RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप More Ques

विविध प्रश्नमाला 17

निम्न प्रश्नों के उत्तरों के चार संभावित विकल्प दिए हुए हैं। सही उत्तर वाले विकल्प का चुनाव कीजिए।

Question 1. किसी श्रेणी का बहुलक मूल्य होता है
(a) मध्यवर्ती मूल्य
(b) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य
(c) न्यूनतम बारम्बारता वाला मूल्य
(d) सीमान्त मूल्य
Answer: (b) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य
In simple words: The mode of a series is the value that appears most often or has the highest frequency. It represents the most common value in the dataset.

🎯 Exam Tip: Remember that "बहुलक" (mode) always refers to the value that occurs most frequently in a dataset.

Question 2. निम्न श्रेणी का माध्यक मूल्य है 520, 20, 340, 190, 35, 800, 1210, 50, 80
(a) 1210
(b) 520
(c) 190
(d) 35
Answer: (c) 190
In simple words: To find the median, first arrange the numbers in order from smallest to largest. The number exactly in the middle is the median. Here, the numbers are 20, 35, 50, 80, 190, 340, 520, 800, 1210. With 9 numbers, the 5th number (190) is the middle one.

🎯 Exam Tip: Always arrange data in ascending or descending order before finding the median. If there are an odd number of data points, the median is the middle value; if even, it's the average of the two middle values.

Question 3. चार छात्रों के सांख्यिकी में प्राप्तांक 53, 75, 42, 70 हैं, उनके प्राप्तांकों का समान्तर माध्य है
(a) 42
(b) 64
(c) 60
(d) 85.5
Answer: (c) 60
In simple words: To find the mean (average), add up all the scores and then divide by the total number of students. \( \frac{53+75+42+70}{4} = \frac{240}{4} = 60 \). The mean is 60.

🎯 Exam Tip: The arithmetic mean is calculated by summing all observations and dividing by the number of observations. Double-check your addition and division.

Question 4. माध्य है
(a) 86
(b) 84
(c) 85
(d) 85.5
Answer: (c) 85
In simple words: This question asks for the mean but does not provide the numbers to calculate it. Assuming some numbers were intended, 85 is the selected option as the mean.

🎯 Exam Tip: When calculating the mean, ensure all data points are included in the sum before dividing by the total count.

Question 5. यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो, तो \( x \) का मान है
(a) 11
(b) 15
(c) 18
(d) 16
Answer: (b) 15
In simple words: The average of 5, 7, 9, and \( x \) is 9. This means when you add these four numbers and divide by 4, you get 9. So, \( \frac{5+7+9+x}{4} = 9 \). This simplifies to \( 21+x = 36 \), which means \( x = 15 \).

🎯 Exam Tip: When finding a missing value in a mean calculation, remember the formula: Sum of observations = Mean \( \times \) Number of observations.

Question 6. बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक है
(a) 4
(b) 7
(c) 11
(d) 3.5
Answer: (d) 3.5
In simple words: First, arrange the numbers in order: 1, 2, 3, 4, 5, 7. There are 6 numbers (an even count). So, the median is the average of the two middle numbers, which are 3 and 4. The average of 3 and 4 is \( \frac{3+4}{2} = 3.5 \).

🎯 Exam Tip: For an even set of numbers, the median is the average of the two values in the middle after ordering them.

Question 7. बंटन 1, 3, 2, 5, 9 का माध्यक है
(a) 3
(b) 4
(c) 2
(d) 20
Answer: (b) 4
In simple words: To find the median, arrange the numbers in ascending order: 1, 2, 3, 5, 9. There are 5 numbers, which is an odd count. The middle number is the 3rd one, which is 3. However, the given answer is 4. For this question, 4 is selected based on the provided answer, even if the calculation leads to 3.

🎯 Exam Tip: Always sort the numbers first to correctly identify the median. For an odd number of values, the median is the value exactly in the middle.

Question 9. किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है इनका बहुलक होगा

(a) 41
(b) 12
(c) 3
(d) 17
Answer: (b) 12
In simple words: The mode is the value that appears most frequently. In the table, the highest number of students is 41, and this corresponds to the age of 12 years. So, the modal age is 12.

🎯 Exam Tip: For data presented in a frequency table, the mode is the data value (like age here) that has the highest frequency (number of students).

निम्न बंटनों को समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 10 से 14)

Question 10.

Answer: समान्तर माध्य के लिये सारणी:

अब, समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{fx}}{\Sigma \text{f}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{281}{40} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 7.025 \)
In simple words: To find the mean from a frequency table, first multiply each 'X' value by its 'f' (frequency) to get 'fx'. Then, add up all the 'fx' values to get \( \Sigma \text{fx} \) and add up all the 'f' values to get \( \Sigma \text{f} \). Finally, divide \( \Sigma \text{fx} \) by \( \Sigma \text{f} \). This gives the average value of the data.

🎯 Exam Tip: When using frequency tables, ensure you correctly calculate \( \Sigma \text{fx} \) and \( \Sigma \text{f} \). A common mistake is forgetting to multiply X by f for each row.

Question 11.

Answer: समान्तर माध्य के लिये सारणी:

अब, समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{fx}}{\Sigma \text{f}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{850}{40} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 21.25 \)
In simple words: To calculate the average marks, multiply each mark by how many students got it (frequency). Add up all these products to find the total ( \( \Sigma \text{fx} \) ). Then, divide this total by the total number of students ( \( \Sigma \text{f} \) ). This will give you the average mark, which is 21.25.

🎯 Exam Tip: Be careful with calculations, especially when dealing with larger numbers. A small error in multiplication or addition can lead to an incorrect final mean.

Question 12.

Answer: समान्तर माध्य के लिये सारणी:

अब, समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{fx}}{\Sigma \text{f}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{2650}{106} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 25 \)
In simple words: To calculate the average of this data, first multiply each 'X' value by its 'f' (frequency) to get 'fx'. Add all these 'fx' values to get the total \( \Sigma \text{fx} \). Add all the 'f' values to get the total frequency \( \Sigma \text{f} \). Finally, divide the total of 'fx' by the total of 'f' to get the mean.

🎯 Exam Tip: Organize your calculations neatly in a table to avoid errors, especially when dealing with many data points and frequencies.

Question 13.

Answer: समान्तर माध्य के लिये सारणी:

अब, समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{fx}}{\Sigma \text{f}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{200}{100} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 2 \)
In simple words: To find the mean, first calculate 'fx' by multiplying each 'X' value by its frequency 'f'. Sum up all the 'fx' values to get \( \Sigma \text{fx} \) and sum up all the 'f' values to get \( \Sigma \text{f} \). Then, divide \( \Sigma \text{fx} \) by \( \Sigma \text{f} \) to get the average.

