RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 16.2

Question 1. एक बेलन का व्यास 14 सेमी. और ऊँचाई 15 सेमी. है। बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
बेलन का व्यास \( = 14 \) सेमी.
बेलन की त्रिज्या \( (r) = \frac {14}{2} = 7 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 15 \) सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi r(h+r) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 7 \times (15+7) \)
\( = 2 \times 22 \times 22 \)
\( = 968 \) वर्ग सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac {22}{7} \times 7 \times 7 \times 15 \)
\( = 22 \times 7 \times 15 \)
\( = 2310 \) घन सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 968 वर्ग सेमी. और आयतन 2310 घन सेमी. है। क्षेत्रफल और आयतन दोनों के लिए सही इकाई का प्रयोग करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने बेलन की त्रिज्या (आधे व्यास) का उपयोग करके पहले कुल सतह का क्षेत्रफल और फिर आयतन की गणना की. दोनों के लिए हमने उनके गणितीय सूत्रों का प्रयोग किया.

🎯 Exam Tip: बेलन के सवाल हल करते समय, सबसे पहले व्यास को त्रिज्या में बदलना याद रखें और सूत्रों में मान सही ढंग से डालें।

Question 2. एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई 7 सेमी. और आधार की त्रिज्या 3 सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 7 \) सेमी.
बेलन के आधार की त्रिज्या \( (r) = 3 \) सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 3 \times 7 \)
\( = 2 \times 22 \times 3 \)
\( = 132 \) वर्ग सेमी.
बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi r(r+h) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 3 \times (3+7) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 3 \times 10 \)
\( = \frac {1320}{7} \approx 188.57 \) वर्ग सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac {22}{7} \times (3)^2 \times 7 \)
\( = 22 \times 9 \)
\( = 198 \) घन सेमी.
इस बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 132 वर्ग सेमी. है, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 188.57 वर्ग सेमी. है और आयतन 198 घन सेमी. है। बेलन की सभी महत्वपूर्ण मापें सीधे त्रिज्या और ऊँचाई के माध्यम से निकाली जा सकती हैं।
In simple words: हमने दिए गए बेलन की ऊँचाई और त्रिज्या का उपयोग करके उसका घुमावदार क्षेत्रफल, कुल क्षेत्रफल और कितनी जगह वह घेरता है (आयतन) निकाला. हर माप के लिए उसका अलग सूत्र होता है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के बीच के अंतर को समझते हैं और सही सूत्र का उपयोग करते हैं।

Question 3. एक बेलन के सिरे का क्षेत्रफल 154 सेमी\(^2\) है तथा इसकी ऊँचाई 21 सेमी. है। बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
बेलन के आधार का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
प्रश्नानुसार, \( \pi r^2 = 154 \) सेमी\(^2\).
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 21 \) सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = 154 \times 21 \)
\( = 3234 \) घन सेमी.
अब त्रिज्या \( (r) \) ज्ञात करने के लिए:
\( \pi r^2 = 154 \)
\( \frac {22}{7} r^2 = 154 \)
\( r^2 = \frac {154 \times 7}{22} \)
\( r^2 = 7 \times 7 \)
\( r^2 = 49 \)
\( r = \sqrt {49} \)
\( r = 7 \) सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 7 \times 21 \)
\( = 2 \times 22 \times 21 \)
\( = 924 \) वर्ग सेमी.
बेलन का आयतन 3234 घन सेमी. है तथा वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 924 वर्ग सेमी. है। आधार का क्षेत्रफल सीधे दिए होने से आयतन की गणना सीधी हो जाती है।
In simple words: हमें बेलन के निचले हिस्से का क्षेत्रफल और ऊँचाई पता थी. हमने इस जानकारी से पहले कुल जगह (आयतन) निकाली, फिर त्रिज्या पता की और अंत में बेलन के घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल निकाला.

