{2}{3} \) हैं। एक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं, जो x के मान होते हैं।
In simple words: समीकरण को हल करने के लिए, हमने \(x^2\) के गुणांक को 1 बनाया और फिर दोनों तरफ एक पद जोड़कर उसे पूर्ण वर्ग बनाया। फिर वर्गमूल लेकर \(x\) के दो मान 1 और \( \frac{2}{3} \) निकाले।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग विधि में, \(x^2\) के गुणांक को 1 बनाना पहला महत्वपूर्ण कदम है। इसके बाद \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ना सुनिश्चित करें।

Answer:
(ii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 5x^{2} - 6x - 2 = 0 \)
या \( 5x^{2} - 6x = 2 \)
\(x^2\) के गुणांक को इकाई बनाने पर:
या \( x^{2}-\frac{6}{5}x = \frac{2}{5} \)
दोनों पक्षों में \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर:
या \( x^{2}-\frac{6}{5}x + (-\frac{3}{5})^{2} = \frac{2}{5} + (-\frac{3}{5})^{2} \)
या \( (x-\frac{3}{5})^{2} = \frac{2}{5} + \frac{9}{25} \)
या \( (x-\frac{3}{5})^{2} = \frac{10+9}{25} \)
या \( (x-\frac{3}{5})^{2} = \frac{19}{25} \)
या \( x-\frac{3}{5} = \pm \sqrt{\frac{19}{25}} \)
या \( x-\frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{19}}{5} \)
या \( x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{19}}{5} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3+\sqrt{19}}{5} \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3-\sqrt{19}}{5} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{3+\sqrt{19}}{5} \) और \( \frac{3-\sqrt{19}}{5} \) हैं। ये मूल अपरिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि उनमें वर्गमूल शामिल है।
In simple words: समीकरण को \(x^2\) के गुणांक को 1 करके हल किया। फिर हमने \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों तरफ जोड़ा, जिससे हमें \(x\) के दो मान मिले।

🎯 Exam Tip: यदि मूलों में वर्गमूल के चिह्न आते हैं, तो यह दर्शाता है कि मूल अपरिमेय हैं। हर बार चिह्न को सही ढंग से धनात्मक और ऋणात्मक में विभाजित करें।

Answer:
(iii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 4x^{2} + 3x + 5 = 0 \)
या \( 4x^{2} + 3x = -5 \)
\(x^2\) के गुणांक को इकाई बनाने पर:
या \( x^{2}+\frac{3}{4}x = -\frac{5}{4} \)
दोनों पक्षों में \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर:
या \( x^{2}+\frac{3}{4}x+(\frac{3}{8})^{2} = -\frac{5}{4} + (\frac{3}{8})^{2} \)
या \( (x+\frac{3}{8})^{2} = -\frac{5}{4} + \frac{9}{64} \)
या \( (x+\frac{3}{8})^{2} = \frac{-80+9}{64} \)
या \( (x+\frac{3}{8})^{2} = \frac{-71}{64} \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए \( (x+\frac{3}{8})^{2} \) का मान कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए, यहाँ \(x\) का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को संतुष्ट करे। अतः समीकरण के मूलों का अस्तित्व नहीं है। यह समीकरण एक काल्पनिक हल देती है।
In simple words: समीकरण को हल करते समय, हमें एक ऐसी स्थिति मिली जहाँ एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक था। चूंकि ऐसा वास्तविक संख्याओं में संभव नहीं है, इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: यदि \( (ax+b)^2 = \text{ऋणात्मक संख्या} \) आता है, तो समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते हैं। इसे तुरंत पहचानें और लिखें कि कोई वास्तविक मूल मौजूद नहीं हैं।