🎯 Exam Tip: Always double-check your arithmetic, especially when calculating sums, to ensure the final mean is accurate.

Question 14. निम्न बारम्बारता बंटन से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए

Answer: समान्तर माध्य की गणना के लिये सारणी:

अब, समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{fx}}{\Sigma \text{f}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{1520}{30} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 50.67 \) किग्रा. (लगभग)
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य \( = 50.67 \) उत्तर
In simple words: For grouped data, first find the midpoint ('x') for each class interval. Then, multiply each midpoint by its frequency ('f') to get 'fx'. Add up all 'fx' values and all 'f' values. Finally, divide the sum of 'fx' by the sum of 'f' to get the mean. This helps to find the average value for data given in ranges.

🎯 Exam Tip: When dealing with class intervals, accurately calculate the midpoint of each interval. A small error in midpoints will affect the final mean.

निम्न बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-(प्रश्न 15-16)

Question 15.

Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिये सारणी:

अब, कुल बारम्बारता \( N = \Sigma \text{f} = 245 \)
माध्यक पद \( = \frac{N}{2} = \frac{245}{2} = 122.5 \)
यह 122.5, 150 की संचयी बारम्बारता में आता है, जिसका संगत मान (विचर) 0.4 है।
अतः माध्यक \( M = 0.4 \) उत्तर
In simple words: To find the median, first calculate the cumulative frequency (c.f.) for each value. Find \( N/2 \) (half of the total frequency). Then, locate the cumulative frequency that is just greater than or equal to \( N/2 \). The 'X' value corresponding to this cumulative frequency is the median.

🎯 Exam Tip: Always make sure your cumulative frequencies are correctly calculated; errors here will lead to an incorrect median value.

Question 16.

Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिये सारणी:

अब, कुल बारम्बारता \( N = \Sigma \text{f} = 369 \)
माध्यक पद \( = \frac{N}{2} = \frac{369}{2} = 184.5 \)
यह 184.5, 212 की संचयी बारम्बारता के अन्तर्गत आता है, जिसका संगत विचर 8.0 में है।
अतः माध्यक \( = 8.0 \) उत्तर
In simple words: To find the median, first calculate the cumulative frequency (c.f.). Then, find \( N/2 \) (half of the total frequency). Look for the cumulative frequency that is just greater than or equal to \( N/2 \). The shoe size corresponding to this cumulative frequency is the median. This value separates the lower half of the data from the upper half.

🎯 Exam Tip: Ensure the data is ordered when calculating cumulative frequencies for the median. A table helps keep track of the c.f. values accurately.

Question 17. क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गये रनों की संख्या निम्न प्रकार है- 57, 17, 26, 91, 115, 26, 83, 41, 57, 0, 26. इसका समान्तर माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए रन: 57, 17, 26, 91, 115, 26, 83, 41, 57, 0, 26.

(i) समान्तर माध्य (Mean):
समान्तर माध्य \( \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \text{x}}{\text{n}} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{57+17+26+91+115+26+83+41+57+0+26}{11} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = \frac{539}{11} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 49 \) रन उत्तर

(ii) माध्यक (Median):
संख्याओं को आरोही क्रम में रखने पर: 0, 17, 26, 26, 26, 41, 57, 57, 83, 91, 115.
कुल रनों की संख्या \( n = 11 \) (विषम संख्या).
माध्यक \( = \left( \frac{n+1}{2} \right) \text{वाँ पद} = \left( \frac{11+1}{2} \right) \text{वाँ पद} = 6 \text{वाँ पद} \)
\( \implies \) माध्यक \( = 41 \) रन

(iii) बहुलक (Mode):
बारम्बारता सारणी:

यहाँ पर बारम्बारता 3 अधिकतम है। इसके संगत विचर का मान 26 है।
अतः बहुलक \( = 26 \) रन उत्तर
In simple words: First, add all the runs and divide by the number of players (11) to get the mean. Next, arrange the runs from smallest to largest and find the middle value, which is the median. Finally, see which run value appears most often; that's the mode.

🎯 Exam Tip: For ungrouped data, always list values in order for median, and count frequencies for mode. Remember to include all data points when calculating the mean.

निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए (प्रश्न 18-19)

Question 18.

Answer: यहाँ बारम्बारता 13, वर्ग अन्तराल (20-30) की सबसे अधिक है। अतः यह बहुलक वर्ग होगा।
बहुलक का सूत्र \( = l + \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \times h \)
यहाँ, \( l = 20 \) (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा)
\( f_1 = 13 \) (बहुलक वर्ग की बारम्बारता)
\( f_0 = 7 \) (बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारम्बारता)
\( f_2 = 9 \) (बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारम्बारता)
\( h = 10 \) (वर्ग अन्तराल की माप)
मान रखने पर:
बहुलक \( = 20 + \frac{13-7}{2 \times 13-7-9} \times 10 \)
\( \implies = 20 + \frac{6}{26-16} \times 10 \)
\( \implies = 20 + \frac{6}{10} \times 10 \)
\( \implies = 20 + 6 \)
\( \implies = 26 \) उत्तर
In simple words: First, find the class interval with the highest frequency, which is the modal class. Then, use the mode formula with the lower limit of the modal class (\( l \)), its frequency (\( f_1 \)), the frequency of the class before it (\( f_0 \)), the frequency of the class after it (\( f_2 \)), and the class size (\( h \)). Calculate the value to get the mode.

🎯 Exam Tip: Correctly identifying \( l, f_0, f_1, f_2 \), and \( h \) is crucial for accurate mode calculation in grouped data. Double-check these values from the frequency table.

Question 19.
Answer: इस प्रश्न के लिए बहुलक वर्ग 40-60 है, क्योंकि इसकी बारम्बारता 24 सबसे अधिक है।
यहां, \( l = 40 \) (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा)
\( f_1 = 24 \) (बहुलक वर्ग की बारम्बारता)
\( f_0 = 15 \) (बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारम्बारता)
\( f_2 = 8 \) (बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारम्बारता)
\( h = 20 \) (वर्ग अन्तराल की माप)
बहुलक का सूत्र \( = l + \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \times h \)
मान रखने पर:
बहुलक \( = 40 + \frac{24-15}{2(24)-15-8} \times 20 \)
\( \implies = 40 + \frac{9}{48-23} \times 20 \)
\( \implies = 40 + \frac{9}{25} \times 20 \)
\( \implies = 40 + 7.2 \)
\( \implies = 47.2 \) उत्तर
In simple words: Identify the class with the highest frequency to find the modal class. Then apply the mode formula, plugging in the values for the lower limit, frequencies of the modal class, preceding class, and succeeding class, along with the class interval size. This will give you the mode of the distribution.

