RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Exercise 17.5

Question 1. एक छात्र ने अंग्रेजी में 46%, गणित में 67%, हिन्दी में 53%, इतिहास में 72% तथा अर्थशास्त्र में 58% अंक प्राप्त किए। अन्य विषयों की तुलना में अंग्रेजी को 3 गुना तथा गणित को 2 गुणा भार मान्य हो तो छात्र के प्राप्तांकों का भारित माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ दिया गया है कि एक छात्र के विषयों में प्राप्त अंक इस प्रकार हैं:
अंग्रेजी \( X_1 = 46 \)
गणित \( X_2 = 67 \)
हिन्दी \( X_3 = 53 \)
इतिहास \( X_4 = 72 \)
अर्थशास्त्र \( X_5 = 58 \)

अब हम भार तय करेंगे:
हिन्दी, इतिहास और अर्थशास्त्र का भार \( = x \)
गणित का भार \( = 2x \) (अन्य विषयों से 2 गुना)
अंग्रेजी का भार \( = 3x \) (अन्य विषयों से 3 गुना)

अतः, भार इस प्रकार होंगे:
अंग्रेजी \( W_1 = 3x \)
गणित \( W_2 = 2x \)
हिन्दी \( W_3 = x \)
इतिहास \( W_4 = x \)
अर्थशास्त्र \( W_5 = x \)

भारित समांतर माध्य (Weighted Mean) का सूत्र है:
\( \bar{X}_w = \frac{\Sigma W_i X_i}{\Sigma W_i} \)

अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( \bar{X}_w = \frac{W_1 X_1 + W_2 X_2 + W_3 X_3 + W_4 X_4 + W_5 X_5}{W_1 + W_2 + W_3 + W_4 + W_5} \)

\( \bar{X}_w = \frac{(46)(3x) + (67)(2x) + (53)(x) + (72)(x) + (58)(x)}{3x + 2x + x + x + x} \)

\( \bar{X}_w = \frac{138x + 134x + 53x + 72x + 58x}{8x} \)

\( \bar{X}_w = \frac{455x}{8x} \)

\( \bar{X}_w = \frac{455}{8} \)

\( \bar{X}_w = 56.875 \)
इसलिए, छात्र के प्राप्तांकों का भारित माध्य 56.875 अंक है। यह भारित माध्य दिखाता है कि अलग-अलग विषयों के महत्व के अनुसार छात्र का प्रदर्शन कैसा रहा।
In simple words: एक छात्र के अलग-अलग विषयों के अंकों को उनके महत्व (भार) के अनुसार जोड़कर औसत निकाला गया। जिस विषय का भार ज़्यादा था, उसके अंक औसत में ज़्यादा मायने रखते थे, जिससे हमें छात्र का कुल भारित औसत 56.875 अंक मिला।

🎯 Exam Tip: भारित माध्य की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि प्रत्येक मान के संगत भार को सही ढंग से गुणा किया गया है और सभी भारों का योग सही है।

Question 2. भारित माध्य ज्ञात कर बताइये कि A व B में से कौन अधिक योग्य है?
Answer: यह जानने के लिए कि छात्र A और B में से कौन अधिक योग्य है, हम दोनों छात्रों के भारित माध्य (Weighted Mean) अंकों की गणना करेंगे।

दी गई जानकारी के अनुसार:

**छात्र A के लिए भारित माध्य की गणना:**

छात्र A का भारित माध्य \( = \frac{\Sigma W_i X_i}{\Sigma W_i} = \frac{692}{8} = 86.5 \) अंक

**छात्र B के लिए भारित माध्य की गणना:**

छात्र B का भारित माध्य \( = \frac{\Sigma W_i X_i}{\Sigma W_i} = \frac{698}{8} = 87.25 \) अंक

चूंकि छात्र A का भारित माध्य (86.5 अंक) छात्र B के भारित माध्य (87.25 अंक) से कम है, इसलिए छात्र B अधिक योग्य है। भारित माध्य का उपयोग विभिन्न घटकों के अलग-अलग महत्व को ध्यान में रखते हुए समग्र प्रदर्शन का आकलन करने में मदद करता है।
In simple words: हमने छात्र A और B दोनों के भारित औसत अंक निकाले। छात्र A के औसत अंक 86.5 थे, जबकि छात्र B के औसत अंक 87.25 थे। क्योंकि छात्र B का भारित औसत ज़्यादा है, वह छात्र A से अधिक योग्य है।

🎯 Exam Tip: योग्यता का मूल्यांकन करते समय, यदि विभिन्न विषयों का महत्व अलग-अलग हो, तो केवल साधारण औसत के बजाय भारित माध्य का उपयोग करना अधिक सटीक परिणाम देता है।

Question 3. एक छात्र के गणित की तीन मासिक परीक्षाओं में प्राप्तांक क्रमशः 85, 60 तथा 75 हैं और वार्षिक परीक्षा में उसने 95 अंक प्राप्त किये हैं। मासिक परीक्षाओं के भार समान हैं जबकि वार्षिक परीक्षा का भार मासिक परीक्षा के भार से दुगुना है। गणित में प्राप्तांकों का भारित माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ एक छात्र के गणित में प्राप्त अंक और उनके भार दिए गए हैं, जिसके आधार पर भारित माध्य की गणना की जाएगी।

