RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 3 बहुपद Exercise 3.1

बहुपद Ex 3.1

प्रश्न 1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-
(i) \( 4x^2 + 8x \)
(ii) \( 4x^2 - 4x + 1 \)
(iii) \( 6x^2 - x - 2 \)
(iv) \( x^2 - 15 \)
(v) \( x^2 - (\sqrt {3}+1)x+\sqrt {3} \)
(vi) \( 3x^2 - x - 4 \)
Answer:
(i) प्रश्नानुसार, हमें \( 4x^2 + 8x \) के शून्यक ज्ञात करने हैं। \( 4x^2 + 8x = 4x(x + 2) \) शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( 4x(x + 2) \) को शून्य के बराबर रखते हैं। \( 4x = 0 \implies x = 0 \) या \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \) अतः, इस बहुपद के शून्यक 0 और -2 हैं। अब, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करते हैं। शून्यकों का योग \( = 0 + (-2) = -2 \) हम जानते हैं कि द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) के शून्यकों का योग \( = \frac{-b}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 4, b = 8, c = 0 \)। तो, \( \frac{-b}{a} = \frac{-8}{4} = -2 \) यह सम्बन्ध सत्य है। शून्यकों का गुणनफल \( = 0 \times (-2) = 0 \) हम जानते हैं कि द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) के शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 4, c = 0 \)। तो, \( \frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0 \) यह सम्बन्ध भी सत्य है। अतः, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है। यहाँ, शून्यक हमें बहुपद के गुणनखंड करने में मदद करते हैं।
In simple words: हमने \( 4x^2 + 8x \) के शून्यक 0 और -2 निकाले। फिर हमने देखा कि शून्यकों का जोड़ (\( 0 + (-2) = -2 \)) और गुणा (\( 0 \times (-2) = 0 \)) बहुपद के गुणांकों से जुड़े सूत्रों (\( -b/a \) और \( c/a \)) से मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि शून्यकों और गुणांकों के बीच का रिश्ता सही है।

🎯 Exam Tip: शून्यक ज्ञात करने के लिए हमेशा बहुपद के गुणनखंड करें, फिर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर \( x \) का मान निकालें। इसके बाद \( -b/a \) और \( c/a \) सूत्रों का उपयोग करके संबंध की पुष्टि करें।

Answer:
(ii) प्रश्नानुसार, हमें \( 4x^2 - 4x + 1 \) के शून्यक ज्ञात करने हैं। सबसे पहले, हम बहुपद को गुणनखंडित करेंगे: \( 4x^2 - 4x + 1 = 4x^2 - 2x - 2x + 1 \) \( = 2x(2x - 1) - 1(2x - 1) \) \( = (2x - 1)(2x - 1) \) शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( (2x - 1)(2x - 1) \) को शून्य के बराबर रखते हैं। इसका अर्थ है कि: \( 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \) या \( 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \) अतः, इस बहुपद के शून्यक \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{2} \) हैं। अब, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करते हैं। शून्यकों का योग \( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का योग \( = \frac{-b}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 4, b = -4, c = 1 \)। तो, \( \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{4} = \frac{4}{4} = 1 \) यह सम्बन्ध सत्य है। शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 4, c = 1 \)। तो, \( \frac{c}{a} = \frac{1}{4} \) यह सम्बन्ध भी सत्य है। अतः, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है। जब दोनों शून्यक एक ही मान के होते हैं, तो इसे एक दोहरा मूल (repeated root) कहते हैं।
In simple words: हमने \( 4x^2 - 4x + 1 \) के शून्यक \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{2} \) निकाले। हमने देखा कि शून्यकों का जोड़ (\( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)) और गुणा (\( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)) बहुपद के गुणांकों से जुड़े सूत्रों (\( -b/a \) और \( c/a \)) से मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि शून्यकों और गुणांकों के बीच का रिश्ता सही है।

🎯 Exam Tip: यदि कोई द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है, तो उसके दोनों शून्यक समान होते हैं। गुणनखंड करते समय, \( (ax-b)^2 \) के रूप को पहचानें।

