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Detailed Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप RBSE Solutions for Class 10 Mathematics
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Class 10 Mathematics Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप RBSE Solutions PDF
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य, कल्पित माध्य की सहायता से ज्ञात कीजिए- (प्रश्न 1 से 4)
Question 1. निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य, कल्पित माध्य की सहायता से ज्ञात कीजिए-
| X | 800 | 820 | 860 | 900 | 920 | 980 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 7 | 14 | 19 | 25 | 20 | 10 | 5 |
Answer: यहाँ हम कल्पित माध्य (a) को 900 मानते हैं।
| X | f | \( d = (x - a) \) | \( f \times d \) |
|---|---|---|---|
| 800 | 7 | - 100 | - 700 |
| 820 | 14 | - 80 | - 1120 |
| 860 | 19 | - 40 | - 760 |
| 900 | 25 | 00 | 000 |
| 920 | 20 | 20 | 400 |
| 980 | 10 | 80 | 800 |
| 1000 | 5 | 100 | 500 |
| \( \Sigma f = 100 \) | \( \Sigma fd = - 880 \) |
माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 900 + \frac{-880}{100} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 900 - 8.8 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 891.2 \)
इसलिए, दी गई बारम्बारता बंटन का माध्य 891.2 है। यह विधि बड़े आंकड़ों को संभालने में मदद करती है।
In simple words: माध्य निकालने के लिए, पहले एक कल्पित माध्य चुनते हैं. फिर 'd' और 'fd' निकालते हैं. आखिर में सभी 'fd' को जोड़कर और सभी 'f' को जोड़कर सूत्र में मान रखते हैं.
🎯 Exam Tip: कल्पित माध्य विधि का उपयोग करते समय, गणना को आसान बनाने के लिए मध्यमान 'X' श्रेणी के बीच से 'a' का चुनाव करें।
Question 2. मजदूरों की संख्या के लिए माध्य ज्ञात कीजिए-
| भरा किग्रा में | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| मजदूरों की संख्या | 5 | 8 | 14 | 16 | 10 | 7 |
Answer: यहाँ हम कल्पित माध्य (a) को 62 मानते हैं।
| X | f | d = (x - a) | fd | |
|---|---|---|---|---|
| 60 | 5 | - 2 | - 10 | |
| 61 | 8 | - 1 | - 8 | |
| 62 | 14 | 0 | 00 | |
| 63 | 16 | 1 | 16 | |
| 64 | 10 | 2 | 20 | |
| 65 | 7 | 3 | 21 | |
| \( \Sigma f = 60 \) | \( \Sigma fd = 39 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 62+\frac{39}{60} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 62 + 0.65 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 62.65 \)
इसलिए, मजदूरों की संख्या का समान्तर माध्य 62.65 है। इस विधि से माध्य की गणना करना आसान हो जाता है।
In simple words: हम पहले एक संख्या को कल्पित माध्य मानते हैं. फिर 'X' और 'a' के बीच का अंतर निकालते हैं. अंत में, सूत्र का उपयोग करके माध्य ज्ञात करते हैं.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि 'd' (विचलन) की गणना करते समय 'x - a' का क्रम सही हो, क्योंकि एक गलत चिह्न पूरे परिणाम को बदल सकता है।
Question 4. पानी पर खर्च और मकानों की संख्या के लिए माध्य ज्ञात कीजिए-
| पानी पर खर्च (रुपयों में) | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| मकानों की संख्या | 7 | 5 | 7 | 8 | 9 | 11 |
| पानी पर खर्च (रुपयों में) | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | |
| मकानों की संख्या | 7 | 5 | 4 | 4 | 3 |
Answer: हम कल्पित माध्य (a) को 325 मानते हैं।
| खर्च रुपयों में | f | मध्यमान x | \( d = (x - a) \) | fd |
|---|---|---|---|---|
| 100-150 | 24 | 125 | - 200 | - 4800 |
| 150-200 | 40 | 175 | - 150 | - 6000 |
| 200-250 | 33 | 225 | - 100 | - 3300 |
| 250-300 | 28 | 275 | - 50 | - 1400 |
| 300-350 | 30 | 325 | 00 | 000 |
| 350-400 | 22 | 375 | 50 | 1100 |
| 400-450 | 16 | 425 | 100 | 1600 |
| 450-500 | 7 | 475 | 150 | 1050 |
| \( \Sigma f = 200 \) | \( \Sigma fd = -11750 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 325+\frac{-11750}{200} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 325 - 58.75 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 266.25 \)
इसलिए, पानी पर खर्च का समान्तर माध्य 266.25 रुपये है। यह विधि बड़े डेटा सेटों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
In simple words: पहले हम वर्ग अंतराल से मध्यमान 'x' निकालते हैं. फिर एक कल्पित माध्य 'a' चुनकर 'd' और 'fd' निकालते हैं. अंत में, सूत्र का प्रयोग करके माध्य की गणना करते हैं.
