Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप
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Question 1. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए
(i) 2, 5, 7, 5, 3, 1, 5, 8, 7, 5.
(ii) 2, 4, 6, 2, 6, 6, 7, 8
(iii) 2.5, 2.5, 2.1, 2.5, 2.7, 2.8, 2.5
Answer:
(i) हम दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| चर का मान | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 1 | 1 | 1 | 4 | 2 | 1 |
सारणी से पता चलता है कि चर का मान 5 की बारम्बारता सबसे अधिक, यानी 4 है। इसलिए, बहुलक 5 है। बहुलक वह संख्या होती है जो दिए गए डेटा सेट में सबसे अधिक बार आती है.
(ii) हम दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| चर का मान | 2 | 4 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 |
यहाँ, सबसे अधिक बारम्बारता 3 है, जो चर के मान 6 से जुड़ी है। इसलिए, बहुलक 6 है.
(iii) हम दिए गए आंकड़ों के लिए एक बारम्बारता सारणी बनाते हैं:
| विचर | 2.1 | 2.5 | 2.7 | 2.8 |
|---|---|---|---|---|
| f | 1 | 4 | 1 | 1 |
यहां, सबसे अधिक बारम्बारता 4 है, जो विचर 2.5 के लिए है। अतः बहुलक 2.5 है। In simple words: हमें दिए गए नंबरों के समूह में से वह नंबर ढूंढना है जो सबसे ज्यादा बार आता है। वही नंबर बहुलक होता है।
🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक मान की बारम्बारता (वह कितनी बार आता है) गिनें और फिर सबसे अधिक बारम्बारता वाले मान को पहचानें.
Question 2. निम्न बारम्बारता बंटनों का बहुलक ज्ञात कीजिए
(i)
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 2 | 4 | 6 | 3 | 2 | 1 |
Answer:
(i) इस बारम्बारता बंटन में, चर का मान 5 की बारम्बारता सबसे अधिक है, जो कि 6 है। अतः, बहुलक 5 होगा। बहुलक हमेशा वह मान होता है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक हो.
In simple words: टेबल में जो 'f' नंबर सबसे बड़ा है, उसके ऊपर वाला 'X' नंबर ही बहुलक है। यहाँ 6 सबसे बड़ा 'f' है, जिसके ऊपर 'X' में 5 लिखा है, तो बहुलक 5 है।
🎯 Exam Tip: बारम्बारता सारणी में, बहुलक हमेशा उस चर के मान के बराबर होता है जिसकी संगत बारम्बारता (f) सबसे अधिक हो.
Question 3. एक गाँव के 30 परिवारों में उनके सदस्यों की संख्या निम्न सारणी के अनुसार है। इनका बहुलक ज्ञात कीजिए।
| सदस्यों संख्या | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| परिवारों की संख्या | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 3 | 5 |
Answer:
दी गई सारणी में, 'परिवारों की संख्या' (बारम्बारता) सबसे अधिक 10 है, और यह 'सदस्यों की संख्या' 6 के संगत है। अतः, बहुलक 6 होगा। इसका मतलब है कि गाँव के सबसे ज़्यादा परिवारों में 6 सदस्य हैं.
In simple words: इस टेबल में, 'परिवारों की संख्या' में सबसे बड़ा नंबर 10 है। इसके ऊपर 'सदस्यों संख्या' में 6 है। तो, 6 ही बहुलक है।
🎯 Exam Tip: वर्गीकृत डेटा में बहुलक वर्ग की पहचान करने के लिए सबसे बड़ी बारम्बारता को देखें और फिर उस वर्ग अंतराल को बहुलक वर्ग मानें.
Question 4. एक कक्षा के 20 छात्रों की आयु वर्षों में निम्न प्रकार है-
15, 16, 13, 14, 14, 13, 15, 14, 13, 13
14, 12, 15, 14, 16, 13, 14, 14, 13, 15
इन्हें बारम्बारता बंटन में व्यक्त कर बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए हुए बंटन को बारम्बारता सारणी द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। हम प्रत्येक आयु की बारम्बारता गिनते हैं:
| आयु (वर्षों में) | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 1 | 7 | 8 | 4 | 2 |
सारणी से स्पष्ट है कि सर्वाधिक बारम्बारता 8 है, जो विचर के मान 14 की है। अतः बहुलक 14 है। इसका अर्थ है कि कक्षा में सबसे ज़्यादा छात्रों की आयु 14 वर्ष है.
In simple words: सभी छात्रों की आयु को गिनो कि कौन सी आयु सबसे ज्यादा बार आई है। यहाँ 14 वर्ष सबसे ज्यादा बार आया है, तो बहुलक 14 है।
🎯 Exam Tip: बिखरे हुए डेटा सेट के लिए बहुलक ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले एक बारम्बारता सारणी बनाएं और फिर सबसे अधिक बार आने वाले मान को चुनें.
Question 5. कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक नीचे दिए हुए हैं, प्राप्तांकों का बहुलक ज्ञात कीजिए
| प्राप्तांक | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थियों की संख्या | 2 | 8 | 16 | 26 | 20 | 16 | 7 | 4 |
Answer:
दी गई सारणी में, 'विद्यार्थियों की संख्या' (बारम्बारता) सबसे अधिक 26 है, और यह प्राप्तांक 40 के संगत है। अतः, बहुलक 40 होगा। इसका अर्थ है कि सबसे ज़्यादा विद्यार्थियों ने 40 अंक प्राप्त किए हैं.