Answer:
(iii) प्रश्नानुसार, हमें \( 6x^2 - x - 2 \) के शून्यक ज्ञात करने हैं। पहले हम बहुपद को गुणनखंडित करेंगे: \( 6x^2 - x - 2 = 6x^2 - 4x + 3x - 2 \) \( = 2x(3x - 2) + 1(3x - 2) \) \( = (3x - 2)(2x + 1) \) शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( (3x - 2)(2x + 1) \) को शून्य के बराबर रखते हैं। इसका अर्थ है कि: \( 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \) या \( 2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \) अतः, इस बहुपद के शून्यक \( \frac{2}{3} \) और \( -\frac{1}{2} \) हैं। अब, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करते हैं। शून्यकों का योग \( = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का योग \( = \frac{-b}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 6, b = -1, c = -2 \)। तो, \( \frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{6} = \frac{1}{6} \) यह सम्बन्ध सत्य है। श शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{2}{3} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 6, c = -2 \)। तो, \( \frac{c}{a} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \) यह सम्बन्ध भी सत्य है। अतः, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है। अलग-अलग शून्यक होने पर भी यह संबंध हमेशा सत्य रहता है।
In simple words: हमने \( 6x^2 - x - 2 \) के शून्यक \( \frac{2}{3} \) और \( -\frac{1}{2} \) निकाले। हमने देखा कि शून्यकों का जोड़ (\( \frac{1}{6} \)) और गुणा (\( -\frac{1}{3} \)) बहुपद के गुणांकों से जुड़े सूत्रों (\( -b/a \) और \( c/a \)) से मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि शून्यकों और गुणांकों के बीच का रिश्ता सही है।

🎯 Exam Tip: जब मध्य पद को तोड़कर गुणनखंड करते हैं, तो सुनिश्चित करें कि तोड़े गए पदों का गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो।

Answer:
(v) प्रश्नानुसार, हमें \( x^2 - (\sqrt{3}+1)x + \sqrt{3} \) के शून्यक ज्ञात करने हैं। पहले हम बहुपद को गुणनखंडित करेंगे: \( x^2 - (\sqrt{3}+1)x + \sqrt{3} = x^2 - \sqrt{3}x - x + \sqrt{3} \) \( = x(x - \sqrt{3}) - 1(x - \sqrt{3}) \) \( = (x - 1)(x - \sqrt{3}) \) शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( (x - 1)(x - \sqrt{3}) \) को शून्य के बराबर रखते हैं। इसका अर्थ है कि: \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \) या \( x - \sqrt{3} = 0 \implies x = \sqrt{3} \) अतः, इस बहुपद के शून्यक 1 और \( \sqrt{3} \) हैं। अब, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करते हैं। शून्यकों का योग \( = 1 + \sqrt{3} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का योग \( = \frac{-b}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 1, b = -(\sqrt{3}+1), c = \sqrt{3} \)। तो, \( \frac{-b}{a} = \frac{-(-(\sqrt{3}+1))}{1} = \sqrt{3} + 1 \) यह सम्बन्ध सत्य है। शून्यकों का गुणनफल \( = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 1, c = \sqrt{3} \)। तो, \( \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \) यह सम्बन्ध भी सत्य है। अतः, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है। इस प्रकार के बहुपद में अपरिमेय शून्यक भी हो सकते हैं।
In simple words: हमने \( x^2 - (\sqrt{3}+1)x + \sqrt{3} \) के शून्यक 1 और \( \sqrt{3} \) निकाले। हमने देखा कि शून्यकों का जोड़ (\( 1+\sqrt{3} \)) और गुणा (\( \sqrt{3} \)) बहुपद के गुणांकों से जुड़े सूत्रों (\( -b/a \) और \( c/a \)) से मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि शून्यकों और गुणांकों के बीच का रिश्ता सही है।

🎯 Exam Tip: जब गुणांकों में वर्गमूल वाले पद हों, तो गुणनखंड करते समय \( x^2 - (p+q)x + pq = (x-p)(x-q) \) सूत्र का उपयोग करें।