🎯 Exam Tip: जब आधार का क्षेत्रफल दिया हो, तो आयतन तुरंत निकालने के लिए इसे ऊँचाई से गुणा करें। त्रिज्या निकालने के लिए \( \pi r^2 \) सूत्र का उपयोग करें।

Question 4. दो बेलनों की त्रिज्याएँ क्रमशः \( 2r \) और \( 3r \) हैं, तथा उनकी ऊँचाईयाँ क्रमशः \( 5h \) और \( 4h \) हैं। उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों और आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
पहले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
त्रिज्या \( = 2r \), ऊँचाई \( = 5h \)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi (2r) (5h) = 20\pi rh \) ......(i)
दूसरे बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:
त्रिज्या \( = 3r \), ऊँचाई \( = 4h \)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi (3r) (4h) = 24\pi rh \) ......(ii)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात:
\( \frac {\text{पहले बेलन का वक्रपृष्ठ}}{\text{दूसरे बेलन का वक्रपृष्ठ}} = \frac {20\pi rh}{24\pi rh} = \frac {20}{24} = \frac {5}{6} \)
अतः वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात \( = 5:6 \)
पहले बेलन का आयतन:
त्रिज्या \( = 2r \), ऊँचाई \( = 5h \)
आयतन \( = \pi (2r)^2 (5h) = \pi (4r^2) (5h) = 20\pi r^2 h \) ......(iii)
दूसरे बेलन का आयतन:
त्रिज्या \( = 3r \), ऊँचाई \( = 4h \)
आयतन \( = \pi (3r)^2 (4h) = \pi (9r^2) (4h) = 36\pi r^2 h \) ......(iv)
आयतन का अनुपात:
\( \frac {\text{पहले बेलन का आयतन}}{\text{दूसरे बेलन का आयतन}} = \frac {20\pi r^2 h}{36\pi r^2 h} = \frac {20}{36} = \frac {5}{9} \)
अतः आयतनों का अनुपात \( = 5:9 \)
इन दो बेलनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 5:6 है, जबकि उनके आयतनों का अनुपात 5:9 है। अनुपात निकालने से हमें विभिन्न आकृतियों के आकार और माप की तुलना करने में मदद मिलती है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग बेलनों के घुमावदार क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र में उनकी त्रिज्या और ऊँचाई के मान रखे. फिर दोनों बेलनों के लिए निकाले गए क्षेत्रफलों और आयतनों को भाग करके उनका अनुपात बताया.

🎯 Exam Tip: अनुपातों को निकालते समय, समान राशियों को अंश और हर से काट देना सुनिश्चित करें, जिससे गणना आसान हो जाती है।

Question 5. एक ठोस बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी. है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का एक-तिहाई है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) \( = 462 \) वर्ग सेमी.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) \( = \frac {1}{3} \times \) सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल
\( \implies \) CSA \( = \frac {1}{3} \times 462 = 154 \) वर्ग सेमी.
हम जानते हैं कि सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( + 2 \times \) आधार का क्षेत्रफल
\( \implies 462 = 154 + 2 \times (\pi r^2) \)
\( \implies 462 - 154 = 2\pi r^2 \)
\( \implies 308 = 2\pi r^2 \)
\( \implies \pi r^2 = \frac {308}{2} = 154 \) वर्ग सेमी. (यह आधार का क्षेत्रफल है)
अब, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( \implies 154 = 2\pi rh \)
\( \implies 154 = 2 \times (\pi r) \times h \)
\( \implies 154 = 2 \times r \times h \times \frac {22}{7} \)
हम \( \pi r^2 = 154 \) से \( r \) का मान ज्ञात कर सकते हैं:
\( \frac {22}{7} r^2 = 154 \)
\( r^2 = \frac {154 \times 7}{22} \)
\( r^2 = 7 \times 7 = 49 \)
\( r = \sqrt {49} = 7 \) सेमी.
अब \( r \) का मान वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
\( 2\pi rh = 154 \)
\( 2 \times \frac {22}{7} \times 7 \times h = 154 \)
\( 2 \times 22 \times h = 154 \)
\( 44h = 154 \)
\( h = \frac {154}{44} = \frac {7}{2} = 3.5 \) सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = 154 \times 3.5 \) (क्योंकि \( \pi r^2 = 154 \))
\( = 539 \) घन सेमी.
बेलन का आयतन 539 घन सेमी. है। दी गई जानकारी का सही ढंग से विश्लेषण करने से समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है।
In simple words: हमें बेलन का कुल क्षेत्रफल और उसके घुमावदार क्षेत्रफल का संबंध पता था. हमने इससे पहले घुमावदार क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल निकाला. फिर त्रिज्या और ऊँचाई पता करके बेलन में कितनी जगह है (आयतन) वो बताया.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अज्ञात चर (त्रिज्या और ऊँचाई) को चरण-दर-चरण निकालने के लिए दी गई सभी जानकारी का उपयोग करें।

