RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ Exercise 2.2

Question 1. अग्रलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 468
(ii) 945
(iii) 140
(iv) 3825
(v) 20570
Answer:
(i) 468 के अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 468 = 2 \times 234 \)
\( = 2 \times 2 \times 117 \)
\( = 2 \times 2 \times 3 \times 39 \)
\( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 13 \)
\( = 2^2 \times 3^2 \times 13 \)
(ii) 945 के अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 945 = 3 \times 315 \)
\( = 3 \times 3 \times 105 \)
\( = 3 \times 3 \times 3 \times 35 \)
\( = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7 \)
\( = 3^3 \times 5 \times 7 \)
(iii) 140 के अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 140 = 2 \times 70 \)
\( = 2 \times 2 \times 35 \)
\( = 2 \times 2 \times 5 \times 7 \)
\( = 2^2 \times 5 \times 7 \)
(iv) 3825 के अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 3825 = 3 \times 1275 \)
\( = 3 \times 3 \times 425 \)
\( = 3 \times 3 \times 5 \times 85 \)
\( = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 \)
\( = 3^2 \times 5^2 \times 17 \)
(v) 20570 के अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 20570 = 2 \times 10285 \)
\( = 2 \times 5 \times 2057 \)
\( = 2 \times 5 \times 11 \times 187 \)
\( = 2 \times 5 \times 11 \times 11 \times 17 \)
\( = 2 \times 5 \times 11^2 \times 17 \)
In simple words: किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड निकालने के लिए, उसे छोटी से छोटी अभाज्य संख्याओं (जैसे 2, 3, 5, 7 आदि) से तब तक भाग देते हैं जब तक अंत में 1 न आ जाए. सभी भाजक (divisor) ही उसके अभाज्य गुणनखंड होते हैं. फिर इन गुणनखंडों को घात के रूप में लिखते हैं.

🎯 Exam Tip: अभाज्य गुणनखंड करते समय हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या से शुरू करें और क्रम में आगे बढ़ें. यह सुनिश्चित करेगा कि आपको सही और पूर्ण गुणनखंड मिलें.

Question 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों का महत्तम समापवर्तक (HCF) एवं लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए तथा सत्यापित कीजिए कि HCF x LCM = पूर्णाकों का गुणनफल
(i) 96 और 404
(ii) 336 और 54
(iii) 90 और 144
Answer:
(i) 96 और 404:
96 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3 \)
404 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 101 = 2^2 \times 101 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 2^2 = 4 \)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^5 \times 3 \times 101 = 32 \times 3 \times 101 = 96 \times 101 = 9696 \)
सत्यापन:
HCF \( \times \) LCM \( = 4 \times 9696 = 38784 \)
पूर्णांकों का गुणनफल \( = 96 \times 404 = 38784 \)
चूँकि HCF \( \times \) LCM \( = \) पूर्णांकों का गुणनफल, अतः यह सत्यापित होता है.

(ii) 336 और 54:
336 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^4 \times 3 \times 7 \)
54 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3 \)
HCF \( = 2 \times 3 = 6 \)
LCM \( = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 16 \times 27 \times 7 = 3024 \)
सत्यापन:
HCF \( \times \) LCM \( = 6 \times 3024 = 18144 \)
पूर्णांकों का गुणनफल \( = 336 \times 54 = 18144 \)
चूँकि HCF \( \times \) LCM \( = \) पूर्णांकों का गुणनफल, अतः यह सत्यापित होता है.

(iii) 90 और 144:
90 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5 \)
144 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^2 \)
HCF \( = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \)
LCM \( = 2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 720 \)
सत्यापन:
HCF \( \times \) LCM \( = 18 \times 720 = 12960 \)
पूर्णांकों का गुणनफल \( = 90 \times 144 = 12960 \)
चूँकि HCF \( \times \) LCM \( = \) पूर्णांकों का गुणनफल, अतः यह सत्यापित होता है.
In simple words: HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को पूरी तरह भाग दे सके. LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं से पूरी तरह भाग हो सके. इन दोनों को ज्ञात करने के लिए पहले अभाज्य गुणनखंड करते हैं. फिर हम यह नियम जांचते हैं कि दो संख्याओं का HCF और LCM का गुणा, उन संख्याओं के गुणा के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: दो संख्याओं के लिए HCF और LCM निकालने के बाद, हमेशा \( \text{HCF} \times \text{LCM} = \text{Product of numbers} \) सूत्र का उपयोग करके अपने उत्तर की जांच करें. यह आपको गलती करने से बचाएगा.

