RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Exercise 2.3

प्रश्न 1. प्रमाणित कीजिए कि \(5-\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer: मान लीजिए कि \(5-\sqrt{3}\) एक परिमेय संख्या है। इसका मतलब है कि हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (\(b \neq 0\)) ऐसे ढूँढ सकते हैं, जहाँ:
\(5-\sqrt{3} = \frac{a}{b}\)
अब, हम \(\sqrt{3}\) को एक तरफ अलग कर सकते हैं:
\(5 - \frac{a}{b} = \sqrt{3}\)
\( \frac{5b-a}{b} = \sqrt{3} \)
चूंकि a और b पूर्णांक हैं, तो \(\frac{5b-a}{b}\) भी एक परिमेय संख्या होगी। इसका मतलब है कि \(\sqrt{3}\) भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन हम जानते हैं कि \(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है। इसलिए, हमारी शुरुआती धारणा कि \(5-\sqrt{3}\) एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, \(5-\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है। यह तर्क गणित में संख्या प्रणालियों को समझने में मदद करता है।
In simple words: हम मानते हैं कि \(5-\sqrt{3}\) परिमेय है, लेकिन इससे पता चलता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय है। यह गलत है क्योंकि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है, इसलिए हमारी पहली धारणा गलत थी।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्या सिद्ध करने के लिए अक्सर 'विरोधाभास' विधि का उपयोग करें। पहले संख्या को परिमेय मानें, फिर गणितीय चरणों से एक विरोधाभास पर पहुँचें।

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं
(i) \( \frac {1}{\sqrt{2}} \)
(ii) \( 6+\sqrt {2} \)
(iii) \( 3\sqrt {2} \)
Answer:
(i) मान लीजिए कि \( \frac {1}{\sqrt{2}} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (\(b \neq 0\)) प्राप्त कर सकते हैं, जैसे:
\( \frac {1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \)
दोनों तरफ वर्ग करने पर:
\( \frac {1}{2} = \frac{a^2}{b^2} \)
\( b^2 = 2a^2 \)
इसका मतलब है कि \(b^2\) 2 से विभाज्य है, इसलिए b भी 2 से विभाज्य है।
तो, हम \(b = 2c\) लिख सकते हैं, जहाँ c कोई पूर्णांक है।
इसे \(b^2 = 2a^2\) में रखने पर:
\( (2c)^2 = 2a^2 \)
\( 4c^2 = 2a^2 \)
\( 2c^2 = a^2 \)
इसका मतलब है कि \(a^2\) 2 से विभाज्य है, इसलिए a भी 2 से विभाज्य है।
चूंकि a और b दोनों 2 से विभाज्य हैं, इसका मतलब है कि वे सह-अभाज्य नहीं हैं। यह हमारी शुरुआती धारणा के विपरीत है। इसलिए, \( \frac {1}{\sqrt{2}} \) एक अपरिमेय संख्या है। इस प्रकार की संख्याओं का परिमेय और अपरिमेय विभाजन गणितीय रूप से महत्वपूर्ण है।
(ii) मान लीजिए कि \( 6+\sqrt {2} \) एक परिमेय संख्या है।
तो, हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (\(b \neq 0\)) प्राप्त कर सकते हैं, जैसे:
\( 6+\sqrt {2} = \frac{a}{b} \)
अब, \(\sqrt{2}\) को एक तरफ अलग करें:
\( \sqrt {2} = \frac{a}{b} - 6 \)
\( \sqrt {2} = \frac{a-6b}{b} \)
चूंकि a और b पूर्णांक हैं, \(\frac{a-6b}{b}\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
तो, \(\sqrt{2}\) भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन हम जानते हैं कि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
इसलिए, हमारी शुरुआती धारणा कि \( 6+\sqrt {2} \) एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, \( 6+\sqrt {2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) मान लीजिए कि \( 3\sqrt {2} \) एक परिमेय संख्या है।
तो, हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (\(b \neq 0\)) प्राप्त कर सकते हैं, जैसे:
\( 3\sqrt {2} = \frac{a}{b} \)
अब, \(\sqrt{2}\) को एक तरफ अलग करें:
\( \sqrt {2} = \frac{a}{3b} \)
चूंकि a और b पूर्णांक हैं, \(\frac{a}{3b}\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
तो, \(\sqrt{2}\) भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन हम जानते हैं कि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
इसलिए, हमारी शुरुआती धारणा कि \( 3\sqrt {2} \) एक परिमेय संख्या है, गलत है। अतः, \( 3\sqrt {2} \) एक अपरिमेय संख्या है।
In simple words: हर भाग में, हम मान लेते हैं कि संख्या परिमेय है। फिर, हम गणित का उपयोग करके दिखाते हैं कि इसका मतलब होगा कि \(\sqrt{2}\) भी परिमेय है, जो हम जानते हैं कि गलत है। तो, हमारी शुरुआती धारणा गलत थी।

