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Detailed Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप RBSE Solutions for Class 10 Mathematics
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Class 10 Mathematics Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप RBSE Solutions PDF
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1-4):
Question 1.
| X: | 3 | 5 | 8 | 11 |
|---|---|---|---|---|
| f: | 2 | 4 | 5 | 3 |
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम एक सारणी बनाते हैं जहाँ X और f को गुणा करके fx निकालते हैं। फिर, सभी fx मानों को जोड़ते हैं और सभी f मानों को जोड़ते हैं। अंत में, fx के कुल योग को f के कुल योग से भाग देते हैं।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 3 | 2 | \( 3 \times 2 = 6 \) |
| 5 | 4 | \( 5 \times 4 = 20 \) |
| 8 | 5 | \( 8 \times 5 = 40 \) |
| 11 | 3 | \( 11 \times 3 = 33 \) |
| \( \Sigma \text{f} = 14 \) | \( \Sigma \text{fx} = 99 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मान रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{99}{14} = 7.07 \] अतः, समान्तर माध्य 7.07 है।
In simple words: माध्य निकालने के लिए, पहले हर 'X' को उसकी 'f' से गुणा करो, फिर उन सबको जोड़ दो. अब, 'f' के सभी नंबरों को भी जोड़ दो. आखिर में, पहले वाले जोड़ को दूसरे वाले जोड़ से भाग दे दो.
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप fx कॉलम की गणना सही ढंग से करते हैं और \(\Sigma \text{fx}\) और \(\Sigma \text{f}\) का योग बिल्कुल सही निकालते हैं, क्योंकि गलत योग से पूरा उत्तर गलत हो सकता है।
Question 2.
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 |
| 5 | 5 | 25 |
| 7 | 4 | 28 |
| 9 | 7 | 63 |
| 11 | 3 | 33 |
| \( \Sigma \text{f} = 20 \) | \( \Sigma \text{fx} = 151 \) |
Answer: समान्तर माध्य निकालने के लिए, हम X और f के दिए गए मानों का उपयोग करके एक सारणी बनाते हैं। हम प्रत्येक X मान को उसकी संबंधित आवृत्ति f से गुणा करके fx मान निकालते हैं। फिर, हम सभी fx मानों का योग (\(\Sigma \text{fx}\)) और सभी f मानों का योग (\(\Sigma \text{f}\)) ज्ञात करते हैं। अंत में, माध्य ज्ञात करने के लिए \(\Sigma \text{fx}\) को \(\Sigma \text{f}\) से भाग दिया जाता है। \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मानों को सूत्र में रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{151}{20} \] \[ \overline{\mathrm{X}} = 7.55 \] अतः, अभीष्ट समान्तर माध्य 7.55 है।
In simple words: पहले X और f को गुणा करके fx बनाओ. फिर सारे fx और सारे f को अलग-अलग जोड़ो. अंत में, fx के जोड़ को f के जोड़ से भाग दे दो, वही तुम्हारा माध्य है.
🎯 Exam Tip: जब आंकड़े बड़े हों, तो गणनाओं को दोबारा जांचना महत्वपूर्ण है, खासकर जोड़ करते समय, ताकि छोटे अंकों की गलतियाँ बड़े उत्तर को प्रभावित न करें।
Question 3.
| X | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 30 | 60 | 20 | 40 | 10 | 50 |
Answer: समान्तर माध्य की गणना के लिए, हम X मानों को f मानों से गुणा करके fx मान प्राप्त करते हैं। इसके बाद, हम सभी fx मानों का योग (\(\Sigma \text{fx}\)) और सभी f मानों का योग (\(\Sigma \text{f}\)) निकालते हैं। अंत में, समान्तर माध्य सूत्र का उपयोग करके, हम \(\Sigma \text{fx}\) को \(\Sigma \text{f}\) से विभाजित करते हैं।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 0.1 | 30 | \( 0.1 \times 30 = 3.0 \) |
| 0.2 | 60 | \( 0.2 \times 60 = 12.0 \) |
| 0.3 | 20 | \( 0.3 \times 20 = 6.0 \) |
| 0.4 | 40 | \( 0.4 \times 40 = 16.0 \) |
| 0.5 | 10 | \( 0.5 \times 10 = 5.0 \) |
| 0.6 | 50 | \( 0.6 \times 50 = 30.0 \) |
| \( \Sigma \text{f} = 210 \) | \( \Sigma \text{fx} = 72.0 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मानों को सूत्र में रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{72.0}{210} \] \[ \overline{\mathrm{X}} = 0.34 \text{ (लगभग)} \] अतः, अभीष्ट समान्तर माध्य लगभग 0.34 है।
In simple words: जब नंबर दशमलव में हों, तब भी तरीका वही रहता है. हर 'X' को उसकी 'f' से गुणा करो, फिर सब गुणा किए हुए नंबरों को एक साथ जोड़ो. सारे 'f' को भी जोड़ो. आखिर में, दोनो जोड़ों को भाग दे दो, तुम्हारा माध्य मिल जाएगा.
🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का गुणा करते समय दशमलव बिंदु की सही स्थिति का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है ताकि गणना में त्रुटि न हो।
Question 4.
| X | 0.1 | 0.3 | 0.5 | 0.7 | 0.89 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 7 | 8 | 10 | 15 | 10 |
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम X और f के दिए गए मानों का उपयोग करके एक सारणी बनाते हैं। प्रत्येक X मान को उसकी संबंधित आवृत्ति f से गुणा करके fx मान निकालते हैं। फिर, सभी fx मानों का योग (\(\Sigma \text{fx}\)) और सभी f मानों का योग (\(\Sigma \text{f}\)) ज्ञात किया जाता है। अंत में, समान्तर माध्य सूत्र का उपयोग करके, \(\Sigma \text{fx}\) को \(\Sigma \text{f}\) से भाग दिया जाता है।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 0.1 | 7 | \( 0.1 \times 7 = 0.7 \) |
| 0.3 | 8 | \( 0.3 \times 8 = 2.4 \) |
| 0.5 | 10 | \( 0.5 \times 10 = 5.0 \) |
| 0.7 | 15 | \( 0.7 \times 15 = 10.5 \) |
| 0.89 | 10 | \( 0.89 \times 10 = 8.9 \) |
| \( \Sigma \text{f} = 50 \) | \( \Sigma \text{fx} = 27.5 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मानों को सूत्र में रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{27.5}{50} \] \[ \overline{\mathrm{X}} = 0.55 \] अतः, अभीष्ट समान्तर माध्य 0.55 है।
In simple words: दशमलव वाली संख्याओं का माध्य निकालने के लिए, हर 'X' को उसकी 'f' से गुणा करो. फिर उन सभी गुणा किए हुए मानों को और सभी 'f' मानों को अलग-अलग जोड़ो. आखिर में, गुणा वाले जोड़ को आवृत्ति वाले जोड़ से भाग दे दो.
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि दशमलव स्थानों की गणना सावधानी से की गई है, खासकर जब संख्याओं को गुणा करते और जोड़ते समय, ताकि अंतिम माध्य सटीक हो।
Question 5. एक सौ परिवारों में बच्चों की संख्या निम्न प्रकार है-
| बच्चों की संख्या | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| परिवारों संख्या | 45 | 25 | 19 | 8 | 2 | 1 |
इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम एक सारणी बनाते हैं जिसमें बच्चों की संख्या (X) और परिवारों की संख्या (f) का उपयोग करके fx मानों की गणना की जाती है। प्रत्येक X मान को उसकी संबंधित f से गुणा करके fx मान प्राप्त किया जाता है। फिर, सभी fx मानों का योग (\(\Sigma \text{fx}\)) और सभी f मानों का योग (\(\Sigma \text{f}\)) निकाला जाता है। अंत में, समान्तर माध्य सूत्र का उपयोग करके \(\Sigma \text{fx}\) को \(\Sigma \text{f}\) से भाग दिया जाता है।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 1 | 45 | \( 1 \times 45 = 45 \) |
| 2 | 25 | \( 2 \times 25 = 50 \) |
| 3 | 19 | \( 3 \times 19 = 57 \) |
| 4 | 8 | \( 4 \times 8 = 32 \) |
| 5 | 2 | \( 5 \times 2 = 10 \) |
| 6 | 1 | \( 6 \times 1 = 6 \) |
| \( \Sigma \text{f} = 100 \) | \( \Sigma \text{fx} = 200 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मानों को सूत्र में रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{200}{100} \] \[ \overline{\mathrm{X}} = 2 \] अतः, सौ परिवारों में बच्चों का समान्तर माध्य 2 है।
In simple words: परिवारों में बच्चों का औसत जानने के लिए, हर बच्चे की संख्या को परिवारों की संख्या से गुणा करो. फिर इन सभी गुणा किए हुए नंबरों को और सभी परिवारों की संख्या को अलग-अलग जोड़ो. अंत में, गुणा वाले जोड़ को परिवारों की संख्या के जोड़ से भाग दे दो.
