NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 18 प्रायिकता
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 18 प्रायिकता
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प्रायिकता Ex 18.1
Question 1. एक पासे को फेंकने पर 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: एक पासे पर कुल 6 अलग-अलग परिणाम आ सकते हैं, जो {1, 2, 3, 4, 5, 6} हैं। इनमें से, 4 से बड़े अंक केवल 5 और 6 हैं, तो अनुकूल परिणाम 2 हुए। प्रायिकता निकालने के लिए, अनुकूल परिणामों को कुल परिणामों से भाग देते हैं। इसलिए, प्रायिकता \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) है। यह प्रायिकता बताती है कि 4 से बड़ा अंक आने का कितना मौका है।
In simple words: एक पासे पर 4 से बड़े अंक (5 और 6) आने की संभावना \( \frac{1}{3} \) है।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है। 0 मतलब असंभव, और 1 मतलब निश्चित।
Question 2. एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। दोनों बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो कुल 4 संभावित परिणाम मिलते हैं: HH (दोनों चित्त), HT (चित्त और पट), TH (पट और चित्त), TT (दोनों पट)। दोनों बार चित्त (HH) आने का अनुकूल परिणाम केवल 1 है। इसलिए, प्रायिकता \( \frac{1}{4} \) है। यह प्रायिकता दर्शाती है कि दो बार सिक्का उछालने पर दोनों बार चित्त आने का मौका कितना कम है।
In simple words: एक सिक्के को दो बार उछालने पर दोनों बार चित्त (हेड) आने की संभावना \( \frac{1}{4} \) होती है।
🎯 Exam Tip: सभी संभावित परिणामों की सूची बनाना, जैसे HH, HT, TH, TT, इस तरह के प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।
Question 3. 1 से 17 तक की प्राकृत संख्याओं में से एक संख्या का यादृच्छिक चयन किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह एक अभाज्य संख्या हो।
Answer: 1 से 17 तक की कुल प्राकृत संख्याएँ 17 हैं। 1 से 17 के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13 और 17। इन अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या 7 है। प्रायिकता निकालने के लिए, अनुकूल परिणामों (अभाज्य संख्याएँ) को कुल परिणामों (कुल संख्याएँ) से भाग देते हैं। इसलिए, एक अभाज्य संख्या चुनने की प्रायिकता \( \frac{7}{17} \) होगी। अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जो केवल 1 से और खुद से ही पूरी तरह से विभाजित होती हैं।
In simple words: 1 से 17 तक की संख्याओं में से एक अभाज्य संख्या चुनने की संभावना 7/17 है, क्योंकि 1 से 17 के बीच 7 अभाज्य संख्याएँ हैं।
🎯 Exam Tip: अभाज्य संख्याओं की सूची बनाते समय, 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है, और 2 ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
Question 5. एक अलीप वर्ष में केवल 52 रविवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: एक सामान्य वर्ष (अलीप वर्ष) में 365 दिन होते हैं, जिसका मतलब है 52 पूरे सप्ताह और 1 अतिरिक्त दिन। इस तरह, 52 रविवार तो हर सामान्य वर्ष में निश्चित रूप से आते हैं। वह बचा हुआ एक अतिरिक्त दिन सप्ताह के किसी भी दिन (सोमवार, मंगलवार, बुधवार, बृहस्पतिवार, शुक्रवार, शनिवार या रविवार) में से हो सकता है, यानी 7 संभावित परिणाम। साल में केवल 52 रविवार होने के लिए, वह अतिरिक्त दिन रविवार नहीं होना चाहिए। ऐसे 6 अनुकूल परिणाम हैं (सोमवार, मंगलवार, बुधवार, बृहस्पतिवार, शुक्रवार, शनिवार)। इसलिए, इसकी प्रायिकता \( \frac{6}{7} \) है। अगर वह अतिरिक्त दिन रविवार हो जाए, तो उस साल में 53 रविवार हो जाएंगे।
In simple words: एक सामान्य वर्ष में 52 रविवार और एक अतिरिक्त दिन होता है। अगर वह अतिरिक्त दिन रविवार न हो, तो साल में सिर्फ 52 रविवार होंगे, जिसकी संभावना \( \frac{6}{7} \) है।
🎯 Exam Tip: लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं, यानी 52 सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन, जिससे ऐसे सवालों में प्रायिकता बदल जाती है।
Question 6. यदि P(A) = 0.65 है तो A नहीं की प्रायिकता क्या है?
Answer: हम जानते हैं कि किसी घटना के होने की प्रायिकता (P(A)) और उसके न होने की प्रायिकता (P(A नहीं), जिसे \( P(\overline{A}) \) भी कहते हैं) का जोड़ हमेशा 1 होता है। दिया गया है कि P(A) = 0.65 है। तो, P(A नहीं) = \( 1 - P(A) = 1 - 0.65 = 0.35 \) होगा। यह नियम हमें यह समझने में मदद करता है कि कुल संभावना हमेशा 1 के बराबर होती है।
In simple words: अगर किसी घटना के होने की संभावना 0.65 है, तो उसके न होने की संभावना 1 में से 0.65 घटाकर निकाली जाती है, जो कि 0.35 है।
🎯 Exam Tip: यह सूत्र \( P(A) + P(\overline{A}) = 1 \) प्रायिकता के बुनियादी सिद्धांतों में से एक है और अक्सर इस्तेमाल होता है।
Question 8. एक पासे को दो बार उछाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि संख्याओं का योग
(i) 9 है।
(ii) 13 है।
Answer: जब दो पासे उछाले जाते हैं, तो हर पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या आ सकती है। इस तरह, कुल संभव परिणाम \( 6 \times 6 = 36 \) होते हैं। संभावित परिणामों को नीचे दी गई सारणी में देखा जा सकता है:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
(i) संख्याओं का योग 9 होने के लिए, अनुकूल परिणाम (3, 6), (6, 3), (4, 5), और (5, 4) हैं। ऐसे कुल 4 परिणाम हैं। इसलिए, इसकी प्रायिकता \( \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \) है।
(ii) संख्याओं का योग 13 होने के लिए, कोई भी अनुकूल परिणाम नहीं है, क्योंकि दो पासों पर अधिकतम योग \( 6 + 6 = 12 \) ही हो सकता है। इसलिए, इसकी प्रायिकता \( \frac{0}{36} = 0 \) है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि हर परिणाम (जैसे (1, 4) और (4, 1)) को अलग माना जाता है क्योंकि पासे अलग होते हैं।
In simple words: दो पासे उछालने पर कुल 36 तरीके होते हैं। योग 9 होने की संभावना 4/36 या 1/9 है। योग 13 होने की संभावना 0 है, क्योंकि अधिकतम योग 12 ही हो सकता है।
🎯 Exam Tip: जब दो पासे उछाले जाते हैं, तो परिणामों को लिखने का सबसे अच्छा तरीका एक तालिका बनाना है ताकि कोई भी संयोजन छूटे नहीं।
Question 9. एक थैले में 5 लाल और 3 सफेद गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि गेंद
(i) सफेद हो?