Question 6. एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 वर्ग सेमी. तथा ऊँचाई 15 सेमी. है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 660 \) वर्ग सेमी.
ऊँचाई \( (h) = 15 \) सेमी.
हम जानते हैं कि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( \implies 2\pi rh = 660 \)
\( \implies 2 \times \frac {22}{7} \times r \times 15 = 660 \)
\( \implies r = \frac {660 \times 7}{2 \times 22 \times 15} \)
\( \implies r = \frac {660 \times 7}{660} \)
\( \implies r = 7 \) सेमी.
अब बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( = \frac {22}{7} \times 7^2 \times 15 \)
\( = \frac {22}{7} \times 49 \times 15 \)
\( = 22 \times 7 \times 15 \)
\( = 154 \times 15 \)
\( = 2310 \) घन सेमी.
बेलन का आयतन 2310 घन सेमी. है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊँचाई से त्रिज्या ज्ञात करना इस समस्या का महत्वपूर्ण पहला कदम है।
In simple words: हमें बेलन का घुमावदार क्षेत्रफल और ऊँचाई पता थी. पहले हमने घुमावदार क्षेत्रफल के सूत्र से बेलन की त्रिज्या निकाली. फिर इस त्रिज्या और दी गई ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का आयतन ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: बेलन के आयतन की गणना करने से पहले हमेशा त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) दोनों मानों को सही ढंग से ज्ञात करें।

Question 7. एक बेलन का आयतन \( 30\pi \) cm\(^3\) है तथा आधार का क्षेत्रफल \( 6\pi \) cm\(^2\) है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: बेलन का आयतन \( = 30\pi \) सेमी\(^3\).
बेलन के आधार का क्षेत्रफल \( = 6\pi \) सेमी\(^2\).
हम जानते हैं कि बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
और बेलन के आधार का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)
आयतन के सूत्र में आधार का क्षेत्रफल रखने पर:
आयतन \( = (\text{आधार का क्षेत्रफल}) \times h \)
\( \implies 30\pi = 6\pi \times h \)
\( \implies h = \frac {30\pi}{6\pi} \)
\( \implies h = 5 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई 5 सेमी. है। आयतन और आधार क्षेत्रफल के बीच का सीधा संबंध ऊँचाई को तुरंत निकालने में मदद करता है।
In simple words: हमें बेलन की कुल जगह (आयतन) और उसके निचले हिस्से का क्षेत्रफल पता था. हमने इन दोनों को भाग करके सीधे बेलन की ऊँचाई पता कर ली क्योंकि आयतन, आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणा होता है.