Answer:
(vi) प्रश्नानुसार, हमें \( 3x^2 - x - 4 \) के शून्यक ज्ञात करने हैं। पहले हम बहुपद को गुणनखंडित करेंगे: \( 3x^2 - x - 4 = 3x^2 + 3x - 4x - 4 \) \( = 3x(x + 1) - 4(x + 1) \) \( = (x + 1)(3x - 4) \) शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम \( (x + 1)(3x - 4) \) को शून्य के बराबर रखते हैं। इसका अर्थ है कि: \( x + 1 = 0 \implies x = -1 \) या \( 3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \) अतः, इस बहुपद के शून्यक -1 और \( \frac{4}{3} \) हैं। अब, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच करते हैं। शून्यकों का योग \( = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 4}{3} = \frac{1}{3} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का योग \( = \frac{-b}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 3, b = -1, c = -4 \)। तो, \( \frac{-b}{a} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{1}{3} \) यह सम्बन्ध सत्य है। शून्यकों का गुणनफल \( = (-1) \times (\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3} \) द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) में शून्यकों का गुणनफल \( = \frac{c}{a} \) होता है। यहाँ, \( a = 3, c = -4 \)। तो, \( \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} \) यह सम्बन्ध भी सत्य है। अतः, बहुपद के गुणांकों और शून्यकों के मध्य सम्बन्ध सत्य है। यह विधि किसी भी द्विघात बहुपद के लिए काम करती है।
In simple words: हमने \( 3x^2 - x - 4 \) के शून्यक -1 और \( \frac{4}{3} \) निकाले। हमने देखा कि शून्यकों का जोड़ (\( \frac{1}{3} \)) और गुणा (\( -\frac{4}{3} \)) बहुपद के गुणांकों से जुड़े सूत्रों (\( -b/a \) और \( c/a \)) से मेल खाते हैं। इसका मतलब है कि शून्यकों और गुणांकों के बीच का रिश्ता सही है।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड विधि के लिए, मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करें कि दो नए पदों का गुणनफल पहले और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो।

प्रश्न 2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं
(i) -3, 2
(ii) \( \sqrt{2}, \frac{1}{3} \)
(iii) \( -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \)
(iv) \( 0, \sqrt{5} \)
(v) 4, 1
(vi) 1, 1
Answer:
(i) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = -3 \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = 2 \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है, जहाँ \( k \) कोई वास्तविक संख्या है। यहाँ, हम \( k=1 \) लेंगे। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हमें मिलता है: \( x^2 - (-3)x + 2 \) \( = x^2 + 3x + 2 \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। यह बहुपद शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध का एक सीधा अनुप्रयोग है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (-3) और गुणा (2) दिया गया है। हमने इन मानों को सीधे बहुपद बनाने के सूत्र \( x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणा}) \) में रख दिया, जिससे हमें \( x^2 + 3x + 2 \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: द्विघात बहुपद बनाने के लिए \( x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल}) \) सूत्र को याद रखें।

Answer:
(ii) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = \sqrt{2} \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = \frac{1}{3} \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: \( k[x^2 - (\sqrt{2})x + \frac{1}{3}] \) यदि हम \( k=3 \) लेते हैं ताकि भिन्न हट जाए: \( 3[x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3}] \) \( = 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। \( k \) के विभिन्न मानों के लिए बहुपद भिन्न हो सकते हैं, लेकिन उनका मूल समान रहता है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (\( \sqrt{2} \)) और गुणा (\( \frac{1}{3} \)) दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र \( k[x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणा})] \) में रखा। भिन्न हटाने के लिए \( k=3 \) लेने पर, हमें \( 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: यदि शून्यकों का योग या गुणनफल भिन्न के रूप में हो, तो \( k \) का मान भिन्न के हर के बराबर लें ताकि बहुपद पूर्णांक गुणांकों वाला हो जाए।

Answer:
(iii) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = -\frac{1}{4} \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = \frac{1}{4} \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: \( k[x^2 - (-\frac{1}{4})x + \frac{1}{4}] \) \( = k[x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}] \) यदि हम \( k=4 \) लेते हैं ताकि भिन्न हट जाए: \( 4[x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}] \) \( = 4x^2 + x + 1 \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। \( k \) के सही चुनाव से गुणांकों को सरल बनाया जा सकता है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (\( -\frac{1}{4} \)) और गुणा (\( \frac{1}{4} \)) दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र में रखकर \( k[x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}] \) बनाया। भिन्न हटाने के लिए \( k=4 \) लेने पर, हमें \( 4x^2 + x + 1 \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप योग में ऋणात्मक चिह्न को ठीक से संभालें, क्योंकि \( -(\text{योग}) \) सूत्र में पहले से ही मौजूद है।

