RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 17 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप Exercise 17.1

Question 1. यदि एक कक्षा में गणित विषय में दस छात्रों के प्राप्तांक 52, 75, 40, 70, 43, 40, 65, 35, 48, 52 हों तो समान्तर मध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य को औसत भी कहते हैं। इसे सभी अंकों के योग को अंकों की कुल संख्या से भाग देकर प्राप्त किया जाता है।
समान्तर माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma \chi}{n} = \frac{\text{आँकड़ों का योग}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)
\( = \frac{52+75+40+70+43+40+65+35+48+52}{10} \)
\( = \frac{520}{10} \)
\( \overline{X} = 52 \) अंक
अतः समान्तर माध्य \( \overline{X}=52 \) अंक है।
In simple words: सभी दिए गए अंकों को जोड़ें और फिर उन्हें अंकों की कुल संख्या (जो कि 10 है) से भाग दें। परिणाम 52 होगा, जो कि समान्तर माध्य है।

🎯 Exam Tip: Ensure that all numbers are added correctly and that you divide by the exact total count of observations to find the mean accurately.

Question 2. एक विद्यालय के सहायक कर्मचारियों का मासिक वेतन रुपयों में 1720, 1750, 1760 तथा 1710 है, तो समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer: समान्तर माध्य निकालने के लिए सभी वेतनों को जोड़कर कुल कर्मचारियों की संख्या से भाग देंगे। यह वेतन का औसत दिखाता है।
समान्तर माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma \chi}{n} = \frac{\text{आँकड़ों का योग}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)
\( = \frac{1720+1750+1760+1710}{4} \)
\( = \frac{6940}{4} \)
\( \overline{X} = 1735 \) Rs.
अतः अभीष्ट समान्तर माध्य = Rs. 1735 है।
In simple words: सभी कर्मचारियों के मासिक वेतन को जोड़ें, फिर कुल 4 कर्मचारियों से भाग दें। आपका उत्तर Rs. 1735 होगा।

🎯 Exam Tip: Be careful while summing up the amounts and performing the division to avoid calculation errors.

Question 3. अंकों का समान्तर माध्य 4 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: यदि 8 अंकों का समान्तर माध्य 4 है, तो उन सभी 8 अंकों का कुल योग \( 4 \times 8 = 32 \) होगा। यदि अन्य 7 अंकों का योग 26 है, तो लुप्त अंक x को कुल योग में से घटाकर ज्ञात किया जा सकता है।
कुल अंकों का योग \( = 32 \)
अन्य अंकों का योग \( = 26 \)
\( 32 = 26 + x \)
\( x = 32 - 26 \)
\( x = 6 \)
अतः x का मान 6 है।
In simple words: अगर कुल 8 संख्याओं का औसत 4 है, तो उनका जोड़ 32 होगा। अगर बाकी 7 संख्याओं का जोड़ 26 है, तो x का मान 32 में से 26 घटाकर निकाला जाएगा, जो कि 6 है।

🎯 Exam Tip: When the mean and sum of known values are given, you can find a missing value by first calculating the total sum of all values using the mean and then subtracting the sum of known values.

Question 4. क्रिकेट के एक खिलाड़ी ने 10 पारियों में क्रमशः 60, 62, 56, 64, 0, 57, 33, 27, 9 और 71 रन बनाए। उसके इन पारियों के रनों का औसत ज्ञात कीजिए।
Answer: खिलाड़ी द्वारा बनाई गई सभी पारियों के रनों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम कुल रनों को पारियों की संख्या से भाग देंगे। यह खिलाड़ी के प्रदर्शन का सामान्य विचार देता है।
समान्तर माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma \chi}{n} = \frac{\text{आँकड़ों का योग}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)
\( = \frac{60+62+56+64+0+57+33+27+9+71}{10} \)
\( = \frac{439}{10} \)
\( \overline{X} = 43.9 \) रन
अतः खिलाड़ी की पारियों के रनों का औसत = 43.9 रन है।
In simple words: खिलाड़ी ने जितनी भी पारियाँ खेली हैं, उनमें बनाए गए कुल रन (439) को पारियों की कुल संख्या (10) से भाग दें। औसत 43.9 रन होगा।

🎯 Exam Tip: Remember to include '0' runs in your sum if a score of zero is recorded for an inning, as it still counts as a played inning in the total count.

