Download RBSE Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप
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प्रश्न 1. 100 छात्रों के प्राप्तांक निम्न सारणी में दिये गए हैं। इनसे माध्यक ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 6 | 20 | 44 | 26 | 3 | 1 |
Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए, हमें पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनानी होगी। संचयी बारम्बारता हमें यह बताती है कि एक निश्चित वर्ग तक कितने छात्र हैं।
| वर्ग | \( f \) (बारम्बारता) | संचयी बारम्बारता (c.f.) |
|---|---|---|
| 20-30 | 6 | 6 |
| 30-40 | 20 | 26 |
| 40-50 | 44 | 70 |
| 50-60 | 26 | 96 |
| 60-70 | 3 | 99 |
| 70-80 | 1 | 100 |
यहाँ कुल बारम्बारता \( N = 100 \) है।
अब, \( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 70 है, जिसका संगत वर्ग 40-50 है। यह हमारा माध्यक वर्ग है।
इस प्रकार, माध्यक वर्ग के लिए:
निचली सीमा \( l = 40 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 44 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 26 \)
वर्ग अंतराल की माप \( h = 10 \)
माध्यक का सूत्र है: \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 40 + \frac{50 - 26}{44} \times 10 \)
\( M = 40 + \frac{24}{44} \times 10 \)
\( M = 40 + \frac{240}{44} \)
\( M = 40 + 5.4545... \)
\( M \approx 40 + 5.45 \)
\( M \approx 45.45 \)
तो, माध्यक लगभग 45.45 होगा।
In simple words: पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनाई। फिर \( N/2 \) का मान निकाला, जो 50 आया। 50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 70 है, जिसका वर्ग 40-50 है। यह माध्यक वर्ग है। माध्यक निकालने के लिए सूत्र में मान रखे और हल किया, जिससे माध्यक 45.45 आया।
🎯 Exam Tip: माध्यक निकालते समय, संचयी बारम्बारता सारणी सही बनाना बहुत ज़रूरी है। माध्यक वर्ग की निचली सीमा \( l \) और उससे ठीक पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C \) का मान सही चुनें।
प्रश्न 2. एक कक्षा के छात्रों के प्राप्तांक निम्न बारम्बारता बंटन में दिए हुए हैं। इनसे माध्यक ज्ञात कीजिए-
| प्राप्तांक | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 4 | 28 | 42 | 20 | 6 |
Answer: माध्यक की गणना के लिए, सबसे पहले हम संचयी बारम्बारता सारणी बनाते हैं। यह सारणी दिखाती है कि हर वर्ग अंतराल तक कितने छात्र हैं।
| प्राप्तांक | \( f \) (बारम्बारता) | संचयी बारम्बारता (c.f.) |
|---|---|---|
| 0-10 | 4 | 4 |
| 10-20 | 28 | 32 |
| 20-30 | 42 | 74 |
| 30-40 | 20 | 94 |
| 40-50 | 6 | 100 |
यहाँ कुल बारम्बारता \( N = \Sigma f = 100 \) है।
अब, \( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 74 है, जिसका संगत वर्ग 20-30 है। यह हमारा माध्यक वर्ग है।
इस प्रकार, माध्यक वर्ग के लिए:
निचली सीमा \( l = 20 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 42 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 32 \)
वर्ग अंतराल की माप \( h = 10 \)
माध्यक का सूत्र है: \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 20 + \frac{50 - 32}{42} \times 10 \)
\( M = 20 + \frac{18}{42} \times 10 \)
\( M = 20 + \frac{180}{42} \)
\( M = 20 + 4.2857... \)
\( M \approx 20 + 4.29 \)
\( M \approx 24.29 \) अंक
तो, माध्यक लगभग 24.29 अंक होगा।
In simple words: पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनाई। \( N/2 \) का मान 50 आया। 50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 74 है, जिसका वर्ग 20-30 माध्यक वर्ग है। माध्यक के सूत्र में मान (जैसे \( l=20, C=32, f=42, h=10 \)) डालकर हल करने पर माध्यक 24.29 अंक प्राप्त होता है।
🎯 Exam Tip: माध्यक की गणना करते समय, \( \frac{N}{2} \) का मान निकालने के बाद, हमेशा उससे ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता वाला वर्ग चुनें। यह माध्यक वर्ग की सही पहचान के लिए महत्वपूर्ण है।
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए (प्रश्न 3 व 4)
प्रश्न 3.