Answer:
(iv) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = 0 \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = \sqrt{5} \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है। यहाँ, हम \( k=1 \) लेंगे। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: \( x^2 - (0)x + \sqrt{5} \) \( = x^2 + \sqrt{5} \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। जब शून्यकों का योग शून्य हो, तो मध्य पद \( bx \) नहीं होता है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (0) और गुणा (\( \sqrt{5} \)) दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र \( x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणा}) \) में रखा, जिससे हमें \( x^2 + \sqrt{5} \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: यदि शून्यकों का योग शून्य है, तो \( x \) पद गायब हो जाता है, और बहुपद का रूप \( ax^2 + c \) होता है।

Answer:
(v) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = 4 \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = 1 \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है। यहाँ, हम \( k=1 \) लेंगे। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: \( x^2 - (4)x + 1 \) \( = x^2 - 4x + 1 \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। यह एक सरल उदाहरण है जहाँ गुणांक सीधे सूत्र में फिट होते हैं।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (4) और गुणा (1) दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र \( x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणा}) \) में रखा, जिससे हमें \( x^2 - 4x + 1 \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: \( \alpha+\beta \) और \( \alpha\beta \) के मानों को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है, ताकि उन्हें सूत्र में गलत जगह न रखा जाए।

Answer:
(vi) मान लीजिए कि द्विघात बहुपद के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। दिए गए मानों के अनुसार: शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) \( = 1 \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) \( = 1 \) हम जानते हैं कि एक द्विघात बहुपद का सामान्य रूप \( k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta] \) होता है। यहां, हम \( k=1 \) लेंगे। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: \( x^2 - (1)x + 1 \) \( = x^2 - x + 1 \) यह अभीष्ट द्विघात बहुपद है। यह एक मूल द्विघात बहुपद का उदाहरण है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ (1) और गुणा (1) दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र \( x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणा}) \) में रखा, जिससे हमें \( x^2 - x + 1 \) बहुपद मिला।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( x^2 - Sx + P \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ \( S \) शून्यकों का योग है और \( P \) शून्यकों का गुणनफल है।

प्रश्न 3. यदि द्विघात बहुपद \( f(x) = x^2 - 8x + k \) के शून्यकों के वर्गों का योग 40 हो तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना द्विघात बहुपद \( f(x) = x^2 - 8x + k \) के शून्यक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं। बहुपद के गुणांकों की तुलना \( ax^2 + bx + c \) से करने पर, हमें मिलता है: \( a = 1, b = -8, c = k \) शून्यकों का योग (\( \alpha + \beta \)) का सूत्र \( \frac{-b}{a} \) होता है: \( \alpha + \beta = \frac{-(-8)}{1} = 8 \) शून्यकों का गुणनफल (\( \alpha \beta \)) का सूत्र \( \frac{c}{a} \) होता है: \( \alpha \beta = \frac{k}{1} = k \) प्रश्न के अनुसार, शून्यकों के वर्गों का योग 40 है: \( \alpha^2 + \beta^2 = 40 \) हम जानते हैं कि \( (\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \) होता है। इस सूत्र से, \( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta \) अब हम \( \alpha + \beta \) और \( \alpha \beta \) के मानों को इस समीकरण में रखेंगे: \( 40 = (8)^2 - 2(k) \) \( 40 = 64 - 2k \) अब \( k \) के लिए समीकरण हल करें: \( 2k = 64 - 40 \) \( 2k = 24 \)
\( \implies \) \( k = \frac{24}{2} \)
\( \implies \) \( k = 12 \) अतः, \( k \) का मान 12 है। यह शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध का उपयोग करके एक अज्ञात गुणांक ज्ञात करने का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: हमें शून्यकों का जोड़ और गुणांकों का गुणनफल सूत्र से पता चला। हमने इस जानकारी और \( (\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \) सूत्र का उपयोग करके \( k \) का मान 12 पाया।

🎯 Exam Tip: \( \alpha^2 + \beta^2 \) को \( (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta \) के रूप में व्यक्त करना एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय पहचान है जो अक्सर ऐसे प्रश्नों को हल करने में मदद करती है।