(ii) सफेद नहीं हो?
Answer: थैले में 5 लाल और 3 सफेद गेंदें हैं, तो कुल गेंदें \( 5 + 3 = 8 \) हैं।
(i) एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता सफेद गेंदों की संख्या को कुल गेंदों की संख्या से भाग देने पर मिलेगी, जो कि \( \frac{3}{8} \) है।
(ii) गेंद के सफेद न होने की प्रायिकता को 1 में से सफेद गेंद होने की प्रायिकता घटाकर निकाला जा सकता है। तो, P(सफेद नहीं) = \( 1 - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8} \) होगा। सफेद न होने का मतलब है कि गेंद लाल होगी, और लाल गेंदों की संख्या 5 है, इसलिए यह प्रायिकता 5/8 भी बताती है।
In simple words: एक थैले में कुल 8 गेंदें हैं (5 लाल, 3 सफेद)। सफेद गेंद निकालने की संभावना 3/8 है। सफेद गेंद न निकालने की संभावना 1 - 3/8 = 5/8 है।
🎯 Exam Tip: किसी घटना के न होने की प्रायिकता हमेशा 1 में से उस घटना के होने की प्रायिकता घटाकर निकाली जाती है।
Question 10. किसी कारण 12 खराब पेन, 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। यदि एक पेन यादृच्छया चुना जाता है तो इसके अच्छे होने की क्या प्रायिकता हैं?
Answer: पेन के समूह में कुल पेन अच्छे और खराब पेनों को जोड़कर निकलते हैं: \( 132 + 12 = 144 \) पेन। अच्छे पेनों की संख्या 132 है। एक अच्छा पेन चुनने की प्रायिकता अच्छे पेनों की संख्या को कुल पेनों की संख्या से भाग देने पर मिलेगी। तो, प्रायिकता \( \frac{132}{144} \) है। इस भिन्न को 12 से भाग देकर सरल किया जा सकता है, जिससे \( \frac{11}{12} \) मिलता है। यह प्रायिकता दिखाती है कि अच्छे पेन मिलने की संभावना काफी अधिक है।
In simple words: कुल 144 पेन हैं (132 अच्छे, 12 खराब)। एक अच्छा पेन चुनने की संभावना 132/144 है, जिसे सरल करके 11/12 लिखा जा सकता है।
🎯 Exam Tip: प्रायिकता के सवालों में भिन्नों को हमेशा सरलतम रूप में लिखें ताकि उत्तर स्पष्ट हो।
Question 11. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(i) लाल रंग का गुलाम
(ii) लाल रंग का पत्ता
(iii) पान का इक्का
(iv) ईंट की बेगम
(v) हुकुम का पत्ता।
Answer: एक अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं।
(i) एक गड्डी में लाल रंग के 2 गुलाम होते हैं (एक पान का, एक ईंट का)। इसलिए, लाल रंग का गुलाम मिलने की प्रायिकता \( \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \) है।
(ii) एक गड्डी में कुल 26 लाल पत्ते होते हैं (13 पान के, 13 ईंट के)। इसलिए, लाल रंग का पत्ता मिलने की प्रायिकता \( \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \) है।
(iii) एक गड्डी में पान का इक्का केवल 1 होता है। इसलिए, पान का इक्का मिलने की प्रायिकता \( \frac{1}{52} \) है।
(iv) एक गड्डी में ईंट की बेगम केवल 1 होती है। इसलिए, ईंट की बेगम मिलने की प्रायिकता \( \frac{1}{52} \) है।
(v) एक गड्डी में हुकुम के 13 पत्ते होते हैं। इसलिए, हुकुम का पत्ता मिलने की प्रायिकता \( \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \) है। ताश की गड्डी में 4 सूट होते हैं: हुकुम, चिड़ी, पान और ईंट, और हर सूट में 13 पत्ते होते हैं।
In simple words: 52 पत्तों की गड्डी में लाल गुलाम 2/52 (1/26), लाल पत्ते 26/52 (1/2), पान का इक्का 1/52, ईंट की बेगम 1/52, और हुकुम का पत्ता 13/52 (1/4) मिलने की संभावना है।
🎯 Exam Tip: ताश की गड्डी के पत्तों की संख्या और उनके प्रकार (सूट, रंग, फेस कार्ड) को याद रखना प्रायिकता के ऐसे सवालों में बहुत उपयोगी होता है।
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Mathematics Class 10 Curriculum Solutions: Chapter 18 प्रायिकता
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