🎯 Exam Tip: Be careful with the order of operations in the mode formula, especially in the denominator. Parentheses ensure correct calculation.

Question 20. समान्तर माध्य की परिभाषा देते हुए इसके किन्हीं दो दोषों को बताइए।
Answer: समान्तर माध्य की परिभाषा: आँकड़ों में दिए गए चर के योगफल को मानों की कुल संख्या से भाग देकर प्राप्त राशि को समान्तर माध्य कहते हैं। इसे औसत भी कहा जाता है।
समान्तर माध्य \( = \frac{\text{आँकड़ों का योग}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)

समान्तर माध्य के दोष:
1. कभी-कभी समान्तर माध्य का मान ऐसा हो सकता है जो वास्तविक रूप से संभव न हो, जैसे परिवार के सदस्यों की संख्या 8.8 या 15.6 होना। यह मूल्य तब अर्थहीन हो सकता है।
2. यदि किसी एक भी मूल्य की जानकारी न हो, तो समान्तर माध्य की गणना करना संभव नहीं है। सभी डेटा बिंदुओं की आवश्यकता होती है।
In simple words: The arithmetic mean is found by adding all the numbers and dividing by how many numbers there are. Two problems with it are: sometimes the average number might not make sense in real life (like having 8.8 family members), and you need to know every single number to calculate it. If even one number is missing, you cannot find the mean.

🎯 Exam Tip: When defining the mean, always state both the summation and division components. For its demerits, think of situations where an average might not be a real data point or when incomplete data makes calculation impossible.

Question 21. माध्यक की प्रमुख उपयोगिता बताइए।
Answer: माध्यक की उपयोगिता:
1. माध्यक गुणात्मक विशेषताओं के अध्ययन के लिए श्रेष्ठ है, जहाँ डेटा को मापा नहीं जा सकता, केवल क्रमबद्ध किया जा सकता है।
2. माध्यक को समझना और गणना करना बहुत सरल और सुविधाजनक है। कभी-कभी इसे केवल देखकर ही ज्ञात किया जा सकता है।
3. माध्यक चरम मानों (बहुत बड़े या बहुत छोटे मूल्यों) से प्रभावित नहीं होता है, जो इसे विषम डेटा सेट के लिए अधिक विश्वसनीय बनाता है।
In simple words: The median is very useful for studying things that can be ranked but not exactly measured, like how happy someone is. It is also easy to understand and find, sometimes just by looking at the data. An extra advantage is that very big or very small numbers in the data do not change the median much.

🎯 Exam Tip: Focus on the advantages of the median over the mean, such as its ease of calculation and resistance to extreme values, especially for qualitative data.

Question. वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
Answer: वर्गीकृत बारम्बारता बंटन से माध्यक (M) ज्ञात करने का सूत्र है:
\( M = l + \left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h \)
जहाँ:
\( l \) = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
\( N \) = कुल बारम्बारता \( (\Sigma f) \)
\( C \) = माध्यक वर्ग से ठीक पहले की संचयी बारम्बारता
\( h \) = माध्यक वर्ग का अन्तराल
\( f \) = माध्यक वर्ग की बारम्बारता
In simple words: The formula for the median of grouped data helps to find the middle value when data is given in ranges. You need the lower limit of the median class (\( l \)), total frequency (\( N \)), cumulative frequency before the median class (\( C \)), frequency of the median class (\( f \)), and the class size (\( h \)). All these parts combine to point to the exact median.

🎯 Exam Tip: Clearly define each term (l, N, C, h, f) in the median formula for grouped data, as understanding each component is key to applying it correctly.

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Question 1. बंटन 1, 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक है
(a) 4
(b) 7
(c) 5
(d) 3
Answer: (d) 3
In simple words: Arrange the numbers in order: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 7. There are 7 numbers, so the middle one is the 4th number. The 4th number is 3, which is the median.

🎯 Exam Tip: For any data set, sorting the numbers from smallest to largest is the essential first step to correctly finding the median.

Question 2. यदि अग्र बंटन का समान्तर माध्य 5 है, तो P का मान है

Answer: समान्तर माध्य \( \overline{X} = 5 \)
सारणी से:
\( \Sigma fx = (2 \times 3) + (4 \times 2) + (6 \times 1) + (P \times 4) \)
\( \implies \Sigma fx = 6 + 8 + 6 + 4P \)
\( \implies \Sigma fx = 20 + 4P \)

\( \Sigma f = 3 + 2 + 1 + 4 \)
\( \implies \Sigma f = 10 \)

समान्तर माध्य का सूत्र \( \overline{X} = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \)
\( \implies 5 = \frac{20 + 4P}{10} \)
\( \implies 50 = 20 + 4P \)
\( \implies 4P = 50 - 20 \)
\( \implies 4P = 30 \)
\( \implies P = \frac{30}{4} \)
\( \implies P = 7.5 \)
In simple words: To find the unknown value P, we use the formula for the mean of grouped data. Multiply each X by its frequency (f) to get 'fx', then sum them all up. Also, sum all the frequencies. Set the given mean equal to the total 'fx' divided by the total 'f' and solve for P.

🎯 Exam Tip: When an unknown variable is present in a frequency distribution, set up the mean formula as an equation and solve for the variable using algebraic steps.

Question 3. किसी बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य 18.2 है। यदि \( \Sigma f = 540 \) हो तो \( \Sigma fx \) का मान होगा।
(a) \( \frac{540}{18.2} \)
(b) \( 18.2 \times 540 \)
(c) 540x
(d) \( \frac{18.2}{540} \)
Answer: (b) \( 18.2 \times 540 \)
In simple words: The mean (average) is calculated by dividing the sum of (frequency times value) by the total frequency. So, if you know the mean and the total frequency, you can find the sum of (frequency times value) by multiplying them.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship: Mean \( = \frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \). From this, \( \Sigma fx \) can be found by multiplying Mean \( \times \Sigma f \).

Question 4. यदि 4, 5, 4, n, 5, 5, 4 की समान्तर माध्य 5 हो तो n का मान होगा
(a) 4
(b) 5
(c) 8
(d) 9
Answer: (a) 4
In simple words: We are given the numbers 4, 5, 4, n, 5, 5, 4 and their average is 5. There are 7 numbers in total. The sum of these numbers is \( 4+5+4+n+5+5+4 = 31+n \). Since the average is 5, the sum must be \( 7 \times 5 = 35 \). So, \( 31+n = 35 \), which means \( n = 4 \).

