Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 16 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
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प्रश्न 1. एक घनाभ 12 सेमी. लम्बा, 9 सेमी. चौड़ा और 5 सेमी. ऊँचा है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: घनाभ की लम्बाई (l) \( = 12 \) सेमी.
घनाभ की चौड़ाई (b) \( = 9 \) सेमी.
घनाभ की ऊँचाई (h) \( = 5 \) सेमी.
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(12 \times 9 + 9 \times 5 + 5 \times 12) \)
\( = 2(108 + 45 + 60) \)
\( = 2 \times 213 \)
\( = 426 \) वर्ग सेमी.
घनाभ का आयतन \( = l \times b \times h \)
\( = 12 \times 9 \times 5 \)
\( = 540 \) घन सेमी.
In simple words: घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई दी गई है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए \( 2(lb + bh + hl) \) सूत्र का उपयोग करते हैं और आयतन के लिए \( l \times b \times h \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
🎯 Exam Tip: हमेशा घनाभ के सभी मापों (लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई) को एक ही इकाई में रखें, जैसे सभी सेमी. में या सभी मीटर में।
प्रश्न 2. तीन घनों की भुजाएँ क्रमशः 8 सेमी., 6 सेमी. और 1 सेमी. हैं। इन्हें पिघलाकर एक नया घने बनाया जाता है। नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: पहले घन की भुजा \( = 8 \) सेमी.
पहले घन का आयतन \( = 8^3 = 512 \) घन सेमी.
दूसरे घन की भुजा \( = 6 \) सेमी.
दूसरे घन का आयतन \( = 6^3 = 216 \) घन सेमी.
तीसरे घन की भुजा \( = 1 \) सेमी.
तीसरे घन का आयतन \( = 1^3 = 1 \) घन सेमी.
तीनों घनों को पिघलाकर नया घन बनाने पर, नये घन का आयतन तीनों घनों के आयतनों के योग के बराबर होगा।
नये घन का आयतन \( = 512 + 216 + 1 \)
\( = 729 \) घन सेमी.
माना नये घन की भुजा \( x \) सेमी. है।
तो, \( x^3 = 729 \)
\( \implies x = \sqrt[3]{729} \)
\( \implies x = 9 \) सेमी.
नये घन की भुजा \( = 9 \) सेमी.
नये घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times (\text{भुजा})^2 \)
\( = 6 \times (9)^2 \)
\( = 6 \times 81 \)
\( = 486 \) वर्ग सेमी.
In simple words: सबसे पहले, तीनों छोटे घनों का आयतन निकालें। फिर इन सभी आयतनों को जोड़कर नए बड़े घन का कुल आयतन ज्ञात करें। नए घन के आयतन से उसकी भुजा की लम्बाई निकालें, और अंत में उस भुजा का उपयोग करके नए घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: पिघलाने वाले प्रश्नों में हमेशा आयतन संरक्षित रहता है। नए ठोस का आयतन पुराने ठोसों के आयतनों के योग के बराबर होता है।
प्रश्न 3. एक सन्दूक की माप 50 सेमी. x 36 सेमी. x 25 सेमी. है। इस संदूक का कवर बनाने के लिए कितने वर्ग सेमी. कपड़े की आवश्यकता होगी?
Answer: सन्दूक की लम्बाई (l) \( = 50 \) सेमी.
सन्दूक की चौड़ाई (b) \( = 36 \) सेमी.
सन्दूक की ऊँचाई (h) \( = 25 \) सेमी.
सन्दूक को कवर करने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल सन्दूक के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होगा।
सन्दूक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(50 \times 36 + 36 \times 25 + 25 \times 50) \)
\( = 2(1800 + 900 + 1250) \)
\( = 2(3950) \)
\( = 7900 \) वर्ग सेमी.
अतः संदूक का कवर बनाने के लिए \( 7900 \) वर्ग सेमी. कपड़े की आवश्यकता होगी।
In simple words: हमें संदूक के सभी बाहरी हिस्सों को ढकने के लिए कपड़े की ज़रूरत है, इसलिए हम संदूक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते हैं। यह हमें बताता है कि कितने वर्ग सेमी. कपड़ा लगेगा।
🎯 Exam Tip: कवर बनाने या पेंट करने जैसे प्रश्नों में, हमेशा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें, जब तक कि स्पष्ट रूप से न कहा गया हो कि कोई हिस्सा खुला है।
प्रश्न 4. एक घन का प्रत्येक पृष्ठ 100 वर्ग सेमी. है। यदि आधार के समान्तर समतल द्वारा घन को काटकर दो बराबर भागों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक समान भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: घन के प्रत्येक पृष्ठ का क्षेत्रफल \( = 100 \) वर्ग सेमी.