Answer:
(iv) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 4x^{2} + 4\sqrt{3}x + 3 = 0 \)
\(x^2\) का गुणांक इकाई बनाने पर (दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करें):
या \( x^{2}+\sqrt{3}x = -\frac{3}{4} \)
अब, दोनों तरफ \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते हैं ताकि बाईं ओर एक पूरा वर्ग बन जाए।
या \( x^{2}+\sqrt{3}x+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = -\frac{3}{4} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} \)
या \( (x+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = -\frac{3}{4} + \frac{3}{4} \)
या \( (x+\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = 0 \)
(बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन गया है)
या \( (x+\frac{\sqrt{3}}{2})(x+\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 \)
अर्थात् \( x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \)
या \( x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
अतः, दी गई समीकरण के मूल \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) हैं। यह दिखाता है कि जब विवेचक शून्य होता है तो दोनों मूल समान होते हैं।
In simple words: हमने समीकरण को हल करने के लिए \(x^2\) के गुणांक को 1 बनाया और फिर दोनों तरफ एक पद जोड़कर उसे पूर्ण वर्ग बनाया। इससे हमें \(x\) के दो समान मान \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) मिले।

🎯 Exam Tip: यदि \( (ax+b)^2 = 0 \) आता है, तो इसका अर्थ है कि समीकरण के दोनों मूल समान हैं और \(x = -\frac{b}{a}\) होगा। यह स्थिति तब आती है जब विवेचक शून्य होता है।

Answer:
(v) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 2x^{2} + x - 4 = 0 \)
या \( 2x^{2} + x = 4 \)
\(x^2\) का गुणांक इकाई बनाने पर:
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x = \frac{4}{2} \)
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x = 2 \)
दोनों पक्षों में \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर:
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2} = 2+(\frac{1}{4})^{2} \)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = 2+\frac{1}{16} \)
(बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन गया है)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = \frac{32+1}{16} \)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = \frac{33}{16} \)
या \( x+\frac{1}{4} = \pm \sqrt{\frac{33}{16}} \)
या \( x+\frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4} \)
स्थिति I. धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)
या \( x = \frac{\sqrt{33}-1}{4} \)
स्थिति II. ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = -\frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{1}{4} \)
या \( x = \frac{-\sqrt{33}-1}{4} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{-1+\sqrt{33}}{4} \) और \( \frac{-1-\sqrt{33}}{4} \) हैं। यह समीकरण दो अलग-अलग अपरिमेय मूल देती है।
In simple words: समीकरण को \(x^2\) के गुणांक को 1 करके हल किया। फिर हमने \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों तरफ जोड़ा, जिससे हमें \(x\) के दो अलग-अलग अपरिमेय मान मिले।

🎯 Exam Tip: जब भी समीकरण में वर्गमूल आए, तो उत्तर को \( \frac{\text{संख्या} \pm \sqrt{\text{संख्या}}}{\text{संख्या}} \) के रूप में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करें।

Answer:
(vi) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 2x^{2} + x + 4 = 0 \)
या \( 2x^{2} + x = -4 \)
\(x^2\) का गुणांक इकाई बनाने पर:
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x = -\frac{4}{2} \)
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x = -2 \)
दोनों पक्षों में \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने पर:
या \( x^{2}+\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2} = -2+(\frac{1}{4})^{2} \)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = -2+\frac{1}{16} \)
(बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन गया है)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = \frac{-32+1}{16} \)
या \( (x+\frac{1}{4})^{2} = \frac{-31}{16} \)
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, इसलिए \( (x+\frac{1}{4})^{2} \) का मान \(x\) के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता।
इसलिए, यहाँ \(x\) का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दी गई द्विघात समीकरण को संतुष्ट करे। अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसके मूल काल्पनिक होंगे।
In simple words: जब हमने समीकरण को हल करने की कोशिश की, तो एक संख्या का वर्ग ऋणात्मक आ गया। चूंकि ऐसा वास्तविक संख्याओं में संभव नहीं है, इस समीकरण का कोई भी वास्तविक हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: हमेशा \( (x+a)^2 = \text{संख्या} \) वाले चरण में संख्या के चिह्न की जांच करें। यदि यह ऋणात्मक है, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं।