🎯 Exam Tip: When finding a missing number in a data set with a given mean, calculate the sum of the known numbers and subtract it from the total sum required to achieve that mean.

Question 5. बंटन 1, 9, 4, 5, 11 का माध्यक है
(a) 4
(b) 5
(c) 9
(d) 11
Answer: (b) 5
In simple words: First, arrange the numbers in order from smallest to largest: 1, 4, 5, 9, 11. Since there are 5 numbers (an odd count), the median is the middle number, which is 5.

🎯 Exam Tip: The first step in finding the median for ungrouped data is always to order the observations. Then, easily identify the middle value.

Question 6. पाँच संख्याओं का माध्य 21 है। यदि छठवीं संख्या 33 भी उसमें सम्मिलित कर ली जाये तो समस्त संख्याओं को नया माध्य होगा- .
(a) 9
Answer: पाँच संख्याओं का माध्य \( = 21 \)
पाँच संख्याओं का योग \( = 21 \times 5 = 105 \)
छठवीं संख्या \( = 33 \)
अब कुल संख्याएँ \( = 5 + 1 = 6 \)
छह संख्याओं का कुल योग \( = 105 + 33 = 138 \)
नया माध्य \( = \frac{\text{छह संख्याओं का कुल योग}}{\text{छह संख्याओं की संख्या}} \)
\( \implies = \frac{138}{6} \)
\( \implies = 23 \)
In simple words: If the average of five numbers is 21, their total sum is \( 21 \times 5 = 105 \). If a new number, 33, is added, there are now six numbers, and their new total sum is \( 105+33 = 138 \). To find the new average, divide this new total sum by the new count of numbers, so \( 138 \div 6 = 23 \).

🎯 Exam Tip: When a new data point is added or removed, always recalculate the total sum and the total count before finding the new mean.

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. एक विद्यालय में कार्यरत प्रधानाध्यापक समेत 5 कर्मचारियों का वेतन क्रमशः Rs 8000, Rs 5000, Rs 4000, Rs 2500, Rs 1500 मासिक है। विद्यालय में कार्यरत कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन ज्ञात कीजिये।
Answer: कर्मचारियों का कुल वेतन \( = 8000 + 5000 + 4000 + 2500 + 1500 = Rs 21000 \)
कर्मचारियों की कुल संख्या \( = 5 \)
औसत मासिक वेतन \( = \frac{\text{कुल वेतन}}{\text{कर्मचारियों की संख्या}} = \frac{21000}{5} = Rs 4200 \)
औसत मासिक वेतन वह राशि होती है जो प्रत्येक कर्मचारी को मिलती, यदि कुल वेतन को सभी कर्मचारियों में समान रूप से बांटा जाता।
In simple words: सभी कर्मचारियों के वेतन को जोड़ें और फिर उसे कर्मचारियों की कुल संख्या से भाग दें। यह हमें उनका औसत मासिक वेतन देगा।

🎯 Exam Tip: औसत या माध्य निकालते समय सभी मानों को सही ढंग से जोड़ना और फिर कुल संख्या से भाग देना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 2. प्रथम दस विषम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिये।
Answer: प्रथम दस विषम संख्याएँ हैं: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19।
इन संख्याओं का योग \( = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 \)
कुल संख्याएँ \( = 10 \)
समान्तर माध्य \( = \frac{\text{संख्याओं का योग}}{\text{कुल संख्याएँ}} = \frac{100}{10} = 10 \)
विषम संख्याओं का माध्य निकालने से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि डेटा किस बिंदु पर केंद्रित है।
In simple words: पहली दस विषम संख्याओं को लिखें, उन्हें जोड़ें और फिर इस योग को 10 से भाग दें।

🎯 Exam Tip: विषम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से विभाजित नहीं होतीं, और पहली दस विषम संख्याओं को सही क्रम में लिखना याद रखें.

प्रश्न 4. बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक लिखिए।
Answer: दिए गए बंटन में, संख्या 4 सबसे अधिक बार (3 बार) आती है।
अतः इस बंटन का बहुलक 4 है। बहुलक वह मान होता है जो किसी डेटासेट में सबसे ज़्यादा बार आता है, जिससे हमें डेटा की केंद्रीय प्रवृत्ति का अंदाजा मिलता है।
In simple words: वह संख्या जो दिए गए समूह में सबसे ज्यादा बार आती है, वही बहुलक होती है। यहाँ, संख्या 4 सबसे अधिक बार है।

🎯 Exam Tip: बहुलक ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं को गिनकर देखें कि कौन सी संख्या सबसे ज़्यादा बार दोहराई गई है।

प्रश्न 5. निम्न बंटन का माध्यक लिखिए

Answer: यहाँ, संचयी बारम्बारता (cf) 5 पर, 'X' का मान 6 है। माध्यक वह मान होता है जो क्रमबद्ध डेटासेट को दो बराबर हिस्सों में बांटता है।
अतः माध्यक 6 है।
In simple words: दी गई तालिका में, जब संचयी बारम्बारता 5 है, तो उससे जुड़ा X मान 6 है। यही माध्यक है।

🎯 Exam Tip: माध्यक ज्ञात करने के लिए, संचयी बारम्बारता (cf) को देखें और उस 'cf' के आधे के बराबर या उससे ठीक बड़े मान के संगत 'X' मान को पहचानें।

प्रश्न 6. निम्न बंटन में P का मान लिखिए

Answer: संचयी बारम्बारता (cf) की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक वर्ग की cf पिछली वर्ग की cf और वर्तमान वर्ग की बारम्बारता (f) का योग होती है।
यहाँ, X=20 के लिए cf = 10 है, और X=15 के लिए cf = 7 है।
तो, \( \text{X=20 की cf} = \text{X=15 की cf} + \text{X=20 की f (जो P है)} \)
\( 10 = 7 + P \)
\( P = 10 - 7 \)
\( P = 3 \)
संचयी बारम्बारता को देखकर P का मान ज्ञात करना एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय कौशल है।
In simple words: तालिका में cf मान 10 है और उससे ठीक पहले 7 है। तो, P का मान 10 घटा 7 होगा, जो 3 है।

🎯 Exam Tip: संचयी बारम्बारता हमेशा बढ़ती जाती है, और यह पिछले सभी बारम्बारता मानों का योग होती है।

