Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 02 वास्तविक संख्याएँ
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प्रश्न 1. लम्बी विभाजन प्रक्रिया का उपयोग न करते हुए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-
(i) \( \frac{15}{1600} \)
(ii) \( \frac{13}{3125} \)
(iii) \( \frac{23}{2^3 5^2} \)
(iv) \( \frac{17}{6} \)
(v) \( \frac{129}{2^2 \times 5^7 \times 7^5} \)
(vi) \( \frac{35}{50} \)
(vii) \( \frac{7}{80} \)
Answer:
(i) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{15}{1600} \) है। इसके हर (q) 1600 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, हमें \( 1600 = 2^6 \times 5^2 \) मिलता है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 की घात के रूप में हैं, इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है। यह नियम बताता है कि यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो दशमलव प्रसार शांत होगा।
(ii) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{13}{3125} \) है। इसके हर (q) 3125 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, हमें \( 3125 = 5^5 \) मिलता है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 5 की घात के रूप में हैं (जिसे हम \( 2^0 \times 5^5 \) भी लिख सकते हैं), इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{23}{2^3 5^2} \) है। इसका हर पहले से ही \( 2^3 \times 5^2 \) के रूप में दिया गया है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 की घात के रूप में हैं, इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है।
(iv) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{17}{6} \) है। इसके हर (q) 6 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, हमें \( 6 = 2 \times 3 \) मिलता है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 के अतिरिक्त एक गुणनखंड 3 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। ऐसे दशमलव में, संख्याएँ खुद को बार-बार दोहराती हैं।
(v) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{129}{2^2 \times 5^7 \times 7^5} \) है। इसका हर पहले से ही \( 2^2 \times 5^7 \times 7^5 \) के रूप में दिया गया है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 के अतिरिक्त एक गुणनखंड 7 भी है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{35}{50} \) है। इसे सरल करने पर, हमें \( x = \frac{7}{10} \) मिलता है। अब हर (q) 10 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, हमें \( 10 = 2 \times 5 \) मिलता है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 की घात के रूप में हैं, इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है।
(vii) दी गई परिमेय संख्या \( x = \frac{7}{80} \) है। इसके हर (q) 80 के अभाज्य गुणनखंड करने पर, हमें \( 80 = 2^4 \times 5^1 \) मिलता है। क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 की घात के रूप में हैं, इसलिए इसका दशमलव प्रसार सांत है।
In simple words: किसी भी भिन्न का दशमलव प्रसार तब सांत होता है जब उसके हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 और/या 5 ही हों। अगर हर में 2 और 5 के अलावा कोई और संख्या (जैसे 3 या 7) आती है, तो दशमलव प्रसार असांत और आवर्ती होता है। पहले भिन्न को सबसे सरल रूप में लाना हमेशा अच्छा होता है।
🎯 Exam Tip: To determine if a rational number has a terminating decimal expansion without actual division, always check if the prime factors of its denominator are only 2s and 5s.
प्रश्न 2. निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार लिखिए एवं बताइए कि ये सांत हैं-
(i) \( \frac{13}{125} \)
(ii) \( \frac{14588}{625} \)
(iii) \( \frac{49}{500} \)
Answer:
(i) \( \frac{13}{125} \) का दशमलव प्रसार लिखने के लिए, हम हर को 10 की घात में बदलने का प्रयास करते हैं। \( 125 = 5^3 \) है, इसलिए हम अंश और हर को \( 2^3 = 8 \) से गुणा करते हैं:
\( \frac{13}{125} = \frac{13 \times 8}{125 \times 8} = \frac{104}{1000} = 0.104 \)
यह एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि हर को 10 की घात में बदला जा सका।
(ii) \( \frac{14588}{625} \) का दशमलव प्रसार लिखने के लिए, हम हर को 10 की घात में बदलते हैं। \( 625 = 5^4 \) है, इसलिए हम अंश और हर को \( 2^4 = 16 \) से गुणा करते हैं:
\( \frac{14588}{625} = \frac{14588 \times 16}{625 \times 16} = \frac{233408}{10000} = 23.3408 \)
यह भी एक सांत दशमलव प्रसार है। सांत दशमलव वह होता है जो किसी बिंदु पर समाप्त हो जाता है।
(iii) \( \frac{49}{500} \) का दशमलव प्रसार लिखने के लिए, हम हर को 10 की घात में बदलते हैं। \( 500 = 5^3 \times 2^2 \) है, इसलिए हम अंश और हर को \( 2^1 = 2 \) से गुणा करते हैं:
\( \frac{49}{500} = \frac{49 \times 2}{500 \times 2} = \frac{98}{1000} = 0.098 \)
यह भी एक सांत दशमलव प्रसार है।
In simple words: दशमलव प्रसार लिखने के लिए, हमें भिन्न के हर को 10, 100, 1000 आदि (10 की घात) में बदलना होता है। ऐसा करने के लिए, हम अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करते हैं। यदि हम ऐसा कर पाते हैं, तो दशमलव प्रसार सांत होता है।
🎯 Exam Tip: When converting fractions to terminating decimals, try to make the denominator a power of 10 by multiplying the numerator and denominator by appropriate powers of 2 or 5.
प्रश्न 3. नीचे दर्शाये दशमलव प्रसार के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है, तो इसके हर के अभाज्य गुणनखण्डन के बारे में अपनी टिप्पणी लिखिए।
(i) 0.120120012000120000...
(ii) 43.123456789
(iii) 27.142857
Answer:
(i) दी गई संख्या 0.120120012000120000... है। यह दशमलव प्रसार न तो सांत है और न ही आवर्ती (पुनरावृत्ति वाला)। इसका मतलब है कि इसमें अंक एक पैटर्न में दोहराते नहीं हैं और यह कभी खत्म नहीं होता। इसलिए, यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
(ii) दी गई संख्या 43.123456789 है। यह दशमलव प्रसार सांत है, क्योंकि यह नौ अंकों के बाद समाप्त हो जाता है। कोई भी सांत दशमलव प्रसार हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि हम इसे भिन्न के रूप में लिखते हैं, तो हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 की घात के रूप में होंगे। जैसे, \( 43.123456789 = \frac{43123456789}{10^9} = \frac{43123456789}{2^9 \times 5^9} \)।
(iii) दी गई संख्या 27.142857 है। यह दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है, क्योंकि '142857' अंकों का समूह खुद को दोहराता है (यानी, \( 27.\overline{142857} \))। कोई भी असांत आवर्ती दशमलव प्रसार हमेशा एक परिमेय संख्या होता है। यदि हम इसे भिन्न के रूप में लिखते हैं (जैसे \( \frac{190}{7} \)), तो हर के अभाज्य गुणनखंड में 2 और 5 के अतिरिक्त अन्य अभाज्य गुणनखंड भी शामिल होंगे (इस मामले में, 7)।
In simple words: जो दशमलव संख्याएँ खत्म हो जाती हैं (सांत) या जिनमें अंकों का एक समूह बार-बार आता है (आवर्ती), वे परिमेय संख्याएँ होती हैं। जो दशमलव संख्याएँ कभी खत्म नहीं होतीं और जिनमें कोई पैटर्न भी नहीं होता (असांत अनावर्ती), वे अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। परिमेय संख्याओं के हर में अगर सिर्फ 2 और 5 के गुणनखंड हों, तो वे सांत होती हैं। अगर 2 और 5 के अलावा कोई और गुणनखंड हो, तो वे आवर्ती होती हैं।
🎯 Exam Tip: Remember the key difference: terminating and repeating decimals are rational, while non-terminating and non-repeating decimals are irrational. The prime factors of the denominator reflect this distinction.
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