🎯 Exam Tip: वर्ग अंतराल वाले प्रश्नों में, 'x' (मध्यमान) को सही ढंग से गणना करना महत्वपूर्ण है। यह ऊपरी और निचली सीमा का औसत होता है।
Question 5. कल्पित माध्य 25 मानकर निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए-
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 6 | 10 | 13 | 7 | 4 |
Answer: यहाँ कल्पित माध्य (a) 25 दिया गया है।
| वर्ग | मध्यमान (x) | (f) | \( d = (x - a) \) | fd |
|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 6 | - 20 | - 120 |
| 10-20 | 15 | 10 | - 10 | - 100 |
| 20-30 | 25 | 13 | 0 | 00 |
| 30-40 | 35 | 7 | 10 | 70 |
| 40-50 | 45 | 4 | 20 | 80 |
| \( \Sigma f = 40 \) | \( \Sigma fd = - 70 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 25+\frac{-70}{40} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 25 - 1.75 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 23.25 \)
अतः, इस बंटन का समान्तर माध्य 23.25 है। यह विधि गणनाओं को सरल बनाने में मदद करती है, खासकर जब संख्याएँ बड़ी हों।
In simple words: वर्ग अंतरालों से मध्यमान 'x' निकालते हैं. फिर दिए गए कल्पित माध्य 'a' का उपयोग करके 'd' और 'fd' ज्ञात करते हैं. अंत में, सूत्र का उपयोग करके माध्य निकालते हैं.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि वर्ग अंतरालों के लिए मध्यमान 'x' की गणना सही ढंग से की गई है, क्योंकि यह पूरी माध्य गणना का आधार है।
Question 6. अग्रलिखित सारणी में एक शहर में एक विशेष वर्ष में एक रोग से पीड़ित रोगियों का आयु बंटन दिया गया है। प्रति रोगी औसत आयु (वर्षों में) ज्ञात कीजिए।
| आयु (वर्षों में) | रोगियों की संख्या |
|---|---|
| 5-14 | 6 |
| 15-24 | 11 |
| 25-34 | 21 |
| 35-44 | 23 |
| 45-54 | 14 |
| 55-64 | 5 |
Answer: हम कल्पित माध्य (a) को 29.5 मानते हैं।
| वर्ग अन्तराल | मध्यमान x | f | \( d = (x - a) \) | fd |
|---|---|---|---|---|
| 5-14 | 9.5 | 6 | - 20 | - 120 |
| 15-24 | 19.5 | 11 | - 10 | - 110 |
| 25-34 | 29.5 | 21 | 00 | 00 |
| 35-44 | 39.5 | 23 | 10 | 230 |
| 45-54 | 49.5 | 14 | 20 | 280 |
| 55-64 | 59.5 | 5 | 30 | 150 |
| \( \Sigma f = 80 \) | \( \Sigma fd = 430 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 29.5+\frac{430}{80} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 29.5+5.375 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 34.875 \)
इसलिए, प्रति रोगी औसत आयु 34.875 वर्ष है। यह गणना रोगियों की आयु के वितरण को समझने में सहायक होती है।
In simple words: हम एक कल्पित माध्य चुनते हैं और फिर प्रत्येक आयु वर्ग का मध्यमान निकालते हैं. इन मानों का उपयोग करके हम विचलन और 'fd' निकालते हैं. फिर सूत्र से औसत आयु प्राप्त करते हैं.
🎯 Exam Tip: वर्ग अंतरालों के लिए मध्यमान (x) की गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप सतत वर्गों के लिए ऊपरी और निचली सीमा के बीच के अंतर को सही ढंग से लें।
Question 7. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए-
| वर्ग अन्तराल | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 10 | 25 | 28 | 12 | 10 | 15 |
Answer: हम कल्पित माध्य (a) को 65 मानते हैं।
| वर्ग अन्तराल | f | मध्यमान x | \( d = (x - a) \) | fd |
|---|---|---|---|---|
| 40-50 | 10 | 45 | - 20 | - 200 |
| 50-60 | 25 | 55 | - 10 | - 250 |
| 60-70 | 28 | 65 | 00 | 00 |
| 70-80 | 12 | 75 | 10 | 120 |
| 80-90 | 10 | 85 | 20 | 200 |
| 90-100 | 15 | 95 | 30 | 450 |
| \( \Sigma f = 100 \) | \( \Sigma fd = 320 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \( \overline{\mathrm{X}} = \mathrm{a}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}} \)
मान रखने पर: \( \overline{\mathrm{X}} = 65+\frac{320}{100} \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 65 + 3.2 \)
\( \implies \overline{\mathrm{X}} = 68.2 \)
इसलिए, इस बारम्बारता बंटन का माध्य 68.2 है। यह कल्पित माध्य विधि का एक और उदाहरण है।
In simple words: वर्ग अंतरालों के मध्यमान और बारम्बारता का उपयोग करके, हम कल्पित माध्य विधि से माध्य निकालते हैं. इससे गणना सीधी हो जाती है.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी गणनाएँ सही ढंग से की गई हैं, विशेष रूप से \( \Sigma fd \) और \( \Sigma f \) का योग, क्योंकि ये माध्य के अंतिम मान को निर्धारित करते हैं।
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