Answer:
(vii) प्रश्नानुसार द्विघात समीकरण है:
\( 4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0 \)
दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करके \(x^2\) का गुणांक इकाई बनाने पर:
\( x^{2}+bx = \frac{a^{2}-b^{2}}{4} \)
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं:
\( x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}-b^{2}}{4}+(\frac{b}{2})^{2} \)
या \( (x+\frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}-b^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4} \)
या \( (x+\frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}-b^{2}+b^{2}}{4} \)
या \( (x+\frac{b}{2})^{2} = \frac{a^{2}}{4} \)
या \( x+\frac{b}{2} = \pm \sqrt{\frac{a^{2}}{4}} \)
या \( x+\frac{b}{2} = \pm \frac{a}{2} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
या \( x+\frac{b}{2} = \frac{a}{2} \)
\( x = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} \)
\( x = \frac{a-b}{2} \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
या \( x+\frac{b}{2} = -\frac{a}{2} \)
\( x = -\frac{a}{2} - \frac{b}{2} \)
\( x = \frac{-(a+b)}{2} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{a-b}{2} \) और \( \frac{-(a+b)}{2} \) हैं। यह दर्शाता है कि बीजगणितीय समीकरणों को भी इस विधि से हल किया जा सकता है।
In simple words: हमने समीकरण में \(x^2\) के गुणांक को 1 बनाया, फिर दोनों तरफ \(x\) के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ा। ऐसा करने से हमें \(x\) के दो मान \( \frac{a-b}{2} \) और \( \frac{-(a+b)}{2} \) मिले।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय गुणांकों वाले समीकरणों को हल करते समय, \(a\) और \(b\) जैसे चरों को संख्यात्मक मानों की तरह ही मानें और समान नियमों का पालन करें।

Question 2. निम्न द्विघात समीकरणों के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो श्रीधर आचार्य विधि द्वारा द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए-
(i) \( 2x^{2} - 2\sqrt{2} x + 1 =0 \)
(ii) \( 9x^{2} + 7x - 2 = 0 \)
(iii) \( x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0 \)
(iv) \( \sqrt{2}x^{2} + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \)
(v) \( x^{2} + 4x + 5 = 0 \)
(vi) \( \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2} =3,\quad x\neq 0,2 \)
Answer:
(i) समीकरण है: \( 2x^{2} - 2\sqrt{2} x + 1 =0 \)
यहाँ, \( a = 2, b = -2\sqrt{2} \) तथा \( c = 1 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (-2\sqrt{2})^{2} - 4 \times 2 \times 1 \)
\( = (4 \times 2) - 8 \)
\( = 8 - 8 = 0 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और समान होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2\times2} \)
\( x = \frac{2\sqrt{2}\pm0}{4} \)
\( x = \frac{2\sqrt{2}}{4} \)
\( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) और \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) हैं। जब विवेचक शून्य होता है तो दोनों मूल हमेशा समान होते हैं।
In simple words: हमने श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करके समीकरण के मूल निकाले। \(b^2-4ac\) का मान शून्य आया, जिसका मतलब है कि \(x\) के दोनों मान \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) समान हैं।

🎯 Exam Tip: यदि \(b^2-4ac\) का मान शून्य आता है, तो मूल हमेशा वास्तविक और समान होंगे। इस स्थिति में, \( \pm\sqrt{0} \) वाला भाग हटाकर सीधे सूत्र \( x = \frac{-b}{2a} \) का उपयोग कर सकते हैं।

Answer:
(ii) दी गई द्विघात समीकरण है: \( 9x^{2} + 7x - 2 = 0 \)
इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण \( ax^{2}+bx+c=0 \) से करने पर:
\( a = 9, b = 7 \) तथा \( c = -2 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (7)^{2} - 4 \times 9 \times (-2) \)
\( = 49 - (-72) \)
\( = 49 + 72 = 121 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
अब, \(a, b, c\) के मान श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
\( x = \frac{-7\pm\sqrt{121}}{2\times9} \)
\( x = \frac{-7\pm11}{18} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-7+11}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-7-11}{18} = \frac{-18}{18} = -1 \)
अतः, दी गई समीकरण के मूल \( \frac{2}{9} \) और -1 हैं। ये मूल परिमेय संख्याएँ हैं।
In simple words: हमने श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करके समीकरण के मूल निकाले। \(b^2-4ac\) का मान 121 आया, जिसका मतलब है कि \(x\) के दो अलग-अलग मान \( \frac{2}{9} \) और -1 हैं।

