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Detailed Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ RBSE Solutions for Class 10 Mathematics
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Class 10 Mathematics Chapter 2 वास्तविक संख्याएँ RBSE Solutions PDF
वास्तविक संख्याएँ Ex 2.1
प्रश्न 1. दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक संख्या को वर्ग 8q+1 के रूप का होता है जहाँ q एक धनात्मक पूर्णाक है।
Answer: मान लीजिये \( a \) कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। हम जानते हैं कि धनात्मक विषम पूर्णांक को \( a = 2n + 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( n = 0, 1, 2, 3, \dots \) ।
अब, प्रश्न के अनुसार, हमें \( a^2 \) को \( 8q + 1 \) के रूप में दिखाना है:
\( a^2 = (2n + 1)^2 \)
\( a^2 = 4n^2 + 4n + 1 \)
\( a^2 = 4n(n + 1) + 1 \)
हम जानते हैं कि \( n(n + 1) \) हमेशा एक सम पूर्णांक होता है, क्योंकि \( n \) या \( n+1 \) में से एक हमेशा सम होगा।
मान लीजिये \( n(n + 1) = 2k \) (क्योंकि यह एक सम संख्या है)।
\( a^2 = 4(2k) + 1 \)
\( a^2 = 8k + 1 \)
यहाँ \( k \) एक धनात्मक पूर्णांक है, जिसे हम \( q \) कह सकते हैं। इसलिए, \( k=q \)।
अतः, \( a^2 = 8q + 1 \)।
यह दिखाता है कि किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग \( 8q + 1 \) के रूप का होता है।
In simple words: कोई भी अकेली संख्या जो दो से भाग नहीं होती, उसका वर्ग हमेशा 8 के किसी पहाड़े की संख्या से एक ज़्यादा आता है। इसे हम यूक्लिड के भाग के नियम से समझ सकते हैं, जो गणित के इस सिद्धांत को साबित करता है।
🎯 Exam Tip: इस तरह के सवालों में, धनात्मक पूर्णांक को \( 2n \) (सम) या \( 2n+1 \) (विषम) के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण पहला कदम है।
प्रश्न 2. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा दर्शाइये कि किसी भी धनात्मक पूर्णाक संख्या का घन 9q या 9q +1 या 9q + 8 के रूप का होता है, जहाँ q एक पूर्णांक संख्या है।
Answer: मान लीजिये \( a \) कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, जब \( a \) को 3 से भाग दिया जाता है, तो संभव शेषफल 0, 1 या 2 हो सकते हैं।
तो, \( a \) को \( 3m \), \( 3m + 1 \) या \( 3m + 2 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( m \) एक पूर्णांक है।
अब हम हर मामले में \( a \) का घन (क्यूब) करेंगे:
**केस 1: जब \( a = 3m \)**
\( a^3 = (3m)^3 \)
\( a^3 = 27m^3 \)
\( a^3 = 9(3m^3) \)
मान लीजिये \( q = 3m^3 \)। तब, \( a^3 = 9q \)।
**केस 2: जब \( a = 3m + 1 \)**
\( a^3 = (3m + 1)^3 \)
\( a^3 = (3m)^3 + 3(3m)^2(1) + 3(3m)(1)^2 + 1^3 \) (यह \( (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \) का सूत्र है)
\( a^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 \)
\( a^3 = 9(3m^3 + 3m^2 + m) + 1 \)
मान लीजिये \( q = 3m^3 + 3m^2 + m \)। तब, \( a^3 = 9q + 1 \)।
**केस 3: जब \( a = 3m + 2 \)**
\( a^3 = (3m + 2)^3 \)
\( a^3 = (3m)^3 + 3(3m)^2(2) + 3(3m)(2)^2 + 2^3 \)
\( a^3 = 27m^3 + 54m^2 + 36m + 8 \)
\( a^3 = 9(3m^3 + 6m^2 + 4m) + 8 \)
मान लीजिये \( q = 3m^3 + 6m^2 + 4m \)। तब, \( a^3 = 9q + 8 \)।
इन सभी केसों से यह स्पष्ट होता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक संख्या का घन 9q, 9q + 1 या 9q + 8 के रूप का होता है।
In simple words: किसी भी पूरी संख्या का जब आप तीन बार गुणा करते हैं (उसका घन निकालते हैं), तो वह हमेशा इन तीन तरीकों में से किसी एक रूप में आती है: या तो 9 के पहाड़े में, या 9 के पहाड़े से एक ज़्यादा, या 9 के पहाड़े से आठ ज़्यादा। यह यूक्लिड के भाग के नियम से साबित होता है।