प्राप्तांक:
पहली मासिक परीक्षा \( x_1 = 85 \)
दूसरी मासिक परीक्षा \( x_2 = 60 \)
तीसरी मासिक परीक्षा \( x_3 = 75 \)
वार्षिक परीक्षा \( x_4 = 95 \)

भार:
मासिक परीक्षाओं के भार समान हैं, तो प्रत्येक का भार \( = 1 \)
वार्षिक परीक्षा का भार मासिक परीक्षा के भार से दुगुना है, तो वार्षिक परीक्षा का भार \( = 2 \)

अतः, भार इस प्रकार हैं:
\( W_1 = 1, W_2 = 1, W_3 = 1, W_4 = 2 \)

भारित समांतर माध्य (Weighted Mean) का सूत्र है:
\( \bar{X}_w = \frac{\Sigma W_i X_i}{\Sigma W_i} \)

अब हम मानों को सूत्र में रखेंगे:
\( \bar{X}_w = \frac{W_1 X_1 + W_2 X_2 + W_3 X_3 + W_4 X_4}{W_1 + W_2 + W_3 + W_4} \)

\( \bar{X}_w = \frac{(1 \times 85) + (1 \times 60) + (1 \times 75) + (2 \times 95)}{1 + 1 + 1 + 2} \)

\( \bar{X}_w = \frac{85 + 60 + 75 + 190}{5} \)

\( \bar{X}_w = \frac{410}{5} \)

\( \bar{X}_w = 82 \)
इसलिए, छात्र के गणित में प्राप्तांकों का भारित माध्य 82 अंक है। वार्षिक परीक्षा का भार दुगुना होने के कारण, उसके अंकों का कुल माध्य पर अधिक प्रभाव पड़ता है।
In simple words: छात्र की मासिक और वार्षिक परीक्षाओं के अंकों को उनके महत्व के हिसाब से जोड़ा गया। वार्षिक परीक्षा ज़्यादा महत्वपूर्ण थी, इसलिए उसके अंकों का ज़्यादा प्रभाव पड़ा, और इस तरह उसका भारित औसत 82 अंक आया।

🎯 Exam Tip: विभिन्न प्रकार की परीक्षाओं या घटकों के भार को पहचानना महत्वपूर्ण है, क्योंकि इससे कुल भारित माध्य पर सीधा असर पड़ता है।

Question 4. एक कक्षा में 45 छात्र हैं जिनमें 15 लड़कियाँ हैं। लड़कियों का औसत भार 45 किग्रा. तथा लड़कों का औसत भार 52 किग्रा. है। कक्षा के विद्यार्थी का औसत भार ज्ञात कीजिए।
Answer: कक्षा के सभी विद्यार्थियों का औसत भार ज्ञात करने के लिए, हमें पहले लड़कियों और लड़कों का कुल भार निकालना होगा।

कक्षा में कुल छात्रों की संख्या \( = 45 \)
कक्षा में लड़कियों की संख्या \( = 15 \)
कक्षा में लड़कों की संख्या \( = \text{कुल छात्र} - \text{लड़कियाँ} = 45 - 15 = 30 \)

लड़कियों का औसत भार \( = 45 \) किग्रा.
लड़कियों का कुल भार \( (\Sigma x) = \text{लड़कियों का औसत भार} \times \text{लड़कियों की संख्या} = 45 \times 15 = 675 \) किग्रा.

लड़कों का औसत भार \( = 52 \) किग्रा.
लड़कों का कुल भार \( (\Sigma y) = \text{लड़कों का औसत भार} \times \text{लड़कों की संख्या} = 52 \times 30 = 1560 \) किग्रा.

कक्षा के सभी छात्रों का कुल भार \( = \text{लड़कियों का कुल भार} + \text{लड़कों का कुल भार} \)
\( = 675 + 1560 = 2235 \) किग्रा.

कक्षा के सभी छात्रों का औसत भार \( = \frac{\text{सभी छात्रों का कुल भार}}{\text{कुल छात्रों की संख्या}} \)
\( = \frac{2235}{45} = 49.67 \) किग्रा.
इसलिए, कक्षा के सभी विद्यार्थियों का औसत भार लगभग 49.67 किग्रा. है। यह औसत भार पूरे समूह की एक सामान्य विशेषता बताता है।
In simple words: पहले लड़कियों और लड़कों की संख्या और उनका कुल भार अलग-अलग निकाला गया। फिर सभी छात्रों का कुल भार जोड़कर, उसे कुल छात्रों की संख्या से भाग देकर पूरे कक्षा का औसत भार लगभग 49.67 किग्रा. ज्ञात किया गया।

🎯 Exam Tip: जब एक समूह में अलग-अलग औसत वाले उप-समूह हों, तो पूरे समूह का औसत ज्ञात करने के लिए प्रत्येक उप-समूह के कुल मानों का योग करके उसे कुल संख्या से भाग दें।