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, 'बच्चों की संख्या' को X और 'परिवारों की संख्या' को f के रूप में पहचानना महत्वपूर्ण है, ताकि गणना सही हो सके।
Question 6. एक कक्षा में छात्रों के भार निम्न सारणी में दिये गए हैं-
| भार किग्रा में | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 1 | 2 | 6 | 7 | 4 | 2 | 3 | 2 | 3 |
इनका समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य ज्ञात करने के लिए, हम एक सारणी बनाते हैं जहाँ छात्रों के भार (X) को छात्रों की संख्या (f) से गुणा करके fx मान प्राप्त किए जाते हैं। फिर, सभी fx मानों का योग (\(\Sigma \text{fx}\)) और सभी f मानों का योग (\(\Sigma \text{f}\)) निकाला जाता है। अंत में, समान्तर माध्य सूत्र का उपयोग करके \(\Sigma \text{fx}\) को \(\Sigma \text{f}\) से भाग दिया जाता है।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 20 | 1 | \( 20 \times 1 = 20 \) |
| 21 | 2 | \( 21 \times 2 = 42 \) |
| 22 | 6 | \( 22 \times 6 = 132 \) |
| 23 | 7 | \( 23 \times 7 = 161 \) |
| 24 | 4 | \( 24 \times 4 = 96 \) |
| 25 | 2 | \( 25 \times 2 = 50 \) |
| 26 | 3 | \( 26 \times 3 = 78 \) |
| 27 | 2 | \( 27 \times 2 = 54 \) |
| 28 | 3 | \( 28 \times 3 = 84 \) |
| \( \Sigma \text{f} = 30 \) | \( \Sigma \text{fx} = 717 \) |
समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] मानों को सूत्र में रखने पर: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{717}{30} \] \[ \overline{\mathrm{X}} = 23.9 \] अतः, छात्रों का औसत भार 23.9 किग्रा. है।
In simple words: छात्रों के भार का औसत जानने के लिए, हर भार को उस भार वाले छात्रों की संख्या से गुणा करो. फिर उन सभी गुणा किए हुए मानों को और सभी छात्रों की संख्या को अलग-अलग जोड़ो. अंत में, गुणा वाले जोड़ को छात्रों की कुल संख्या से भाग दे दो.
🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \(\Sigma \text{f}\) और \(\Sigma \text{fx}\) की गणना ध्यान से करते हैं, खासकर जब डेटा सेट बड़ा हो, ताकि अंतिम माध्य सटीक निकले।
Question 7. यदि निम्न बंटन का माध्य 7.5 हो, तो P का मान ज्ञात कीजिए।
| X | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 6 | 8 | 15 | P | 8 | 4 |
Answer: हमें दिए गए बंटन का माध्य 7.5 दिया गया है। P का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले X और f के मानों का उपयोग करके एक सारणी बनाते हैं और fx मानों की गणना करते हैं। फिर, हम \(\Sigma \text{fx}\) और \(\Sigma \text{f}\) को P के पदों में व्यक्त करते हैं। अंत में, समान्तर माध्य के सूत्र में दिए गए माध्य और ज्ञात योगों को रखकर P के लिए समीकरण को हल करते हैं।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 3 | 6 | \( 3 \times 6 = 18 \) |
| 5 | 8 | \( 5 \times 8 = 40 \) |
| 7 | 15 | \( 7 \times 15 = 105 \) |
| 9 | P | \( 9 \times P = 9P \) |
| 11 | 8 | \( 11 \times 8 = 88 \) |
| 13 | 4 | \( 13 \times 4 = 52 \) |
| \( \Sigma \text{f} = (6+8+15+P+8+4) = (41 + P) \) | \( \Sigma \text{fx} = (18+40+105+9P+88+52) = (303 + 9P) \) |
हम जानते हैं कि समान्तर माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] माध्य का मान 7.5 दिया गया है, इसलिए: \[ 7.5 = \frac{303 + 9P}{41 + P} \] अब हम P के लिए समीकरण को हल करते हैं। सबसे पहले दोनों पक्षों को \( (41+P) \) से गुणा करते हैं:
\( 7.5(41 + P) = 303 + 9P \)
\( \implies 307.5 + 7.5P = 303 + 9P \)
\( \implies 307.5 - 303 = 9P - 7.5P \)
\( \implies 4.5 = 1.5P \)
\( \implies P = \frac{4.5}{1.5} \)
\( \implies P = 3 \) अतः, P का मान 3 है।
In simple words: जब माध्य दिया हो और एक 'f' गुम हो, तो पहले हर X को उसकी f से गुणा करो. फिर 'f' और 'fx' के सभी मानों को जोड़ो, जिसमें गुम हुई 'f' (P) भी शामिल हो. अब माध्य के सूत्र में सभी मान रखो और समीकरण को हल करके P का मान निकालो.