🎯 Exam Tip: जब भी \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) या \(\sqrt{5}\) जैसी संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय संख्या के साथ जोड़ा या गुणा किया जाता है, तो परिणाम अक्सर अपरिमेय ही होता है।

प्रश्न 3. यदि p और q अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt {p}+\sqrt {q}\) एक अपरिमेय संख्या है।
Answer: मान लीजिए कि p और q अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं।
मान लीजिए कि \( \sqrt {p}+\sqrt {q} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, हम दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b (\(b \neq 0\)) प्राप्त कर सकते हैं, जैसे:
\( \sqrt {p}+\sqrt {q} = \frac{a}{b} \)
एक वर्गमूल को एक तरफ अलग करें:
\( \sqrt {p} = \frac{a}{b} - \sqrt {q} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( (\sqrt {p})^2 = \left(\frac{a}{b} - \sqrt {q}\right)^2 \)
\( p = \frac{a^2}{b^2} + q - \frac{2a}{b}\sqrt{q} \)
अब, \(\sqrt{q}\) वाले पद को एक तरफ अलग करें:
\( \frac{2a}{b}\sqrt{q} = \frac{a^2}{b^2} + q - p \)
\( \frac{2a}{b}\sqrt{q} = \frac{a^2 + qb^2 - pb^2}{b^2} \)
\( \sqrt{q} = \frac{a^2 + b^2(q-p)}{2ab} \)
चूंकि a, b, p, और q पूर्णांक हैं, \(\frac{a^2 + b^2(q-p)}{2ab}\) एक परिमेय संख्या होगी।
इसका मतलब है कि \(\sqrt{q}\) भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन हमें पता है कि q एक अभाज्य संख्या है, इसलिए \(\sqrt{q}\) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।
इसलिए, हमारी शुरुआती धारणा कि \( \sqrt {p}+\sqrt {q} \) एक परिमेय संख्या है, गलत है।
अतः, \( \sqrt {p}+\sqrt {q} \) एक अपरिमेय संख्या है। इस प्रकार की संख्या सिद्ध करना वास्तविक संख्या प्रणाली की गहरी समझ को दर्शाता है।
In simple words: यदि हम मान लें कि \(\sqrt{p}+\sqrt{q}\) एक परिमेय संख्या है, तो हम गणितीय रूप से यह दिखा सकते हैं कि \(\sqrt{q}\) भी परिमेय होना चाहिए। लेकिन q एक अभाज्य संख्या है, तो \(\sqrt{q}\) अपरिमेय है। यह एक असत्य बात है, इसलिए हमारी शुरुआती धारणा गलत थी।

🎯 Exam Tip: जब दो वर्गमूलों का योग या अंतर दिया गया हो, तो एक वर्गमूल को अलग करके और फिर वर्ग करके सिद्ध करें। यह अक्सर दूसरे वर्गमूल को अलग करने और विरोधाभास तक पहुंचने में मदद करेगा।