Question 3. अभाज्य गुणनखण्डन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णाकों का महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए
(i) 12, 15 और 21
(ii) 24, 15 और 36
(iii) 17, 23 और 29
(iv) 6, 72 और 120
(v) 40, 36 और 126
(vi) 8, 9 और 25
Answer:
(i) 12, 15 और 21:
12 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 \)
15 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 3 \times 5 \)
21 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 3 \times 7 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 3 \)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420 \)

(ii) 24, 15 और 36:
24 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3 \)
15 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 3 \times 5 \)
36 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 3 \)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360 \)

(iii) 17, 23 और 29:
17 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 1 \times 17 \)
23 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 1 \times 23 \)
29 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 1 \times 29 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 1 \) (क्योंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो HCF 1 होगा)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 17 \times 23 \times 29 = 11339 \)

(iv) 6, 72 और 120:
6 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \)
72 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
120 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 2 \times 3 = 6 \)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360 \)

(v) 40, 36 और 126:
40 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
36 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)
126 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 2 \)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520 \)

(vi) 8, 9 और 25:
8 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)
9 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 3 \times 3 = 3^2 \)
25 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 5 \times 5 = 5^2 \)
HCF (उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की न्यूनतम घात) \( = 1 \) (क्योंकि कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है)
LCM (सभी अभाज्य गुणनखण्डों की अधिकतम घात) \( = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800 \)
In simple words: कई संख्याओं का HCF निकालने के लिए, हम उन सभी अभाज्य गुणनखंडों को लेते हैं जो हर संख्या में मौजूद हैं, और उनकी सबसे छोटी घात (power) को गुणा करते हैं. LCM निकालने के लिए, हम सभी अभाज्य गुणनखंडों को लेते हैं जो किसी भी संख्या में हैं, और उनकी सबसे बड़ी घात को गुणा करते हैं. यदि संख्याओं में कोई समान गुणनखंड नहीं है, तो उनका HCF हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: जब तीन या अधिक संख्याएँ दी गई हों, तो HCF ज्ञात करते समय केवल उन्हीं अभाज्य गुणनखंडों को लें जो सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ हों. LCM के लिए, सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घात (highest power) को शामिल करें.

Question 4. किसी खेल के मैदान के वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में रमन को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी वृत्ताकार पथ पर मैदान का एक चक्कर पूरा करने में अनुप्रिया को 12 मिनट का समय लगता है। माना कि दोनों एक ही स्थान से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं तो बताइये कितने समय बाद दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे?
Answer:
रमन द्वारा एक चक्कर लगाने में लिया गया समय \( = 18 \) मिनट.
अनुप्रिया द्वारा एक चक्कर लगाने में लिया गया समय \( = 12 \) मिनट.
दोनों एक ही प्रारंभिक बिंदु पर फिर से मिलने का समय उन दोनों समयों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) होगा.
18 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 \)
12 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 \)
LCM (18, 12) \( = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
अतः, रमन और अनुप्रिया 36 मिनट बाद पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे.
In simple words: जब दो लोग एक गोलाकार रास्ते पर अलग-अलग गति से चलना शुरू करते हैं और हमें यह जानना होता है कि वे कब पहली बार फिर से मिलेंगे, तो हमें उनके समय का LCM निकालना होता है. LCM वह सबसे छोटा समय होता है जब वे दोनों एक साथ शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाते हैं.

🎯 Exam Tip: वृत्ताकार पथ पर पुनः मिलने वाले प्रश्नों में हमेशा LCM ज्ञात करें. इसका मतलब है कि आप वह सबसे छोटा समय निकाल रहे हैं जब सभी एक ही स्थान पर वापस आ जाएँगे, क्योंकि वे अलग-अलग गति से यात्रा कर रहे हैं.

Question 5. तीन कमरों में क्रमशः 60, 84 और 108 प्रतिभागी हैं। यदि सभी कमरों में समान संख्या में प्रतिभागी बैठाने हों, तो प्रत्येक कमरे में अधिकतम कितने प्रतिभागी बैठाए जा सकते हैं? कुल कितने कमरों की आवश्यकता होगी?
Answer:
प्रत्येक कमरे में अधिकतम प्रतिभागियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें 60, 84 और 108 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा.
60 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
84 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7 \)
108 के अभाज्य गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3 \)
HCF (60, 84, 108) \( = 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12 \)
अतः, प्रत्येक कमरे में अधिकतम 12 प्रतिभागी बैठाए जा सकते हैं.
अब, कुल कमरों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें कुल प्रतिभागियों को प्रत्येक कमरे में बैठे प्रतिभागियों की संख्या से भाग देना होगा.
कुल प्रतिभागी \( = 60 + 84 + 108 = 252 \)
अभीष्ट कमरों की संख्या \( = \frac{252}{12} = 21 \)
अतः, कुल 21 कमरों की आवश्यकता होगी.
In simple words: यदि आपको अलग-अलग समूहों के लोगों को बराबर-बराबर कमरों में बैठाना है, तो हर कमरे में कितने लोग होंगे, यह जानने के लिए HCF निकालते हैं. यह बताता है कि एक कमरे में ज़्यादा से ज़्यादा कितने लोग आ सकते हैं. फिर, कुल लोगों को इस संख्या से भाग देकर कुल कमरों की संख्या निकाल लेते हैं.

🎯 Exam Tip: 'अधिकतम' या 'सबसे बड़ा' जैसे शब्द अक्सर यह संकेत देते हैं कि आपको HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालना है, जबकि 'सबसे छोटा' या 'न्यूनतम' जैसे शब्द LCM (लघुत्तम समापवर्तक) निकालने की ओर इशारा करते हैं. इस प्रश्न में दोनों अवधारणाएँ एक साथ लागू होती हैं.