RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 16.4

प्रश्न 1. 1.4 सेमी. त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
गोले की त्रिज्या \( (r) = 1.4 \) सेमी.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi r^2 \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times (1.4)^2 \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \)
\( = \frac{4 \times 22 \times 1.4 \times 1.4}{7} \)
\( = \frac{172.48}{7} \)
\( = 24.64 \) वर्ग सेमी.

गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.4)^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times 1.4 \)
\( = \frac{4 \times 22 \times 1.4 \times 1.4 \times 0.2}{1} \) (सरलीकरण के बाद)
\( = 11.49 \) घन सेमी.
In simple words: हमें गोले की त्रिज्या 1.4 सेमी. दी गई है। हमने गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र का उपयोग करके इन्हें ज्ञात किया। गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( 4\pi r^2 \) है, और आयतन का सूत्र \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) है।

🎯 Exam Tip: गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र याद रखें। गणना करते समय \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) या 3.14 का उपयोग करें जैसा प्रश्न में दिया गया हो। दशमलव वाली संख्याओं के साथ गुणा करते समय सावधानी बरतें।

प्रश्न 2. एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी. है, तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 616 \) सेमी.²
हम जानते हैं कि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi r^2 \)
इसलिए, \( 4\pi r^2 = 616 \)
\( 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 616 \)
\( r^2 = \frac{616 \times 7}{4 \times 22} \)
\( r^2 = \frac{154 \times 7}{22} \)
\( r^2 = 7 \times 7 \)
\( r^2 = 49 \)
\( r = \sqrt{49} \)
\( r = 7 \) सेमी.

अतः, गोले की त्रिज्या \( = 7 \) सेमी.
अब, गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \)
\( = \frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{3} \)
\( = \frac{88 \times 49}{3} \)
\( = \frac{4312}{3} \)
\( = 1437.33 \) घन सेमी.
In simple words: हमें एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया गया है। पहले हमने इस क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके गोले की त्रिज्या ज्ञात की। एक बार जब हमें त्रिज्या मिल गई, तो हमने गोले के आयतन के सूत्र का उपयोग करके आयतन की गणना की।

🎯 Exam Tip: जब पृष्ठीय क्षेत्रफल या आयतन में से एक दिया गया हो, तो पहले उस सूत्र का उपयोग करके त्रिज्या ज्ञात करें। फिर उस त्रिज्या का उपयोग दूसरे मान (आयतन या पृष्ठीय क्षेत्रफल) को ज्ञात करने के लिए करें। हमेशा इकाइयाँ (सेमी.², सेमी.³) सही ढंग से लिखें।

प्रश्न 3. एक अर्ध गोले की त्रिज्या 4.5 सेमी. है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
अर्ध-गोले की त्रिज्या \( = 4.5 \) सेमी.

अर्ध-गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल) \( = 3\pi r^2 \)
\( = 3 \times \frac{22}{7} \times (4.5)^2 \)
\( = 3 \times \frac{22}{7} \times 4.5 \times 4.5 \)
\( = 3 \times \frac{22}{7} \times 20.25 \)
\( = \frac{66 \times 20.25}{7} \)
\( = \frac{1336.5}{7} \)
\( = 190.93 \) वर्ग सेमी.

अर्ध-गोले का आयतन \( = \frac{2}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (4.5)^3 \)
\( = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.5 \times 4.5 \times 4.5 \)
\( = \frac{2 \times 22 \times 4.5 \times 4.5 \times 4.5}{3 \times 7} \)
\( = \frac{44 \times 91.125}{21} \)
\( = \frac{4009.5}{21} \)
\( = 190.93 \) घन सेमी.
In simple words: हमें एक अर्ध-गोले की त्रिज्या दी गई है। हमने अर्ध-गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (जो कि \( 3\pi r^2 \) होता है) और आयतन (जो कि \( \frac{2}{3}\pi r^3 \) होता है) को ज्ञात किया। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अर्ध-गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (2\pi r^2) \) और आधार के क्षेत्रफल \( (\pi r^2) \) का योग होता है।

