Official RBSE Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 03 बहुपद
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 03 बहुपद
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Question 1. निम्नलिखित व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) \( 24x^2yz \) और \( 27x^4 y^2z^2 \)
(ii) \( x^2 – 3x + 2 \) और \( x^4 + x^3 - 6x^2 \)
(iii) \( 2x^2 - 8 \) और \( x^2 – 5x + 6 \)
(iv) \( x^2 - 1; (x^2 + 1) (x + 1) \) तथा \( x^2 + x-1 \)
(v) \( 18(6x^4 + x^3 – x^2) \) और \( 45(2x^6 + 3x^5 + x^4) \)
Answer:
(i) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = 24x^2yz = 2^3 \times 3 \times x^2 \times y \times z \)
\( v(x) = 27x^4y^2z^2 = 3^3 \times x^4 \times y^2 \times z^2 \)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( \text{LCM} = 2^3 \times 3^3 \times x^4 \times y^2 \times z^2 \)
\( = 8 \times 27 \times x^4 \times y^2 \times z^2 \)
\( = 216x^4y^2z^2 \)
In simple words: हमने दोनों व्यंजकों को उनके गुणनखंडों में तोड़ा। फिर, हर गुणनखंड की सबसे बड़ी घात लेकर उन्हें गुणा किया। यही हमारा लघुत्तम समापवर्तक है।
🎯 Exam Tip: लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करते समय, सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात को शामिल करना महत्वपूर्ण है जो दिए गए व्यंजकों में मौजूद हैं।
(ii) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = x^2 – 3x + 2 \)
\( v(x) = x^4 + x^3 - 6x^2 \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u(x) = x^2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) \)
\( v(x) = x^4 + x^3 - 6x^2 \)
\( = x^2(x^2 + x - 6) \)
\( = x^2(x + 3)(x - 2) \)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) के लिए, हम सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( \text{LCM} = x^2(x – 1)(x – 2)(x + 3) \)
In simple words: हमने दोनों समीकरणों को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़ा (गुणनखंड किए)। फिर, उन सभी टुकड़ों को एक बार लिखा, यह ध्यान रखते हुए कि जो टुकड़ा जिस समीकरण में सबसे ज्यादा बार आया हो, उसे उतनी ही बार लिखें। उन सभी टुकड़ों को गुणा करने पर हमें LCM मिल जाता है।
🎯 Exam Tip: बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन करते समय, हमेशा पहले सामान्य गुणनखंड (common factors) को बाहर निकालने का प्रयास करें, जैसे कि \( x^2 \) को \( x^4 + x^3 - 6x^2 \) से।
(iii) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = 2x^2 - 8 \)
\( v(x) = x^2 – 5x + 6 \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u(x) = 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2) \)
\( v(x) = x^2 – 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) के लिए, हम सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( \text{LCM} = 2(x - 2)(x - 3)(x + 2) \)
\( = 2(x^2 - 4)(x - 3) \)
In simple words: दोनों व्यंजकों को सरल करके गुणनखंड किए। फिर, सभी अलग-अलग गुणनखंडों को सबसे ज़्यादा बार वाली घात के साथ गुणा करके LCM निकाला।
🎯 Exam Tip: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) जैसी सर्वसमिकाओं का उपयोग गुणनखंडन को आसान बनाता है।
(iv) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = x^2 - 1 \)
\( v(x) = (x^2 + 1)(x + 1) \)
