RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.3

बहुपद Ex 3.3

Question 1. निम्न समीकरणों की जाँच कर बताइए कि क्या ये द्विघात समीकरण हैं-
(i) \( x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2) \)
(ii) \( (x + 2)^3 = x^3 – 4 \)
(iii) \( x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2 \)
(iv) \( x + \frac {1}{x} = x^2, x \neq 0 \)
Answer:
(i) \( x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2) \)
\( \implies x^2 + x + 8 = x^2 - 2^2 \)
\( \implies x^2 + x + 8 = x^2 - 4 \)
\( \implies x + 8 + 4 = 0 \)
\( \implies x + 12 = 0 \)
यह एक रैखिक बहुपद है क्योंकि इसमें चर \( x \) की सबसे बड़ी घात 1 है. इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है.
In simple words: समीकरण को हल करने पर, हमें \( x + 12 = 0 \) मिलता है. इसमें \( x \) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है, बल्कि एक सीधी रेखा का समीकरण है.

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरण वह होता है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात (power) 2 होती है. अगर समीकरण को सरल करने पर अधिकतम घात 2 न हो, तो वह द्विघात समीकरण नहीं होगा.

(ii) \( (x + 2)^3 = x^3 – 4 \)
\( \implies x^3 + 2^3 + 3 \times x \times 2 (x + 2) = x^3 - 4 \)
\( \implies x^3 + 8 + 6x (x + 2) = x^3 - 4 \)
\( \implies x^3 + 8 + 6x^2 + 12x = x^3 - 4 \)
\( \implies 6x^2 + 12x + 8 + 4 = 0 \)
\( \implies 6x^2 + 12x + 12 = 0 \)
\( \implies x^2 + 2x + 2 = 0 \) (पूरे समीकरण को 6 से भाग देने पर)
यह एक द्विघात बहुपद है क्योंकि इसमें चर \( x \) की सबसे बड़ी घात 2 है. इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है.
In simple words: समीकरण को हल करने पर, हमें \( x^2 + 2x + 2 = 0 \) मिलता है. इसमें \( x \) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है.

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \) जैसे बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (algebraic identities) को याद रखना समीकरणों को हल करने में मदद करता है.

(iii) \( x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2 \)
\( \implies x^2 + 3x + 1 = x^2 - 4x + 4 \)
\( \implies 3x + 1 = -4x + 4 \)
\( \implies 3x + 4x + 1 - 4 = 0 \)
\( \implies 7x - 3 = 0 \)
यह एक रैखिक बहुपद है क्योंकि इसमें चर \( x \) की सबसे बड़ी घात 1 है. इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है.
In simple words: जब हम समीकरण को सरल करते हैं, तो \( x^2 \) पद कट जाता है और हमें \( 7x - 3 = 0 \) मिलता है. इसमें \( x \) की घात 1 है, इसलिए यह द्विघात समीकरण नहीं है.

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का सही ढंग से विस्तार करना समीकरणों को सरल करने की कुंजी है.

(iv) \( x + \frac {1}{x} = x^2, x \neq 0 \)
दोनों पक्षों को \( x \) से गुणा करने पर (चूँकि \( x \neq 0 \)):
\( \implies x(x) + x(\frac{1}{x}) = x(x^2) \)
\( \implies x^2 + 1 = x^3 \)
\( \implies x^3 - x^2 - 1 = 0 \)
यह एक त्रिघात बहुपद है क्योंकि इसमें चर \( x \) की सबसे बड़ी घात 3 है. इसलिए, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है.
In simple words: समीकरण को सरल करने पर हमें \( x^3 - x^2 - 1 = 0 \) मिलता है. इसमें \( x \) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है, न कि द्विघात समीकरण.

🎯 Exam Tip: भिन्न (fractions) वाले समीकरणों में, हर (denominator) को हटाने के लिए समीकरण के सभी पदों को हर के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करना अक्सर सहायक होता है.

