RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन More Ques

विविध प्रश्नमाला 16

Question 1. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 486 वर्ग सेमी. है। घन की भुजा, होगी
(क) 6 सेमी.
(ख) 8 सेमी.
(ग) 9 सेमी.
(घ) 7 सेमी.
Answer: (ग) 9 सेमी.
In simple words: A cube has 6 identical faces. If its total surface area is 486 square cm, then each side of the cube would be 9 cm long. You find the area of one face (486/6 = 81) and then take the square root to get the side length.

🎯 Exam Tip: Remember that the total surface area of a cube is calculated by \( 6 \times (\text{side})^2 \). To find the side length, divide the total surface area by 6 and then take the square root.

Question 2. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 9 मीटर, 2 मीटर और 1 मीटर है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(क) 12 वर्ग मीटर
(ख) 11 वर्ग मीटर
(ग) 21 वर्ग मीटर
(घ) 22 वर्ग मीटर
Answer: (घ) 22 वर्ग मीटर
In simple words: To find the total surface area of a cuboid, you add the areas of all its six rectangular faces. With a length of 9m, width of 2m, and height of 1m, the total surface area comes out to 22 square meters.

🎯 Exam Tip: The surface area of a cuboid is given by the formula \( 2(lb + bh + hl) \). Make sure to use consistent units for all measurements.

Question 3. एक गोले का व्यास 6 सेमी. है। गोले का आयतन होगा
(क) 16 \( \pi \) घन सेमी.
(ख) 20 \( \pi \) घन सेमी.
(ग) 36 \( \pi \) घन सेमी.
(घ) 30 \( \pi \) घन सेमी.
Answer: (ग) 36 \( \pi \) घन सेमी.
In simple words: The volume of a sphere is found using its radius. If the diameter is 6 cm, the radius is 3 cm. Plugging this into the formula gives you 36\( \pi \) cubic cm.

🎯 Exam Tip: Always remember that radius is half of the diameter. The formula for the volume of a sphere is \( \frac{4}{3} \pi r^3 \).

Question 5. एक शंकु का आयतन 308 सेमी. और ऊँचाई 6 सेमी. है। उसके आधार की त्रिज्या होगी
(क) 7 सेमी.
(ख) 8 सेमी.
(ग) 6 सेमी.
(घ) इनमें से कोई नहीं
Answer: (क) 7 सेमी.
In simple words: If you know the volume and height of a cone, you can work backward to find its base radius. The radius that gives a volume of 308 cubic cm with a height of 6 cm is 7 cm.

🎯 Exam Tip: The volume of a cone is given by \( \frac{1}{3} \pi r^2 h \). Rearrange the formula to solve for \( r \) when \( V \) and \( h \) are known: \( r = \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} \).

Question 6. एक ठोस धातु के अर्ध गोले का व्यास 42 सेमी. है। इसके सम्पूर्ण पृष्ठ पर 20 पैसे प्रति वर्ग सेमी. की दर से पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
अर्ध गोले का व्यास \( = 42 \) सेमी.
तब अर्ध गोले की त्रिज्या \( (r) = \frac{42}{2} = 21 \) सेमी.
अर्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 3\pi r^2 \)
\( = 3 \pi (21)^2 \)
\( = 3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( = 3 \times 22 \times 3 \times 21 \)
\( = 4158 \) वर्ग सेमी.
पॉलिश कराने का व्यय प्रति वर्ग सेमी. \( = 20 \) पैसे \( = \text{Rs. } 0.20 \)
कुल पॉलिश कराने का व्यय \( = 0.20 \times 4158 = \text{Rs. } 831.60 \)
In simple words: First, find the radius of the hemisphere from its diameter. Then calculate the total surface area of the hemisphere using the formula. Finally, multiply this area by the cost per square centimeter to get the total cost of polishing.

🎯 Exam Tip: For a hemisphere, the total surface area includes the curved surface and the flat circular base, so the formula is \( 3\pi r^2 \). Be careful to convert paise to rupees if necessary.

Question 7. एक शंकु, एक अर्द्ध गोला व एक बेलन एक ही आधार और ऊँचाई पर बने हैं। उनके आयतनों का अनुपात लिखिए।
Answer:
माना शंकु, अर्द्ध गोला और बेलन की त्रिज्या \( = r \)
तथा ऊँचाई \( = h \)
चूंकि वे एक ही आधार और ऊँचाई पर बने हैं, तो \( h = r \) (अर्द्ध गोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है).
शंकु का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r) = \frac{1}{3} \pi r^3 \)
अर्द्ध गोले का आयतन \( = \frac{2}{3} \pi r^3 \)
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3 \)
तीनों के आयतनों का अनुपात होगा:
शंकु : अर्द्ध गोला : बेलन \( = \frac{1}{3} \pi r^3 : \frac{2}{3} \pi r^3 : \pi r^3 \)
सभी को \( \pi r^3 \) से भाग देने पर:
\( = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} : 1 \)
सभी को 3 से गुणा करने पर:
\( = 1 : 2 : 3 \)
अतः तीनों के आयतन का क्रमशः अनुपात होगा \( 1:2:3 \).
In simple words: When a cone, a hemisphere, and a cylinder all have the same base radius and the same height (which means the height is equal to the radius for the hemisphere), their volumes are in a fixed ratio. This ratio is always 1:2:3, with the cone being the smallest and the cylinder being the largest.

🎯 Exam Tip: Remember the volume formulas for cone (\( \frac{1}{3}\pi r^2 h \)), hemisphere (\( \frac{2}{3}\pi r^3 \)), and cylinder (\( \pi r^2 h \)). For common base and height, if height equals radius, the ratio simplifies nicely to 1:2:3.

Question 8. एक ठोस पिण्ड का बायां भाग बेलनाकार और दायां भाग शंकुनुमा है। यदि बेलन का व्यास 14 सेमी. तथा लंबाई 40 सेमी. और शंकु का व्यास 14 सेमी. तथा उसकी ऊँचाई 12 सेमी. हो, तो ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
बेलनाकार भाग के लिए:
व्यास \( = 14 \) सेमी. \( \implies \) त्रिज्या \( r = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.
लंबाई (ऊँचाई) \( h = 40 \) सेमी.
शंकुनुमा भाग के लिए:
व्यास \( = 14 \) सेमी. \( \implies \) त्रिज्या \( r = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.
ऊँचाई \( h' = 12 \) सेमी.
ठोस का कुल आयतन \( = \) बेलन का आयतन \( + \) शंकु का आयतन
\( = \pi r^2 h + \frac{1}{3} \pi r^2 h' \)
\( = \pi r^2 (h + \frac{1}{3} h') \)
\( = \frac{22}{7} \times (7)^2 \times (40 + \frac{1}{3} \times 12) \)
\( = \frac{22}{7} \times 49 \times (40 + 4) \)
\( = 22 \times 7 \times 44 \)
\( = 154 \times 44 \)
\( = 6776 \) घन सेमी.
अतः ठोस का आयतन \( = 6776 \) घन सेमी.
In simple words: This solid shape is made of a cylinder and a cone joined together. To find its total volume, calculate the volume of the cylindrical part and the volume of the conical part separately, then add them up. Remember to use the radius (half of the diameter) for both parts.

🎯 Exam Tip: When a solid is a combination of shapes, calculate the volume of each component shape and then sum them up. Ensure you use the correct height for each part (length for cylinder, vertical height for cone).

Question 9. 9 सेमी. त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी. त्रिज्या और 6 सेमी. ऊँचाई के शंकु बनाए जा सकते हैं। शंकुओं की संख्या ज्ञात करो।
Answer:
हल:
बड़े धातु के गोले की त्रिज्या \( R = 9 \) सेमी.
गोले का आयतन \( = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 729 = 4 \times 243 \pi = 972 \pi \) घन सेमी.
बनाए जाने वाले प्रत्येक शंकु की त्रिज्या \( r = 3 \) सेमी.
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई \( h = 6 \) सेमी.
एक शंकु का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (6) = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 6 = 18 \pi \) घन सेमी.
बनाए जा सकने वाले शंकुओं की संख्या \( = \frac{\text{गोले का आयतन}}{\text{एक शंकु का आयतन}} \)
\( = \frac{972 \pi}{18 \pi} = 54 \)
अतः बने शंकुओं की संख्या \( = 54 \).
In simple words: If you melt a large metal sphere and reshape the metal into smaller cones, the total amount of metal (volume) stays the same. To find out how many cones you can make, divide the volume of the large sphere by the volume of one small cone. This shows how many smaller items can be made from a larger one.

🎯 Exam Tip: In problems involving melting and recasting, the volume of the material remains constant. Always calculate the initial total volume and divide it by the volume of one new object to find the number of objects formed.

Question 10. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, जिसको प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर \( \times \) 15 मीटर \( \times \) 6 मीटर माप वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
Answer:
हल:
टंकी की माप \( = 20 \) मीटर \( \times \) 15 मीटर \( \times \) 6 मीटर
टंकी का आयतन \( = 20 \times 15 \times 6 = 1800 \) घन मीटर.
हम जानते हैं कि \( 1 \) घन मीटर \( = 1000 \) लीटर
इसलिए, टंकी का आयतन \( = 1800 \times 1000 = 18,00,000 \) लीटर.
गाँव की जनसंख्या \( = 4000 \)
गाँव को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति \( 150 \) लीटर पानी की आवश्यकता है.
प्रतिदिन कुल पानी की आवश्यकता \( = 4000 \times 150 = 6,00,000 \) लीटर.
पानी की टंकी का पानी पर्याप्त होगा \( = \frac{\text{टंकी का कुल पानी}}{\text{प्रतिदिन कुल पानी की आवश्यकता}} \)
\( = \frac{18,00,000}{6,00,000} = 3 \) दिन.
अतः पानी की टंकी का पानी वहाँ \( 3 \) दिन के लिए पर्याप्त होगा.
In simple words: First, calculate the total amount of water the tank can hold by finding its volume and converting it to liters. Next, figure out how much water the entire village needs each day. Finally, divide the total water in the tank by the daily water usage to find out for how many days the water will last.

🎯 Exam Tip: Always remember the conversion factor: 1 cubic meter = 1000 liters. This is crucial for problems involving water storage and consumption.

