RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.2

बहुपद Ex 3.2

Question 1. विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए
(i) \( f(x) = 3x^3 + x^2 + 2x + 5, g(x) = x^2 + 2x + 1 \)
(ii) \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3, g(x) = x^2 - 2 \)
(iii) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6, g(x) = x + 2 \)
(iv) \( f(x) = 9x^4 - 4x^2 + 4, g(x) = 3x^2 + x - 1 \)
Answer:
(i) सबसे पहले, हम भाजक और भाज्य दोनों के पदों को घटते हुए घातों के क्रम में लगाते हैं। यहाँ, भाज्य पहले से ही सही क्रम में है, और भाजक का मानक रूप \( x^2 + 2x + 1 \) है। \[ \require{enclose} \begin{array}{r} 3x-5 \\ x^2+2x+1 \enclose{longdiv}{3x^3 + x^2 + 2x + 5} \\ \underline{-(3x^3 + 6x^2 + 3x)} \\ \quad \quad -5x^2 - x + 5 \\ \underline{-(-5x^2 - 10x - 5)} \\ \quad \quad \quad \quad 9x + 10 \end{array} \] इस प्रकार, भागफल \( 3x - 5 \) और शेषफल \( 9x + 10 \) है। हम अपने उत्तर की जांच विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके कर सकते हैं।
भागफल \( \times \) भाजक \( + \) शेषफल
\( = (3x - 5)(x^2 + 2x + 1) + (9x + 10) \)
\( = 3x(x^2 + 2x + 1) - 5(x^2 + 2x + 1) + 9x + 10 \)
\( = (3x^3 + 6x^2 + 3x) - (5x^2 + 10x + 5) + 9x + 10 \)
\( = 3x^3 + 6x^2 + 3x - 5x^2 - 10x - 5 + 9x + 10 \)
\( = 3x^3 + (6x^2 - 5x^2) + (3x - 10x + 9x) + (-5 + 10) \)
\( = 3x^3 + x^2 + 2x + 5 \)
जो कि भाज्य \( f(x) \) के बराबर है।
In simple words: हमने \( f(x) = 3x^3 + x^2 + 2x + 5 \) को \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \) से भाग दिया। भागफल \( 3x - 5 \) और शेषफल \( 9x + 10 \) मिला।

🎯 Exam Tip: बहुपद को भाग देते समय, सभी पदों को हमेशा घटते हुए घातों के क्रम में व्यवस्थित करें और अनुपस्थित पदों के लिए शून्य गुणांक का उपयोग करें, जैसे \( 0x^3 \) या \( 0x \)।

Answer:
(ii) यहाँ \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 \) और \( g(x) = x^2 - 2 \) हैं। ये दोनों बहुपद पहले से ही मानक रूप में व्यवस्थित हैं। \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x-3 \\ x^2-2 \enclose{longdiv}{x^3 - 3x^2 + 5x - 3} \\ \underline{-(x^3 \quad -2x)} \\ \quad \quad -3x^2 + 7x - 3 \\ \underline{-(-3x^2 \quad \quad +6)} \\ \quad \quad \quad \quad 7x - 9 \end{array} \] इस प्रकार, भागफल \( x - 3 \) और शेषफल \( 7x - 9 \) है। हम विभाजन एल्गोरिथ्म से अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं।
भागफल \( \times \) भाजक \( + \) शेषफल
\( = (x - 3)(x^2 - 2) + (7x - 9) \)
\( = x(x^2 - 2) - 3(x^2 - 2) + 7x - 9 \)
\( = (x^3 - 2x) - (3x^2 - 6) + 7x - 9 \)
\( = x^3 - 2x - 3x^2 + 6 + 7x - 9 \)
\( = x^3 - 3x^2 + (-2x + 7x) + (6 - 9) \)
\( = x^3 - 3x^2 + 5x - 3 \)
जो कि भाज्य \( f(x) \) के बराबर है।
In simple words: \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर भागफल \( x - 3 \) और शेषफल \( 7x - 9 \) आता है। विभाजन एल्गोरिथ्म से हम इस परिणाम की पुष्टि करते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि भाजक में कोई घात अनुपस्थित हो, तो विभाजन करते समय उसके स्थान पर \( 0x^n \) रखकर गणना करें, इससे पद व्यवस्थित रखने में आसानी होती है।