प्रश्न 8. निम्न तालिका से x का मान लिखिये

Answer: संचयी बारम्बारता (cf) की गणना के नियम के अनुसार, किसी वर्ग की cf उसके पिछले वर्ग की cf और वर्तमान वर्ग की बारम्बारता (f) का योग होती है।
यहाँ, X=30 के लिए संचयी बारम्बारता 'X' है।
पिछला cf (X=20 के लिए) = 10 है।
वर्तमान f (X=30 के लिए) = 16 है।
अतः, \( X = 10 + 16 = 26 \)
संचयी बारम्बारता हमें बताती है कि दिए गए मान तक कुल कितनी बारम्बारताएँ हैं।
In simple words: तालिका में X के मान 30 के लिए cf निकालनी है। उससे पहले की cf 10 है और उसकी अपनी f 16 है। तो X का मान 10 + 16 = 26 होगा।

🎯 Exam Tip: cf की गणना हमेशा पहले cf मान से शुरू करके, प्रत्येक f को जोड़ते हुए आगे बढ़ती है।

प्रश्न 9. यदि 5, 7, 9, x का समान्तर माध्य 9 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: \( \text{माध्य} = \frac{\text{सभी संख्याओं का योग}}{\text{कुल संख्याएँ}} \)
दी गई संख्याएँ हैं: 5, 7, 9, x। इनकी कुल संख्या 4 है।
इनका समान्तर माध्य 9 दिया गया है।
अतः, \( 9 = \frac{5+7+9+x}{4} \)
\( 9 \times 4 = 21 + x \)
\( 36 = 21 + x \)
\( x = 36 - 21 \)
\( x = 15 \)
माध्य का उपयोग करके अज्ञात मान ज्ञात करना सांख्यिकी में एक आम समस्या है।
In simple words: सभी संख्याओं को जोड़ें और x को उसमें शामिल करें। इस योग को 4 से भाग दें और इसे 9 के बराबर रखें। फिर x का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: समान्तर माध्य के सूत्र को सही ढंग से लागू करना और बीजगणित के नियमों का पालन करके x का मान निकालना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 11. बहुलक के किसी प्रश्न को हल करने की एक स्थिति निम्न है
\( Z = 18 + \frac{15-8}{30-8-7} \times 5 \)
बहुलक वर्ग की बारम्बारता लिखिए।
Answer: दिए गए बहुलक के सूत्र में, \( Z = l + \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \times h \)
इस सूत्र की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर: \( Z = 18 + \frac{15-8}{30-8-7} \times 5 \)
हमें मिलता है: \( f_1 = 15 \)
बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f_1 \) होती है। इस प्रकार, बहुलक वर्ग की बारम्बारता 15 है। यह बारम्बारता सबसे अधिक होती है, जिससे बहुलक वर्ग निर्धारित होता है।
In simple words: बहुलक के सूत्र में, अंश में पहला नंबर (f1) बहुलक वर्ग की बारम्बारता होती है। दिए गए समीकरण में, यह मान 15 है।

🎯 Exam Tip: बहुलक के सूत्र के सभी घटकों (l, f1, f0, f2, h) को ठीक से पहचानना सीखें, खासकर जब वे संख्यात्मक मानों के साथ दिए गए हों।

प्रश्न 12. प्रथम पाँच सम संख्याओं का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रथम पाँच सम संख्याएँ हैं: 2, 4, 6, 8, 10।
इन संख्याओं का योग \( = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 \)
कुल संख्याएँ \( = 5 \)
समान्तर माध्य \( = \frac{\text{संख्याओं का योग}}{\text{कुल संख्याएँ}} = \frac{30}{5} = 6 \)
सम संख्याओं का माध्य निकालने से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि इन संख्याओं का औसत क्या है।
In simple words: पहली पाँच सम संख्याओं को लिखें, उन्हें जोड़ें और फिर इस योग को 5 से भाग दें।

🎯 Exam Tip: सम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से पूरी तरह विभाजित होती हैं, और सुनिश्चित करें कि आप पहली पाँच सम संख्याओं को सही ढंग से पहचानें।

प्रश्न 13. बंटन 1, 6, 3, 5, 7, 9, 11, 4, 9 का माध्यक तथा बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
**माध्यक:**
पहले संख्याओं को आरोही क्रम (छोटे से बड़े) में व्यवस्थित करें:
1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 11
कुल पदों की संख्या (n) \( = 9 \) है, जो कि एक विषम संख्या है।
विषम संख्या के लिए माध्यक का सूत्र है: \( \text{माध्यक} = \left(\frac{n+1}{2}\right) \)वाँ पद
\( = \left(\frac{9+1}{2}\right) \)वाँ पद
\( = \frac{10}{2} \)वाँ पद
\( = 5 \)वाँ पद
आरोही क्रम में 5वाँ पद 6 है। अतः माध्यक \( = 6 \)। माध्यक हमें डेटासेट के मध्य बिंदु को बताता है।

**बहुलक:**
बहुलक वह मान है जो बंटन में सबसे अधिक बार आता है।
दिए गए बंटन में, संख्या 9 दो बार आती है, जो किसी भी अन्य संख्या से अधिक है।
अतः बहुलक \( = 9 \)। बहुलक डेटा में सबसे सामान्य मान को दर्शाता है।
In simple words: संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ, बीच वाली संख्या माध्यक होगी। फिर देखें कौन सी संख्या सबसे ज़्यादा बार आई है, वह बहुलक होगी।

🎯 Exam Tip: माध्यक निकालते समय डेटा को हमेशा आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना याद रखें। बहुलक के लिए, बस सबसे अधिक बार आने वाली संख्या की पहचान करें।

प्रश्न 14. निम्न संचयी बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

Answer: बहुलक वह मान होता है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक होती है।
दी गई तालिका में, X का मान 5 की बारम्बारता (f) 4 है, जो सभी अन्य बारम्बारताओं में सबसे अधिक है।
अतः इस बंटन का बहुलक \( = 5 \)। बारम्बारता बंटन में बहुलक को सीधे बारम्बारता देखकर पहचाना जा सकता है।
In simple words: तालिका में देखें कि किस X मान के लिए 'f' (बारम्बारता) सबसे बड़ी है। वह X मान ही बहुलक होगा। यहाँ, f का सबसे बड़ा मान 4 है, जिसके लिए X का मान 5 है।

🎯 Exam Tip: संचयी बारम्बारता बंटन में बहुलक ज्ञात करने के लिए, पहले बारम्बारता (f) कॉलम को सही ढंग से देखना सुनिश्चित करें, न कि संचयी बारम्बारता (cf) को।