In simple words: टेबल में सबसे बड़ी 'विद्यार्थियों की संख्या' 26 है, जो 40 प्राप्तांक के लिए है। तो, बहुलक 40 है।
🎯 Exam Tip: बहुलक हमेशा उस श्रेणी का मान होता है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक हो. बस सारणी में सबसे बड़ी बारम्बारता को खोजें और उससे संबंधित मान आपका बहुलक होगा.
निम्न बारम्बारता बंटन से बहुलक ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 6-9)
Question 6.
| वर्ग | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 3 | 7 | 16 | 12 | 9 | 5 | 3 |
Answer:
वर्ग अन्तराल (20-25) की बारम्बारता 16 है, जो कि सर्वाधिक है। इसलिए, बहुलक वर्ग (20-25) है। एक बार बहुलक वर्ग पता चल जाए, तो हम बहुलक का सूत्र लगा सकते हैं.
अतः \( l = 20 \), \( f_1 = 16 \), \( f_0 = 7 \), \( f_2 = 12 \), \( h = 5 \)
बहुलक का सूत्र है:
बहुलक \( = l + \frac { f_1 - f_0 }{ 2f_1 - f_0 - f_2 } \times h \)
बहुलक \( = 20 + \frac { 16 - 7 }{ 2 \times 16 - 7 - 12 } \times 5 \)
बहुलक \( = 20 + \frac { 9 }{ 32 - 19 } \times 5 \)
बहुलक \( = 20 + \frac { 9 }{ 13 } \times 5 \)
बहुलक \( = 20 + \frac { 45 }{ 13 } \)
बहुलक \( = 20 + 3.4615 \)
बहुलक \( \approx 23.46 \) (लगभग)
In simple words: पहले सबसे ज़्यादा बार आने वाले वर्ग (बहुलक वर्ग) को ढूंढो। फिर एक खास सूत्र में उन संख्याओं को रखो। इस सूत्र से हमें बहुलक का मान मिल जाएगा।
🎯 Exam Tip: बहुलक का सूत्र याद रखना महत्वपूर्ण है, और गणना करते समय \( f_0 \), \( f_1 \), और \( f_2 \) को सही ढंग से पहचानना सुनिश्चित करें.
Question 8.
| प्राप्तांक | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 |
|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 4 | 28 | 42 | 20 | 6 |
Answer:
यहाँ, 'छात्रों की संख्या' (बारम्बारता) सबसे अधिक 42 है, जो वर्ग (40-50) की है। अतः, बहुलक वर्ग (40-50) है। हम इस वर्ग के लिए बहुलक की गणना करेंगे.
अतः \( l = 40 \), \( f_1 = 42 \), \( f_0 = 28 \), \( f_2 = 20 \), \( h = 10 \)
बहुलक का सूत्र है:
बहुलक \( = l + \frac { f_1 - f_0 }{ 2f_1 - f_0 - f_2 } \times h \)
बहुलक \( = 40 + \frac { 42 - 28 }{ 2 \times 42 - 28 - 20 } \times 10 \)
बहुलक \( = 40 + \frac { 14 }{ 84 - 48 } \times 10 \)
बहुलक \( = 40 + \frac { 14 }{ 36 } \times 10 \)
बहुलक \( = 40 + \frac { 140 }{ 36 } \)
बहुलक \( = 40 + 3.888... \)
बहुलक \( \approx 43.89 \) (लगभग)
अतः अभीष्ट बहुलक \( = 43.89 \) (लगभग) है।
In simple words: सबसे बड़ी बारम्बारता वाले वर्ग को बहुलक वर्ग कहते हैं। उसकी निचली सीमा, बारम्बारता और आसपास के वर्गों की बारम्बारता का उपयोग करके, हम बहुलक का मान निकालने के लिए सूत्र लगाते हैं।
🎯 Exam Tip: समूहबद्ध डेटा में बहुलक की गणना करते समय, यह सुनिश्चित करें कि आप सभी मानों को सूत्र में सही स्थान पर रखें और गणना में कोई गलती न करें.
Question 9.
| ऊँचाई (सेमी. में) | 52-55 | 55-58 | 58-61 | 61-64 |
|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 10 | 20 | 25 | 10 |
Answer:
यहाँ, 'छात्रों की संख्या' (बारम्बारता) सबसे अधिक 25 है। यह बारम्बारता वर्ग (58-61) की है। अतः, बहुलक वर्ग (58-61) है। इस वर्ग से हमें सभी आवश्यक मान मिलते हैं.
अतः \( l = 58 \), \( f_1 = 25 \), \( f_0 = 20 \), \( f_2 = 10 \), \( h = 3 \)
बहुलक का सूत्र है:
बहुलक \( = l + \frac { f_1 - f_0 }{ 2f_1 - f_0 - f_2 } \times h \)
बहुलक \( = 58 + \frac { 25 - 20 }{ 2 \times 25 - 20 - 10 } \times 3 \)
बहुलक \( = 58 + \frac { 5 }{ 50 - 30 } \times 3 \)
बहुलक \( = 58 + \frac { 5 }{ 20 } \times 3 \)
बहुलक \( = 58 + \frac { 15 }{ 20 } \)
बहुलक \( = 58 + 0.75 \)
बहुलक \( = 58.75 \)
अतः अभीष्ट बहुलक \( = 58.75 \) सेमी. है।
In simple words: सबसे ज्यादा छात्रों वाला ऊँचाई वर्ग बहुलक वर्ग है। उस वर्ग की सबसे निचली ऊँचाई, छात्रों की संख्या और उससे पहले-बाद वाले वर्गों की छात्रों की संख्या को सूत्र में डालकर बहुलक निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वर्ग अंतराल की चौड़ाई (h) सभी वर्गों के लिए समान होनी चाहिए, जैसा कि इस उदाहरण में है.
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