Answer:
(iii) यहाँ भाज्य और भाजक दोनों पहले से ही मानक रूप में व्यवस्थित हैं। \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 - 8x + 27 \\ x+2 \enclose{longdiv}{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} \\ \underline{-(x^3 + 2x^2)} \\ \quad \quad -8x^2 + 11x \\ \underline{-(-8x^2 - 16x)} \\ \quad \quad \quad \quad 27x - 6 \\ \underline{-(27x + 54)} \\ \quad \quad \quad \quad -60 \end{array} \] इस प्रकार, भागफल \( x^2 - 8x + 27 \) और शेषफल \( -60 \) है। हम विभाजन एल्गोरिथ्म से अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं।
भागफल \( \times \) भाजक \( + \) शेषफल
\( = (x^2 - 8x + 27)(x + 2) + (-60) \)
\( = x^2(x + 2) - 8x(x + 2) + 27(x + 2) - 60 \)
\( = (x^3 + 2x^2) - (8x^2 + 16x) + (27x + 54) - 60 \)
\( = x^3 + 2x^2 - 8x^2 - 16x + 27x + 54 - 60 \)
\( = x^3 + (2x^2 - 8x^2) + (-16x + 27x) + (54 - 60) \)
\( = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)
जो कि भाज्य \( f(x) \) के बराबर है।
In simple words: \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर हमें भागफल \( x^2 - 8x + 27 \) और शेषफल \( -60 \) मिलता है। विभाजन की पुष्टि करने पर यह भाज्य के बराबर है।

🎯 Exam Tip: लंबी भाग विधि में, घटाते समय सभी पदों के चिन्हों को ध्यान से बदलें, क्योंकि एक छोटी सी गलती पूरे परिणाम को बदल सकती है।

Answer:
(iv) यहाँ \( f(x) = 9x^4 - 4x^2 + 4 \) और \( g(x) = 3x^2 + x - 1 \) हैं। दोनों बहुपद मानक रूप में व्यवस्थित हैं। \[ \require{enclose} \begin{array}{r} 3x^2 - x \\ 3x^2+x-1 \enclose{longdiv}{9x^4 + 0x^3 - 4x^2 + 0x + 4} \\ \underline{-(9x^4 + 3x^3 - 3x^2)} \\ \quad \quad -3x^3 - x^2 + 0x \\ \underline{-(-3x^3 - x^2 + x)} \\ \quad \quad \quad \quad -x + 4 \end{array} \] इस प्रकार, भागफल \( 3x^2 - x \) और शेषफल \( -x + 4 \) है। हम विभाजन एल्गोरिथ्म से अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं।
भागफल \( \times \) भाजक \( + \) शेषफल
\( = (3x^2 - x)(3x^2 + x - 1) + (-x + 4) \)
\( = 3x^2(3x^2 + x - 1) - x(3x^2 + x - 1) - x + 4 \)
\( = (9x^4 + 3x^3 - 3x^2) - (3x^3 + x^2 - x) - x + 4 \)
\( = 9x^4 + 3x^3 - 3x^2 - 3x^3 - x^2 + x - x + 4 \)
\( = 9x^4 + (3x^3 - 3x^3) + (-3x^2 - x^2) + (x - x) + 4 \)
\( = 9x^4 - 4x^2 + 4 \)
जो कि भाज्य \( f(x) \) के बराबर है।
In simple words: \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर भागफल \( 3x^2 - x \) और शेषफल \( -x + 4 \) मिलता है। सत्यापन पर, यह परिणाम भाज्य के बराबर है।

🎯 Exam Tip: उच्च घात वाले बहुपदों को भाग देते समय, प्रत्येक चरण पर पदों को सही ढंग से व्यवस्थित करना और घटाते समय चिन्हों को बदलना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

Question 2. पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि प्रथम बहुपद दूसरे बहुपद का एक गुणनखण्ड है
(i) \( g(x) = x^2 + 3x + 1, f(x) = 3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2 \)
(ii) \( g(t) = t^2 - 3, f(t) = 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12 \)
(iii) \( g(x) = x^3 - 3x + 1, f(x) = x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1 \)
Answer:
(i) \( 3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2 \) को \( x^2 + 3x + 1 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} 3x^2 - 4x + 2 \\ x^2+3x+1 \enclose{longdiv}{3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2} \\ \underline{-(3x^4 + 9x^3 + 3x^2)} \\ \quad \quad -4x^3 - 10x^2 + 2x \\ \underline{-(-4x^3 - 12x^2 - 4x)} \\ \quad \quad \quad \quad 2x^2 + 6x + 2 \\ \underline{-(2x^2 + 6x + 2)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] क्योंकि शेषफल शून्य है, इसलिए \( x^2 + 3x + 1 \) बहुपद \( 3x^4 + 5x^3 - 7x^2 + 2x + 2 \) का एक गुणनखण्ड है। जब किसी बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देने पर शेषफल शून्य आता है, तो भाजक गुणनखण्ड कहलाता है।
In simple words: \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर शेषफल 0 आता है। इसका मतलब है कि \( g(x) \) बहुपद \( f(x) \) का एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: किसी बहुपद का गुणनखण्ड होने के लिए, भाग देने पर शेषफल का हमेशा शून्य होना आवश्यक है। यदि शेषफल शून्य नहीं है, तो वह गुणनखण्ड नहीं है।