Question 2. गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्न समीकरणों को हल कीजिए-
(i) \( 2x^2 – 5x + 3 = 0 \)
(ii) \( 9x^2 – 3x - 2 = 0 \)
(iii) \( \sqrt {3}x^2 + 10x + 7\sqrt {3} = 0 \)
(iv) \( x^2 - 8x + 16 = 0 \)
(v) \( \frac {1}{x-2}+\frac { 2 }{x-1 } =\frac {6}{x} \) जहाँ : \( x \neq 1, 2 \)
(vi) \( 100x^2 - 20x +1 = 0 \)
(vii) \( 3x^2 - 2\sqrt {6} x + 2 = 0 \)
(viii) \( x^2 + 8x + 7 = 0 \)
(ix) \( \frac {x+3}{x+2} = \frac {3x-7}{2x-3} \)
(x) \( 4x^2 - 4a^2x + (a^4 – b^4) = 0 \)
(xi) \( abx^2 + (b^2 - ac)x - bc = 0 \)
Answer:
(i) \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies 2x^2 - 2x - 3x + 3 = 0 \)
\( \implies 2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0 \)
\( \implies (x - 1)(2x - 3) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
या
\( 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = 1 \) और \( x = \frac{3}{2} \) हैं.
In simple words: हमने बीच वाले पद \( -5x \) को \( -2x - 3x \) में तोड़ा. फिर समान पदों को एक साथ लेकर गुणनखंड किए और \( (x - 1)(2x - 3) = 0 \) पाया. इससे हमें \( x \) के दो मान, 1 और \( \frac{3}{2} \), मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि में, मध्य पद को इस तरह से विभाजित करें कि गुणा करने पर प्रथम और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर आए और जोड़ने या घटाने पर मध्य पद के बराबर आए.

(ii) \( 9x^2 - 3x - 2 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies 9x^2 - 6x + 3x - 2 = 0 \)
\( \implies 3x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0 \)
\( \implies (3x - 2)(3x + 1) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \)
या
\( 3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = \frac{2}{3} \) और \( x = -\frac{1}{3} \) हैं.
In simple words: हमने बीच वाले पद \( -3x \) को \( -6x + 3x \) में तोड़ा. फिर हमने \( (3x - 2)(3x + 1) = 0 \) गुणनखंड पाए. इससे \( x \) के मान \( \frac{2}{3} \) और \( -\frac{1}{3} \) मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक संख्याओं (negative numbers) के साथ काम करते समय संकेतों (signs) का ध्यान रखें, खासकर जब मध्य पद को विभाजित कर रहे हों.

(iii) \( \sqrt {3}x^2 + 10x + 7\sqrt {3} = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies \sqrt{3}x^2 + 7x + 3x + 7\sqrt{3} = 0 \)
\( \implies x(\sqrt{3}x + 7) + \sqrt{3}(\sqrt{3}x + 7) = 0 \)
\( \implies (\sqrt{3}x + 7)(x + \sqrt{3}) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( \sqrt{3}x + 7 = 0 \implies \sqrt{3}x = -7 \implies x = -\frac{7}{\sqrt{3}} \)
या
\( x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = -\frac{7}{\sqrt{3}} \) और \( x = -\sqrt{3} \) हैं.
In simple words: हमने बीच के \( 10x \) को \( 7x + 3x \) में बांटा ताकि गुणनखंड आसानी से मिल सकें. इससे हमें \( (\sqrt{3}x + 7)(x + \sqrt{3}) = 0 \) मिला और \( x \) के दो हल \( -\frac{7}{\sqrt{3}} \) और \( -\sqrt{3} \) प्राप्त हुए.

🎯 Exam Tip: वर्गमूल (square root) वाले गुणांकों (coefficients) के साथ गुणनखंड करते समय, ध्यान दें कि \( 3 \) को \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} \) के रूप में लिखा जा सकता है, जो सामान्य गुणनखंड लेने में मदद करता है.

(iv) \( x^2 - 8x + 16 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies x^2 - 4x - 4x + 16 = 0 \)
\( \implies x(x - 4) - 4(x - 4) = 0 \)
\( \implies (x - 4)(x - 4) = 0 \)
या इसे ऐसे भी लिखा जा सकता है: \( (x - 4)^2 = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
या
\( x - 4 = 0 \implies x = 4 \)
यहाँ पर समीकरण के मूल समान हैं. अतः, समीकरण के हल \( x = 4, 4 \) हैं.
In simple words: यह समीकरण \( (x - 4)^2 = 0 \) का रूप है, जो एक पूर्ण वर्ग है. इसका मतलब है कि \( x - 4 = 0 \), जिससे \( x = 4 \) मिलता है. इस स्थिति में, दोनों हल एक ही होते हैं.