🎯 Exam Tip: अर्ध-गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के दो सूत्र होते हैं: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (2\pi r^2) \) और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (3\pi r^2) \)। प्रश्न को ध्यान से पढ़ें कि कौन सा क्षेत्रफल पूछा गया है। आयतन के लिए \( \frac{2}{3}\pi r^3 \) का प्रयोग करें।

प्रश्न 5. एक बेलन सीसे का बना हुआ है, जिसकी त्रिज्या 4 सेमी. व ऊँचाई 10 सेमी. है। इसे पिघलाकर 2 सेमी. त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते हैं?
Answer:
बेलन की त्रिज्या \( (r_B) = 4 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 10 \) सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r_B^2 h \)
\( = \pi (4)^2 \times 10 \)
\( = \pi \times 16 \times 10 \)
\( = 160\pi \) घन सेमी.

इस बेलन को पिघलाकर 2 सेमी. त्रिज्या के गोले बनाए जाते हैं।
गोले की त्रिज्या \( (r_G) = 2 \) सेमी.
एक गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r_G^3 \)
\( = \frac{4}{3}\pi (2)^3 \)
\( = \frac{4}{3}\pi \times 8 \)
\( = \frac{32}{3}\pi \) घन सेमी.

2 सेमी. के गोलों की अभीष्ट संख्या \( = \frac{\text{बेलन का आयतन}}{\text{एक गोले का आयतन}} \)
\( = \frac{160\pi}{\frac{32}{3}\pi} \)
\( = \frac{160 \times 3}{32} \)
\( = 5 \times 3 \)
\( = 15 \)
इस प्रकार, 15 गोले बनाए जा सकते हैं।
In simple words: हमने पहले बेलन का कुल आयतन ज्ञात किया। फिर, हमने उस आयतन को एक छोटे गोले के आयतन से भाग दिया जिसे बनाया जाना है। इससे हमें पता चला कि कितने छोटे गोले बनाए जा सकते हैं। धातु के एक रूप से दूसरे रूप में पिघलाने पर कुल आयतन समान रहता है।

🎯 Exam Tip: जब एक आकार को पिघलाकर दूसरे आकार में बदला जाए, तो हमेशा दोनों आकृतियों के आयतन की गणना करें। फिर, बनाए गए छोटे आकारों की संख्या ज्ञात करने के लिए बड़े आकार के आयतन को छोटे आकार के आयतन से भाग दें।

प्रश्न 6. एक खोखला गोल शेल 2 सेमी. मोटा है। यदि इसकी बाह्य त्रिज्या 8 सेमी. है तो इसमें लगी धातु का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
खोखले गोलीय कोश की बाह्य त्रिज्या \( (r_1) = 8 \) सेमी.
खोखले गोल शेल की मोटाई \( = 2 \) सेमी.
खोखले गोल शेल की आंतरिक त्रिज्या \( (r_2) = \text{बाह्य त्रिज्या} - \text{मोटाई} \)
\( = 8 - 2 \)
\( = 6 \) सेमी.

खोखले गोल शेल में लगी धातु का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi (r_1^3 - r_2^3) \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (8^3 - 6^3) \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (512 - 216) \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 296 \)
\( = \frac{88 \times 296}{21} \)
\( = \frac{26048}{21} \)
\( = 1240.38 \) घन सेमी.
अतः, गोलीय कोश में लगी धातु का आयतन \( = 1240.38 \) घन सेमी. है।
In simple words: हमें एक खोखले गोले (शेल) की बाहरी त्रिज्या और उसकी मोटाई दी गई है। हमने पहले आंतरिक त्रिज्या ज्ञात की। फिर, शेल में लगी धातु का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमने बाहरी गोले के आयतन में से आंतरिक गोले के आयतन को घटाया।

🎯 Exam Tip: खोखले गोले के आयतन की गणना करते समय, हमेशा बाहरी गोले के आयतन से आंतरिक गोले का आयतन घटाएँ। आंतरिक त्रिज्या ज्ञात करने के लिए बाहरी त्रिज्या में से मोटाई घटाएँ।

प्रश्न 7. 9 सेमी. त्रिज्या के धातु के गोले को पिघलाकर 3 सेमी. त्रिज्या और 6 सेमी. ऊँचाई के कितने शंकु बनाए जा सकते हैं?
Answer:
बड़े धातु के गोले की त्रिज्या \( (R) = 9 \) सेमी.
बड़े गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi R^3 \)
\( = \frac{4}{3}\pi (9)^3 \)
\( = \frac{4}{3}\pi \times 729 \)
\( = 4 \times \pi \times 243 \)
\( = 972\pi \) घन सेमी.