Answer:
(ii) \( 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12 \) को \( t^2 - 3 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} 2t^2 + 3t - 2 \\ t^2-3 \enclose{longdiv}{2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12} \\ \underline{-(2t^4 \quad -6t^2)} \\ \quad \quad 3t^3 + 4t^2 - 9t \\ \underline{-(3t^3 \quad \quad -9t)} \\ \quad \quad \quad \quad 4t^2 - 12 \\ \underline{-(4t^2 - 12)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] क्योंकि शेषफल शून्य है, इसलिए \( t^2 - 3 \) बहुपद \( 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12 \) का एक गुणनखण्ड है।
In simple words: \( f(t) \) को \( g(t) \) से भाग देने पर शेषफल शून्य आता है। इसलिए, \( t^2 - 3 \) बहुपद \( 2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - 9t - 12 \) का एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: जब भाजक में कुछ पद अनुपस्थित हों, तो उनके लिए \( 0t^n \) जैसे पद जोड़कर विभाजन करें ताकि सभी पद सही ढंग से संरेखित हों।

Answer:
(iii) \( x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1 \) को \( x^3 - 3x + 1 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 - 1 \\ x^3-3x+1 \enclose{longdiv}{x^5 + 0x^4 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1} \\ \underline{-(x^5 + 0x^4 - 3x^3 + x^2)} \\ \quad \quad -x^3 + 0x^2 + 3x \\ \underline{-(-x^3 + 0x^2 + 3x - 1)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \end{array} \] यहाँ शेषफल \( 2 \) है, जो कि शून्य नहीं है। इसलिए \( x^3 - 3x + 1 \) बहुपद \( x^5 - 4x^3 + x^2 + 3x + 1 \) का गुणनखण्ड नहीं है। गुणनखण्ड होने के लिए शेषफल का हमेशा शून्य होना आवश्यक होता है।
In simple words: \( f(x) \) को \( g(x) \) से भाग देने पर शेषफल 2 आता है। क्योंकि शेषफल 0 नहीं है, इसलिए \( g(x) \) बहुपद \( f(x) \) का गुणनखण्ड नहीं है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके भी गुणनखण्ड की जाँच की जा सकती है, विशेष रूप से जब भाजक रैखिक बहुपद हो।

Question 3. निम्न बहुपदों के साथ उनके शून्यक दिये गये हैं, अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए
(i) \( f(x) = 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \); \( \sqrt{2} \) और \( -\sqrt{2} \)
(ii) \( f(x) = x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35 \); \( 2 \pm \sqrt{3} \)
(iii) \( f(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20 \); \( -2 \)
Answer:
(i) हमें पता है कि अगर \( x = a \) किसी बहुपद का शून्यक है, तो \( (x - a) \) उस बहुपद का एक गुणनखण्ड होता है। क्योंकि \( \sqrt{2} \) और \( -\sqrt{2} \) बहुपद \( f(x) \) के शून्यक हैं, इसलिए हम इन शून्यकों से एक गुणनखण्ड बना सकते हैं:
\( (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 - 2 \)
यह \( x^2 - 2 \) बहुपद \( f(x) \) का एक गुणनखण्ड है। अब, विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर:
\( 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 \) को \( x^2 - 2 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} 2x^2 - 3x + 1 \\ x^2-2 \enclose{longdiv}{2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2} \\ \underline{-(2x^4 \quad -4x^2)} \\ \quad \quad -3x^3 + x^2 + 6x \\ \underline{-(-3x^3 \quad \quad +6x)} \\ \quad \quad \quad \quad x^2 - 2 \\ \underline{-(x^2 - 2)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] इस प्रकार, \( 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 6x - 2 = (x^2 - 2)(2x^2 - 3x + 1) \)
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) को हल करते हैं:
\( 2x^2 - 2x - x + 1 = 0 \)
\( 2x(x - 1) - 1(x - 1) = 0 \)
\( (x - 1)(2x - 1) = 0 \)
इसलिए, \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \) और \( 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \)
दिए गए बहुपद के शून्यक \( \sqrt{2} \), \( -\sqrt{2} \), \( 1 \) और \( \frac{1}{2} \) हैं। अतः, अन्य दो शून्यक \( 1 \) और \( \frac{1}{2} \) हैं। उच्च घात वाले बहुपद के उतने ही शून्यक होते हैं जितनी उसकी सबसे बड़ी घात होती है।
In simple words: दिए गए शून्यकों \( \sqrt{2} \) और \( -\sqrt{2} \) से हमने \( x^2 - 2 \) गुणनखण्ड बनाया। फिर \( f(x) \) को \( x^2 - 2 \) से भाग दिया और प्राप्त भागफल \( 2x^2 - 3x + 1 \) के शून्यक ज्ञात किए, जो \( 1 \) और \( \frac{1}{2} \) हैं। ये अन्य शून्यक हैं।