🎯 Exam Tip: यदि एक द्विघात समीकरण \( (ax - b)^2 = 0 \) के रूप में है, तो उसके मूल हमेशा समान होते हैं, अर्थात् \( x = \frac{b}{a} \).

(v) \( \frac {1}{x-2}+\frac { 2 }{x-1 } =\frac {6}{x} \) जहाँ : \( x \neq 1, 2 \)
पहले बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ें:
\( \implies \frac{1(x-1) + 2(x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{6}{x} \)
\( \implies \frac{x-1 + 2x-4}{x^2 - x - 2x + 2} = \frac{6}{x} \)
\( \implies \frac{3x - 5}{x^2 - 3x + 2} = \frac{6}{x} \)
अब क्रॉस-गुणा करने पर:
\( \implies x(3x - 5) = 6(x^2 - 3x + 2) \)
\( \implies 3x^2 - 5x = 6x^2 - 18x + 12 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर:
\( \implies 6x^2 - 3x^2 - 18x + 5x + 12 = 0 \)
\( \implies 3x^2 - 13x + 12 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies 3x^2 - 9x - 4x + 12 = 0 \)
\( \implies 3x(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \)
\( \implies (x - 3)(3x - 4) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)
या
\( 3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = 3 \) और \( x = \frac{4}{3} \) हैं.
In simple words: हमने पहले भिन्नों को जोड़ा और फिर क्रॉस-गुणा करके समीकरण को \( 3x^2 - 13x + 12 = 0 \) के रूप में सरल किया. फिर मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड किए, जिससे हमें \( (x - 3)(3x - 4) = 0 \) मिला. इससे \( x \) के मान 3 और \( \frac{4}{3} \) प्राप्त हुए.

🎯 Exam Tip: भिन्न वाले समीकरणों में, अज्ञात चर (variable) के उन मानों को हमेशा ध्यान में रखें जिनके लिए हर (denominator) शून्य हो जाता है. ये मान हल नहीं हो सकते.

(vi) \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies 100x^2 - 10x - 10x + 1 = 0 \)
\( \implies 10x(10x - 1) - 1(10x - 1) = 0 \)
\( \implies (10x - 1)(10x - 1) = 0 \)
या इसे ऐसे भी लिखा जा सकता है: \( (10x - 1)^2 = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( 10x - 1 = 0 \implies 10x = 1 \implies x = \frac{1}{10} \)
या
\( 10x - 1 = 0 \implies 10x = 1 \implies x = \frac{1}{10} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = \frac{1}{10}, \frac{1}{10} \) हैं.
In simple words: हमने बीच वाले पद \( -20x \) को \( -10x - 10x \) में तोड़ा. इससे हमें \( (10x - 1)^2 = 0 \) मिला, जिसका मतलब है कि \( x \) का मान \( \frac{1}{10} \) है और यह मान दो बार आता है.

🎯 Exam Tip: यदि पहला और अंतिम पद पूर्ण वर्ग हों (जैसे \( 100x^2 = (10x)^2 \) और \( 1 = 1^2 \)), तो मध्य पद की जाँच करें कि क्या यह \( 2 \times \text{पहले पद का वर्गमूल} \times \text{अंतिम पद का वर्गमूल} \) के बराबर है. यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद का संकेत देता है.