🎯 Exam Tip: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करते समय, \( b \) का मान सावधानी से चुनें। यहाँ, क्योंकि हमें 9q के रूप में दिखाना था, \( b=3 \) चुनना सबसे आसान तरीका था क्योंकि \( 3^2=9 \) और \( 3^3=27 \) दोनों 9 के गुणज हैं।
प्रश्न 3. दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक विषम पूर्णांक संख्या को 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ q एक धनात्मक पूर्णाक है।
Answer: मान लीजिये \( a \) कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, जब हम \( a \) को 6 से भाग देते हैं, तो संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 या 5 हो सकते हैं। (क्योंकि शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है और 0 या उससे बड़ा होता है)।
तो, \( a \) को \( 6q \), \( 6q + 1 \), \( 6q + 2 \), \( 6q + 3 \), \( 6q + 4 \) या \( 6q + 5 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( q \) कोई पूर्णांक है।
अब, हमें दिखाना है कि \( a \) एक **विषम** पूर्णांक है। विषम पूर्णांक वे होते हैं जो 2 से पूरी तरह से विभाजित नहीं होते।
आइए संभावित रूपों को देखें:
1. \( 6q = 2(3q) \) - यह एक सम संख्या है क्योंकि यह 2 का गुणज है।
2. \( 6q + 1 \) - यह एक विषम संख्या है क्योंकि इसे 2 से भाग देने पर 1 शेषफल बचता है।
3. \( 6q + 2 = 2(3q + 1) \) - यह एक सम संख्या है।
4. \( 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1 \) - यह एक विषम संख्या है।
5. \( 6q + 4 = 2(3q + 2) \) - यह एक सम संख्या है।
6. \( 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1 \) - यह एक विषम संख्या है।
चूंकि \( a \) एक धनात्मक विषम पूर्णांक है, यह \( 6q \), \( 6q + 2 \) या \( 6q + 4 \) के रूप का नहीं हो सकता (क्योंकि ये सभी सम संख्याएँ हैं)।
इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक केवल \( 6q + 1 \), \( 6q + 3 \) या \( 6q + 5 \) के रूप में ही हो सकता है।
In simple words: अगर हम किसी भी अकेली संख्या को 6 से भाग दें, तो जो संख्या बचती है, वह या तो 1, 3 या 5 होती है। कोई भी अकेली संख्या 6q, 6q+2, या 6q+4 के जैसी नहीं हो सकती क्योंकि ये सभी संख्याएँ जोड़े में होती हैं (सम संख्याएँ)।
🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, सभी संभावित मामलों को लिखना और फिर विषम संख्याओं को छाँटने के लिए 2 से भाज्यता का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 4. निम्नलिखित संख्या-युग्मों का यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए-
(i) 210, 55
(ii) 420, 130
(iii) 75, 243
(iv) 135, 225
(v) 196, 38220
(vi) 867, 255
Answer: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करके HCF ज्ञात करेंगे:
(i) **210 और 55**
चरण I: \( 210 > 55 \)
\( 210 = 55 \times 3 + 45 \)
चरण II: शेषफल \( 45 \neq 0 \)। अब 55 और 45 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 55 = 45 \times 1 + 10 \)
चरण III: शेषफल \( 10 \neq 0 \)। अब 45 और 10 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 45 = 10 \times 4 + 5 \)
चरण IV: शेषफल \( 5 \neq 0 \)। अब 10 और 5 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 10 = 5 \times 2 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 5 है। इसलिए, 210 और 55 का HCF 5 है।
(ii) **420 और 130**
चरण I: \( 420 > 130 \)
\( 420 = 130 \times 3 + 30 \)
चरण II: शेषफल \( 30 \neq 0 \)। अब 130 और 30 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 130 = 30 \times 4 + 10 \)
चरण III: शेषफल \( 10 \neq 0 \)। अब 30 और 10 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 30 = 10 \times 3 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 10 है। इसलिए, 420 और 130 का HCF 10 है।
(iii) **75 और 243**
चरण I: \( 243 > 75 \)
\( 243 = 75 \times 3 + 18 \)
चरण II: शेषफल \( 18 \neq 0 \)। अब 75 और 18 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 75 = 18 \times 4 + 3 \)