शंकु की त्रिज्या \( (r) = 3 \) सेमी.
शंकु की ऊँचाई \( (h) = 6 \) सेमी.
एक शंकु का आयतन \( = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)
\( = \frac{1}{3}\pi (3)^2 (6) \)
\( = \frac{1}{3}\pi \times 9 \times 6 \)
\( = \pi \times 3 \times 6 \)
\( = 18\pi \) घन सेमी.

धातु के गोले को पिघलाकर बन सकने वाले शंकुओं की संख्या \( = \frac{\text{गोले का आयतन}}{\text{एक शंकु का आयतन}} \)
\( = \frac{972\pi}{18\pi} \)
\( = \frac{972}{18} \)
\( = 54 \)
अतः, बने शंकुओं की संख्या \( = 54 \) है।
In simple words: हमने पहले बड़े धातु के गोले का आयतन ज्ञात किया। फिर, बनाए जाने वाले एक शंकु का आयतन ज्ञात किया। अंत में, हमने यह पता लगाने के लिए कि कितने शंकु बनाए जा सकते हैं, गोले के आयतन को एक शंकु के आयतन से भाग दिया।

🎯 Exam Tip: जब भी किसी एक ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरी ठोस वस्तुएँ बनाई जाती हैं, तो यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कुल आयतन हमेशा समान रहता है। इस प्रकार के प्रश्नों में अनुपात का नियम सबसे उपयोगी होता है।

प्रश्न 8. 10 सेमी. त्रिज्या के धातु के गोले से समान त्रिज्या के 8 गोले बनाए जाते हैं। इस प्रकार बने प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना धातु के बड़े गोले की त्रिज्या \( R = 10 \) सेमी. है।
माना छोटे गोलों की त्रिज्या \( r \) है।
धातु के बड़े गोले का आयतन \( = 8 \times \) छोटे गोले का आयतन
\( \frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3 \)

दोनों तरफ \( \frac{4}{3}\pi \) से भाग देने पर:
\( R^3 = 8r^3 \)
मान रखने पर:
\( (10)^3 = 8r^3 \)
\( 10 \times 10 \times 10 = 8r^3 \)
\( 1000 = 8r^3 \)
\( r^3 = \frac{1000}{8} \)
\( r^3 = 125 \)
\( r = (125)^{1/3} \)
\( r = (5^3)^{1/3} \)
\( r = 5 \) सेमी.

प्रत्येक छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi r^2 \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 25 \)
\( = \frac{88 \times 25}{7} \)
\( = \frac{2200}{7} \)
\( \approx 314.28 \) वर्ग सेमी.
In simple words: हमने एक बड़े गोले को पिघलाकर 8 समान छोटे गोले बनाए हैं। पहले, हमने यह पता लगाने के लिए कि एक छोटे गोले की त्रिज्या कितनी होगी, बड़े गोले के आयतन को 8 छोटे गोलों के आयतन के बराबर रखा। एक बार जब हमें छोटे गोले की त्रिज्या मिल गई, तो हमने प्रत्येक छोटे गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब एक बड़ी वस्तु को पिघलाकर कई छोटी समान वस्तुएँ बनाई जाती हैं, तो बड़ी वस्तु का आयतन सभी छोटी वस्तुओं के कुल आयतन के बराबर होता है। इस नियम का उपयोग करके अज्ञात त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।

प्रश्न 9. यदि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 5544 सेमी. है तो गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना गोले की त्रिज्या \( r \) सेमी. है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi r^2 \)
दिया गया है, पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 5544 \) सेमी.²
तो, \( 4\pi r^2 = 5544 \)
\( 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 = 5544 \)
\( r^2 = \frac{5544 \times 7}{4 \times 22} \)
\( r^2 = \frac{5544 \times 7}{88} \)
\( r^2 = 63 \times 7 \)
\( r^2 = 441 \)
\( r = \sqrt{441} \)
\( r = 21 \) सेमी.