Question 11. क्रमशः 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला नागा पोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
पहले गोले की त्रिज्या \( r_1 = 6 \) सेमी.
पहले गोले का आयतन \( V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 216 = 288 \pi \) घन सेमी.
दूसरे गोले की त्रिज्या \( r_2 = 8 \) सेमी.
दूसरे गोले का आयतन \( V_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3 = \frac{4}{3} \pi (8)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 512 = \frac{2048}{3} \pi \) घन सेमी.
तीसरे गोले की त्रिज्या \( r_3 = 10 \) सेमी.
तीसरे गोले का आयतन \( V_3 = \frac{4}{3} \pi r_3^3 = \frac{4}{3} \pi (10)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 1000 = \frac{4000}{3} \pi \) घन सेमी.
माना बड़े गोले की त्रिज्या \( R \) है.
बड़े गोले का आयतन \( V = V_1 + V_2 + V_3 \)
\( \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (6)^3 + \frac{4}{3} \pi (8)^3 + \frac{4}{3} \pi (10)^3 \)
दोनों तरफ \( \frac{4}{3} \pi \) से भाग देने पर:
\( R^3 = (6)^3 + (8)^3 + (10)^3 \)
\( R^3 = 216 + 512 + 1000 \)
\( R^3 = 1728 \)
\( R = \sqrt[3]{1728} \)
\( R = \sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3} \)
\( R = 2 \times 2 \times 3 \)
\( R = 12 \) सेमी.
अतः बड़े गोले की त्रिज्या \( = 12 \) सेमी.
In simple words: When multiple spheres are melted and combined to form one large sphere, the total volume of metal remains the same. You need to calculate the volume of each small sphere, add them up, and then use this total volume to find the radius of the new, larger sphere.

🎯 Exam Tip: For problems involving melting and recasting, the principle of conservation of volume is key. The sum of the volumes of the original objects equals the volume of the new object formed.

Question 12. एक शंकु के आकार की बर्तन की त्रिज्या 10 सेमी और ऊँचाई 18 सेमी है। पानी से पूरा भरा हुआ है। इसे 5 सेमी. त्रिज्या के एक बेलनाकार बर्तन में उँडेला जाता है। बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
शंकु के आकार के बर्तन के लिए:
त्रिज्या \( r_c = 10 \) सेमी.
ऊँचाई \( h_c = 18 \) सेमी.
शंकु का आयतन \( V_c = \frac{1}{3} \pi r_c^2 h_c \)
\( = \frac{1}{3} \times \pi \times (10)^2 \times 18 \)
\( = \frac{1}{3} \times \pi \times 100 \times 18 \)
\( = 600 \pi \) घन सेमी.
बेलनाकार बर्तन के लिए:
त्रिज्या \( r_b = 5 \) सेमी.
माना बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई \( h_b \) है.
बेलन का आयतन \( V_b = \pi r_b^2 h_b = \pi (5)^2 h_b = 25 \pi h_b \) घन सेमी.
चूंकि शंकु का पानी बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है, तो आयतन समान रहेगा:
\( V_c = V_b \)
\( 600 \pi = 25 \pi h_b \)
दोनों तरफ \( \pi \) से भाग देने पर:
\( 600 = 25 h_b \)
\( h_b = \frac{600}{25} \)
\( h_b = 24 \) सेमी.
अतः बेलनाकार बर्तन में पानी की ऊँचाई \( 24 \) सेमी. होगी.
In simple words: When water from a cone-shaped container is poured into a cylinder-shaped container, the volume of the water remains the same. First, calculate the volume of water in the cone. Then, use this volume and the radius of the cylindrical container to find the height the water will reach in the cylinder.

🎯 Exam Tip: Remember that volume is conserved when liquid is transferred from one container to another. Equate the volume formulas for the initial and final shapes to solve for the unknown dimension.

Question 13. यदि 11 सेमी. \( \times \) 3.5 सेमी. \( \times \) 2.5 सेमी. मोम के एक घनाभ से 2.8 सेमी. व्यास की एक मोमबत्ती बनाई ई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
मोम के घनाभ की विमाएँ:
लम्बाई \( l = 11 \) सेमी.
चौड़ाई \( b = 3.5 \) सेमी.
ऊँचाई \( h = 2.5 \) सेमी.
घनाभ का आयतन \( V_c = l \times b \times h = 11 \times 3.5 \times 2.5 = 96.25 \) घन सेमी.
मोमबत्ती (बेलनाकार) के लिए:
व्यास \( = 2.8 \) सेमी.
त्रिज्या \( r = \frac{2.8}{2} = 1.4 \) सेमी.
माना मोमबत्ती की ऊँचाई \( H \) है.
बेलनाकार मोमबत्ती का आयतन \( V_m = \pi r^2 H = \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \times H \)
\( = \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times H \)
\( = 22 \times 0.2 \times 1.4 \times H \)
\( = 6.16 H \) घन सेमी.
चूंकि घनाभ से मोमबत्ती बनाई जाती है, तो आयतन समान रहेगा:
\( V_c = V_m \)
\( 96.25 = 6.16 H \)
\( H = \frac{96.25}{6.16} \)
\( H = 15.625 \) सेमी.
अतः मोमबत्ती की ऊँचाई \( = 15.625 \) सेमी.
In simple words: When a block of wax is melted and reshaped into a cylindrical candle, the total amount of wax (volume) stays the same. Calculate the volume of the original cuboid of wax. Then, using this volume and the radius of the candle, find the height of the candle.

🎯 Exam Tip: Always convert the diameter to radius before using it in formulas. The volume of the original solid will be equal to the volume of the new solid formed after melting and recasting.

Question 14. धातु के एक गोले का व्यास 6 सेमी. है। गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ-परिच्छेद वाला तार बनाया गया है। यदि तार की लम्बाई 36 मीटर हो, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
गोले के लिए:
व्यास \( = 6 \) सेमी.
त्रिज्या \( r_s = \frac{6}{2} = 3 \) सेमी.
गोले का आयतन \( V_s = \frac{4}{3} \pi r_s^3 = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 = 36 \pi \) घन सेमी.
तार (बेलनाकार) के लिए:
लंबाई (ऊँचाई) \( h_w = 36 \) मीटर \( = 36 \times 100 = 3600 \) सेमी. (1 मीटर = 100 सेमी.)
माना तार की त्रिज्या \( r_w \) है.
तार का आयतन \( V_w = \pi r_w^2 h_w = \pi r_w^2 (3600) \) घन सेमी.
चूंकि गोले को पिघलाकर तार बनाया गया है, तो आयतन समान रहेगा:
\( V_s = V_w \)
\( 36 \pi = \pi r_w^2 (3600) \)
दोनों तरफ \( \pi \) से भाग देने पर:
\( 36 = r_w^2 \times 3600 \)
\( r_w^2 = \frac{36}{3600} = \frac{1}{100} \)
\( r_w = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} \)
\( r_w = 0.1 \) सेमी.
\( r_w = 0.1 \times 10 = 1 \) मिमी. (1 सेमी. = 10 मिमी.)
अतः तार की त्रिज्या \( = 0.1 \) सेमी. या \( 1 \) मिमी.
In simple words: When a metal sphere is melted and stretched into a thin wire, the total amount of metal remains constant. First, calculate the volume of the sphere. Then, knowing that the wire is a cylinder, use its length (height) and the sphere's volume to find the radius of the wire. Remember to convert all units to be consistent (e.g., meters to centimeters).

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit conversions, especially between meters and centimeters, as a common mistake is to mix them up. The volume of the original object must equal the volume of the recast object.

अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Question 1. एक घन की कोर 4 सेमी. है। इसके विकर्ण की लम्बाई है
(a) 4 सेमी.
(b) \( 2\sqrt{3} \) सेमी.
(c) \( 3\sqrt{3} \) सेमी.
(घ) \( 4\sqrt{3} \) सेमी.
Answer: (घ) \( 4\sqrt{3} \) सेमी.
In simple words: For a cube, the diagonal that goes from one corner all the way to the opposite corner (through the inside of the cube) can be found using a simple formula involving its side length. If the side is 4 cm, the main diagonal is 4 times the square root of 3.

🎯 Exam Tip: The length of the space diagonal of a cube with side length \( a \) is given by the formula \( a\sqrt{3} \). Don't confuse it with the face diagonal, which is \( a\sqrt{2} \).

Question 2. लकड़ी के एक बन्द संदूक की बाह्य लम्बाई, चौड़ाई व ऊँचाई क्रमशः 20 सेमी., 16 सेमी. व 12 सेमी. है। यदि लकड़ी की मोटाई 1 सेमी. हो, तो लकड़ी का आयतन होगा
(क) (20 \( \times \) 16 \( \times \) 12 – 18 \( \times \) 14 \( \times \) 10) सेमी\(^3\).
(ख) (20 \( \times \) 16 \( \times \) 12 - 19 \( \times \) 15 \( \times \) 11) सेमी\(^3\).
(ग) (22 \( \times \) 18 \( \times \) 14 - 20 \( \times \) 16 \( \times \) 12) सेमी\(^3\).
(घ) (21 \( \times \) 17 \( \times \) 13 - 20 \( \times \) 16 \( \times \) 12) सेमी\(^3\).
Answer: (क) (20 \( \times \) 16 \( \times \) 12 – 18 \( \times \) 14 \( \times \) 10) सेमी\(^3\).
In simple words: To find the volume of the wood itself in a closed box, you subtract the volume of the inner space from the total volume of the box. You need to adjust the outer dimensions by the wood thickness to get the inner dimensions.

🎯 Exam Tip: For hollow objects like wooden boxes, the volume of the material is \( V_{\text{outer}} - V_{\text{inner}} \). Remember that thickness is subtracted twice (once for each side) from each dimension for the inner volume.

Question 3. एक घनाभ की लम्बाई, चौडाई और ऊँचाई क्रमशः 4 सेमी 2 सेमी. तथा 1 सेमी. है तो उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(क) 7 वर्ग सेमी.
(ख) 8 वर्ग सेमी.
(ग) 14 वर्ग सेमी.
(घ) 28 वर्ग सेमी.
Answer: (घ) 28 वर्ग सेमी.
In simple words: To calculate the total surface area of a cuboid, you sum up the areas of all its rectangular sides. With given length, width, and height, this cuboid will have a total surface area of 28 square centimeters.

🎯 Exam Tip: The formula for the total surface area of a cuboid is \( 2(lb + bh + hl) \). Make sure to correctly substitute the given length, breadth, and height values.

Question 4. 8 मीटर भुजा वाली एक वर्गाकार दीवार में 40 सेमी. \( \times \) 20 सेमी. वाली कितनी टाइल्स लगेंगी?
(क) 800
(ख) 100
(ग) 6400
(घ) 51200
Answer: (क) 800
In simple words: To find how many tiles are needed, first calculate the area of the wall and the area of one tile. Make sure both areas are in the same units, then divide the wall's area by the tile's area.