(vii) \( 3x^2 - 2\sqrt {6} x + 2 = 0 \)
हम इस समीकरण को \( (a-b)^2 \) के रूप में लिख सकते हैं.
यहाँ \( 3x^2 = (\sqrt{3}x)^2 \) और \( 2 = (\sqrt{2})^2 \).
मध्य पद \( -2\sqrt{6}x \) को \( -2 \times \sqrt{3}x \times \sqrt{2} \) के रूप में लिखा जा सकता है.
\( \implies (\sqrt{3}x)^2 - 2(\sqrt{3}x)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 0 \)
यह \( (a-b)^2 \) के रूप में है, जहाँ \( a = \sqrt{3}x \) और \( b = \sqrt{2} \).
\( \implies (\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 0 \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( \implies \sqrt{3}x - \sqrt{2} = 0 \)
\( \implies \sqrt{3}x = \sqrt{2} \)
\( \implies x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
इस समीकरण के दोनों मूल समान हैं. अतः, समीकरण के हल \( x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) हैं.
In simple words: यह समीकरण एक पूर्ण वर्ग \( (\sqrt{3}x - \sqrt{2})^2 = 0 \) के रूप में है. इसे हल करने पर, हमें \( \sqrt{3}x - \sqrt{2} = 0 \) मिलता है, जिससे \( x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \) प्राप्त होता है. दोनों मूल समान हैं.

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में वर्गमूल वाले पद हों, तो यह जांचना महत्वपूर्ण है कि क्या यह \( (a \pm b)^2 \) का रूप है. इससे गणनाएँ बहुत सरल हो जाती हैं.

(viii) \( x^2 + 8x + 7 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies x^2 + 7x + x + 7 = 0 \)
\( \implies x(x + 7) + 1(x + 7) = 0 \)
\( \implies (x + 7)(x + 1) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x + 7 = 0 \implies x = -7 \)
या
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
अतः, समीकरण के हल \( x = -7 \) और \( x = -1 \) हैं.
In simple words: हमने बीच के पद \( 8x \) को \( 7x + x \) में बांटा और फिर गुणनखंड किए. इससे हमें \( (x + 7)(x + 1) = 0 \) मिला, जिससे \( x \) के मान \( -7 \) और \( -1 \) प्राप्त हुए.

🎯 Exam Tip: गुणनखंड करते समय, मध्य पद को विभाजित करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका योग (sum) मध्य पद के गुणांक (coefficient) के बराबर हो और गुणनफल (product) पहले और अंतिम पद के गुणांकों के गुणनफल के बराबर हो.

(ix) \( \frac {x+3}{x+2} = \frac {3x-7}{2x-3} \)
क्रॉस-गुणा करने पर:
\( \implies (x + 3)(2x - 3) = (x + 2)(3x - 7) \)
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर:
\( \implies x(2x - 3) + 3(2x - 3) = 2x^2 - 3x + 6x - 9 \)
\( \implies 2x^2 + 3x - 9 \)
दाएं पक्ष का विस्तार करने पर:
\( \implies x(3x - 7) + 2(3x - 7) = 3x^2 - 7x + 6x - 14 \)
\( \implies 3x^2 - x - 14 \)
तो समीकरण बनता है:
\( \implies 2x^2 + 3x - 9 = 3x^2 - x - 14 \)
सभी पदों को एक तरफ लाने पर (दाएं पक्ष में):
\( \implies 3x^2 - 2x^2 - x - 3x - 14 + 9 = 0 \)
\( \implies x^2 - 4x - 5 = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies x^2 - 5x + x - 5 = 0 \)
\( \implies x(x - 5) + 1(x - 5) = 0 \)
\( \implies (x - 5)(x + 1) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x - 5 = 0 \implies x = 5 \)
या
\( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
अतः, समीकरण के हल \( x = -1 \) और \( x = 5 \) हैं.
In simple words: हमने पहले क्रॉस-गुणा किया और फिर दोनों पक्षों को सरल किया. इससे हमें \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) मिला. फिर मध्य पद को \( -5x + x \) में तोड़ा और गुणनखंड किए, जिससे \( (x - 5)(x + 1) = 0 \) मिला. इससे \( x \) के मान \( 5 \) और \( -1 \) प्राप्त हुए.

🎯 Exam Tip: आड़ी गुणा (cross-multiplication) करते समय सावधानी बरतें और सभी पदों को सही ढंग से गुणा करें, विशेषकर जब दो-पदों वाले व्यंजकों (binomials) को गुणा कर रहे हों.