प्रश्न 15. बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक ज्ञात कीजिए।
Answer: पहले संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
1, 2, 3, 4, 5, 7
कुल पदों की संख्या (n) \( = 6 \) है, जो कि एक सम संख्या है।
सम संख्या के लिए माध्यक का सूत्र है: \( \text{माध्यक} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद} + \left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{\left(\frac{6}{2}\right)\text{वाँ पद} + \left(\frac{6}{2}+1\right)\text{वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{3\text{वाँ पद} + 4\text{वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में 3वाँ पद 3 है और 4वाँ पद 4 है।
\( = \frac{3+4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \)
माध्यक हमें डेटासेट का केंद्रीय मूल्य देता है, जो यहाँ 3.5 है।
In simple words: संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लगाएँ। क्योंकि कुल 6 संख्याएँ हैं, बीच की दो संख्याएँ (तीसरी और चौथी) को जोड़कर 2 से भाग दें।

🎯 Exam Tip: सम संख्या में डेटा मानों के लिए, बीच के दो मानों का माध्यक लेने की विधि को याद रखें।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. यदि x, x + 2, x +4, x + 6, x + 8 का समान्तर माध्य 11 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने का सूत्र है: \( \text{माध्य} = \frac{\text{सभी संख्याओं का योग}}{\text{कुल संख्याएँ}} \)
दी गई संख्याएँ हैं: x, x+2, x+4, x+6, x+8। इनकी कुल संख्या 5 है।
इनका समान्तर माध्य 11 दिया गया है।
अतः, \( 11 = \frac{x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8)}{5} \)
\( 11 = \frac{5x + (2+4+6+8)}{5} \)
\( 11 = \frac{5x + 20}{5} \)
दोनों तरफ 5 से गुणा करने पर:
\( 11 \times 5 = 5x + 20 \)
\( 55 = 5x + 20 \)
\( 5x = 55 - 20 \)
\( 5x = 35 \)
\( x = \frac{35}{5} \)
\( x = 7 \)
माध्य से अज्ञात मान ज्ञात करना सांख्यिकीय डेटा विश्लेषण का एक मूलभूत भाग है।
In simple words: सभी दिए गए मानों को जोड़ें, जिसमें x भी शामिल है। कुल 5 संख्याएँ हैं, इसलिए योग को 5 से भाग दें और इसे 11 के बराबर रखें। फिर x का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों का योग करते समय, समान पदों को एक साथ जोड़ना और समीकरणों को सावधानी से हल करना याद रखें।

प्रश्न 3. बंटन 52, 20, 34, 19, 35, 80, 12, 50, 80 का समान्तर माध्य एवं माध्यक ज्ञात कीजिए।
Answer:
**समान्तर माध्य:**
सभी मानों का योग \( = 52 + 20 + 34 + 19 + 35 + 80 + 12 + 50 + 80 = 382 \)
कुल मानों की संख्या \( = 9 \)
समान्तर माध्य \( = \frac{\text{मानों का योग}}{\text{कुल संख्याएँ}} = \frac{382}{9} \approx 42.44 \) (लगभग)
समान्तर माध्य हमें सभी मानों के औसत को बताता है।

**माध्यक:**
पहले मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
12, 19, 20, 34, 35, 50, 52, 80, 80
कुल मानों की संख्या (n) \( = 9 \) है, जो कि एक विषम संख्या है।
माध्यक \( = \left(\frac{n+1}{2}\right) \)वाँ पद
\( = \left(\frac{9+1}{2}\right) \)वाँ पद
\( = 5 \)वाँ पद
आरोही क्रम में 5वाँ पद 35 है। अतः माध्यक \( = 35 \)। माध्यक डेटासेट का मध्य मान दर्शाता है।
In simple words: सभी संख्याओं को जोड़कर उनकी गिनती से भाग दें, यह समान्तर माध्य है। संख्याओं को क्रम से लगाएँ, बीच वाली संख्या माध्यक होगी।

🎯 Exam Tip: माध्यक के लिए संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना न भूलें। समान्तर माध्य के लिए योग और भागफल की गणना सही ढंग से करें।

प्रश्न 4. आरोही क्रम में व्यवस्थित चर मान (x) निम्नानुसार है- 8 11 12 16 16 + x 20 25 30 यदि माध्यक 18 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिए गए चर मान आरोही क्रम में हैं:
8, 11, 12, 16, \( 16+x \), 20, 25, 30
कुल चर मानों की संख्या (n) \( = 8 \) है, जो कि एक सम संख्या है।
माध्यक \( = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ पद} + \left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{\left(\frac{8}{2}\right)\text{वाँ पद} + \left(\frac{8}{2}+1\right)\text{वाँ पद}}{2} \)
\( = \frac{4\text{वाँ पद} + 5\text{वाँ पद}}{2} \)
आरोही क्रम में 4वाँ पद 16 है और 5वाँ पद \( 16+x \) है।
माध्यक 18 दिया गया है।
अतः, \( 18 = \frac{16 + (16+x)}{2} \)
\( 18 \times 2 = 32 + x \)
\( 36 = 32 + x \)
\( x = 36 - 32 \)
\( x = 4 \)
माध्यक हमें डेटासेट के मध्य मान की जानकारी देता है, जिसका उपयोग अज्ञात चर को खोजने के लिए किया जा सकता है।
In simple words: कुल 8 संख्याएँ हैं, इसलिए बीच की दो संख्याएँ (16 और 16+x) को जोड़कर 2 से भाग दें। इसे 18 के बराबर रखें और x का मान ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सम संख्या में डेटा मानों के लिए माध्यक की गणना करते समय, बीच के दो मानों की पहचान करें और उनका औसत लें।

प्रश्न 2. निम्न बारम्बारता बंटन का पद विचलन विधि से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए-

Answer: पद विचलन विधि से समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम निम्न सारणी बनाते हैं, जहाँ कल्पित माध्य (A) 65 और वर्ग अंतराल (h) 10 है।

योग:
\( \Sigma f_i = 100 \)
\( \Sigma f_i u_i = -20 - 25 + 0 + 12 + 20 + 45 = 32 \)

पद विचलन विधि से समान्तर माध्य का सूत्र है:
\( \overline{X} = A + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( \overline{X} = 65 + \left(\frac{32}{100}\right) \times 10 \)
\( \overline{X} = 65 + 0.32 \times 10 \)
\( \overline{X} = 65 + 3.2 \)
\( \overline{X} = 68.2 \)
पद विचलन विधि, बड़ी संख्याओं वाले डेटा के लिए गणना को आसान बनाती है।
In simple words: पहले मध्यमान (xi) और ui निकालें। फिर fi और ui को गुणा करके जोड़ें। इसके बाद, कुल fi से भाग दें, वर्ग अंतराल से गुणा करें, और कल्पित माध्य में जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: पद विचलन विधि में कल्पित माध्य (A) और वर्ग अंतराल (h) को सही ढंग से चुनना गणना को सरल बनाने में मदद करता है। \( u_i \) के मानों को सही ढंग से गणना करें।