🎯 Exam Tip: Always ensure consistent units. Convert all measurements to the same unit (e.g., centimeters) before calculating areas and dividing. Area of a square is \( (\text{side})^2 \) and area of a rectangle is \( \text{length} \times \text{width} \).

Question 5. एक आयताकार टंकी के पेंदे का क्षेत्रफल 20 वर्ग मीटर है। इस टंकी में 25 सेमी. ऊँचाई तक पानी भरा है। टंकी में पानी का आयतन होगा
(a) 20 \( \times \) 25 घन मीटर
(b) 20 \( \times \frac{1}{4} \) घन मीटर
(c) 20 \( \times \frac{1}{2} \) घन मीटर
(d) 20 \( \times \) 5 घन मीटर
Answer: (b) 20 \( \times \frac{1}{4} \) घन मीटर
In simple words: The volume of water in a tank is found by multiplying the base area by the height of the water. You must make sure that the units for base area and height match. Here, convert the height from cm to meters.

🎯 Exam Tip: Volume is always \( \text{Base Area} \times \text{Height} \). Remember to convert all measurements to a consistent unit (e.g., meters) before calculation. \( 25 \) cm is \( 0.25 \) meters or \( \frac{1}{4} \) meter.

Question 6. यदि किसी शंकु की ऊँचाई एवं त्रिज्या क्रमशः 12 सेमी. और 5 सेमी. हैं तो इसके वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल है
(क) 60 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(ख) 65 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(ग) 100 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(घ) 120 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
Answer: (ख) 65 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
In simple words: To find the curved surface area of a cone, you first need its slant height. The slant height can be found using the cone's actual height and radius, then use it in the area formula.

🎯 Exam Tip: The curved surface area of a cone is \( \pi r l \), where \( l \) is the slant height. Use the Pythagorean theorem to find \( l \): \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).

Question 7. 2 सेमी. व्यास वाले ठोस कांच के एक अर्द्ध गोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
(क) 12 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(ग) 3 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(ख) 8 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
(घ) 2 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
Answer: (ग) 3 \( \pi \) सेमी. \(^2\)
In simple words: For a solid hemisphere, the total surface area includes its curved top and the flat circular base. With a diameter of 2 cm, the radius is 1 cm. Using this, the total surface area will be 3\( \pi \) square cm.

🎯 Exam Tip: The total surface area of a solid hemisphere is \( 3\pi r^2 \). Remember that the radius is half the diameter. Always check if it's a solid or hollow hemisphere when selecting the formula.

Question 8. एक गोले का व्यास 1 है, तो गोले का आयतन होगा
(क) \( \frac{4}{3} \pi d^{3} \)
(ख) \( \frac{\pi}{6} d^{3} \)
(ग) \( 4\pi d^2 \)
(घ) \( \pi d^2 \)
Answer: (ख) \( \frac{\pi}{6} d^{3} \)
In simple words: The volume of a sphere can be calculated using its diameter directly. If the diameter is \( d \), the formula becomes \( \frac{\pi d^3}{6} \). This is a useful alternative to using the radius.

🎯 Exam Tip: The standard volume formula is \( \frac{4}{3}\pi r^3 \). Since \( r = \frac{d}{2} \), substituting this gives \( \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{\pi d^3}{6} \). Memorize both forms or know how to convert between them.

Question 9. एक ठोस गोले की त्रिज्या, वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल और आयतन क्रमश: r, S व V हैं, उनके बीच में निम्न में से स
(a) \( V = 2rS \)
(b) \( 2V = rS \)
(c) \( V = rS \)
(घ) \( 3V = rS \)
Answer: (घ) \( 3V = rS \)
In simple words: There is a special relationship between the volume, surface area, and radius of a sphere. The volume (V) multiplied by 3 is equal to the product of its radius (r) and its surface area (S). This is a handy shortcut.

🎯 Exam Tip: Recall that \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \) and \( S = 4\pi r^2 \). If you substitute these into the options, you'll find that \( 3V = 3(\frac{4}{3}\pi r^3) = 4\pi r^3 \) and \( rS = r(4\pi r^2) = 4\pi r^3 \), confirming the relationship \( 3V = rS \).

Question 10. समान त्रिज्या वाले एक गोले तथा एक अर्द्ध गोले के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में अनुपात होगा
(क) 1:2
(ख) 2:1
(ग) 3:4
(घ) 4:3
Answer: (घ) 4:3
In simple words: When comparing a whole sphere and a solid hemisphere that have the same radius, their total surface areas are in a specific ratio. The sphere's area is \( 4\pi r^2 \), and the solid hemisphere's area is \( 3\pi r^2 \). So, the ratio is 4:3.

🎯 Exam Tip: The total surface area of a sphere is \( 4\pi r^2 \), and for a solid hemisphere, it's \( 3\pi r^2 \) (curved surface \( 2\pi r^2 \) + circular base \( \pi r^2 \)). Ensure you use the formula for a *solid* hemisphere, not a hollow one.

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. एक बन्द लकड़ी के बक्से की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 90 सेमी., 50 सेमी. और 30 सेमी. है। बक्से का बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
बक्से की लम्बाई \( l = 90 \) सेमी.
बक्से की चौड़ाई \( b = 50 \) सेमी.
बक्से की ऊँचाई \( h = 30 \) सेमी.
बक्से का बाहरी सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(90 \times 50 + 50 \times 30 + 30 \times 90) \)
\( = 2(4500 + 1500 + 2700) \)
\( = 2(8700) \)
\( = 17400 \) वर्ग सेमी.
यदि इसे वर्ग मीटर में बदलना हो:
\( = \frac{17400}{10000} = 1.74 \) वर्ग मीटर (1 वर्ग मीटर \( = 100 \times 100 = 10000 \) वर्ग सेमी.)
In simple words: To find the total surface area of a closed wooden box, you need to calculate the area of all six of its outer faces. Just add up the areas of the top, bottom, and all four sides. This helps to know how much paint or covering is needed.

🎯 Exam Tip: The total surface area of a cuboid is \( 2(lb + bh + hl) \). Be careful with calculations involving multiple multiplications and additions. Always include units in your final answer.

Question 2. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1014 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 1014 \) वर्ग मीटर.
माना घन की भुजा \( = a \) मीटर.
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6a^2 \)
इसलिए, \( 6a^2 = 1014 \)
\( a^2 = \frac{1014}{6} \)
\( a^2 = 169 \)
\( a = \sqrt{169} \)
\( a = 13 \) मीटर.
अतः घन की भुजा \( = 13 \) मीटर.
In simple words: If you know the total area of all the faces of a cube, you can easily find the length of one of its sides. Divide the total area by 6 (because a cube has 6 equal faces) and then take the square root of that number.

🎯 Exam Tip: The formula for the total surface area of a cube is \( 6a^2 \). To find the side length \( a \), isolate \( a^2 \) and then take the square root. Always verify your calculations.

Question 3. यदि घनाभ की लम्बाई 12 मीटर, चौड़ाई 9 मीटर और ऊँचाई 8 मीटर है तो घनाभ के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
घनाभ की लम्बाई \( l = 12 \) मीटर.
घनाभ की चौड़ाई \( b = 9 \) मीटर.
घनाभ की ऊँचाई \( h = 8 \) मीटर.
घनाभ का विकर्ण \( d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \)
\( = \sqrt{(12)^2 + (9)^2 + (8)^2} \)
\( = \sqrt{144 + 81 + 64} \)
\( = \sqrt{289} \)
\( = 17 \) मीटर.
अतः घनाभ के विकर्ण की लम्बाई \( = 17 \) मीटर.
In simple words: The diagonal of a cuboid is like the longest line you can draw inside it, from one corner to the opposite one. You can find its length by using a special version of the Pythagorean theorem with all three dimensions (length, width, height).

🎯 Exam Tip: The length of the space diagonal of a cuboid is \( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \). Ensure you square each dimension correctly before adding them and taking the square root.

Question 4. एक घन की समस्त कोरों की लम्बाइयों का योग 12 सेमी. है। घन का आयतन लिखिए।
Answer:
हल:
घन की समस्त कोरों की संख्या \( = 12 \)
समस्त कोरों की लम्बाइयों का योग \( = 12 \) सेमी.
अतः प्रत्येक कोर की लम्बाई \( a = \frac{12}{12} = 1 \) सेमी.
घन का आयतन \( = a^3 \)
\( = (1)^3 \)
\( = 1 \) घन सेमी.
अतः घन का आयतन \( = 1 \) घन सेमी.
In simple words: A cube has 12 edges, all of the same length. If you add up the lengths of all these edges, and that total is 12 cm, then each single edge must be 1 cm long. The volume of the cube is then this side length multiplied by itself three times.

🎯 Exam Tip: Remember that a cube has 12 edges of equal length. Once you find the side length, the volume is \( a^3 \).

Question 5. एक घनाकार डिब्बे का आयतन 64 घन सेमी. है। डिब्बे की प्रत्येक कोर (भुजा) की नाप लिखिए।
Answer:
हल:
घनाकार डिब्बे का आयतन \( V = 64 \) घन सेमी.
माना डिब्बे की प्रत्येक कोर (भुजा) \( = a \) सेमी.
घन का आयतन \( = a^3 \)
इसलिए, \( a^3 = 64 \)
\( a = \sqrt[3]{64} \)
\( a = \sqrt[3]{4^3} \)
\( a = 4 \) सेमी.
अतः डिब्बे की प्रत्येक कोर की लम्बाई \( = 4 \) सेमी.
In simple words: If you know how much space a cube takes up (its volume), you can find the length of one of its sides by taking the cube root of the volume. For a volume of 64 cubic cm, the side length is 4 cm.

🎯 Exam Tip: The formula for the volume of a cube is \( a^3 \). To find the side length \( a \) when the volume is given, take the cube root of the volume.

Question 6. एक घन मीटर में कितने लीटर होते हैं? लिखिए।
Answer:
हल:
1 घन मीटर \( = 1000 \) लीटर.
In simple words: One cubic meter is a large volume that can hold exactly one thousand liters of liquid. This is a standard conversion unit.

🎯 Exam Tip: This is a direct conversion fact. Memorize that \( 1 \) cubic meter \( = 1000 \) liters, as it's frequently used in volume and capacity problems.

