RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Exercise 17.6

Question 1. निम्न चर मानों का माध्यक ज्ञात कीजिए 25, 34, 33, 13, 20, 26, 36, 28, 19, 34
Answer: सबसे पहले, दिए गए मानों को बढ़ते क्रम में लिखते हैं: 13, 19, 20, 25, 26, 28, 33, 34, 34, 36. यहाँ कुल 10 पद हैं, जो एक सम संख्या है. जब पदों की संख्या सम होती है, तो माध्यक बीच के दो पदों का औसत होता है. इस स्थिति में, 5वाँ पद 26 है और 6वाँ पद 28 है.
\( \text{माध्यक} = \frac{\text{5वाँ पद} + \text{6वाँ पद}}{2} \)
\( \text{माध्यक} = \frac{26 + 28}{2} \)
\( \text{माध्यक} = \frac{54}{2} \)
\( \text{माध्यक} = 27 \)
इसलिए, इन मानों का माध्यक 27 होगा. माध्यक डेटा के केंद्र को दर्शाता है, जहाँ आधे मान इससे कम और आधे मान इससे अधिक होते हैं.
In simple words: पहले संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लिखें. कुल 10 संख्याएँ हैं. बीच की दो संख्याओं (26 और 28) को जोड़कर 2 से भाग दें, तो माध्यक 27 आता है.

🎯 Exam Tip: माध्यक निकालते समय, डेटा को हमेशा आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना महत्वपूर्ण है. यदि पदों की संख्या सम है, तो बीच के दो पदों का औसत लें, और यदि विषम है, तो मध्य पद ही माध्यक होता है.

Question 2. निम्न आंकड़ों का माध्यक ज्ञात कीजिए- 19, 25, 59, 48, 35, 31, 30, 32, 51. यदि 25 को 52 से बदल दिया जाए तो नये माध्यक का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहला भाग: दिए गए आंकड़ों का माध्यक ज्ञात करना।
दिए गए आंकड़े हैं: 19, 25, 59, 48, 35, 31, 30, 32, 51.
आरोही क्रम में लिखने पर: 19, 25, 30, 31, 32, 35, 48, 51, 59.
कुल पदों की संख्या (n) = 9, जो कि एक विषम संख्या है.
माध्यक का पद \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद
\( = \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) वाँ पद
5वाँ पद 32 है, अतः प्रारंभिक माध्यक = 32.

दूसरा भाग: यदि 25 को 52 से बदल दिया जाए, तो नया माध्यक ज्ञात करना।
अब, 25 को 52 से बदलने पर नई श्रृंखला बनती है:
19, 52, 59, 48, 35, 31, 30, 32, 51.
नई श्रृंखला को आरोही क्रम में लिखने पर: 19, 30, 31, 32, 35, 48, 51, 52, 59.
पदों की संख्या अभी भी n = 9 (विषम) है.
नया माध्यक का पद \( = \frac{n+1}{2} = \frac{9+1}{2} = 5 \) वाँ पद.
5वाँ पद 35 है, अतः नया माध्यक = 35.
यह दिखाता है कि एक संख्या में बदलाव से माध्यक भी बदल सकता है, खासकर यदि वह बदला हुआ मान श्रृंखला की क्रमबद्धता को प्रभावित करे.
In simple words: पहले दी गई संख्याओं को क्रम से लगाकर बीच की संख्या (32) निकालते हैं. फिर 25 को हटाकर 52 जोड़ते हैं, फिर से क्रम से लगाकर बीच की संख्या (35) निकालते हैं. यही नया माध्यक है.

🎯 Exam Tip: माध्यक निकालने से पहले हमेशा डेटा को क्रमबद्ध करना याद रखें. यदि कोई मान बदला जाता है, तो पूरे डेटा सेट को फिर से क्रमबद्ध करना और माध्यक की गणना करनी पड़ती है.