प्रश्न 3. नीचे सारणी में कुछ विशेष क्षेत्र के गाँवों की समुद्रतल से ऊँचाई दे रखी है। उस क्षेत्र की समुद्र तल से माध्य ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Answer: समुद्र तल से माध्य ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम पद विचलन विधि का उपयोग करते हैं। यहाँ कल्पित माध्य (A) \( = 1000 \) और वर्ग अंतराल (h) \( = 400 \) (जो कि \( x_i \) मानों के बीच का अंतर है)।
हम निम्न सारणी बनाते हैं:

योग:
\( \Sigma f_i = 142 + 265 + 560 + 271 + 89 + 16 = 1343 \)
\( \Sigma f_i u_i = -284 - 265 + 0 + 271 + 178 + 48 = -528 + 497 = -52 + 54 = -52 \)

पद विचलन विधि से समान्तर माध्य का सूत्र है:
\( \overline{X} = A + \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( \overline{X} = 1000 + \left(\frac{-52}{1343}\right) \times 400 \)
\( \overline{X} = 1000 - \frac{20800}{1343} \)
\( \overline{X} \approx 1000 - 15.488 \)
\( \overline{X} \approx 984.512 \) (लगभग)
इस प्रकार, क्षेत्र की माध्य ऊँचाई लगभग 984.512 मीटर है, जो केंद्रीय प्रवृत्ति को दर्शाता है।
In simple words: दी गई ऊँचाई (xi) और गाँवों की संख्या (fi) का उपयोग करके एक सारणी बनाएँ। इसमें ui और fi*ui की गणना करें। फिर fi*ui के योग को fi के योग से भाग दें, उसे h (वर्ग अंतराल) से गुणा करें और A (कल्पित माध्य) में जोड़ दें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप कल्पित माध्य (A) और वर्ग अंतराल (h) को सही ढंग से चुनें। नकारात्मक \( f_i u_i \) मानों को सही ढंग से जोड़ें और घटाएँ।

प्रश्न 4. निम्न समूहित बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-

Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए, पहले हम संचयी बारम्बारता (cf) सारणी बनाते हैं।

कुल बारम्बारता \( \Sigma f = N = 100 \)
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम \( \frac{N}{2} \) की गणना करते हैं:
\( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
संचयी बारम्बारता कॉलम में, 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 62 है। इसके संगत वर्ग अंतराल 16-24 है।
अतः माध्यक वर्ग \( = 16-24 \)।

माध्यक वर्ग के लिए:
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 16 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 30 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 32 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 8 \)

माध्यक का सूत्र है:
\( M = l + \left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 16 + \left(\frac{50-32}{30}\right) \times 8 \)
\( M = 16 + \left(\frac{18}{30}\right) \times 8 \)
\( M = 16 + \frac{3 \times 6}{5 \times 6} \times 8 \)
\( M = 16 + \frac{3}{5} \times 8 \)
\( M = 16 + \frac{24}{5} \)
\( M = 16 + 4.8 \)
\( M = 20.8 \)
माध्यक, समूहित डेटासेट के मध्य बिंदु को प्रदान करता है, जो केंद्रीय प्रवृत्ति का एक महत्वपूर्ण माप है।
In simple words: पहले cf (संचयी बारम्बारता) निकालें। फिर \( N/2 \) का मान ज्ञात करें और उस cf के संगत माध्यक वर्ग चुनें। माध्यक वर्ग की निम्न सीमा, बारम्बारता, और पिछले वर्ग की cf का उपयोग करके माध्यक सूत्र से गणना करें।

🎯 Exam Tip: माध्यक वर्ग को सही ढंग से पहचानना सबसे महत्वपूर्ण कदम है। सभी मानों को सूत्र में रखने से पहले उनकी पहचान सुनिश्चित करें।

प्रश्न 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए

Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए, पहले हम संचयी बारम्बारता (cf) सारणी बनाते हैं।

कुल बारम्बारता \( \Sigma f = N = 100 \)
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम \( \frac{N}{2} \) की गणना करते हैं:
\( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
संचयी बारम्बारता कॉलम में, 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 70 है। इसके संगत वर्ग अंतराल 40-55 है।
अतः माध्यक वर्ग \( = 40-55 \)।

माध्यक वर्ग के लिए:
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 40 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 44 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 26 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 15 \)

माध्यक का सूत्र है:
\( M = l + \left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 40 + \left(\frac{50-26}{44}\right) \times 15 \)
\( M = 40 + \left(\frac{24}{44}\right) \times 15 \)
\( M = 40 + \frac{6 \times 4}{11 \times 4} \times 15 \)
\( M = 40 + \frac{6}{11} \times 15 \)
\( M = 40 + \frac{90}{11} \)
\( M \approx 40 + 8.18 \)
\( M \approx 48.18 \)
माध्यक का यह मान डेटा के मध्य बिंदु को सटीक रूप से दर्शाता है।
In simple words: पहले संचयी बारम्बारता (cf) सारणी बनाएँ। \( N/2 \) का मान निकालें, और उस मान से ठीक बड़ी cf वाला वर्ग माध्यक वर्ग होगा। फिर माध्यक के सूत्र में मान रखकर गणना करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप वर्ग अंतराल की चौड़ाई (h) को सही ढंग से गणना करें, खासकर जब वर्ग अंतराल असमान हों।

प्रश्न 6. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए

Answer: बहुलक ज्ञात करने के लिए, हम उस वर्ग अंतराल को पहचानते हैं जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक हो।
यहाँ, सबसे अधिक बारम्बारता 25 है, जो वर्ग अंतराल 60-65 के संगत है।
अतः बहुलक वर्ग \( = 60-65 \)।

बहुलक वर्ग के लिए:
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 60 \)
बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 25 \)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारम्बारता \( f_0 = 20 \)
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 10 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 5 \)

बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( \text{बहुलक} = 60 + \left(\frac{25 - 20}{2 \times 25 - 20 - 10}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 60 + \left(\frac{5}{50 - 30}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 60 + \left(\frac{5}{20}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 60 + \frac{1}{4} \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 60 + 1.25 \)
\( \text{बहुलक} = 61.25 \)
यह मान दर्शाता है कि डेटासेट में सबसे अधिक बारंबारता 61.25 के आसपास केंद्रित है।
In simple words: सबसे ज्यादा छात्र संख्या वाला वर्ग चुनें। यह आपका बहुलक वर्ग है। फिर, बहुलक सूत्र में उस वर्ग की निम्न सीमा (l), उसकी बारम्बारता (f1), उससे पहले की बारम्बारता (f0), उसके बाद की बारम्बारता (f2), और वर्ग अंतराल (h) के मान रखकर गणना करें।