Question 8. यदि एक अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 48\( \pi \) वर्ग सेमी. है तो इसके त्रिज्या की लम्बाई लिखिए।
Answer:
हल:
अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 48\pi \) वर्ग सेमी.
अर्द्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 3\pi r^2 \)
इसलिए, \( 3\pi r^2 = 48\pi \)
दोनों तरफ \( 3\pi \) से भाग देने पर:
\( r^2 = \frac{48\pi}{3\pi} \)
\( r^2 = 16 \)
\( r = \sqrt{16} \)
\( r = 4 \) सेमी.
अतः अर्द्धगोले की त्रिज्या \( = 4 \) सेमी.
In simple words: If you know the total surface area of a solid hemisphere, you can find its radius. Use the surface area formula, set it equal to the given area, and then solve for the radius by taking the square root.

🎯 Exam Tip: For a solid hemisphere, the total surface area formula is \( 3\pi r^2 \). Make sure to use this specific formula, as it accounts for both the curved and flat surfaces.

Question 9. एक बेलन के आधार की त्रिज्या 7 सेमी. तथा ऊँचाई 5 सेमी. है। बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल लिखिए।
Answer:
हल:
बेलन के आधार की त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( h = 5 \) सेमी.
बेलन का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 5 \)
\( = 2 \times 22 \times 5 \)
\( = 220 \) वर्ग सेमी.
अतः बेलन का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल \( = 220 \) वर्ग सेमी.
In simple words: To find the curved surface area of a cylinder, you multiply two times pi, by its radius, and by its height. This calculates the area of the side surface, not including the top and bottom circles.

🎯 Exam Tip: The curved surface area of a cylinder is \( 2\pi rh \). This formula calculates the area of the "label" part of a can, excluding the lids. Total surface area would include \( 2\pi r^2 \) for the top and bottom.

Question 10. यदि एक गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 36\( \pi \) सेमी. है तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 36\pi \) वर्ग सेमी.
गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 4\pi r^2 \)
इसलिए, \( 4\pi r^2 = 36\pi \)
दोनों तरफ \( 4\pi \) से भाग देने पर:
\( r^2 = \frac{36\pi}{4\pi} \)
\( r^2 = 9 \)
\( r = \sqrt{9} \)
\( r = 3 \) सेमी.
अतः गोले की त्रिज्या \( = 3 \) सेमी.
In simple words: If you know the total surface area of a sphere, you can work backward to find its radius. Divide the total surface area by \( 4\pi \) and then take the square root of the result.

🎯 Exam Tip: The formula for the total surface area of a sphere is \( 4\pi r^2 \). This is a direct application of the formula to find the radius when the surface area is given.

Question 11. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी. और ऊँचाई 15 सेमी. है। बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल लिखिए।
Answer:
हल:
बेलन की त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( h = 15 \) सेमी.
बेलन का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 15 \)
\( = 2 \times 22 \times 15 \)
\( = 660 \) वर्ग सेमी.
अतः बेलन का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल \( = 660 \) वर्ग सेमी.
In simple words: To find the curved surface area of a cylinder, you multiply 2 times pi, its radius, and its height. This area represents just the side surface of the cylinder.

🎯 Exam Tip: Ensure you use the correct formula \( 2\pi rh \) for curved surface area. If the question asked for total surface area, you would add the areas of the two circular bases (\( 2\pi r^2 \)).

Question 13. एक घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 216 वर्ग मीटर है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, 2018)
Answer:
हल:
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 216 \) वर्ग मीटर.
माना घन की भुजा \( = a \) मीटर.
घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6a^2 \)
इसलिए, \( 6a^2 = 216 \)
\( a^2 = \frac{216}{6} \)
\( a^2 = 36 \)
\( a = \sqrt{36} \)
\( a = 6 \) मीटर.
अतः घन की भुजा \( = 6 \) मीटर.
In simple words: To find the side length of a cube when its total surface area is given, divide the total area by 6 (because a cube has six identical faces) and then take the square root of that result.

🎯 Exam Tip: This is a common application of the cube's surface area formula \( 6a^2 \). Practice isolating the variable \( a \) to solve such problems quickly.

Question 14. एक अर्द्ध गोले की त्रिज्या 7 सेमी. है, इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (माध्य, शिक्षा बोर्ड, 2018)
Answer:
हल:
दिया है:
अर्द्ध गोले की त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
अर्द्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 3\pi r^2 \)
मान रखने पर:
\( = 3 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \)
\( = 3 \times 22 \times 7 \)
\( = 462 \) वर्ग सेमी.
अतः अर्द्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 462 \) वर्ग सेमी.
In simple words: For a solid hemisphere, the total surface area calculation includes the curved surface and its flat circular base. Given the radius, you just plug it into the formula \( 3\pi r^2 \) to get the area.

🎯 Exam Tip: Be sure to use the formula for the *total* surface area of a *solid* hemisphere, which is \( 3\pi r^2 \), not just the curved surface area (\( 2\pi r^2 \)).

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. एक घन की कोर 5 सेमी. है। इसके किसी एक तल के विकर्ण की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
घन की कोर (भुजा) \( a = 5 \) सेमी.
घन के किसी एक तल (फलक) का विकर्ण (face diagonal) \( = \sqrt{a^2 + a^2} \)
\( = \sqrt{2a^2} \)
\( = a\sqrt{2} \)
\( = 5\sqrt{2} \) सेमी.
अतः घन के एक तल के विकर्ण की लम्बाई \( = 5\sqrt{2} \) सेमी.
In simple words: For any square face of a cube, the diagonal across that face can be found using the Pythagorean theorem, as it forms a right-angled triangle with two sides of the square. If the cube's side is 5 cm, the face diagonal is \( 5\sqrt{2} \) cm.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the face diagonal (\( a\sqrt{2} \)) and the space diagonal (\( a\sqrt{3} \)) of a cube. The question specifically asks for the diagonal of one of its faces.

Question 2. 25 सेमी. \( \times \) 20 सेमी. \( \times \) 16 सेमी. माप के सीसे के एक घन को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है, तो इस घन की कोर ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
सीसे के घनाभ की विमाएँ:
लम्बाई \( l = 25 \) सेमी.
चौड़ाई \( b = 20 \) सेमी.
ऊँचाई \( h = 16 \) सेमी.
घनाभ का आयतन \( V = l \times b \times h = 25 \times 20 \times 16 = 8000 \) घन सेमी.
जब इस घनाभ को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है, तो आयतन समान रहता है.
माना नए घन की कोर (भुजा) \( a \) है.
घन का आयतन \( = a^3 \)
इसलिए, \( a^3 = 8000 \)
\( a = \sqrt[3]{8000} \)
\( a = \sqrt[3]{(20)^3} \)
\( a = 20 \) सेमी.
अतः नए घन की कोर \( = 20 \) सेमी.
In simple words: If a rectangular block of lead is melted and reshaped into a cube, the total amount of lead (volume) stays the same. First, find the volume of the original rectangular block. Then, take the cube root of this volume to find the side length of the new cube.

🎯 Exam Tip: Always remember that the volume of the material is conserved during melting and recasting processes. The new shape will have the same volume as the original shape.

Question 3. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई में 6 : 5 : 4 का अनुपात है। यदि उसका आयतन 960 घनसेमी. है तो घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
Answer:
हल:
माना घनाभ की लम्बाई \( l = 6x \), चौड़ाई \( b = 5x \) तथा ऊँचाई \( h = 4x \) है.
घनाभ का आयतन \( V = l \times b \times h = (6x) \times (5x) \times (4x) = 120x^3 \)
दिया गया है कि घनाभ का आयतन \( = 960 \) घन सेमी.
इसलिए, \( 120x^3 = 960 \)
\( x^3 = \frac{960}{120} \)
\( x^3 = 8 \)
\( x = \sqrt[3]{8} \)
\( x = 2 \) सेमी.
अब, लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई ज्ञात करते हैं:
लम्बाई \( l = 6x = 6 \times 2 = 12 \) सेमी.
चौड़ाई \( b = 5x = 5 \times 2 = 10 \) सेमी.
ऊँचाई \( h = 4x = 4 \times 2 = 8 \) सेमी.
अतः घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12 सेमी., 10 सेमी. और 8 सेमी. है.
In simple words: If you know the ratio of a cuboid's sides and its total volume, you can find the actual lengths of its sides. First, use the ratio to express the sides with a common variable (like \( x \)). Then, form an equation using the volume formula, solve for \( x \), and finally calculate each side's length.

🎯 Exam Tip: When given ratios, represent the dimensions as \( nx \), where \( n \) is the ratio component and \( x \) is a common multiplier. This allows you to set up an equation with the given volume and solve for \( x \).

Question 4. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है। उनके पृष्ठीय त्रिज्याओं एवं आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
हल:
माना पहले गोले की त्रिज्या \( r_1 \) और दूसरे गोले की त्रिज्या \( r_2 \) है.
पहले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 = 4\pi r_1^2 \)
दूसरे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_2 = 4\pi r_2^2 \)
दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात \( S_1 : S_2 = 4 : 9 \).
\( \frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9} \)
\( \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{4}{9} \)
\( \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{4}{9} \)
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर:
\( \sqrt{\frac{r_1^2}{r_2^2}} = \sqrt{\frac{4}{9}} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \)
अतः त्रिज्याओं का अनुपात \( r_1 : r_2 = 2 : 3 \).
अब आयतनों का अनुपात ज्ञात करते हैं:
पहले गोले का आयतन \( V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 \)
दूसरे गोले का आयतन \( V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 \)
आयतन का अनुपात \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \)
चूंकि \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \), तो
\( \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} \)
अतः आयतनों का अनुपात \( V_1 : V_2 = 8 : 27 \).
In simple words: If you have the ratio of the surface areas of two spheres, you can find the ratio of their radii by taking the square root of the given ratio. Once you have the ratio of radii, cube that ratio to find the ratio of their volumes. This relationship applies to all similar solids.

🎯 Exam Tip: For any two similar solids, if the ratio of their corresponding linear dimensions (like radii) is \( a:b \), then the ratio of their surface areas is \( a^2:b^2 \), and the ratio of their volumes is \( a^3:b^3 \). This is a fundamental concept for scaling geometric shapes.

प्रश्न 5. एक कक्ष की लम्बाई 5 मीटर, चौड़ाई 3.5 मीटर व ऊँचाई 4 मीटर है। 20 रु. प्रति वर्गमीटर की दर से चारों दीवारों पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे की लम्बाई \( = 5 \) मीटर
कमरे की चौड़ाई \( = 3.5 \) मीटर
कमरे की ऊँचाई \( = 4 \) मीटर
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई}) \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 2 \times (5 + 3.5) \times 4 \)
\( = 2 \times 8.5 \times 4 \)
\( = 68 \) वर्ग मीटर
अब, चारों दीवारों पर सफेदी कराने का कुल व्यय ज्ञात करते हैं।
सफेदी कराने का व्यय \( = 68 \times 20 = \text{Rs. } 1360 \)
In simple words: पहले कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल निकालें, फिर उस क्षेत्रफल को सफेदी के रेट से गुणा कर दें ताकि कुल लागत पता चले।

🎯 Exam Tip: Always remember to use the correct formula for the area of four walls \( 2(l+b)h \) and multiply by the per-unit cost to find the total expense.