🎯 Exam Tip: श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करते समय, \(b^2-4ac\) के मान की गणना ध्यान से करें, क्योंकि इसका चिह्न और मान मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है।

Answer:
(iii) दी गई समीकरण है: \( x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0 \)
इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में बदलने पर:
या \( \frac{x^{2}+1}{x} = 3 \)
या \( x^{2}+1 = 3x \)
या \( x^{2}-3x+1 = 0 \)
यहाँ, \( a = 1, b = -3, c = 1 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 1 \)
\( = 9-4 = 5 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 5 > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2\times1} \)
\( x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \)
स्थिति I. धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \)
स्थिति II. ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \)
अतः, दी गई समीकरण के मूल \( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \) और \( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \) हैं। ये अपरिमेय मूल हैं।
In simple words: पहले हमने समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखा। फिर श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करके \(x\) के दो मान \( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \) और \( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \) निकाले।

🎯 Exam Tip: भिन्नात्मक समीकरणों को हल करते समय, पहले उन्हें मानक द्विघात रूप में बदलें, फिर सूत्र विधि का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करें कि \(x \neq 0\) जैसी शर्तों का ध्यान रखा जाए।

Answer:
(iv) दी गई समीकरण है: \( \sqrt{2}x^{2} + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \)
यहाँ, \( a = \sqrt{2}, b = 7, c = 5\sqrt{2} \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (7)^{2} - 4 \times \sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \)
\( = 49 - (4 \times 5 \times 2) \)
\( = 49 - 40 = 9 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 9 > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-7\pm\sqrt{9}}{2\times\sqrt{2}} \)
\( x = \frac{-7\pm3}{2\sqrt{2}} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-7+3}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} \)
परिमेयीकरण करने पर:
\( x = \frac{-4}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2} \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-7-3}{2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{2}} \)
परिमेयीकरण करने पर:
\( x = \frac{-10}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-10\sqrt{2}}{4} = \frac{-5\sqrt{2}}{2} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( -\sqrt{2} \) और \( -\frac{5\sqrt{2}}{2} \) हैं। ये दोनों मूल अपरिमेय संख्याएँ हैं।
In simple words: श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करके, हमने \(x\) के दो मान निकाले। \(b^2-4ac\) का मान 9 आया, इसलिए हमें दो अलग-अलग अपरिमेय मूल मिले।

🎯 Exam Tip: जब हर में वर्गमूल हो (जैसे \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)), तो हमेशा हर का परिमेयीकरण करें ताकि उत्तर सरलतम रूप में हो।

Answer:
(v) दी गई समीकरण है: \( x^{2} + 4x + 5 = 0 \)
इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण \( ax^{2}+bx+c=0 \) से करने पर:
\( a = 1, b = 4, c = 5 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (4)^{2} - 4 \times 1 \times 5 \)
\( = 16 - 20 = -4 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = -4 < 0 \) है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं।
इसलिए, द्विघात समीकरण के मूल काल्पनिक हैं। यह इंगित करता है कि समीकरण का ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता है।
In simple words: हमने \(b^2-4ac\) का मान निकाला, जो -4 आया। चूंकि यह ऋणात्मक है, समीकरण का कोई भी वास्तविक हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: हमेशा \(b^2-4ac\) की गणना पहले करें। यदि इसका मान ऋणात्मक आता है, तो आगे गणना करने की आवश्यकता नहीं है, बस लिख दें कि वास्तविक मूल मौजूद नहीं हैं।