अब, गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (21)^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \times 21 \)
\( = 4 \times 22 \times 7 \times 21 \times 3 \)
\( = 4 \times 22 \times 3 \times 21 \times 21 \) (सरलीकरण के बाद)
\( = 88 \times 441 \)
\( = 38808 \) घन सेमी.
अतः, गोले का आयतन \( = 38808 \) घन सेमी. है।
In simple words: हमें गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया गया है। हमने गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके पहले त्रिज्या ज्ञात की। एक बार त्रिज्या ज्ञात होने के बाद, हमने गोले के आयतन के सूत्र का उपयोग करके आयतन की गणना की।

🎯 Exam Tip: वर्गमूल और घनमूल की गणना करते समय गुणनखंड विधि का उपयोग करना सहायक हो सकता है। सुनिश्चित करें कि आप \( \pi \) के लिए सही मान का उपयोग करते हैं और गणना के सभी चरणों को ध्यान से करते हैं।

प्रश्न 10. एक सीसे के ठोस आयतफलकी की माप क्रमशः 66 सेमी., 42 सेमी. और 21 सेमी. है। ज्ञात कीजिए कि इसको पिघलाकर इससे 4.2 सेमी. व्यास की कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं।
Answer:
आयतफलकी की माप: लंबाई \( (l) = 66 \) सेमी., चौड़ाई \( (b) = 42 \) सेमी., ऊँचाई \( (h) = 21 \) सेमी.
आयतफलकी का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 66 \times 42 \times 21 \) घन सेमी.

बनाई जाने वाली गोली का व्यास \( = 4.2 \) सेमी.
गोली की त्रिज्या \( (r) = \frac{4.2}{2} = 2.1 \) सेमी.
एक गोली का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 \)
\( = \frac{4 \times 22}{21} \times (2.1)^3 \)
\( = \frac{88}{21} \times 9.261 \)
\( = 88 \times 0.441 \)
\( = 38.808 \) घन सेमी.

बनाई गई गोलियों की संख्या \( (n) = \frac{\text{आयतफलकी का आयतन}}{\text{एक गोली का आयतन}} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 21}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 21}{\frac{88}{21} \times 9.261} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 21 \times 21}{88 \times 9.261} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 21 \times 21}{88 \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 21 \times 21 \times 1000}{88 \times 21 \times 21 \times 21} \)
\( = \frac{66 \times 42 \times 1000}{88 \times 21} \)
\( = \frac{3 \times 22 \times 2 \times 21 \times 1000}{4 \times 22 \times 21} \)
\( = \frac{3 \times 2 \times 1000}{4} \)
\( = \frac{6000}{4} \)
\( = 1500 \)
अतः, बनाई गई गोलियों की संख्या \( = 1500 \) है।
In simple words: हमें एक बड़े सीसे के आयतफलकी का आकार दिया गया है और हमें यह पता लगाना है कि इसे पिघलाकर कितने छोटे गोले बनाए जा सकते हैं। हमने आयतफलकी का आयतन ज्ञात किया और फिर एक गोली का आयतन ज्ञात किया। अंत में, हमने कुल आयतन को एक गोली के आयतन से भाग देकर गोलियों की संख्या ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं को भिन्न में बदलकर गणना करना आसान हो सकता है। जैसे, 2.1 को \( \frac{21}{10} \) के रूप में लिखें। यह गणना को अधिक सटीक और व्यवस्थित बनाता है।

प्रश्न 11. 6 सेमी. व्यास का एक गोला 12 सेमी. व्यास के बेलनाकार बर्तन में जिसमें पानी है, डाला जाता है। बर्तन में पानी कितना ऊपर चढ़ जायेगा?
Answer:
गोले का व्यास \( = 6 \) सेमी.
गोले की त्रिज्या \( (r_G) = \frac{6}{2} = 3 \) सेमी.
गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r_G^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \) घन सेमी.