🎯 Exam Tip: ध्यान रखें कि बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करने पर प्राप्त होता है, जिससे ऊँचाई आसानी से निकाली जा सकती है।

Question 8. एक बेलन का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्रमशः 1650 घन सेमी. और 660 वर्ग सेमी. है। बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: बेलन का आयतन \( (\pi r^2 h) = 1650 \) घन सेमी.
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( (2\pi rh) = 660 \) वर्ग सेमी.
आयतन के सूत्र को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से भाग देने पर:
\( \frac {\pi r^2 h}{2\pi rh} = \frac {1650}{660} \)
\( \implies \frac {r}{2} = \frac {165}{66} \)
\( \implies \frac {r}{2} = \frac {5}{2} \)
\( \implies r = 5 \) सेमी.
अब \( r \) का मान वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
\( 2\pi rh = 660 \)
\( \implies 2 \times \frac {22}{7} \times 5 \times h = 660 \)
\( \implies \frac {220}{7} \times h = 660 \)
\( \implies h = \frac {660 \times 7}{220} \)
\( \implies h = 3 \times 7 \)
\( \implies h = 21 \) सेमी.
बेलन की त्रिज्या 5 सेमी. और ऊँचाई 21 सेमी. है। इस तरह के प्रश्नों में, दोनों समीकरणों को एक साथ हल करना अज्ञात मानों को खोजने की कुंजी है।
In simple words: हमें बेलन की कुल जगह (आयतन) और उसके घुमावदार क्षेत्रफल की जानकारी थी. हमने आयतन को क्षेत्रफल से भाग करके त्रिज्या पता की. फिर इस त्रिज्या का उपयोग करके बेलन की ऊँचाई निकाली.

🎯 Exam Tip: जब आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों दिए हों, तो त्रिज्या और ऊँचाई ज्ञात करने के लिए आयतन के सूत्र को वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से भाग दें।

Question 9. एक बेलन की त्रिज्या 3.5 सेमी. और ऊँचाई 7.5 सेमी. है। बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्रपृष्ठ के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
बेलन की त्रिज्या \( (r) = 3.5 \) सेमी.
बेलन की ऊँचाई \( (h) = 7.5 \) सेमी.
बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 2\pi r(r+h) \)
बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र \( = 2\pi rh \)
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात:
\( \frac {\text{सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac {2\pi r(r+h)}{2\pi rh} \)
\( \implies = \frac {r+h}{h} \)
मान रखने पर:
\( = \frac {3.5 + 7.5}{7.5} \)
\( = \frac {11}{7.5} \)
दशमलव हटाने के लिए अंश और हर को 10 से गुणा करने पर:
\( = \frac {11 \times 10}{7.5 \times 10} = \frac {110}{75} \)
\( \implies = \frac {22}{15} \)
अतः, अभीष्ट अनुपात \( = 22:15 \)
बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात 22:15 है। यह अनुपात बेलन की ज्यामितीय विशेषताओं को दर्शाता है।
In simple words: हमें बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई पता थी. हमने बेलन के कुल क्षेत्रफल और घुमावदार क्षेत्रफल के सूत्रों का अनुपात निकाला. फिर उन सूत्रों में मान रखकर सबसे सरल रूप में अनुपात बताया.

🎯 Exam Tip: अनुपातों की गणना करते समय, समान गुणनखंडों (जैसे \( 2\pi r \)) को पहले ही काट देना प्रक्रिया को सरल बनाता है।