प्रश्न 6. एक घन के एक पृष्ठ का परिमाप 28 सेमी. है तो घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: घन के एक पृष्ठ का परिमाप \( = 28 \) सेमी.
एक घन की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, और प्रत्येक पृष्ठ एक वर्ग होता है।
तो, घन के एक पृष्ठ का परिमाप \( = 4 \times \text{भुजा} \)
\( \implies 28 = 4 \times \text{भुजा} \)
\( \implies \text{भुजा} = \frac{28}{4} = 7 \) सेमी.
घन का आयतन \( = (\text{भुजा})^3 \)
\( = (7)^3 \)
\( = 343 \) घन सेमी.
In simple words: पहले घन के एक चेहरे की भुजा निकालें, क्योंकि सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। फिर उस भुजा को तीन बार गुणा करके घन का कुल आयतन पता करें।

🎯 Exam Tip: Remember that a cube has all its faces as squares, so the perimeter of one face is 4 times its side length. Then use the formula for the volume of a cube.

प्रश्न 8. धातु के तीन समान घनों की कोर क्रमशः 3 सेमी., 4 सेमी., 5 सेमी. है। इन्हें पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। इस घन की कोर की - लम्बाई ज्ञात कीजिये।
Answer: पहले घन का आयतन \( = (3)^3 = 27 \) घन सेमी.
दूसरे घन का आयतन \( = (4)^3 = 64 \) घन सेमी.
तीसरे घन का आयतन \( = (5)^3 = 125 \) घन सेमी.
तीनों घनों का कुल आयतन \( = 27 + 64 + 125 = 216 \) घन सेमी.
जब इन तीनों घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है, तो नए घन का आयतन पुराने घनों के कुल आयतन के बराबर होगा।
नए घन का आयतन \( = 216 \) घन सेमी.
माना नए घन की भुजा \( a \) है, तो \( a^3 = 216 \)
\( \implies a = \sqrt[3]{216} \)
\( \implies a = 6 \) सेमी.
अतः नए घन की कोर की लम्बाई \( 6 \) सेमी. है।
In simple words: तीनों छोटे घनों का आयतन जोड़कर एक बड़ा आयतन मिलता है। यही आयतन नए, बड़े घन का भी होगा। फिर, इस बड़े आयतन से नए घन की भुजा की लम्बाई पता कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: When objects are melted and reshaped, their total volume remains constant. Always sum the individual volumes to find the total volume before calculating the new dimensions.

प्रश्न 10. यदि एक बेलन का आयतन 448π घन सेमी. और ऊँचाई 7 सेमी. है तो बेलन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: बेलन का आयतन \( = 448\pi \) घन सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 7 \) सेमी.
बेलन के आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \)
तो, \( \pi r^2 (7) = 448\pi \)
दोनों तरफ \( \pi \) से भाग करने पर, \( 7r^2 = 448 \)
\( \implies r^2 = \frac{448}{7} = 64 \)
\( \implies r = \sqrt{64} = 8 \) सेमी.
बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल) \( = 2\pi r h \)
\( = 2 \times \pi \times 8 \times 7 \)
\( = 112\pi \) वर्ग सेमी.
यह मान \( 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 7 = 2 \times 22 \times 8 = 352 \) वर्ग सेमी भी हो सकता है।
In simple words: पहले बेलन के आयतन और ऊँचाई की मदद से उसकी त्रिज्या (रेडियस) ज्ञात करें। फिर, इस त्रिज्या और ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का घुमावदार क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठ) निकालें।

🎯 Exam Tip: Always use the volume formula to find the missing radius or height first, then apply that to calculate other properties like curved surface area or total surface area.

प्रश्न 11. पानी से भरी हुई एक अर्धगोलाकार टंकी को एक पाइप द्वारा 5 लीटर प्रति सेकंड की दर से खाली किया जाता है। यदि टंकी का व्यास 3.5 मी. है, तो वह कितने समय में आधी खाली हो जाएगी?
Answer: अर्धगोलाकार टंकी का व्यास \( = 3.5 \) मीटर
तो, टंकी की त्रिज्या \( (r) = \frac{3.5}{2} = 1.75 \) मीटर
अर्ध गोले का आयतन \( = \frac{2}{3} \pi r^3 \)
\( = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.75)^3 \)
\( = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 1.75 \)
\( = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \) (क्योंकि \( 1.75 = \frac{7}{4} \))
\( = \frac{2 \times 22 \times 7 \times 7 \times 7}{3 \times 7 \times 4 \times 4 \times 4} \)
\( = \frac{2 \times 22 \times 7 \times 7}{3 \times 4 \times 4 \times 4} = \frac{22 \times 49}{3 \times 8} = \frac{1078}{24} = 44.916 \) घन मीटर (लगभग)
हम जानते हैं कि \( 1 \) घन मीटर \( = 1000 \) लीटर
तो, टंकी का कुल आयतन \( = 44.916 \times 1000 = 44916 \) लीटर
टंकी को आधा खाली करना है, तो खाली करने वाला आयतन \( = \frac{44916}{2} = 22458 \) लीटर
पानी खाली करने की दर \( = 5 \) लीटर प्रति सेकंड
आधी टंकी खाली होने में लगा समय \( = \frac{22458}{5} = 4491.6 \) सेकंड
सेकंड को मिनट में बदलने के लिए \( 60 \) से भाग करें:
समय \( = \frac{4491.6}{60} = 74.86 \) मिनट (लगभग).
In simple words: पहले अर्धगोलाकार टंकी का कुल आयतन पता करें, फिर उसका आधा हिस्सा कितना है, यह लीटर में बदलें। फिर उस आधे आयतन को पाइप की खाली करने की दर से भाग देकर यह पता करें कि कितना समय लगेगा।

🎯 Exam Tip: Be careful with unit conversions (meters to liters, seconds to minutes). Ensure you calculate the volume for half the tank, not the full tank, when asked.

प्रश्न 13. 42 सेमी. कोर के घन से बड़े से बड़ा लम्बवृत्तीय शंकु काटा जाता है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer: जब 42 सेमी. कोर के घन से सबसे बड़ा लम्बवृत्तीय शंकु काटा जाता है, तो शंकु का व्यास घन की कोर के बराबर होगा और शंकु की ऊँचाई भी घन की कोर के बराबर होगी।
तो, शंकु का व्यास \( = 42 \) सेमी.
शंकु की त्रिज्या \( (r) = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) सेमी.
शंकु की ऊँचाई \( (h) = 42 \) सेमी.
शंकु के आयतन का सूत्र \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \times 42 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 42 \)
\( = 22 \times 21 \times 42 \) (यहाँ \( \frac{21}{7} \) से \( 3 \) कट गया और \( \frac{3}{3} \) भी कट गया)
\( = 19404 \) घन सेमी.
In simple words: सबसे बड़े शंकु को एक घन से काटने के लिए, शंकु का व्यास और ऊँचाई घन की भुजा के बराबर होगी। फिर इन मापों का उपयोग करके शंकु का आयतन सूत्र से पता लगाएँ।

🎯 Exam Tip: When finding the largest cone from a cube, the cone's base diameter and height will be equal to the cube's side length. This is a common understanding for such problems.

प्रश्न 14. दो लम्बवृत्तीय बेलनों की आधार त्रिज्याओं के अनुपात 1: 2 है। यदि उनके आयतनों का अनुपात 5 : 12 हो तो उनकी ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिये।
Answer: माना पहले बेलन की त्रिज्या \( r_1 \) और ऊँचाई \( h_1 \) है।
माना दूसरे बेलन की त्रिज्या \( r_2 \) और ऊँचाई \( h_2 \) है।
आधार त्रिज्याओं का अनुपात \( r_1 : r_2 = 1 : 2 \implies \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \)
आयतन का अनुपात \( V_1 : V_2 = 5 : 12 \implies \frac{V_1}{V_2} = \frac{5}{12} \)
बेलन के आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \)
तो, \( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} \)
\( \implies \frac{5}{12} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} \)
\( \implies \frac{5}{12} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2} \)
\( \implies \frac{5}{12} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{h_1}{h_2} \)
\( \implies \frac{5}{12} = \frac{1}{4} \times \frac{h_1}{h_2} \)
अब, ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात करने के लिए:
\( \frac{h_1}{h_2} = \frac{5}{12} \times 4 \)
\( \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{5}{3} \)
अतः ऊँचाइयों का अनुपात \( h_1 : h_2 = 5 : 3 \) है।
In simple words: बेलनों की त्रिज्या और आयतन के अनुपात का उपयोग करके ऊँचाई का अनुपात निकालें। बेलन के आयतन सूत्र में त्रिज्या और ऊँचाई दोनों शामिल होते हैं, जिससे यह गणना आसान हो जाती है।

🎯 Exam Tip: When dealing with ratios of geometric figures, write out the formulas for the quantities involved and substitute the given ratios to solve for the unknown ratio directly.

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1. विमाओं 5.5 cm. x 10 cm. x 3.5 cm. वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm. व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
Answer: घनाभ की लम्बाई \( (L) = 5.5 \) सेमी.
घनाभ की चौड़ाई \( (B) = 10 \) सेमी.
घनाभ की ऊँचाई \( (H) = 3.5 \) सेमी.
घनाभ का आयतन \( = L \times B \times H = 5.5 \times 10 \times 3.5 = 192.5 \) घन सेमी.
चाँदी का सिक्का एक बेलन के आकार का होता है।
सिक्के का व्यास \( = 1.75 \) सेमी.
सिक्के की त्रिज्या \( (r) = \frac{1.75}{2} = 0.875 \) सेमी.
सिक्के की मोटाई (बेलन की ऊँचाई) \( = 2 \) मिमी \( = \frac{2}{10} = 0.2 \) सेमी.
एक सिक्के का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac{22}{7} \times (0.875)^2 \times 0.2 \)
\( = \frac{22}{7} \times 0.875 \times 0.875 \times 0.2 \)
\( = 0.48125 \) घन सेमी. (लगभग)
आवश्यक सिक्कों की संख्या \( = \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{एक सिक्के का आयतन}} \)
\( = \frac{192.5}{0.48125} = 400 \)
अतः \( 400 \) चाँदी के सिक्के पिघलाने पड़ेंगे।
In simple words: पहले घनाभ का कुल आयतन निकालें। फिर एक चांदी के सिक्के (जो बेलन जैसा होता है) का आयतन निकालें। घनाभ के कुल आयतन को एक सिक्के के आयतन से भाग देकर पता करें कि कितने सिक्के चाहिए।

🎯 Exam Tip: Always convert all dimensions to the same unit (e.g., cm) before performing calculations. Remember that when melting and reshaping, the total volume remains constant.