\( w(x) = x^2 + x - 1 \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u(x) = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
\( v(x) = (x^2 + 1)(x + 1) \)
\( w(x) = x^2 + x - 1 \) (यह गुणनखंडित नहीं हो सकता)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) के लिए, हम सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( \text{LCM} = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) \)
\( = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^2 + x - 1) \)
\( = (x^4 - 1)(x^2 + x - 1) \)
In simple words: हमने दिए गए व्यंजकों को गुणनखंडों में तोड़ा। फिर, हर गुणनखंड को उसकी अधिकतम घात के साथ एक साथ गुणा किया, जिससे हमें उनका लघुत्तम समापवर्तक मिल गया। कुछ व्यंजक सीधे गुणनखंडित नहीं होते हैं, उन्हें वैसे ही लिखते हैं।
🎯 Exam Tip: जब कोई व्यंजक आगे गुणनखंडित न हो पाए, तो उसे LCM में वैसे ही शामिल करें जैसे वह है। सभी गुणनखंडों को एक बार लिखना न भूलें।
(v) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = 18(6x^4 + x^3 – x^2) \)
\( v(x) = 45(2x^6 + 3x^5 + x^4) \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u(x) = 18x^2(6x^2 + x - 1) \)
\( = 18x^2(6x^2 + 3x - 2x - 1) \)
\( = 18x^2[3x(2x + 1) - 1(2x + 1)] \)
\( = 18x^2(3x - 1)(2x + 1) \)
\( v(x) = 45x^4(2x^2 + 3x + 1) \)
\( = 45x^4(2x^2 + 2x + x + 1) \)
\( = 45x^4[2x(x + 1) + 1(x + 1)] \)
\( = 45x^4(2x + 1)(x + 1) \)
अब संख्याओं 18 और 45 का LCM निकालें।
\( 18 = 2 \times 3^2 \)
\( 45 = 3^2 \times 5 \)
संख्याओं का \( \text{LCM} = 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) के लिए, हम सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात लेते हैं।
\( \text{LCM} = 90x^4(x + 1)(2x + 1)(3x - 1) \)
In simple words: हमने दोनों बड़े व्यंजकों को सरल करके उनके गुणनखंड किए। फिर, अभाज्य गुणनखंडों और बीजीय गुणनखंडों, दोनों की सबसे बड़ी घातों को एक साथ गुणा करके उनका LCM निकाला। यह तरीका बड़े व्यंजकों के लिए भी काम करता है।
🎯 Exam Tip: जब व्यंजकों में संख्यात्मक गुणांक हों, तो उनका LCM अलग से ज्ञात करें और फिर बीजीय गुणनखंडों के उच्चतम घात के साथ गुणा करें।
Question 2. निम्नलिखित व्यंजकों के महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए-
(i) \( a^3b^4, ab^5, a^2b^8 \)
(ii) \( 16x^2y^2, 48x^4z \)
(iii) \( x^2 - 7x + 12; x^2 – 10x + 21 \) तथा \( x^2 + 2x – 15 \)
(iv) \( (x + 3)^2 (x - 2) \) और \( (x + 3) (x - 2)^2 \)
(v) \( 24(6x^4 – x^3 – 2x^2) \) और \( 20(6x^6 + 3x^5 + x^4) \)
Answer:
(i) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u = a^3b^4 \)
\( v = ab^5 \)
\( w = a^2b^8 \)
महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम सभी सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
यहां, सामान्य गुणनखंड \( a \) और \( b \) हैं।
\( a \) की न्यूनतम घात \( a^1 \) है।
\( b \) की न्यूनतम घात \( b^4 \) है।
\( \text{HCF} = ab^4 \)
In simple words: हमने तीनों व्यंजकों को देखा। फिर, जो अक्षर (जैसे \( a \) या \( b \)) सभी में थे, उनकी सबसे छोटी घात को गुणा करके HCF निकाला।
🎯 Exam Tip: महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते समय, केवल उन गुणनखंडों को शामिल करें जो सभी दिए गए व्यंजकों में सामान्य हों, और उनकी सबसे छोटी घात लें।
(ii) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u = 16x^2y^2 = 2^4 \times x^2 \times y^2 \)