| वर्ग | \( f_i \) |
|---|---|
| 0-10 | 2 |
| 10-20 | 6 |
| 20-30 | 10 |
| 30-40 | 17 |
| 40-50 | 30 |
| 50-60 | 15 |
| 60-70 | 10 |
| 70-80 | 10 |
Answer: माध्यक निकालने के लिए, हमें पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनानी होगी। इससे हमें प्रत्येक वर्ग तक कुल बारम्बारता पता चलती है।
| वर्ग \( (x) \) | बारम्बारता \( (f) \) | संचयी बारम्बारता \( cf \) |
|---|---|---|
| 0-10 | 2 | 2 |
| 10-20 | 6 | 8 |
| 20-30 | 10 | 18 |
| 30-40 | 17 | 35 |
| 40-50 | 30 | 65 |
| 50-60 | 15 | 80 |
| 60-70 | 10 | 90 |
| 70-80 | 10 | 100 |
यहाँ कुल बारम्बारता \( N = \Sigma f = 100 \) है।
अब, \( \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 65 है, जिसका संगत वर्ग 40-50 है। यह हमारा माध्यक वर्ग है।
इस प्रकार, माध्यक वर्ग के लिए:
निचली सीमा \( l = 40 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 30 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 35 \)
वर्ग अंतराल की माप \( h = 10 \)
माध्यक का सूत्र है: \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 40 + \frac{50 - 35}{30} \times 10 \)
\( M = 40 + \frac{15}{30} \times 10 \)
\( M = 40 + \frac{150}{30} \)
\( M = 40 + 5 \)
\( M = 45 \)
तो, माध्यक 45 होगा। यह एक पूर्ण संख्या है, जो गणना को सरल बनाती है।
In simple words: पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनाई गई। कुल बारम्बारता 100 थी, तो \( N/2 = 50 \) आया। 50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 65 है, जिसका वर्ग 40-50 माध्यक वर्ग है। माध्यक के सूत्र में मान रखने पर, हमें माध्यक 45 मिला।
🎯 Exam Tip: जब माध्यक वर्ग पहचान लिया जाए, तो उसके \( l, f, C, h \) मानों को ध्यान से चुनें। \( C \) हमेशा माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता होती है।
प्रश्न 4.
| वर्ग | \( f_i \) |
|---|---|
| 0-8 | 42 |
| 8-16 | 30 |
| 16-24 | 50 |
| 24-32 | 22 |
| 32-40 | 8 |
| 40-48 | 5 |
Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले दी गई बारम्बारता बंटन की संचयी बारम्बारता सारणी बनानी होगी। यह हमें कुल छात्रों की संख्या और प्रत्येक वर्ग तक के छात्रों की संख्या बताती है।
| वर्ग अंतराल | बारम्बारता \( (f) \) | संचयी बारम्बारता \( (cf) \) |
|---|---|---|
| 0-8 | 42 | 42 |
| 8-16 | 30 | 72 |
| 16-24 | 50 | 122 |
| 24-32 | 22 | 144 |
| 32-40 | 8 | 152 |
| 40-48 | 5 | 157 |
यहाँ कुल बारम्बारता \( N = \Sigma f = 157 \) है।
अब, \( \frac{N}{2} = \frac{157}{2} = 78.5 \)
78.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 122 है, जिसका संगत वर्ग 16-24 है। यह हमारा माध्यक वर्ग है।
इस प्रकार, माध्यक वर्ग के लिए:
निचली सीमा \( l = 16 \)
माध्यक वर्ग की बारम्बारता \( f = 50 \)
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता \( C = 72 \)
वर्ग अंतराल की माप \( h = 8 \)
माध्यक का सूत्र है: \( M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h \)
मान रखने पर:
\( M = 16 + \frac{78.5 - 72}{50} \times 8 \)
\( M = 16 + \frac{6.5}{50} \times 8 \)
\( M = 16 + 0.13 \times 8 \)
\( M = 16 + 1.04 \)
\( M = 17.04 \)
तो, माध्यक 17.04 होगा। यह दर्शाता है कि डेटा का मध्य बिंदु इस मान के आसपास है।
In simple words: सबसे पहले संचयी बारम्बारता सारणी बनाई। कुल बारम्बारता 157 थी, इसलिए \( N/2 = 78.5 \) आया। 78.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता 122 है, जिसका वर्ग 16-24 माध्यक वर्ग है। माध्यक के सूत्र में मान (जैसे \( l=16, C=72, f=50, h=8 \)) डालकर हल करने पर माध्यक 17.04 मिला।
🎯 Exam Tip: माध्यक वर्ग की सही पहचान करने के बाद, सुनिश्चित करें कि सभी मान ( \( l, C, f, h \) ) सही वर्ग और संगत स्थानों से लिए गए हैं, खासकर \( C \) (पहले के वर्ग की संचयी बारम्बारता) का चुनाव।
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