प्रश्न 2. एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंकाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm. x 10 cm. x 3.5 cm. हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm. है और गहराई 1.4 cm. है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
Answer: घनाभ की लम्बाई \( (L) = 15 \) सेमी.
घनाभ की चौड़ाई \( (B) = 10 \) सेमी.
घनाभ की ऊँचाई \( (H) = 3.5 \) सेमी.
घनाभ का आयतन \( = L \times B \times H = 15 \times 10 \times 3.5 = 525 \) घन सेमी.
प्रत्येक शंकाकार गड्ढे की त्रिज्या \( (r) = 0.5 \) सेमी.
प्रत्येक शंकाकार गड्ढे की गहराई \( (h) = 1.4 \) सेमी.
एक शंकाकार गड्ढे का आयतन \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.5)^2 \times 1.4 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 1.4 \)
\( = \frac{22 \times 0.25 \times 1.4}{21} = \frac{7.7}{21} = 0.366 \) घन सेमी. (लगभग)
चार शंकाकार गड्ढों का कुल आयतन \( = 4 \times 0.366 = 1.464 \) घन सेमी. (लगभग)
कलमदान में लकड़ी का आयतन \( = \) घनाभ का आयतन \( - \) चार शंकाकार गड्ढों का कुल आयतन
\( = 525 - 1.464 = 523.536 \) घन सेमी.
In simple words: पहले पूरे लकड़ी के ब्लॉक का आयतन निकालें। फिर एक शंकु के गड्ढे का आयतन निकालें और उसे चार से गुणा करें क्योंकि चार गड्ढे हैं। अंत में, ब्लॉक के आयतन में से चारों गड्ढों का कुल आयतन घटाकर बची हुई लकड़ी का आयतन पता करें।

🎯 Exam Tip: When parts are removed from a solid, subtract their volumes from the original solid's volume. Ensure to use the correct formulas for the cuboid and cone volumes.

प्रश्न 3. एक बिना ढक्कन का संदूक 2.5 सेमी. मोटी लकड़ी का बना हुआ है। उसकी भीतरी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 145 सेमी., 95 सेमी. व 40 सेमी. है। सन्दूक के बाहर की ओर पेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए, यदि पेन्ट कराने की दर 4 रु. प्रति 1000 वर्ग सेमी. हो।
Answer: लकड़ी की मोटाई \( = 2.5 \) सेमी.
संदूक की भीतरी लम्बाई \( = 145 \) सेमी.
संदूक की भीतरी चौड़ाई \( = 95 \) सेमी.
संदूक की भीतरी ऊँचाई \( = 40 \) सेमी.
चूंकि संदूक बिना ढक्कन का है, बाहरी माप निकालते समय ऊपरी भाग को ध्यान में नहीं रखेंगे।
संदूक की बाहरी लम्बाई \( (L) = 145 + 2 \times 2.5 = 145 + 5 = 150 \) सेमी.
संदूक की बाहरी चौड़ाई \( (B) = 95 + 2 \times 2.5 = 95 + 5 = 100 \) सेमी.
संदूक की बाहरी ऊँचाई \( (H) = 40 + 2.5 = 42.5 \) सेमी.
बाहरी सतह का क्षेत्रफल (बिना ढक्कन के) \( = 2(L \times H + B \times H) + L \times B \)
यह बाहरी पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल है जहाँ पेंट किया जाएगा।
\( = 2(150 \times 42.5 + 100 \times 42.5) + (150 \times 100) \)
\( = 2(6375 + 4250) + 15000 \)
\( = 2(10625) + 15000 \)
\( = 21250 + 15000 = 36250 \) वर्ग सेमी.
पेन्ट कराने की दर \( = \text{Rs. } 4 \) प्रति \( 1000 \) वर्ग सेमी.
कुल व्यय \( = \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{1000} \times \text{दर} = \frac{36250}{1000} \times 4 \)
\( = 36.25 \times 4 = \text{Rs. } 145 \)
In simple words: पहले संदूक की बाहरी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई ज्ञात करें। फिर बिना ढक्कन वाले बाहरी क्षेत्रफल का सूत्र लगाकर कुल पेंट करने योग्य सतह का क्षेत्रफल निकालें। अंत में, इस क्षेत्रफल को पेंट की दर से गुणा करके कुल खर्चा पता करें।

🎯 Exam Tip: For problems involving thickness, be careful when calculating outer dimensions, especially for objects without a lid. Ensure to adjust the thickness on both sides (length, breadth) and only on the base for height.

प्रश्न 4. यदि एक समकोणिक समान्तर षट्फलक की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 6 : 5 : 4 है और उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 33300 वर्ग सेमी. है, तो समकोणिक समान्तर घट्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: माना समकोणिक समान्तर षट्फलक (घनाभ) की लम्बाई \( (L) = 6x \), चौड़ाई \( (B) = 5x \) और ऊँचाई \( (H) = 4x \) है।
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 33300 \) वर्ग सेमी.
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 2(LB + BH + HL) \)
\( 2( (6x)(5x) + (5x)(4x) + (4x)(6x) ) = 33300 \)
\( 2(30x^2 + 20x^2 + 24x^2) = 33300 \)
\( 2(74x^2) = 33300 \)
\( 148x^2 = 33300 \)
\( x^2 = \frac{33300}{148} = 225 \)
\( x = \sqrt{225} = 15 \) सेमी.
अब विमाएँ ज्ञात करते हैं:
लम्बाई \( L = 6x = 6 \times 15 = 90 \) सेमी.
चौड़ाई \( B = 5x = 5 \times 15 = 75 \) सेमी.
ऊँचाई \( H = 4x = 4 \times 15 = 60 \) सेमी.
घनाभ का आयतन \( = L \times B \times H \)
\( = 90 \times 75 \times 60 \)
\( = 405000 \) घन सेमी.
In simple words: पहले अनुपात का उपयोग करके विमाओं को \( x \) के रूप में लिखें। फिर दिए गए सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में ये मान डालकर \( x \) का मान निकालें। \( x \) का मान पता चलने पर, लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई ज्ञात करके घनाभ का आयतन निकालें।

🎯 Exam Tip: For ratio problems, represent dimensions as multiples of 'x'. Use the given total surface area to solve for 'x', then calculate the actual dimensions before finding the volume.

प्रश्न 5. एक बेलन के आधार का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: बेलन के आधार का क्षेत्रफल \( = 154 \) वर्ग सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 21 \) सेमी.
बेलन के आधार का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( \implies \frac{22}{7} r^2 = 154 \)
\( \implies r^2 = \frac{154 \times 7}{22} = 7 \times 7 = 49 \)
\( \implies r = \sqrt{49} = 7 \) सेमी.
बेलन का आयतन \( = \text{आधार का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 154 \times 21 = 3234 \) घन सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \pi r h \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 21 \)
\( = 2 \times 22 \times 21 = 924 \) वर्ग सेमी.
In simple words: पहले बेलन के आधार के क्षेत्रफल का उपयोग करके उसकी त्रिज्या निकालें। फिर इस त्रिज्या और दी गई ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का आयतन और उसका घुमावदार क्षेत्रफल ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: If the base area is given, use it to find the radius first. This radius is often needed for calculating volume and curved surface area, so it's a crucial first step.

प्रश्न 6. एक बेलन की ऊँचाई 11 सेमी. तथा उसका वक्र पृष्ठ 968 सेमी. है। बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिये।
Answer: बेलन की ऊँचाई \( (h) = 11 \) सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 968 \) वर्ग सेमी.
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 2 \pi r h \)
\( \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 11 = 968 \)
\( \implies \frac{44 \times 11}{7} \times r = 968 \)
\( \implies \frac{484}{7} \times r = 968 \)
\( \implies r = \frac{968 \times 7}{484} \)
\( \implies r = 2 \times 7 = 14 \) सेमी.
अतः बेलन की त्रिज्या \( 14 \) सेमी. है।
In simple words: बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊँचाई का उपयोग करके बेलन के त्रिज्या का सूत्र लगाएं। दी गई जानकारी को सूत्र में रखकर अज्ञात त्रिज्या का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: Always write down the given values and the formula you intend to use. This helps in isolating the unknown variable and solving for it systematically.

प्रश्न 7. एक खोखले बेलन की ऊँचाई 21 डेसी मीटर है तथा इसके बाह्य व्यास व अन्तः व्यास क्रमशः 10 सेमी. व 6 सेमी. है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: खोखले बेलन की ऊँचाई \( (h) = 21 \) डेसी मीटर \( = 21 \times 10 = 210 \) सेमी. (क्योंकि 1 डेसी मीटर = 10 सेमी.)
बेलन का बाह्य व्यास \( = 10 \) सेमी., तो बाह्य त्रिज्या \( (R) = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी.
बेलन का अन्तः व्यास \( = 6 \) सेमी., तो अन्तः त्रिज्या \( (r) = \frac{6}{2} = 3 \) सेमी.
खोखले बेलन का आयतन \( = \pi (R^2 - r^2) h \)
\( = \frac{22}{7} \times (5^2 - 3^2) \times 210 \)
\( = \frac{22}{7} \times (25 - 9) \times 210 \)
\( = \frac{22}{7} \times 16 \times 210 \)
\( = 22 \times 16 \times 30 \) (क्योंकि \( \frac{210}{7} = 30 \))
\( = 10560 \) घन सेमी.
In simple words: पहले ऊँचाई को डेसी मीटर से सेमी. में बदलें। फिर बाहरी और भीतरी व्यास से उनकी त्रिज्याएँ निकालें। इन सभी मापों का उपयोग करके खोखले बेलन के आयतन का सूत्र लगाएँ।

🎯 Exam Tip: Always remember to convert all units to be consistent (e.g., all to cm) before starting calculations. For a hollow cylinder, the volume is found by subtracting the inner cylinder's volume from the outer cylinder's volume.