🎯 Exam Tip: जब कुछ शून्यक दिए गए हों, तो उन शून्यकों से बने गुणनखण्ड से बहुपद को विभाजित करें। फिर भागफल के शून्यक ज्ञात करने के लिए गुणनखंडन या द्विघात सूत्र का उपयोग करें।

Answer:
(ii) हम जानते हैं कि यदि \( x = a \) किसी बहुपद का शून्यक है, तो \( (x - a) \) उसका एक गुणनखण्ड होता है। क्योंकि \( 2 + \sqrt{3} \) और \( 2 - \sqrt{3} \) बहुपद \( f(x) \) के शून्यक हैं, इसलिए हम इन शून्यकों से एक गुणनखण्ड बना सकते हैं:
\( [x - (2 + \sqrt{3})][x - (2 - \sqrt{3})] \)
\( = [(x - 2) - \sqrt{3}][(x - 2) + \sqrt{3}] \)
\( = (x - 2)^2 - (\sqrt{3})^2 \)
\( = x^2 - 4x + 4 - 3 \)
\( = x^2 - 4x + 1 \)
यह \( x^2 - 4x + 1 \) बहुपद \( f(x) \) का एक गुणनखण्ड है। अब, विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर:
\( x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35 \) को \( x^2 - 4x + 1 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 - 2x - 35 \\ x^2-4x+1 \enclose{longdiv}{x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35} \\ \underline{-(x^4 - 4x^3 + x^2)} \\ \quad \quad -2x^3 - 27x^2 + 138x \\ \underline{-(-2x^3 + 8x^2 - 2x)} \\ \quad \quad \quad \quad -35x^2 + 140x - 35 \\ \underline{-(-35x^2 + 140x - 35)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] इस प्रकार, \( x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35 = (x^2 - 4x + 1)(x^2 - 2x - 35) \)
अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( x^2 - 2x - 35 = 0 \) को हल करते हैं:
\( x^2 - 7x + 5x - 35 = 0 \)
\( x(x - 7) + 5(x - 7) = 0 \)
\( (x - 7)(x + 5) = 0 \)
इसलिए, \( x - 7 = 0 \implies x = 7 \) और \( x + 5 = 0 \implies x = -5 \)
दिए गए बहुपद के शून्यक \( 2 + \sqrt{3} \), \( 2 - \sqrt{3} \), \( 7 \) और \( -5 \) हैं। अतः, इस चार घात वाले बहुपद के अन्य शून्यक \( 7 \) और \( -5 \) हैं।
In simple words: दिए गए शून्यकों \( 2 \pm \sqrt{3} \) से हमें \( x^2 - 4x + 1 \) गुणनखण्ड मिला। \( f(x) \) को इस गुणनखण्ड से भाग देने के बाद, भागफल \( x^2 - 2x - 35 \) को शून्य के बराबर रखकर \( 7 \) और \( -5 \) अन्य शून्यक के रूप में प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय शून्यक हमेशा युग्म में होते हैं (जैसे \( a + \sqrt{b} \) और \( a - \sqrt{b} \))। इन युग्मों से \( (x - (a + \sqrt{b}))(x - (a - \sqrt{b})) = (x - a)^2 - b \) के रूप में एक द्विघात गुणनखण्ड बनता है।