बेलनाकार बर्तन का व्यास \( = 12 \) सेमी.
बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या \( (r_B) = \frac{12}{2} = 6 \) सेमी.

जब गोला पानी में डाला जाता है, तो विस्थापित पानी का आयतन गोले के आयतन के बराबर होता है।
माना पानी की ऊँचाई में वृद्धि \( = h \) सेमी.
विस्थापित पानी का आयतन (बेलन के रूप में) \( = \pi r_B^2 h \)
\( = \pi (6)^2 h = 36\pi h \) घन सेमी.

चूँकि विस्थापित पानी का आयतन गोले के आयतन के बराबर है:
\( 36\pi h = 36\pi \)

\( \implies h = 1 \) सेमी.

इसलिए, बर्तन में पानी 1 सेमी. ऊपर चढ़ जाएगा। In simple words: जब किसी वस्तु को पानी में डाला जाता है, तो वह अपने आयतन के बराबर पानी विस्थापित करती है। हमने पहले गोले का आयतन ज्ञात किया। फिर, हमने उस आयतन को बेलनाकार बर्तन में बढ़े हुए पानी के आयतन के बराबर रखा, जिससे पानी के स्तर में हुई वृद्धि (ऊँचाई) का पता चला।

🎯 Exam Tip: इस तरह के विस्थापन के प्रश्नों में, विस्थापित द्रव का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है। सूत्र \( \text{बेलन का आयतन} = \pi r^2 h \) और \( \text{गोले का आयतन} = \frac{4}{3}\pi r^3 \) का सही उपयोग करें।

प्रश्न 12. 9 सेमी. की अन्त:त्रिज्या वाले एक अर्ध गोलाकार कटोरे में एक द्रव भरा है। इस द्रव को 3 सेमी. व्यास और 4 सेमी. ऊँचाई के छोटे-छोटे बेलनाकार बर्तनों में भरना है। ज्ञात कीजिए कि कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी?
Answer:
अर्ध-गोलाकार कटोरे की त्रिज्या \( (R) = 9 \) सेमी.
अर्ध-गोलाकार कटोरे का आयतन \( = \frac{2}{3}\pi R^3 \)
\( = \frac{2}{3}\pi (9)^3 \)
\( = \frac{2}{3}\pi \times 729 \)
\( = 2\pi \times 243 \)
\( = 486\pi \) घन सेमी.

बेलनाकार बर्तन (बोतल) का व्यास \( = 3 \) सेमी.
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या \( (r) = \frac{3}{2} = 1.5 \) सेमी.
बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई \( (h) = 4 \) सेमी.
एक बेलनाकार बर्तन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \pi (1.5)^2 \times 4 \)
\( = \pi \times 2.25 \times 4 \)
\( = 9\pi \) घन सेमी.

कटोरे के पूरे द्रव को भरने के लिए आवश्यक बोतलों की संख्या \( = \frac{\text{कटोरे का आयतन}}{\text{एक बोतल का आयतन}} \)
\( = \frac{486\pi}{9\pi} \)
\( = \frac{486}{9} \)
\( = 54 \)
अतः, 54 बोतलों की आवश्यकता होगी।
In simple words: हमें एक बड़े अर्ध-गोलाकार कटोरे में भरे द्रव का आयतन ज्ञात करना था। फिर, हमने छोटे बेलनाकार बर्तनों (बोतलों) का आयतन ज्ञात किया। अंत में, हमने यह पता लगाने के लिए कि कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी, कटोरे के आयतन को एक बोतल के आयतन से भाग दिया।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप अर्ध-गोले के आयतन के लिए सही सूत्र \( (\frac{2}{3}\pi r^3) \) का उपयोग करते हैं और बेलन के आयतन \( (\pi r^2 h) \) के लिए भी। त्रिज्या और व्यास में भ्रमित न हों।

प्रश्न 13. एक गोले का व्यास 0.7 सेमी. है। एक पानी की टंकी से 3000 गोले पूर्ण रूप से भरकर पानी बाहर निकाला जाता है तो बाहर निकलने वाले पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
एक गोले का व्यास \( = 0.7 \) सेमी.
गोले की त्रिज्या \( (r) = \frac{0.7}{2} = 0.35 \) सेमी.