Answer:
(vi) दी गई समीकरण है: \( \frac{1}{x}-\frac{1}{x-2} =3,\quad x\neq 0,2 \)
समीकरण को सरल बनाने पर:
\( \frac{(x-2)-x}{x(x-2)} = 3 \)
\( \implies \frac{-2}{x^{2}-2x} = 3 \)
\( \implies -2 = 3(x^{2}-2x) \)
\( \implies -2 = 3x^{2}-6x \)
या \( 3x^{2}-6x+2 = 0 \)
यहाँ, \( a = 3, b = -6 \) तथा \( c = 2 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (-6)^{2} - 4 \times 3 \times 2 \)
\( = 36 - 24 = 12 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 12 > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-(-6)\pm\sqrt{12}}{2\times3} \)
\( x = \frac{6\pm\sqrt{4\times3}}{6} \)
\( x = \frac{6\pm2\sqrt{3}}{6} \)
\( x = \frac{2(3\pm\sqrt{3})}{6} \)
\( x = \frac{3\pm\sqrt{3}}{3} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3+\sqrt{3}}{3} \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{3-\sqrt{3}}{3} \)
अतः, दी गई द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{3+\sqrt{3}}{3} \) और \( \frac{3-\sqrt{3}}{3} \) हैं। ये मूल अपरिमेय और भिन्न हैं।
In simple words: हमने भिन्न वाली समीकरण को पहले \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में बदला। फिर श्रीधर आचार्य सूत्र का उपयोग करके \(x\) के दो मान \( \frac{3+\sqrt{3}}{3} \) और \( \frac{3-\sqrt{3}}{3} \) निकाले।

🎯 Exam Tip: जटिल दिखने वाली समीकरणों को पहले उनके सरलतम मानक द्विघात रूप में बदलें। यह गणना को बहुत आसान बना देता है।

Question 3. दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णाक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
Answer:
माना पहला क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक \( x \) है।
तो, इसका अगला क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक \( (x + 2) \) होगा। विषम संख्याओं के बीच का अंतर 2 होता है।
प्रश्नानुसार, उनके वर्गों का योग 290 है:
\( x^{2}+(x+2)^{2} = 290 \)
\( \implies x^{2}+(x^{2}+4x+4) = 290 \)
\( \implies 2x^{2}+4x+4 = 290 \)
\( \implies 2x^{2}+4x+4-290 = 0 \)
\( \implies 2x^{2}+4x-286 = 0 \)
दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:
या \( x^{2}+2x-143 = 0 \)
यहाँ, \( a = 1, b = 2 \) तथा \( c = -143 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (2)^{2} - 4 \times 1 \times (-143) \)
\( = 4 - (-572) \)
\( = 4+572 = 576 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 576 > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-2\pm\sqrt{576}}{2\times1} \)
\( x = \frac{-2\pm24}{2} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-2+24}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-2-24}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \)
प्रश्न में दिया गया है कि \(x\) एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। अतः, \( x = 11 \) होगा, क्योंकि \( x \neq -13 \)।
इसलिए, पहला पूर्णांक 11 है।
दूसरा क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक \( x+2 = 11+2 = 13 \) होगा।
अतः, दोनों क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक 11 और 13 हैं। आप जांच कर सकते हैं कि \(11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290\).
In simple words: हमने दो क्रमागत विषम संख्याओं को \(x\) और \(x+2\) मानकर उनके वर्गों का योग 290 के बराबर रखा। समीकरण हल करने पर हमें \(x=11\) मिला, इसलिए संख्याएँ 11 और 13 हैं।

🎯 Exam Tip: जब भी क्रमागत विषम या सम संख्याएँ माननी हों, तो \(x, x+2, x+4, \dots\) का उपयोग करें। यदि सिर्फ क्रमागत संख्याएँ हों, तो \(x, x+1, x+2, \dots\) का उपयोग करें। अंत में शर्त (धनात्मक, विषम) के अनुसार उत्तर चुनें।