प्रश्न 8. एक बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 1: 3 है। यदि बेलन का आयतन 3234 सेमी. है तो बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer: माना बेलन की त्रिज्या \( (r) = x \) और ऊँचाई \( (h) = 3x \) है।
बेलन का आयतन \( = 3234 \) घन सेमी.
बेलन के आयतन का सूत्र \( = \pi r^2 h \)
\( \implies \frac{22}{7} \times (x)^2 \times (3x) = 3234 \)
\( \implies \frac{22}{7} \times 3x^3 = 3234 \)
\( \implies x^3 = \frac{3234 \times 7}{22 \times 3} \)
\( \implies x^3 = \frac{3234 \times 7}{66} \)
\( \implies x^3 = 49 \times 7 = 343 \)
\( \implies x = \sqrt[3]{343} = 7 \) सेमी.
तो, बेलन की त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.
और ऊँचाई \( h = 3x = 3 \times 7 = 21 \) सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \pi r (h + r) \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (21 + 7) \)
\( = 2 \times 22 \times 28 \)
\( = 44 \times 28 = 1232 \) वर्ग सेमी.
In simple words: पहले त्रिज्या और ऊँचाई को एक अज्ञात गुणक (जैसे \( x \)) के साथ दर्शाएँ। फिर बेलन के आयतन सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान निकालें। जब \( x \) पता चल जाए, तो वास्तविक त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात करके बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।

🎯 Exam Tip: Always convert ratios into terms of a variable (e.g., r=x, h=3x) to form an equation. Solve for the variable first, then calculate the actual dimensions before applying them to other formulas.

प्रश्न 9. एक रोलर की लम्बाई 2 मी. और व्यास 1.4 मी. है। ज्ञात कीजिए 5 चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्र समेतले करेगा?
Answer: रोलर की लम्बाई \( (h) = 2 \) मीटर
रोलर का व्यास \( = 1.4 \) मीटर
रोलर की त्रिज्या \( (r) = \frac{1.4}{2} = 0.7 \) मीटर
रोलर एक बेलन के आकार का होता है, और एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्र उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \pi r h \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2 \)
\( = 2 \times 22 \times 0.1 \times 2 \)
\( = 8.8 \) वर्ग मीटर
\( 5 \) चक्कर लगाने में रोलर द्वारा तय किया गया कुल क्षेत्र \( = 5 \times (\text{एक चक्कर का क्षेत्रफल}) \)
\( = 5 \times 8.8 = 44 \) वर्ग मीटर.
In simple words: पहले रोलर की त्रिज्या निकालें। फिर एक चक्कर में तय किए गए क्षेत्र को रोलर के घुमावदार क्षेत्रफल (वक्र पृष्ठ) के सूत्र से ज्ञात करें। अंत में, इस एक चक्कर के क्षेत्रफल को 5 से गुणा करके कुल 5 चक्करों का क्षेत्रफल पता करें।

🎯 Exam Tip: Understand that one revolution of a roller covers an area equal to its curved surface area. Always convert diameter to radius before using it in formulas.

प्रश्न 10. एक शंकु के आधार का व्यास 12 मीटर और तिर्यक ऊँचाई 10 मीटर है। शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer: शंकु के आधार का व्यास \( = 12 \) मीटर
शंकु की त्रिज्या \( (r) = \frac{12}{2} = 6 \) मीटर
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( (l) = 10 \) मीटर
शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi r (l + r) \)
\( = \frac{22}{7} \times 6 \times (10 + 6) \)
\( = \frac{22}{7} \times 6 \times 16 \)
\( = \frac{22 \times 96}{7} = \frac{2112}{7} \)
\( = 301.71 \) वर्ग मीटर (लगभग)
In simple words: पहले शंकु के व्यास से उसकी त्रिज्या निकालें। फिर इस त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई का उपयोग करके शंकु के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लगाएँ।

🎯 Exam Tip: For a cone, the total surface area includes the base area plus the curved surface area. Make sure to use the correct formula \( \pi r(l+r) \) which combines both.

प्रश्न 11. यदि एक शंकु का वक्र पृष्ठ 2035 वर्ग सेमी. और आधार का व्यास 35 cm हो तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
Answer: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2035 \) वर्ग सेमी.
शंकु के आधार का व्यास \( = 35 \) सेमी.
शंकु की त्रिज्या \( (r) = \frac{35}{2} = 17.5 \) सेमी.
शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = \pi r l \)
\( \implies \frac{22}{7} \times 17.5 \times l = 2035 \)
\( \implies 22 \times 2.5 \times l = 2035 \) (क्योंकि \( \frac{17.5}{7} = 2.5 \))
\( \implies 55 \times l = 2035 \)
\( \implies l = \frac{2035}{55} \)
\( \implies l = 37 \) सेमी.
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( 37 \) सेमी. होगी।
In simple words: पहले शंकु के व्यास से उसकी त्रिज्या निकालें। फिर शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में त्रिज्या और दिए गए क्षेत्रफल का मान रखकर तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: When given the curved surface area and either radius or slant height, use the formula \( \pi rl \) to find the missing dimension. Simplify fractions or decimals carefully.

प्रश्न 12. एक शंकु का आयतन 16632 घन सेमी. है और ऊँचाई 9 सेमी. है। इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिये।
Answer: शंकु का आयतन \( = 16632 \) घन सेमी.
शंकु की ऊँचाई \( (h) = 9 \) सेमी.
शंकु के आयतन का सूत्र \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( \implies \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times r^2 \times 9 = 16632 \)
\( \implies \frac{22}{7} \times r^2 \times 3 = 16632 \)
\( \implies r^2 = \frac{16632 \times 7}{22 \times 3} \)
\( \implies r^2 = \frac{16632 \times 7}{66} \)
\( \implies r^2 = 252 \times 7 = 1764 \)
\( \implies r = \sqrt{1764} = 42 \) सेमी.
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या \( 42 \) सेमी. है।
In simple words: शंकु के आयतन और ऊँचाई के सूत्र का उपयोग करके उसकी त्रिज्या निकालें। सभी दिए गए मानों को सूत्र में रखकर अज्ञात त्रिज्या के वर्ग का मान ज्ञात करें, फिर उसका वर्गमूल लेकर त्रिज्या पता करें।

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the volume of a cone \( \frac{1}{3}\pi r^2 h \). If the volume and height are known, you can directly calculate the radius by rearranging the formula.

प्रश्न 13. किसी शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई का अनुपात 5 : 12 और आयतन 2512 घन सेमी. है तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)
Answer: शंकु की त्रिज्या \( (r) \) और ऊँचाई \( (h) \) का अनुपात \( = 5 : 12 \)
माना त्रिज्या \( r = 5x \) सेमी. और ऊँचाई \( h = 12x \) सेमी. है।
शंकु का आयतन \( = 2512 \) घन सेमी.
\( \pi = 3.14 \)
शंकु के आयतन का सूत्र \( = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( \implies \frac{1}{3} \times 3.14 \times (5x)^2 \times (12x) = 2512 \)
\( \implies \frac{1}{3} \times 3.14 \times 25x^2 \times 12x = 2512 \)
\( \implies 3.14 \times 25x^2 \times 4x = 2512 \) (क्योंकि \( \frac{12}{3} = 4 \))
\( \implies 3.14 \times 100x^3 = 2512 \)
\( \implies 314x^3 = 2512 \)
\( \implies x^3 = \frac{2512}{314} = 8 \)
\( \implies x = \sqrt[3]{8} = 2 \) सेमी.
अब, आधार की त्रिज्या \( r = 5x = 5 \times 2 = 10 \) सेमी.
और ऊँचाई \( h = 12x = 12 \times 2 = 24 \) सेमी.
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( (l) = \sqrt{r^2 + h^2} \)
\( = \sqrt{(10)^2 + (24)^2} \)
\( = \sqrt{100 + 576} \)
\( = \sqrt{676} = 26 \) सेमी.
अतः आधार की त्रिज्या \( 10 \) सेमी. और तिर्यक ऊँचाई \( 26 \) सेमी. है।
In simple words: पहले त्रिज्या और ऊँचाई को \( x \) के गुणक के रूप में लिखें। फिर शंकु के आयतन सूत्र में इन मानों और \( \pi \) के मान को डालकर \( x \) का मान निकालें। जब \( x \) मिल जाए, तो वास्तविक त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात करके तिर्यक ऊँचाई का मान निकालें।

🎯 Exam Tip: When \( \pi \) is given as a decimal (e.g., 3.14), use that value for precise calculations. Remember to calculate both radius and slant height as requested, after finding 'x'.

प्रश्न 14. एक शंक के आकार के टेन्ट की ऊँचाई 14 मीटर है तथा आधार का क्षेत्रफल 346.5 मीटर है। यह टेन्ट 1.5 मीटर चौड़े केनवास से बना हुआ है तो केनवास की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: शंकु के आकार के टेन्ट की ऊँचाई \( (h) = 14 \) मीटर
आधार का क्षेत्रफल \( = 346.5 \) वर्ग मीटर
आधार का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
\( \implies \frac{22}{7} r^2 = 346.5 \)
\( \implies r^2 = \frac{346.5 \times 7}{22} \)
\( \implies r^2 = 110.25 \)
\( \implies r = \sqrt{110.25} = 10.5 \) मीटर
अब, शंकु की तिर्यक ऊँचाई \( (l) = \sqrt{r^2 + h^2} \)
\( = \sqrt{(10.5)^2 + (14)^2} \)
\( = \sqrt{110.25 + 196} \)
\( = \sqrt{306.25} = 17.5 \) मीटर
टेन्ट का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi r l \)
\( = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 17.5 \)
\( = 22 \times 1.5 \times 17.5 \)
\( = 577.5 \) वर्ग मीटर
यह क्षेत्रफल ही केनवास का क्षेत्रफल है।
केनवास की चौड़ाई \( = 1.5 \) मीटर
केनवास का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \( \times \) चौड़ाई
\( \implies 577.5 = \text{लम्बाई} \times 1.5 \)
\( \implies \text{लम्बाई} = \frac{577.5}{1.5} = 385 \) मीटर
अतः केनवास की लम्बाई \( 385 \) मीटर है।
In simple words: पहले आधार के क्षेत्रफल से शंकु की त्रिज्या निकालें। फिर ऊँचाई और त्रिज्या का उपयोग करके तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें। इसके बाद, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें, जो केनवास का कुल क्षेत्रफल होगा। अंत में, केनवास की चौड़ाई से इस क्षेत्रफल को भाग देकर उसकी लम्बाई पता करें।

🎯 Exam Tip: Remember that the canvas needed for a tent is its curved surface area. Always break down complex problems into smaller steps: find radius, then slant height, then curved surface area, and finally the required length.