🎯 Exam Tip: अज्ञात आवृत्ति (P) वाले प्रश्नों में, समीकरण बनाते समय बीजगणितीय गणनाओं को ध्यान से करें, विशेषकर दशमलव के साथ गुणा करते समय।
Question 8. यदि निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य 1.46 हो तो अज्ञात बारम्बारताएं ज्ञात कीजिए।
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | योग |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 46 | ... | ... | 25 | 10 | 5 | 200 |
Answer: हमें दिया गया है कि बंटन का माध्य 1.46 है और कुल आवृत्ति 200 है। हमें अज्ञात बारम्बारताएं (मान लीजिए L1 और L2) ज्ञात करनी हैं। इसके लिए, हम पहले एक सारणी बनाते हैं, जिसमें X और f के मानों से fx की गणना करते हैं। अज्ञात बारम्बारताओं को L1 और L2 मानकर, हम \(\Sigma \text{f}\) और \(\Sigma \text{fx}\) को L1 और L2 के पदों में व्यक्त करते हैं। फिर, माध्य के सूत्र और कुल आवृत्ति के समीकरण का उपयोग करके, हम L1 और L2 के लिए दो रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं और उन्हें हल करते हैं।
| X | f | fx |
|---|---|---|
| 0 | 46 | \( 0 \times 46 = 0 \) |
| 1 | L₁ | \( 1 \times \text{L₁} = \text{L₁} \) |
| 2 | L₂ | \( 2 \times \text{L₂} = 2\text{L₂} \) |
| 3 | 25 | \( 3 \times 25 = 75 \) |
| 4 | 10 | \( 4 \times 10 = 40 \) |
| 5 | 5 | \( 5 \times 5 = 25 \) |
| योग | \( \Sigma \text{f} = 200 \) | \( \Sigma \text{fx} = (0+\text{L₁}+2\text{L₂}+75+40+25) = (140 + \text{L₁} + 2\text{L₂}) \) |
हमें दिया गया है कि कुल आवृत्ति \(\Sigma \text{f} = 200\)। इसलिए:
\( 46 + \text{L₁} + \text{L₂} + 25 + 10 + 5 = 200 \)
\( \implies 86 + \text{L₁} + \text{L₂} = 200 \)
\( \implies \text{L₁} + \text{L₂} = 200 - 86 \)
\( \implies \text{L₁} + \text{L₂} = 114 \) ... (i) माध्य का सूत्र है: \[ \overline{\mathrm{X}} = \frac{\Sigma \mathrm{fx}}{\Sigma \mathrm{f}} \] हमें माध्य \(\overline{\mathrm{X}} = 1.46\) दिया गया है। मान रखने पर:
\( 1.46 = \frac{140 + \text{L₁} + 2\text{L₂}}{200} \)
\( \implies 140 + \text{L₁} + 2\text{L₂} = 1.46 \times 200 \)
\( \implies 140 + \text{L₁} + 2\text{L₂} = 292 \)
\( \implies \text{L₁} + 2\text{L₂} = 292 - 140 \)
\( \implies \text{L₁} + 2\text{L₂} = 152 \) ... (ii) अब समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर: समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर:
\( (\text{L₁} + 2\text{L₂}) - (\text{L₁} + \text{L₂}) = 152 - 114 \)
\( \implies \text{L₂} = 38 \) L₂ का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( \text{L₁} + 38 = 114 \)
\( \implies \text{L₁} = 114 - 38 \)
\( \implies \text{L₁} = 76 \) अतः, अज्ञात बारम्बारताएं L₁ = 76 और L₂ = 38 हैं।
In simple words: जब दो 'f' गुम हों और माध्य के साथ कुल 'f' का योग भी दिया हो, तो पहले fx निकालो. फिर कुल 'f' के जोड़ से एक समीकरण बनाओ. दूसरा समीकरण माध्य के सूत्र से बनाओ. अब इन दो समीकरणों को हल करके दोनों गुम हुई 'f' ढूंढो.
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में दो अज्ञात चर (L1, L2) को हल करने के लिए एक साथ दो समीकरणों को सही ढंग से बनाना और हल करना महत्वपूर्ण है, जिसके लिए बीजगणितीय कौशल की आवश्यकता होती है।
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