Question 4. दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 45 है तथा छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना बड़ी संख्या \( x \) है।
प्रश्न के अनुसार, छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का चार गुना है।
तो, छोटी संख्या का वर्ग \( = 4x \)
और बड़ी संख्या का वर्ग \( = x^{2} \)
संख्याओं के वर्गों का अंतर 45 दिया है:
\( (\text{बड़ी संख्या का वर्ग}) - (\text{छोटी संख्या का वर्ग}) = 45 \)
इसलिए, \( x^{2}-4x = 45 \)
समीकरण को मानक रूप में लिखने पर:
\( x^{2}-4x-45 = 0 \)
यहाँ, \( a = 1, b = -4 \) तथा \( c = -45 \)
विवेचक \( b^{2}-4ac \) का मान ज्ञात करने पर:
\( b^{2}-4ac = (-4)^{2} - 4 \times 1 \times (-45) \)
\( = 16 - (-180) \)
\( = 16+180 = 196 \)
चूँकि \( b^{2}-4ac = 196 > 0 \) है, अतः मूल वास्तविक और अलग-अलग होंगे।
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-(-4)\pm\sqrt{196}}{2\times1} \)
\( x = \frac{4\pm14}{2} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{4+14}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{4-14}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
चूँकि छोटी संख्या का वर्ग \(4x\) है, और वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, तो \(4x\) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। यदि \(x=-5\) लेते हैं, तो \(4x = 4 \times (-5) = -20\) होगा, जो कि एक वर्ग नहीं हो सकता। अतः, \(x=9\) ही मान्य मान है।
इसलिए, बड़ी संख्या \( = 9 \)
छोटी संख्या का वर्ग \( = 4 \times 9 = 36 \)
इसलिए, छोटी संख्या \( = \pm\sqrt{36} = \pm6 \)
अतः, संख्याएँ 9 और 6 हैं, या 9 और -6 हैं। ये दोनों जोड़े शर्तों को पूरा करते हैं।
In simple words: हमने बड़ी संख्या को \(x\) माना और शर्तों के आधार पर एक समीकरण बनाई। समीकरण को हल करने पर हमें \(x=9\) मिला। फिर छोटी संख्या का वर्ग 36 आया, जिससे छोटी संख्या 6 या -6 हो सकती है।

🎯 Exam Tip: जब चर मान के लिए कई विकल्प हों, तो प्रश्न की सभी शर्तों की जांच करें। जैसे 'वर्ग' कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इस नियम का उपयोग करके अमान्य मानों को छोड़ दें।

Question 5. संख्या 16 को दो भागों में विभाजित करें, इस प्रकार कि बड़े भाग के वर्ग का दोगुना, छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक हो।
Answer:
माना संख्या 16 के दो भाग \( x \) और \( (16-x) \) हैं।
माना बड़ा भाग \( x \) है, तो छोटा भाग \( (16-x) \) होगा।
प्रश्नानुसार, बड़े भाग के वर्ग का दोगुना, छोटे भाग के वर्ग से 164 अधिक है:
\( 2x^{2} = (16-x)^{2} + 164 \)
\( \implies 2x^{2} = (256-32x+x^{2}) + 164 \)
\( \implies 2x^{2} - x^{2} + 32x - 256 - 164 = 0 \)
\( \implies x^{2} + 32x - 420 = 0 \)
यहाँ, \( a = 1, b = 32 \) तथा \( c = -420 \)
श्रीधर आचार्य द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
\( x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \)
मान रखने पर:
\( x = \frac{-32\pm\sqrt{(32)^{2}-4\times1\times(-420)}}{2\times1} \)
\( x = \frac{-32\pm\sqrt{1024+1680}}{2} \)
\( x = \frac{-32\pm\sqrt{2704}}{2} \)
\( x = \frac{-32\pm52}{2} \)
स्थिति I : धनात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-32+52}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
स्थिति II : ऋणात्मक चिह्न लेने पर
\( x = \frac{-32-52}{2} = \frac{-84}{2} = -42 \)
चूँकि हमने \(x\) को 16 का एक भाग माना है, यह मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः, \(x=10\) ही मान्य मान है।
बड़ा भाग \( = 10 \)
छोटा भाग \( = 16-x = 16-10 = 6 \)
अतः, दो संख्याएँ 10 और 6 हैं। ये दो संख्याएँ 16 को इस प्रकार विभाजित करती हैं कि दी गई शर्त पूरी होती है।
In simple words: हमने 16 को \(x\) और \(16-x\) दो भागों में बांटा। प्रश्न की शर्त के अनुसार एक समीकरण बनाई और उसे हल किया। हमें \(x=10\) मिला, जिससे दो भाग 10 और 6 हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले चर (variables) को सही ढंग से परिभाषित करें, फिर दी गई शर्तों के आधार पर समीकरण बनाएं। अंत में, अमान्य समाधानों को बाहर करने के लिए संदर्भ की जांच करें (जैसे कि एक भाग ऋणात्मक नहीं हो सकता)।