Question 15. एक शंकु की ऊँचाई 24 सेमी. तथा वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 वर्ग सेमी. है, शंकु की त्रिज्या ज्ञात कीजिये।
Answer: शंकु की ऊँचाई \( h = 24 \) सेमी. है और इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( 550 \) वर्ग सेमी. है। शंकु की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र \( \pi r l \) का उपयोग करते हैं, जहाँ \( l \) तिर्यक ऊँचाई है। तिर्यक ऊँचाई को \( l = \sqrt{h^2 + r^2} \) सूत्र से निकाला जा सकता है।
\( \pi r l = 550 \)
\( \implies \pi r \sqrt{h^2 + r^2} = 550 \)
\( \implies \frac{22}{7} \times r \times \sqrt{24^2 + r^2} = 550 \)
\( \implies r \sqrt{576 + r^2} = \frac{550 \times 7}{22} \)
\( \implies r \sqrt{576 + r^2} = 25 \times 7 \)
\( \implies r \sqrt{576 + r^2} = 175 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( r^2 (576 + r^2) = 175^2 \)
\( r^4 + 576r^2 - 30625 = 0 \)
इस समीकरण को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
\( (r^2 + 625)(r^2 - 49) = 0 \)
इससे \( r^2 = 49 \) या \( r^2 = -625 \) मिलता है। चूँकि त्रिज्या का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \( r^2 = 49 \).
\( r = \sqrt{49} = 7 \) सेमी.
In simple words: हमें एक शंकु की ऊँचाई और उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया गया है। हमने इन मानों को सूत्र में डालकर त्रिज्या निकाली। अंतिम गणना के बाद, शंकु की त्रिज्या \( 7 \) सेमी. है।

🎯 Exam Tip: जब वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया हो, तो हमेशा तिर्यक ऊँचाई का सूत्र \( l = \sqrt{h^2 + r^2} \) याद रखें, क्योंकि यह अक्सर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करने में मदद करता है।

Question 16. 14 सेमी. व्यास वाले एक अर्द्धगोलीय ठोस में से बड़ा से बड़ा लंब वृत्तीय शंकु निकाला गया है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: एक अर्द्धगोलीय ठोस का व्यास \( 14 \) सेमी. है, तो इसकी त्रिज्या \( R = 7 \) सेमी. होगी। इस अर्द्धगोले से निकाला गया सबसे बड़ा संभव शंकु भी वही त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी. और ऊँचाई \( h = 7 \) सेमी. (अर्द्धगोले की त्रिज्या के बराबर) रखेगा। बचे हुए ठोस का आयतन निकालने के लिए, हम अर्द्धगोले के आयतन में से शंकु का आयतन घटाते हैं।
\( \text{अर्द्धगोले का आयतन} = \frac{2}{3} \pi R^3 \)
\( \text{शंकु का आयतन} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
चूँकि \( R=r=h=7 \) सेमी. है:
\( \text{शेष आयतन} = \frac{2}{3} \pi (7)^3 - \frac{1}{3} \pi (7)^3 \)
\( = \frac{1}{3} \pi (7)^3 \)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( = \frac{22 \times 49}{3} = \frac{1078}{3} \approx 359.33 \, \text{सेमी.}^3 \).
In simple words: हम एक आधी गेंद (अर्द्धगोला) से सबसे बड़ा शंकु काटते हैं। शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई आधी गेंद की त्रिज्या के बराबर होती है। बचे हुए भाग का आयतन निकालने के लिए, हम आधी गेंद के आयतन से शंकु का आयतन घटाते हैं। बचा हुआ आयतन लगभग \( 359.33 \) घन सेमी. है।

🎯 Exam Tip: जब किसी ठोस से सबसे बड़ा आकार निकाला जाए, तो ध्यान रखें कि निकाले गए आकार की विमाएँ (जैसे त्रिज्या और ऊँचाई) मूल ठोस की विमाओं से किस प्रकार संबंधित हैं।

Question 17. 14 सेमी. की भुजा वाले घन से एक बड़ा से बड़ा गोला काटकर निकाला गया है। इस गोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: घन की भुजा \( 14 \) सेमी. है। इस घन से काटे गए सबसे बड़े गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर होगा।
इसलिए, गोले का व्यास \( = 14 \) सेमी.
गोले की त्रिज्या \( r = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी.
गोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4 \pi r^2 \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \)
\( = 4 \times 22 \times 7 = 616 \, \text{सेमी.}^2 \).
गोले का आयतन \( = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( = \frac{4 \times 22 \times 49}{3} = \frac{88 \times 49}{3} = \frac{4312}{3} \approx 1437.33 \, \text{सेमी.}^3 \).
In simple words: एक \( 14 \) सेमी. भुजा वाले घन से सबसे बड़ा गोला निकालने पर, गोले की त्रिज्या \( 7 \) सेमी. होगी। इस गोले का कुल बाहरी क्षेत्रफल \( 616 \) वर्ग सेमी. है, और यह लगभग \( 1437.33 \) घन सेमी. जगह घेरता है।

🎯 Exam Tip: जब एक घन से सबसे बड़ा गोला निकाला जाता है, तो गोले का व्यास हमेशा घन की भुजा के बराबर होता है। यह एक महत्वपूर्ण संबंध है।

Question 18. 7 सेमी. व्यास वाला एक गोली पानी से आंशिक भरे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है। बर्तन का व्यास 14 सेमी. है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूबा हो, तो पानी का स्तर कितना ऊपर उठ जायेगा?
Answer: एक गोला जिसका व्यास \( 7 \) सेमी. है, उसे एक बेलनाकार बर्तन में डाला जाता है जिसका व्यास \( 14 \) सेमी. है। गोले की त्रिज्या \( r_s = \frac{7}{2} = 3.5 \) सेमी. होगी। बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या \( r_c = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी. होगी। जब गोला पूरी तरह पानी में डूब जाता है, तो वह अपने आयतन के बराबर पानी विस्थापित करता है, जिससे पानी का स्तर ऊपर उठ जाता है। हम विस्थापित पानी के आयतन को गोले के आयतन के बराबर करके पानी के स्तर में वृद्धि की गणना कर सकते हैं।
\( \text{गोले का आयतन} = \frac{4}{3} \pi r_s^3 \)
\( \text{विस्थापित पानी का आयतन (बेलन में)} = \pi r_c^2 h \)
इन दोनों को बराबर करने पर:
\( \pi r_c^2 h = \frac{4}{3} \pi r_s^3 \)
\( \implies (7)^2 h = \frac{4}{3} (3.5)^3 \)
\( \implies 49 h = \frac{4}{3} \times (3.5 \times 3.5 \times 3.5) \)
\( \implies h = \frac{4 \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5}{3 \times 7 \times 7} \)
\( \implies h = \frac{4 \times (0.5 \times 7) \times (0.5 \times 7) \times (0.5 \times 7)}{3 \times 7 \times 7} \)
\( \implies h = \frac{4 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 7 \times 7 \times 7}{3 \times 7 \times 7} \)
\( \implies h = \frac{4 \times 0.125 \times 7}{3} = \frac{0.5 \times 7}{3} = \frac{3.5}{3} = \frac{7}{6} \, \text{सेमी.} \).
In simple words: एक \( 7 \) सेमी. व्यास का गोला \( 14 \) सेमी. व्यास वाले बेलनाकार बर्तन में डाला गया। जब गोला पानी में डूब जाता है, तो पानी का स्तर ऊपर उठता है। हमने गोले के आयतन को ऊपर उठे पानी के आयतन के बराबर मानकर पानी के स्तर में हुई वृद्धि की गणना की, जो कि \( \frac{7}{6} \) सेमी. है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, विस्थापित पानी का आयतन हमेशा डूबे हुए वस्तु के आयतन के बराबर होता है। यह सिद्धांत अक्सर पानी के स्तर में वृद्धि ज्ञात करने में उपयोग होता है।

Question 19. दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 9: 16 है। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: मान लीजिए दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल \( S_1 \) और \( S_2 \) हैं, और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः \( r_1 \) और \( r_2 \) हैं। हमें पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात \( \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16} \) दिया गया है।
एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( 4 \pi r^2 \) होता है।
\( \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{9}{16} \)
\( \implies \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{16} \)
\( \implies \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)
\( \implies \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4} \).
अब, मान लीजिए दो गोलों के आयतन \( V_1 \) और \( V_2 \) हैं।
एक गोले का आयतन \( \frac{4}{3} \pi r^3 \) होता है।
\( \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} \)
\( = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \)
\( = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} \).
अतः, उनके आयतनों का अनुपात \( 27:64 \) है।
In simple words: हमें बताया गया है कि दो गोलों के बाहरी क्षेत्रफलों का अनुपात \( 9:16 \) है। इसका मतलब है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात \( 3:4 \) है। फिर, उनके आयतनों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात का घन होगा, जो कि \( 27:64 \) है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर निर्भर करता है \( (r^2) \) और आयतन त्रिज्या के घन पर निर्भर करता है \( (r^3) \)। यह संबंध अनुपात वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी है।

Question 20. एक रोलर की लम्बाई 2.5 मीटर और व्यास 1.4 मीटर है। 10 चक्कर लगाने में रोलर कितना क्षेत्र समतल करेगा?
Answer: रोलर की लम्बाई \( h = 2.5 \) मीटर है। रोलर का व्यास \( 1.4 \) मीटर है, तो इसकी त्रिज्या \( r = \frac{1.4}{2} = 0.7 \) मीटर होगी। रोलर एक चक्कर में जो क्षेत्र समतल करता है, वह उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 \pi r h \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5 \)
\( = 2 \times 22 \times 0.1 \times 2.5 \)
\( = 44 \times 0.25 = 11 \, \text{m}^2 \).
\( 10 \) चक्कर लगाने में समतल किया गया कुल क्षेत्रफल \( = 10 \times (\text{एक चक्कर में क्षेत्रफल}) \)
\( = 10 \times 11 = 110 \, \text{m}^2 \).
In simple words: एक रोलर \( 2.5 \) मीटर लंबा है और उसकी त्रिज्या \( 0.7 \) मीटर है। एक बार घूमने पर, यह \( 11 \) वर्ग मीटर जमीन को समतल करता है। तो, \( 10 \) बार घूमने पर, यह \( 10 \) गुना अधिक क्षेत्र, यानी \( 110 \) वर्ग मीटर को समतल करेगा।

🎯 Exam Tip: रोलर द्वारा एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है। कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए चक्करों की संख्या से गुणा करना न भूलें।