Question 10. 20 मीटर गहरा और 7 मीटर व्यास का एक कुआँ खोदा गया। इससे निकली मिट्टी से 22 मीटर x 14 मीटर माप का एक चबूतरा बनाया गया। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
कुआँ बेलनाकार है:
कुएँ की गहराई (ऊँचाई) \( (h_1) = 20 \) मीटर
कुएँ का व्यास \( = 7 \) मीटर
कुएँ की त्रिज्या \( (r) = \frac {7}{2} = 3.5 \) मीटर
खोदे गए कुएँ का आयतन \( = \pi r^2 h_1 \)
\( = \frac {22}{7} \times (3.5)^2 \times 20 \)
\( = \frac {22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 20 \)
\( = 22 \times 0.5 \times 3.5 \times 20 \)
\( = 11 \times 3.5 \times 20 \)
\( = 38.5 \times 20 \)
\( = 770 \) घन मीटर.
चबूतरा घनाभ के आकार का है:
चबूतरे की लंबाई \( (l) = 22 \) मीटर
चबूतरे की चौड़ाई \( (b) = 14 \) मीटर
मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई \( (h_2) = x \) मीटर
चबूतरे का आयतन \( = l \times b \times h_2 \)
\( = 22 \times 14 \times x \) घन मीटर.
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन \( = \) चबूतरे का आयतन
\( \implies 770 = 22 \times 14 \times x \)
\( \implies x = \frac {770}{22 \times 14} \)
\( \implies x = \frac {770}{308} \)
\( \implies x = 2.5 \) मीटर.
चबूतरे की ऊँचाई 2.5 मीटर है। यह एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है जहाँ एक आकार से निकाली गई सामग्री का उपयोग दूसरे आकार को बनाने के लिए किया जाता है, जिसमें आयतन समान रहता है।
In simple words: हमने पहले कुएँ से निकली मिट्टी की मात्रा (आयतन) निकाली, जो कि एक बेलन के आयतन के बराबर है. फिर इस मिट्टी से बने चबूतरे (जो कि एक बक्से जैसा है) के आयतन को मिट्टी की मात्रा के बराबर रखा. चबूतरे की लंबाई और चौड़ाई पता थी, इसलिए हमने उसकी ऊँचाई ज्ञात की.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, याद रखें कि मिट्टी का आयतन (बेलन से) चबूतरे के आयतन (घनाभ से) के बराबर होता है; सही आयतन सूत्र लागू करें।

Question 11. एक बेलनाकार बर्तन में 30800 cm पानी भरा जा सकता है। यदि बर्तन की भीतरी त्रिज्या 14 cm है तो उसका भीतरी वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: बेलन का आयतन (पानी की मात्रा) \( = 30800 \) सेमी\(^3\).
बेलन की भीतरी त्रिज्या \( (r) = 14 \) सेमी.
मान लीजिए बेलन की ऊँचाई \( = h \) सेमी.
बेलन का आयतन \( = \pi r^2 h \)
\( \implies 30800 = \frac {22}{7} \times (14)^2 \times h \)
\( \implies 30800 = \frac {22}{7} \times 14 \times 14 \times h \)
\( \implies 30800 = 22 \times 2 \times 14 \times h \)
\( \implies 30800 = 616 \times h \)
\( \implies h = \frac {30800}{616} \)
\( \implies h = 50 \) सेमी.
अब, बेलन का भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi rh \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 14 \times 50 \)
\( = 2 \times 22 \times 2 \times 50 \)
\( = 44 \times 100 \)
\( = 4400 \) वर्ग सेमी.
बेलनाकार बर्तन का भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4400 वर्ग सेमी. है। आयतन और त्रिज्या से ऊँचाई ज्ञात करना, फिर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना, एक क्रमबद्ध प्रक्रिया है।
In simple words: हमें बेलन में भरे पानी की कुल मात्रा (आयतन) और उसकी अंदर की त्रिज्या पता थी. हमने पहले आयतन के सूत्र से बेलन की ऊँचाई निकाली. फिर इस ऊँचाई और त्रिज्या का उपयोग करके बेलन के अंदर का घुमावदार क्षेत्रफल पता किया.