Answer:
(iii) क्योंकि \( x = -2 \) बहुपद \( f(x) \) का एक शून्यक है, इसलिए \( (x - (-2)) \) यानी \( (x + 2) \) बहुपद \( f(x) \) का एक गुणनखण्ड है। अब, बहुपद \( f(x) = x^3 + 13x^2 + 32x + 20 \) के अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए इसे \( (x + 2) \) से भाग देते हैं: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 + 11x + 10 \\ x+2 \enclose{longdiv}{x^3 + 13x^2 + 32x + 20} \\ \underline{-(x^3 + 2x^2)} \\ \quad \quad 11x^2 + 32x \\ \underline{-(11x^2 + 22x)} \\ \quad \quad \quad \quad 10x + 20 \\ \underline{-(10x + 20)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम भागफल \( x^2 + 11x + 10 = 0 \) को हल करते हैं:
\( x^2 + 10x + x + 10 = 0 \)
\( x(x + 10) + 1(x + 10) = 0 \)
\( (x + 10)(x + 1) = 0 \)
इसलिए, \( x + 10 = 0 \implies x = -10 \) और \( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
इस प्रकार, दिए गए बहुपद के शून्यक \( -2 \), \( -10 \) और \( -1 \) हैं। अतः, बहुपद के अन्य शून्यक \( -10 \) और \( -1 \) हैं। किसी बहुपद के शून्यक वे मान होते हैं जिनके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है।
In simple words: क्योंकि \( -2 \) एक शून्यक है, \( (x + 2) \) से बहुपद को भाग दिया। प्राप्त भागफल \( x^2 + 11x + 10 \) को गुणनखंडित करके अन्य शून्यक \( -10 \) और \( -1 \) पाए गए।

🎯 Exam Tip: यदि एक रैखिक शून्यक दिया गया है, तो सिंथेटिक विभाजन (synthetic division) एक तेजी से गुणनखण्ड ज्ञात करने का तरीका हो सकता है, खासकर उच्च घात वाले बहुपदों के लिए।

Question 4. बहुपद \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 \) को बहुपद \( g(x) \) से भाग देने पर भागफल \( q(x) \) तथा शेषफल \( r(x) \) क्रमशः \( x - 2 \) और \( -2x + 4 \) प्राप्त होता है तो बहुपद \( g(x) \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया है कि बहुपद \( f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2 \) को एक बहुपद \( g(x) \) से भाग देने पर भागफल \( q(x) = x - 2 \) और शेषफल \( r(x) = -2x + 4 \) प्राप्त होता है।
विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार: भाज्य \( = \) भाजक \( \times \) भागफल \( + \) शेषफल
\( f(x) = g(x) \times q(x) + r(x) \)
\( x^3 - 3x^2 + x + 2 = g(x) \times (x - 2) + (-2x + 4) \)
\( x^3 - 3x^2 + x + 2 - (-2x + 4) = g(x) \times (x - 2) \)
\( x^3 - 3x^2 + x + 2 + 2x - 4 = g(x) \times (x - 2) \)
\( x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = g(x) \times (x - 2) \)
\( g(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 3x - 2}{x - 2} \)
अब, बहुपद \( x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \) को \( x - 2 \) से भाग देने पर: \[ \require{enclose} \begin{array}{r} x^2 - x + 1 \\ x-2 \enclose{longdiv}{x^3 - 3x^2 + 3x - 2} \\ \underline{-(x^3 - 2x^2)} \\ \quad \quad -x^2 + 3x \\ \underline{-(-x^2 + 2x)} \\ \quad \quad \quad \quad x - 2 \\ \underline{-(x - 2)} \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{array} \] इस प्रकार, \( g(x) = x^2 - x + 1 \) प्राप्त होता है। यह विधि बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म का सीधा अनुप्रयोग है, जहाँ अज्ञात भाजक को ज्ञात करने के लिए भाज्य और शेषफल के बीच का अंतर भागफल से विभाजित किया जाता है।
In simple words: हमने विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग किया: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल। \( f(x) \), \( q(x) \), और \( r(x) \) के मानों को रखकर, हमने \( g(x) \) को हल किया, जो \( x^2 - x + 1 \) निकला।

🎯 Exam Tip: विभाजन एल्गोरिथम \( f(x) = g(x)q(x) + r(x) \) को हमेशा याद रखें। जब कोई अज्ञात बहुपद निकालना हो तो इस सूत्र में दिए गए मानों को ध्यान से प्रतिस्थापित करें।