Question 3. एक कक्षा के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्न सारणी अनुसार दिए गए हैं, इनका माध्यक ज्ञात कीजिए।
Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए हमें संचयी बारम्बारता (cumulative frequency, cf) सारणी बनानी होगी। संचयी बारम्बारता का मतलब है कि उस बिंदु तक कुल कितनी बारम्बारता हो चुकी है।

यहाँ कुल बारम्बारता \( \Sigma f = N = 99 \) है।
माध्यक पद \( = \frac{N}{2} = \frac{99}{2} = 49.5 \).
अब हम संचयी बारम्बारता (cf) सारणी में 49.5 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता को देखते हैं, जो कि 52 है। इस 52 के संगत प्राप्तांक (X का मान) 30 है।
अतः, इस डेटा का माध्यक (M) 30 होगा। माध्यक हमें बताता है कि आधे विद्यार्थियों ने 30 या उससे कम अंक प्राप्त किए हैं और आधे ने 30 या उससे अधिक।
In simple words: पहले कुल विद्यार्थियों की संख्या (99) निकालते हैं. इसका आधा (49.5) देखते हैं. फिर संचयी बारम्बारता की तालिका में 49.5 से ठीक बड़ा नंबर (52) ढूंढते हैं. इस 52 के सामने वाला प्राप्तांक 30 है, जो माध्यक है.

🎯 Exam Tip: असंतत बारम्बारता बंटन में माध्यक ज्ञात करते समय, हमेशा \( \frac{N}{2} \) से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता के संगत चर मान को ही माध्यक मानें.

Question 4. एक सौ परिवारों (एकल/संयुक्त) में बच्चों की संख्या निम्न प्रकार है, इनका माध्यक ज्ञात कीजिए-
Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए हमें संचयी बारम्बारता (cf) सारणी बनानी होगी।

यहाँ कुल परिवारों की संख्या \( N = \Sigma f = 100 \) है।
माध्यक पद \( = \frac{N}{2} = \frac{100}{2} = 50 \).
अब हम संचयी बारम्बारता (cf) सारणी में 50 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता को देखते हैं, जो कि 72 है। इस 72 के संगत बच्चों की संख्या (X का मान) 2 है।
अतः, इस डेटा का माध्यक (M) 2 होगा। यह माध्यक बताता है कि आधे परिवारों में 2 या उससे कम बच्चे हैं, और आधे परिवारों में 2 या उससे अधिक बच्चे हैं।
In simple words: कुल परिवारों (100) का आधा (50) निकालते हैं. फिर संचयी बारम्बारता में 50 से ठीक बड़ा नंबर (72) देखते हैं. इस 72 के सामने बच्चों की संख्या 2 है, जो हमारा माध्यक है.

🎯 Exam Tip: माध्यक की गणना करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि संचयी बारम्बारता की तालिका में \( \frac{N}{2} \) मान से ठीक बड़ा या बराबर संचयी बारम्बारता वाला मान ही माध्यक वर्ग या माध्यक का आधार बनता है.

Question 5. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए-
Answer: माध्यक ज्ञात करने के लिए हमें संचयी बारम्बारता (cf) सारणी बनानी होगी।

यहाँ कुल बारम्बारता \( N = \Sigma f = 160 \) है।
माध्यक पद \( = \frac{N}{2} = \frac{160}{2} = 80 \).
अब हम संचयी बारम्बारता (cf) सारणी में 80 से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता को देखते हैं, जो कि 105 है। इस 105 के संगत चर का मान (X का मान) 35 है।
अतः, इस बारम्बारता बंटन का माध्यक (M) 35 होगा। यह माध्यक हमें डेटा के केंद्रीय रुझान को समझने में मदद करता है।
In simple words: सभी संख्याओं को जोड़कर (160) उसका आधा (80) निकालते हैं. फिर संचयी बारम्बारता की तालिका में 80 से ठीक बड़ा नंबर (105) देखते हैं. इस 105 के सामने वाला 'X' का मान 35 है, जो माध्यक है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि संचयी बारम्बारता की गणना सही हो, क्योंकि इसमें छोटी सी भी गलती पूरे माध्यक को गलत कर सकती है.