Question 5. एक मासिक परीक्षा में 10 विद्यार्थियों के द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त निम्न अंकों से समान्तर माध्य की गणना कीजिए-

Answer: समान्तर माध्य निकालने के लिए सभी विद्यार्थियों के प्राप्तांकों को जोड़कर कुल विद्यार्थियों की संख्या से भाग देंगे। इससे परीक्षा में विद्यार्थियों का औसत प्रदर्शन पता चलता है।
समान्तर माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma \chi}{n} = \frac{\text{कुल प्राप्तांकों का योग}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} \)
\( = \frac{30+28+32+12+18+20+25+15+26+14}{10} \)
\( \overline{X} = \frac{220}{10} \)
\( \overline{X} = 22 \) अंक
अतः समान्तर माध्य = 22 अंक है।
In simple words: सभी 10 विद्यार्थियों के नंबरों को जोड़ें (जो कि 220 है)। फिर इस जोड़ को कुल विद्यार्थियों की संख्या (10) से भाग दें। औसत अंक 22 होगा।

🎯 Exam Tip: Always double-check your addition for all the scores and ensure that you divide by the correct number of observations (students in this case).

Question 6. प्रतिदिन दी गई पुस्तकों की संख्या क्रमशः 300, 405, 455, 489, 375, 280, 418, 502, 300, 476 है। प्रतिदिन दी गई पुस्तकों की औसत संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: पुस्तकों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सभी दिनों की पुस्तकों की संख्या का योग करेंगे और फिर उसे कुल दिनों की संख्या से भाग देंगे। यह हमें प्रतिदिन वितरित पुस्तकों की सामान्य संख्या बताता है।
समान्तर माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma \chi}{n} = \frac{\text{पुस्तकों की कुल संख्या}}{\text{आँकड़ों की संख्या}} \)
\( = \frac{300+405+455+489+375+280+418+502+300+476}{10} \)
\( = \frac{4000}{10} \)
\( \overline{X} = 400 \)
अतः प्रतिदिन दी गई पुस्तकों की औसत संख्या = 400 है।
In simple words: सभी दिए गए दिनों में दी गई पुस्तकों की संख्याओं को एक साथ जोड़ें। कुल जोड़ (4000) को कुल दिनों (10) से भाग दें। आपका औसत 400 होगा।

🎯 Exam Tip: Carefully add all the numbers to get the correct sum, as a small error in addition will lead to an incorrect average.

Question 7. एक कक्षा के वर्ग A के 25 छात्रों का औसत भार 51 किग्रा है, जबकि वर्ग B के 35 छात्रों का औसत भार 54 किग्रा. है। इस कक्षा के कुल 60 छात्रों के भार का औसत ज्ञात कीजिए।
Answer: कुल छात्रों का औसत भार ज्ञात करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक वर्ग के छात्रों के कुल भार की गणना करनी होगी। औसत भार समूहों के आकार पर निर्भर करता है, इसलिए यह एक भारित औसत है।
माना कि \( X_1, X_2, \ldots, X_{25} \) वे 25 छात्र हैं, जिनका औसत भार 51 किग्रा. है।
\( \overline{X}_1 = \frac{1}{n} (\Sigma X_i) \)
\( 51 = \frac{X_1+X_2+X_3+\ldots+X_{25}}{25} \)
\( \implies X_1+X_2+X_3+\ldots+X_{25} = 51 \times 25 \)
\( \implies X_1+X_2+X_3+\ldots+X_{25} = 1275 \)
अब माना कि \( Y_1, Y_2, Y_3, \ldots, Y_{35} \) वे 35 छात्र हैं, जिनका औसत भार 54 किग्रा. है।
\( \overline{Y} = \frac{1}{n} (\Sigma Y_i) \)
\( 54 = \frac{Y_1+Y_2+Y_3+\ldots+Y_{35}}{35} \)
\( \implies Y_1+Y_2+Y_3+\ldots+Y_{35} = 54 \times 35 \)
\( \implies Y_1+Y_2+Y_3+\ldots+Y_{35} = 1890 \)
दोनों वर्गों के कुल छात्रों का औसत भार \( \overline{X} = \frac{\text{वर्ग A का कुल भार} + \text{वर्ग B का कुल भार}}{\text{कुल छात्रों की संख्या}} \)
\( \overline{X} = \frac{1275+1890}{60} = \frac{3165}{60} = 52.75 \) किग्रा.
अतः 60 छात्रों के भार का औसत 52.75 किग्रा. है।
In simple words: पहले वर्ग A के 25 छात्रों का कुल वजन (51 किग्रा \( \times \) 25 = 1275 किग्रा) और वर्ग B के 35 छात्रों का कुल वजन (54 किग्रा \( \times \) 35 = 1890 किग्रा) निकालें। फिर दोनों कुल वजनों को जोड़कर (1275 + 1890 = 3165 किग्रा), कुल 60 छात्रों से भाग दें। औसत वजन 52.75 किग्रा होगा।

🎯 Exam Tip: For combined mean problems, always calculate the total sum for each group first, then sum those totals and divide by the total number of items from all groups.