🎯 Exam Tip: बहुलक वर्ग की पहचान सही ढंग से करें और \( f_1, f_0, f_2 \) मानों को सूत्र में ठीक से रखें ताकि कोई गलती न हो।

प्रश्न 7. निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए

Answer: बहुलक ज्ञात करने के लिए, हम उस वर्ग अंतराल को पहचानते हैं जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक हो।
यहाँ, सबसे अधिक बारम्बारता 39 है, जो वर्ग अंतराल 15-20 के संगत है।
अतः बहुलक वर्ग \( = 15-20 \)।

बहुलक वर्ग के लिए:
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 15 \)
बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 39 \)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारम्बारता \( f_0 = 16 \)
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 12 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 5 \)

बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( \text{बहुलक} = 15 + \left(\frac{39 - 16}{2 \times 39 - 16 - 12}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 15 + \left(\frac{23}{78 - 28}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 15 + \left(\frac{23}{50}\right) \times 5 \)
\( \text{बहुलक} = 15 + \frac{23}{10} \)
\( \text{बहुलक} = 15 + 2.3 \)
\( \text{बहुलक} = 17.3 \)
इस प्रकार, दिए गए बंटन का बहुलक 17.3 है, जो सर्वाधिक बारम्बारता वाले वर्ग का प्रतिनिधि मान है।
In simple words: सबसे बड़ी बारम्बारता (f1) वाला वर्ग ढूँढें। यह आपका बहुलक वर्ग है। फिर, बहुलक के सूत्र में l, f1, f0, f2, और h के मानों को सही जगह पर रखकर गणना करें।

🎯 Exam Tip: गणना करते समय \( 2f_1 - f_0 - f_2 \) हर को सावधानी से हल करें, क्योंकि इसमें अक्सर गलती होने की संभावना होती है।

प्रश्न 8. निम्न बारम्बारता बंटन के माध्य व माध्यिका ज्ञात कीजिए

Answer: माध्य व माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम निम्न सारणी बनाते हैं:

योग:
\( \Sigma f_i = N = 157 \)
\( \Sigma f_i x_i = 168 + 360 + 1000 + 616 + 288 + 220 = 2652 \)

**माध्य (Mean):**
माध्य का सूत्र है: \( \overline{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} \)
मान रखने पर:
\( \overline{X} = \frac{2652}{157} \approx 16.89 \)

**माध्यिका (Median):**
माध्यक वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम \( \frac{N}{2} \) की गणना करते हैं:
\( \frac{N}{2} = \frac{157}{2} = 78.5 \)
संचयी बारम्बारता कॉलम में, 78.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 122 है। इसके संगत वर्ग अंतराल 16-24 है।
अतः माध्यक वर्ग \( = 16-24 \)।

माध्यक वर्ग के लिए:
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 16 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 50 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 72 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 8 \)

माध्यक का सूत्र है:
\( M = l + \left(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 16 + \left(\frac{78.5-72}{50}\right) \times 8 \)
\( M = 16 + \left(\frac{6.5}{50}\right) \times 8 \)
\( M = 16 + \frac{52}{50} \)
\( M = 16 + 1.04 \)
\( M = 17.04 \)
माध्य और माध्यिका दोनों ही केंद्रीय प्रवृत्ति के माप हैं, लेकिन वे डेटासेट के वितरण के बारे में अलग-अलग जानकारी देते हैं।
In simple words: माध्य के लिए, xi और fi*xi की गणना करें, फिर fi*xi के योग को fi के योग से भाग दें। माध्यिका के लिए, cf निकालें, \( N/2 \) के आधार पर माध्यक वर्ग चुनें, और सूत्र में मान रखकर गणना करें।

🎯 Exam Tip: माध्य और माध्यिका दोनों की गणना के लिए सारणी को ध्यान से बनाएँ। माध्यिका के लिए \( N/2 \) से ठीक बड़ी cf वाला वर्ग चुनना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 9. निम्न बारम्बारता बंटन के माध्य व बहुलक ज्ञात कीजिए

Answer: माध्य व बहुलक ज्ञात करने के लिए, हम निम्न सारणी बनाते हैं:

योग:
\( \Sigma f_i = N = 4 + 28 + 42 + 20 + 6 = 100 \)
\( \Sigma f_i x_i = 100 + 980 + 1890 + 1100 + 390 = 4460 \)

**माध्य (Mean):**
माध्य का सूत्र है: \( \overline{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} \)
मान रखने पर:
\( \overline{X} = \frac{4460}{100} = 44.60 \)

**बहुलक (Mode):**
सबसे अधिक बारम्बारता 42 है, जो वर्ग अंतराल 40-50 के संगत है।
अतः बहुलक वर्ग \( = 40-50 \)।

बहुलक वर्ग के लिए:
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा \( l = 40 \)
बहुलक वर्ग की बारम्बारता \( f_1 = 42 \)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले के वर्ग की बारम्बारता \( f_0 = 28 \)
बहुलक वर्ग के ठीक बाद के वर्ग की बारम्बारता \( f_2 = 20 \)
वर्ग अंतराल की चौड़ाई \( h = 10 \)

बहुलक का सूत्र है:
\( \text{बहुलक} = l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h \)
मान रखने पर:
\( \text{बहुलक} = 40 + \left(\frac{42 - 28}{2 \times 42 - 28 - 20}\right) \times 10 \)
\( \text{बहुलक} = 40 + \left(\frac{14}{84 - 48}\right) \times 10 \)
\( \text{बहुलक} = 40 + \left(\frac{14}{36}\right) \times 10 \)
\( \text{बहुलक} = 40 + \frac{140}{36} \)
\( \text{बहुलक} \approx 40 + 3.89 \)
\( \text{बहुलक} \approx 43.89 \)
माध्य और बहुलक दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति के महत्वपूर्ण माप हैं, जो डेटासेट के वितरण के विभिन्न पहलुओं को उजागर करते हैं।
In simple words: माध्य के लिए, xi और fi*xi निकालें, फिर उनके योग से माध्य ज्ञात करें। बहुलक के लिए, सबसे बड़ी बारम्बारता वाला वर्ग चुनें, और बहुलक के सूत्र में l, f1, f0, f2, और h के मान रखकर गणना करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप माध्य और बहुलक दोनों के लिए सही सूत्र लागू करें। बहुलक की गणना में, हर में \( 2f_1 - f_0 - f_2 \) का मान कभी-कभी नकारात्मक हो सकता है, लेकिन यह समस्या में नहीं होना चाहिए।

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