(x) \( 4x^2 - 4a^2x + (a^4 - b^4) = 0 \)
यह एक द्विघात समीकरण है जिसमें \( x \) चर है और \( a, b \) स्थिरांक हैं. हम इसे पूर्ण वर्ग बनाकर या द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं. यहाँ हम इसे पूर्ण वर्ग बनाने के तरीके से हल करेंगे.
समीकरण को \( x^2 - (a^2)x + \frac{(a^4 - b^4)}{4} = 0 \) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें.
यह \( (x - p)(x - q) = 0 \) जैसा है.
यहाँ, हमें दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका योग \( a^2 \) हो और गुणनफल \( \frac{(a^4 - b^4)}{4} \) हो.
\( a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \)
तो, गुणनफल \( \frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{4} \) है.
हम \( -4a^2x \) को \( - (2a^2 + 2b^2)x + (2b^2 - 2a^2)x \) के रूप में विभाजित कर सकते हैं, पर यह जटिल होगा. एक और तरीका है:
हमें \( x^2 - (\frac{a^2+b^2}{2} + \frac{a^2-b^2}{2})x + (\frac{a^2+b^2}{2})(\frac{a^2-b^2}{2}) = 0 \) के रूप में देखने की कोशिश करें.
माना \( p = \frac{a^2+b^2}{2} \) और \( q = \frac{a^2-b^2}{2} \).
तब \( p+q = \frac{a^2+b^2+a^2-b^2}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2 \).
और \( p \times q = \frac{a^2+b^2}{2} \times \frac{a^2-b^2}{2} = \frac{a^4-b^4}{4} \).
तो, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( x^2 - (p+q)x + pq = 0 \)
\( \implies (x - p)(x - q) = 0 \)
\( \implies (x - \frac{a^2+b^2}{2})(x - \frac{a^2-b^2}{2}) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( x - \frac{a^2+b^2}{2} = 0 \implies x = \frac{a^2+b^2}{2} \)
या
\( x - \frac{a^2-b^2}{2} = 0 \implies x = \frac{a^2-b^2}{2} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = \frac{a^2+b^2}{2} \) और \( x = \frac{a^2-b^2}{2} \) हैं.
In simple words: हमने समीकरण को \( x^2 - (p+q)x + pq = 0 \) के रूप में देखा, जहाँ \( p = \frac{a^2+b^2}{2} \) और \( q = \frac{a^2-b^2}{2} \). इससे हमें गुणनखंड \( (x-p)(x-q) = 0 \) मिले और \( x \) के मान \( \frac{a^2+b^2}{2} \) और \( \frac{a^2-b^2}{2} \) प्राप्त हुए.

🎯 Exam Tip: जब समीकरण में \( a^4 - b^4 \) जैसे पद हों, तो याद रखें कि इसे \( (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है. यह अक्सर समाधान को सरल बनाने में मदद करता है.

(xi) \( abx^2 + (b^2 - ac)x - bc = 0 \)
मध्य पद को विभाजित करने पर:
\( \implies abx^2 + b^2x - acx - bc = 0 \)
पहले दो पदों में से \( bx \) और अगले दो पदों में से \( -c \) उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \implies bx(ax + b) - c(ax + b) = 0 \)
\( \implies (ax + b)(bx - c) = 0 \)
अब, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
\( ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = -\frac{b}{a} \)
या
\( bx - c = 0 \implies bx = c \implies x = \frac{c}{b} \)
अतः, समीकरण के हल \( x = -\frac{b}{a} \) और \( x = \frac{c}{b} \) हैं.
In simple words: हमने बीच के पद \( (b^2 - ac)x \) को \( b^2x - acx \) में तोड़ा. फिर हमने पदों को समूह में रखकर गुणनखंड किए और \( (ax + b)(bx - c) = 0 \) पाया. इससे हमें \( x \) के दो मान, \( -\frac{b}{a} \) और \( \frac{c}{b} \), मिलते हैं.

🎯 Exam Tip: चार पदों वाले समीकरणों में, समूह बनाकर गुणनखंड करना एक प्रभावी तरीका है. सुनिश्चित करें कि उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) समान है, जैसे इस मामले में \( (ax+b) \).