Question 8. पाँच संख्याओं का औसत 18 है। यदि एक संख्या हटा दी जाती है तो औसत 16 हो जाता है। हटाई गई संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हटाई गई संख्या को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाँच संख्याओं के कुल योग की गणना करेंगे, फिर बची हुई चार संख्याओं के कुल योग की गणना करेंगे। दोनों योगों का अंतर हटाई गई संख्या होगी।
पाँच संख्याओं का कुल योग \( = 5 \times 18 = 90 \)
एक संख्या हटाने के बाद, शेष 4 संख्याओं का औसत 16 हो जाता है।
शेष चार संख्याओं का कुल योग \( = 4 \times 16 = 64 \)
हटाई गई संख्या \( = (\text{पाँच संख्याओं का कुल योग}) - (\text{शेष चार संख्याओं का कुल योग}) \)
हटाई गई संख्या \( = 90 - 64 = 26 \)
अतः हटाई गई संख्या 26 है।
In simple words: पहले, 5 संख्याओं का कुल जोड़ (90) निकालें। फिर, एक संख्या हटाने के बाद बची 4 संख्याओं का कुल जोड़ (64) निकालें। 90 में से 64 घटाने पर आपको हटाई गई संख्या, जो कि 26 है, मिल जाएगी।

🎯 Exam Tip: This type of problem relies on correctly calculating the total sum of items before and after a change (addition or removal) to find the value of the changed item.

Question 9. 13 संख्याओं का माध्य 24 है। यदि प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ दिया जाये, तो नये माध्य में क्या परिवर्तन आयेगा?
Answer: यदि प्रत्येक संख्या में एक ही मान जोड़ा जाता है, तो माध्य में भी उतना ही परिवर्तन आता है। यहाँ, प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ने पर नया माध्य पुराने माध्य में 3 जोड़ने के बराबर होगा।
माना \( X_1, X_2, \ldots, X_{13} \) 13 संख्यायें हैं, जिनका माध्य 24 है।
तब माध्य \( \overline{X} = \frac{\Sigma X_i}{n} \)
\( 24 = \frac{X_1+X_2+\ldots+X_{13}}{13} \)
\( \implies X_1+X_2+\ldots+X_{13} = 24 \times 13 \)
\( \implies X_1+X_2+\ldots+X_{13} = 312 \)
प्रत्येक संख्या में 3 जोड़ा जाये तो नयी संख्याएँ होंगी: \( X_1+3, X_2+3, \ldots, X_{13}+3 \)
नयी संख्याओं का कुल योग \( = (X_1+3) + (X_2+3) + \ldots + (X_{13}+3) \)
\( = (X_1+X_2+\ldots+X_{13}) + (3 \times 13) \)
\( = 312 + 39 \)
\( = 351 \)
नया माध्य \( \overline{X}_1 = \frac{351}{13} \)
\( \implies \overline{X}_1 = 27 \)
नया माध्य \( = 24 + 3 = 27 \) होगा।
In simple words: जब हर संख्या में एक ही अंक जोड़ा जाता है, तो औसत (माध्य) में भी वही अंक जुड़ जाता है। इसलिए, यदि पुराना माध्य 24 है और हर संख्या में 3 जोड़ा जाता है, तो नया माध्य \( 24 + 3 = 27 \) होगा।

🎯 Exam Tip: Remember the property that if each value in a data set is increased or decreased by a constant 'k', the mean is also increased or decreased by 'k' respectively.

Question 10. एक विद्यालय के पाँच कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन Rs. 3000 है। एक कर्मचारी के सेवानिवृत्त होने पर शेष कर्मचारियों का औसत मासिक वेतन Rs. 3200 हो जाता है। सेवानिवृत्त कर्मचारी का, सेवानिवृत्ति के समय कितना वेतन था?
Answer: सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाँच कर्मचारियों के कुल वेतन की गणना करेंगे, फिर सेवानिवृत्ति के बाद बचे हुए चार कर्मचारियों के कुल वेतन की गणना करेंगे। दोनों कुल वेतनों का अंतर ही सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन होगा।
पाँच कर्मचारियों का कुल वेतन \( = 3000 \times 5 \)
\( = \) Rs. 15,000
एक कर्मचारी के सेवानिवृत्त होने पर 4 कर्मचारी शेष रह गए।
चार कर्मचारियों का कुल वेतन \( = 3200 \times 4 \)
\( = \) Rs. 12,800
सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन \( = (\text{पाँच कर्मचारियों का कुल वेतन}) - (\text{चार कर्मचारियों का कुल वेतन}) \)
सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन \( = 15000 - 12800 \)
\( = \) Rs. 2,200
अतः सेवानिवृत्त कर्मचारी का मासिक वेतन Rs. 2,200 था।
In simple words: पहले 5 कर्मचारियों का कुल वेतन (Rs. 15,000) निकालें। फिर 4 बचे हुए कर्मचारियों का कुल वेतन (Rs. 12,800) निकालें। Rs. 15,000 में से Rs. 12,800 घटाने पर आपको सेवानिवृत्त कर्मचारी का वेतन Rs. 2,200 मिलेगा।

🎯 Exam Tip: The key to solving such problems is to always find the total sum of values for both the initial and final groups to determine the value of the added or removed item.