एक गोले का आयतन \( = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.35)^3 \)
\( = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.35 \times 0.35 \times 0.35 \)
\( = \frac{88}{21} \times 0.042875 \)
\( \approx 0.17965 \) घन सेमी.

पानी की टंकी से 3000 गोले पूर्ण रूप से भरकर पानी बाहर निकाला गया है।
अतः, निकाले गए पानी का कुल आयतन \( = 3000 \times \) एक गोले का आयतन
\( = 3000 \times 0.17965 \)
\( = 538.95 \)
\( \approx 539 \) घन सेमी.
In simple words: हमने पहले एक छोटे गोले का आयतन ज्ञात किया जिसकी त्रिज्या 0.35 सेमी. है। फिर, क्योंकि 3000 गोले पानी से भरकर निकाले गए थे, तो हमने एक गोले के आयतन को 3000 से गुणा करके कुल बाहर निकले पानी का आयतन ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: आयतन की गणना करते समय दशमलव संख्याओं का गुणा ध्यान से करें। अंत में, कुल आयतन ज्ञात करने के लिए हमेशा सभी छोटे भागों के आयतन को जोड़ना या गुणा करना न भूलें।

प्रश्न 14. एक खोखले अर्द्ध गोलीय बर्तन के बाह्य और अन्तः व्यास क्रमशः 43 सेमी. और 42 सेमी. हैं। यदि उस पर रंग करवाने का व्यय 7 पैसे प्रति वर्ग सेमी. हो, तो बर्तन पर रंग करवाने की व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
अर्द्ध-गोलीय बर्तन की बाह्य व्यास \( = 43 \) सेमी.
बाह्य त्रिज्या \( (r_1) = \frac{43}{2} = 21.5 \) सेमी.

अर्द्ध-गोलीय बर्तन की अन्तः व्यास \( = 42 \) सेमी.
अन्तः त्रिज्या \( (r_2) = \frac{42}{2} = 21 \) सेमी.

बर्तन पर रंग करवाने के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (एक खोखले अर्ध-गोले के लिए जिसका आधार भी है) \( = \pi (3r_1^2 + r_2^2) \)
\( = \frac{22}{7} \times [3 \times (21.5)^2 + (21)^2] \)
\( = \frac{22}{7} \times [3 \times 462.25 + 441] \)
\( = \frac{22}{7} \times [1386.75 + 441] \)
\( = \frac{22}{7} \times 1827.75 \)
\( = 22 \times 261.107 \)
\( \approx 5744.35 \) वर्ग सेमी.

रंग करवाने का व्यय \( = 7 \) पैसे प्रति वर्ग सेमी.
\( = \frac{7}{100} \) रुपए प्रति वर्ग सेमी. \( = 0.07 \) रुपए प्रति वर्ग सेमी.

कुल व्यय \( = \text{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} \times \text{प्रति वर्ग सेमी. व्यय} \)
\( = 5744.35 \times 0.07 \)
\( = 402.1045 \)
\( \approx 402.11 \) रुपए
In simple words: हमने पहले खोखले अर्ध-गोलीय बर्तन की बाहरी और आंतरिक त्रिज्याएँ ज्ञात कीं। फिर, हमने बर्तन का कुल क्षेत्रफल ज्ञात किया जिस पर रंग करना है। अंत में, हमने कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग सेमी. लागत से गुणा करके रंग करवाने का कुल खर्च निकाला।

🎯 Exam Tip: खोखले अर्ध-गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( \pi (3r_1^2 + r_2^2) \) याद रखें, जहाँ \( r_1 \) बाहरी त्रिज्या और \( r_2 \) आंतरिक त्रिज्या है। पैसे को रुपए में बदलने के लिए 100 से भाग देना न भूलें।