\( v = 48x^4z = 2^4 \times 3 \times x^4 \times z \)
महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम सभी सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
यहां, सामान्य गुणनखंड 2 और \( x \) हैं।
2 की न्यूनतम घात \( 2^4 \) है।
\( x \) की न्यूनतम घात \( x^2 \) है।
\( \text{HCF} = 2^4 \times x^2 = 16x^2 \)
In simple words: पहले हमने संख्याओं और अक्षरों को अलग-अलग गुणनखंडों में तोड़ा। फिर, जो गुणनखंड दोनों में एक जैसा था, उसकी सबसे छोटी घात को गुणा किया।
🎯 Exam Tip: संख्यात्मक और बीजीय भागों का HCF अलग-अलग ज्ञात करें और फिर उन्हें गुणा करें ताकि कोई गुणनखंड छूटे नहीं।
(iii) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u = x^2 - 7x + 12 \)
\( v = x^2 - 10x + 21 \)
\( w = x^2 + 2x - 15 \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u = x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) \)
\( v = x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7) \)
\( w = x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5) \)
महत्तम समापवर्तक (HCF) के लिए, हम सभी सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
तीनों व्यंजकों में सामान्य गुणनखंड \( (x - 3) \) है।
\( \text{HCF} = (x - 3) \)
In simple words: हमने हर समीकरण के गुणनखंड निकाले। फिर देखा कि कौन सा गुणनखंड तीनों में एक जैसा है। जो एक जैसा गुणनखंड मिला, वही हमारा HCF है।
🎯 Exam Tip: त्रिपदी व्यंजकों (trinomials) का गुणनखंडन करने के लिए स्प्लिटिंग द मिडिल टर्म (मध्य पद को विभाजित करने) विधि का उपयोग करें।
(iv) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u = (x + 3)^2 (x - 2) = (x + 3)(x + 3)(x - 2) \)
\( v = (x + 3) (x - 2)^2 = (x + 3)(x - 2)(x - 2) \)
महत्तम समापवर्तक (HCF) के लिए, हम सभी सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
सामान्य गुणनखंड \( (x + 3) \) की न्यूनतम घात \( (x + 3)^1 \) है।
सामान्य गुणनखंड \( (x - 2) \) की न्यूनतम घात \( (x - 2)^1 \) है।
\( \text{HCF} = (x + 3)(x - 2) \)
In simple words: हमने दोनों व्यंजकों के गुणनखंडों को अलग-अलग लिखा। फिर देखा कि कौन से गुणनखंड दोनों में हैं और उनकी सबसे छोटी घात क्या है। उन सबसे छोटी घात वाले गुणनखंडों को गुणा करके HCF मिला।
🎯 Exam Tip: जब व्यंजक पहले से ही गुणनखंडन के रूप में दिए हों, तो HCF ज्ञात करना सीधा होता है; बस सभी सामान्य गुणनखंडों की सबसे कम घात को चुनें।
(v) दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = 24(6x^4 – x^3 – 2x^2) \)
\( v(x) = 20(6x^6 + 3x^5 + x^4) \)
इनका गुणनखंडन करने पर:
\( u(x) = 24x^2(6x^2 - x - 2) \)
\( = 24x^2(3x - 2)(2x + 1) \)
\( v(x) = 20x^4(6x^2 + 3x + 1) \)
\( = 20x^4(2x + 1)(3x + 1) \)
अब संख्याओं 24 और 20 का HCF निकालें।
\( 24 = 2^3 \times 3 \)
\( 20 = 2^2 \times 5 \)
संख्याओं का \( \text{HCF} = 2^2 = 4 \)
महत्तम समापवर्तक (HCF) के लिए, हम सभी सामान्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात लेते हैं।
यहां सामान्य गुणनखंड 4, \( x^2 \) और \( (2x + 1) \) हैं।
\( \text{HCF} = 4x^2(2x + 1) \)
In simple words: हमने पहले संख्याओं और बीजीय व्यंजकों को अलग-अलग तोड़ा। फिर, संख्यात्मक गुणनखंडों का HCF और बीजीय गुणनखंडों का HCF निकाला। आखिर में, इन सभी HCF को गुणा कर दिया।
🎯 Exam Tip: गुणनखंडन करते समय, हमेशा पहले सामान्य गुणांक (common coefficients) को बाहर निकालना सुनिश्चित करें, जिससे व्यंजकों को सरल करना आसान हो जाता है।