चरण III: शेषफल \( 3 \neq 0 \)। अब 18 और 3 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 18 = 3 \times 6 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 3 है। इसलिए, 75 और 243 का HCF 3 है।
(iv) **135 और 225**
चरण I: \( 225 > 135 \)
\( 225 = 135 \times 1 + 90 \)
चरण II: शेषफल \( 90 \neq 0 \)। अब 135 और 90 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 135 = 90 \times 1 + 45 \)
चरण III: शेषफल \( 45 \neq 0 \)। अब 90 और 45 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 90 = 45 \times 2 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 45 है। इसलिए, 135 और 225 का HCF 45 है।
(v) **196 और 38220**
चरण I: \( 38220 > 196 \)
\( 38220 = 196 \times 195 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 196 है। इसलिए, 196 और 38220 का HCF 196 है।
(vi) **867 और 255**
चरण I: \( 867 > 255 \)
\( 867 = 255 \times 3 + 102 \)
चरण II: शेषफल \( 102 \neq 0 \)। अब 255 और 102 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 255 = 102 \times 2 + 51 \)
चरण III: शेषफल \( 51 \neq 0 \)। अब 102 और 51 पर प्रमेयिका लागू करें।
\( 102 = 51 \times 2 + 0 \)
यहाँ शेषफल 0 है, और भाजक 51 है। इसलिए, 867 और 255 का HCF 51 है।
In simple words: HCF निकालने के लिए, हमें यूक्लिड के भाग के नियम का पालन करना होता है। इसमें हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग देते हैं और यह प्रक्रिया तब तक दोहराते हैं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। जिस चरण में शेषफल शून्य आता है, उस चरण का भाजक ही HCF होता है।
🎯 Exam Tip: HCF निकालने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करते समय, प्रत्येक चरण में भाज्य को पिछले भाजक और भाजक को पिछले शेषफल से बदलना याद रखें। यह प्रक्रिया तब तक जारी रखें जब तक शेषफल शून्य न हो जाए।
प्रश्न 5. यदि संख्या 408 तथा 1032 के महत्तम समापवर्तक (HCF) को 1032x - 408 × 5 के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: सबसे पहले, हम 408 और 1032 का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।
चरण I: \( 1032 > 408 \)
\( 1032 = 408 \times 2 + 216 \)
चरण II: शेषफल \( 216 \neq 0 \)। अब 408 और 216 पर यूक्लिड प्रमेयिका लागू करें।
\( 408 = 216 \times 1 + 192 \)
चरण III: शेषफल \( 192 \neq 0 \)। अब 216 और 192 पर यूक्लिड प्रमेयिका लागू करें।
\( 216 = 192 \times 1 + 24 \)
चरण IV: शेषफल \( 24 \neq 0 \)। अब 192 और 24 पर यूक्लिड प्रमेयिका लागू करें।
\( 192 = 24 \times 8 + 0 \)
चूँकि शेषफल शून्य है, इस चरण में भाजक 24 है।
इसलिए, 408 और 1032 का HCF \( 24 \) है।
प्रश्न के अनुसार, HCF को \( 1032x - 408 \times 5 \) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः, \( 24 = 1032x - 408 \times 5 \)
\( 24 = 1032x - 2040 \)
अब \( -2040 \) को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ:
\( 24 + 2040 = 1032x \)
\( 2064 = 1032x \)
\( x = \frac{2064}{1032} \)
\( x = 2 \)
इस तरह, हम x का मान 2 पाते हैं।
In simple words: सबसे पहले, हमने यूक्लिड के नियम का उपयोग करके 408 और 1032 का सबसे बड़ा साझा भाजक (HCF) निकाला, जो 24 आया। फिर, हमने इस HCF को दिए गए सूत्र \( 1032x - 408 \times 5 \) के बराबर रखा और \( x \) का मान निकालने के लिए समीकरण को हल किया, जिससे \( x=2 \) मिला।
🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, पहले दोनों संख्याओं का सही HCF ज्ञात करना महत्वपूर्ण है। फिर, प्राप्त HCF को दिए गए रैखिक संयोजन के बराबर रखकर \( x \) जैसे अज्ञात चर का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को ध्यान से हल करें।
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