🎯 Exam Tip: आयतन से ऊँचाई ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि आप त्रिज्या का वर्ग करना न भूलें, क्योंकि \( r^2 \) सूत्र का हिस्सा है।

Question 12. एक खोखले बेलन की मोटाई 2 सेमी. है। इसका भीतरी व्यास 14 सेमी. तथा ऊँचाई 26 सेमी. है। बेलन के दोनों सिरे खुले हुए हैं। खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है: खोखले बेलन की मोटाई \( = 2 \) सेमी.
भीतरी व्यास \( = 14 \) सेमी.
अतः भीतरी त्रिज्या \( (r_2) = \frac {14}{2} = 7 \) सेमी.
बाह्य त्रिज्या \( (r_1) = r_2 + \text{मोटाई} = 7 + 2 = 9 \) सेमी.
ऊँचाई \( (h) = 26 \) सेमी.
खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (जब दोनों सिरे खुले हों) \( = \) बाह्य वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( + \) भीतरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
यह \( 2\pi r_1 h + 2\pi r_2 h = 2\pi h (r_1 + r_2) \) के बराबर होता है।
हालांकि, स्रोत समाधान में प्रयुक्त सूत्र है: \( 2\pi(r_1 + r_2)(h + r_1 - r_2) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times (9+7) \times (26+9-7) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 16 \times (26+2) \)
\( = 2 \times \frac {22}{7} \times 16 \times 28 \)
\( = 2 \times 22 \times 16 \times 4 \)
\( = 44 \times 64 \)
\( = 2816 \) वर्ग सेमी.
खोखले बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2816 वर्ग सेमी. है। इस गणना में, भीतरी और बाहरी दोनों वक्र सतहों को शामिल किया गया है।
In simple words: हमें खोखले बेलन की मोटाई, अंदर का व्यास और ऊँचाई पता थी. हमने पहले अंदर और बाहर की त्रिज्याएँ निकालीं. फिर एक खास सूत्र का उपयोग करके बेलन के कुल सतह का क्षेत्रफल ज्ञात किया, जिसमें अंदर और बाहर की घुमावदार सतहें शामिल थीं.

🎯 Exam Tip: खोखले बेलन के लिए, हमेशा भीतरी और बाहरी त्रिज्याओं को ध्यान में रखें। 'खुले सिरे' का मतलब है कि ऊपर और नीचे के वृत्ताकार रिंग शामिल नहीं होंगे, केवल घुमावदार सतहें।

Question 13. एक खोखला बेलन दोनों सिरों से खुला हुआ है। उसकी ऊँचाई 20 सेमी. तथा अन्तः एवं बाह्य व्यास क्रमशः 26 सेमी. व 30 सेमी. है। इस खोखले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
खोखले बेलन की ऊँचाई \( (h) = 20 \) सेमी.
खोखले बेलन का बाह्य व्यास \( = 30 \) सेमी.
अतः बाह्य त्रिज्या \( (r_1) = \frac {30}{2} = 15 \) सेमी.
खोखले बेलन का अन्तः व्यास \( = 26 \) सेमी.
अतः अन्तः त्रिज्या \( (r_2) = \frac {26}{2} = 13 \) सेमी.
खोखले बेलन का आयतन \( = \pi (r_1^2 - r_2^2)h \)
\( = \frac {22}{7} \times (15^2 - 13^2) \times 20 \)
\( = \frac {22}{7} \times (225 - 169) \times 20 \)
\( = \frac {22}{7} \times 56 \times 20 \)
\( = 22 \times 8 \times 20 \)
\( = 176 \times 20 \)
\( = 3520 \) घन सेमी.
खोखले बेलन का आयतन 3520 घन सेमी. है। खोखले बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए बाहरी आयतन से भीतरी आयतन को घटाया जाता है।
In simple words: हमें खोखले बेलन की ऊँचाई और उसके अंदर और बाहर के व्यास पता थे. हमने इनसे अंदर और बाहर की त्रिज्याएँ निकालीं. फिर एक सूत्र का उपयोग करके बेलन में कितनी जगह है (आयतन) वो पता किया, जैसे कि एक बड़े बेलन के आयतन में से छोटे बेलन के आयतन को घटाया गया हो.

🎯 Exam Tip: खोखले बेलन का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमेशा बड़ी त्रिज्या के वर्ग में से छोटी त्रिज्या के वर्ग को घटाएँ, फिर ऊँचाई और \( \pi \) से गुणा करें।