Question 3. यदि \( u(x) = (x - 1)^2 \) तथा \( v(x) = (x^2 - 1) \) हो तो सम्बन्ध \( \text{LCM} \times \text{HCF} = u(x) \times v(x) \) की सत्यता की जाँच कीजिए।
Answer:
दिए गए व्यंजक हैं:
\( u(x) = (x - 1)^2 = (x - 1)(x - 1) \)
\( v(x) = (x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1) \)
अब हम HCF और LCM ज्ञात करते हैं:
महत्तम समापवर्तक (HCF) = \( (x - 1) \)
लघुत्तम समापवर्तक (LCM) = \( (x - 1)^2 (x + 1) \)
हमें सम्बन्ध \( \text{LCM} \times \text{HCF} = u(x) \times v(x) \) की जाँच करनी है।
वाम पक्ष (LHS) = \( \text{LCM} \times \text{HCF} \)
\( = (x - 1)^2 (x + 1) \times (x - 1) \)
\( = (x - 1)^3 (x + 1) \)
दायां पक्ष (RHS) = \( u(x) \times v(x) \)
\( = (x - 1)^2 \times (x^2 - 1) \)
\( = (x - 1)^2 \times (x - 1)(x + 1) \)
\( = (x - 1)^3 (x + 1) \)
चूँकि LHS = RHS है, अतः सम्बन्ध \( \text{LCM} \times \text{HCF} = u(x) \times v(x) \) सत्य है। इस तरह, हम दिखा सकते हैं कि दिया गया संबंध हमेशा सही होता है।
In simple words: हमने पहले दिए गए समीकरणों के सबसे बड़े और सबसे छोटे सामान्य गुणनखंड निकाले। फिर, हमने उन्हें गुणा करके देखा कि क्या यह पहले दिए गए समीकरणों को गुणा करने के बराबर है। दोनों तरफ के उत्तर एक जैसे आए, इसलिए यह नियम सही साबित हुआ।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सत्यापन प्रश्नों में, हमेशा अलग-अलग LHS और RHS की गणना करें और अंत में समानता सिद्ध करें। गुणनखंडन में कोई गलती न करें।
Question 5. दो द्विघातीय व्यंजकों का HCF एवं LCM क्रमशः \( (x - 5) \) तथा \( x^3 – 19x – 30 \) है तो दोनों व्यंजकों को ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है:
HCF = \( (x - 5) \)
LCM = \( x^3 - 19x - 30 \)
हम जानते हैं कि दो व्यंजकों का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है:
\( u(x) \times v(x) = \text{HCF} \times \text{LCM} \)
\( u(x) \times v(x) = (x - 5) \times (x^3 - 19x - 30) \)
अब, \( x^3 - 19x - 30 \) के गुणनखंड करते हैं।
यदि \( x = -2 \) रखने पर:
\( (-2)^3 - 19(-2) - 30 = -8 + 38 - 30 = 0 \)
अतः \( (x + 2) \) एक गुणनखंड है।
\( x^3 - 19x - 30 = (x + 2)(x^2 - 2x - 15) \)
\( = (x + 2)(x - 5)(x + 3) \)
तो, LCM = \( (x + 2)(x - 5)(x + 3) \)
\( u(x) \times v(x) = (x - 5) \times (x + 2)(x - 5)(x + 3) \)
\( = (x - 5)^2 (x + 2)(x + 3) \)
चूंकि दोनों व्यंजक द्विघातीय हैं और उनका HCF \( (x - 5) \) है, इसका मतलब है कि \( (x - 5) \) दोनों व्यंजकों का एक गुणनखंड है।
तो, हम व्यंजकों को इस प्रकार मान सकते हैं:
\( u(x) = (x - 5) \times (x + 2) \)
\( = x^2 - 3x - 10 \)
\( v(x) = (x - 5) \times (x + 3) \)
\( = x^2 - 2x - 15 \)
अतः, दो व्यंजक \( x^2 - 3x - 10 \) और \( x^2 - 2x - 15 \) हैं। हमने HCF और LCM के संबंध का उपयोग करके अज्ञात व्यंजकों को ज्ञात किया।
In simple words: हमें HCF और LCM दिए गए थे। हमने LCM के गुणनखंड किए। फिर, इस नियम का इस्तेमाल किया कि दो संख्याओं को गुणा करने पर उनके HCF और LCM को गुणा करने के बराबर आता है। इससे हमने दोनों समीकरणों को ढूंढ लिया।
🎯 Exam Tip: \( u(x) \times v(x) = \text{HCF} \times \text{LCM} \) सूत्र का उपयोग करने से पहले, LCM को पूरी तरह से गुणनखंडित करना आवश्यक है। व्यंजकों को सही ढंग से वितरित करने के लिए सावधानी बरतें।
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