तो घन की भुजा \( = \sqrt{100} = 10 \) सेमी.
जब घन को आधार के समान्तर समतल द्वारा दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो प्रत्येक भाग एक घनाभ बन जाता है।
इन घनाभों की लम्बाई (l) \( = 10 \) सेमी. (घन की भुजा)
चौड़ाई (b) \( = 10 \) सेमी. (घन की भुजा)
ऊँचाई (h) \( = \frac{10}{2} = 5 \) सेमी. (आधी भुजा)
प्रत्येक घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
\( = 2(10 \times 10 + 10 \times 5 + 5 \times 10) \)
\( = 2(100 + 50 + 50) \)
\( = 2(200) \)
\( = 400 \) वर्ग सेमी.
In simple words: घन की भुजा ज्ञात करें। जब घन को आधा काटा जाता है, तो वह दो समान बक्से बन जाते हैं। प्रत्येक बक्से की नई लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का उपयोग करके उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
🎯 Exam Tip: जब एक घन को काटा जाता है, तो उसके नए हिस्से घनाभ बन जाते हैं। नए घनाभ के आयामों को सही ढंग से पहचानें ताकि क्षेत्रफल की गणना सही हो।
प्रश्न 5. बगैर ढक्कन को एक बक्सा 3 सेमी. मोटी लकड़ी का बना हुआ है। इसकी बाहरी लम्बाई 146 सेमी., चौड़ाई 116 सेमी, और ऊँचाई 83 सेमी. है। उसके अन्दर की ओर पेन्ट कराने का खर्च ज्ञात कीजिए, पेन्ट की दर 2 रुपए प्रति 1000 वर्ग सेमी. है।
Answer: बक्से की बाहरी लम्बाई (L) \( = 146 \) सेमी.
बक्से की बाहरी चौड़ाई (B) \( = 116 \) सेमी.
बक्से की बाहरी ऊँचाई (H) \( = 83 \) सेमी.
लकड़ी की मोटाई \( = 3 \) सेमी.
चूँकि बक्सा 3 सेमी. मोटी लकड़ी का बना है और ढक्कन रहित है:
बक्से की अन्दर की लम्बाई (l) \( = L - (2 \times \text{मोटाई}) = 146 - (2 \times 3) = 146 - 6 = 140 \) सेमी.
बक्से की अन्दर की चौड़ाई (b) \( = B - (2 \times \text{मोटाई}) = 116 - (2 \times 3) = 116 - 6 = 110 \) सेमी.
बक्से की अन्दर की ऊँचाई (h) \( = H - \text{मोटाई} = 83 - 3 = 80 \) सेमी. (क्योंकि यह ढक्कन रहित है, इसलिए ऊपर से केवल एक तरफ की मोटाई घटाई जाती है).
अन्दर की दीवारों का क्षेत्रफल \( = 2h(l + b) \)
\( = 2 \times 80(140 + 110) \)
\( = 160(250) \)
\( = 40000 \) वर्ग सेमी.
पेंदे का क्षेत्रफल \( = l \times b \)
\( = 140 \times 110 \)
\( = 15400 \) वर्ग सेमी.
पेन्ट कराने योग्य कुल क्षेत्रफल \( = 40000 + 15400 \)
\( = 55400 \) वर्ग सेमी.
पेन्ट की दर \( = \) Rs. 2 प्रति 1000 वर्ग सेमी.
पेन्ट कराने का कुल व्यय \( = \frac{55400}{1000} \times 2 \)
\( = 55.4 \times 2 \)
\( = \) Rs. 110.80
In simple words: पहले बक्से की अन्दर की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई ज्ञात करें, याद रखें कि यह ढक्कन रहित है। फिर अन्दर की दीवारों का क्षेत्रफल और पेंदे का क्षेत्रफल जोड़कर कुल पेन्ट करने योग्य क्षेत्रफल निकालें। अंत में, पेन्ट की दर का उपयोग करके कुल खर्च की गणना करें।
🎯 Exam Tip: ढक्कन रहित बक्सों के लिए आंतरिक ऊँचाई की गणना करते समय केवल एक तरफ की मोटाई घटाएँ। हमेशा बाहरी और आंतरिक मापों के बीच के अंतर को ध्यान में रखें।
प्रश्न 6. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का योग 19 सेमी. है तथा विकर्ण की लम्बाई 11 सेमी. है। घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: माना घनाभ की लम्बाई \( l \), चौड़ाई \( b \) और ऊँचाई \( h \) है।
प्रश्नानुसार:
\( l + b + h = 19 \) सेमी. ... (1)
घनाभ का विकर्ण \( = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} = 11 \) सेमी.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( l^2 + b^2 + h^2 = 11^2 \)
\( \implies l^2 + b^2 + h^2 = 121 \) सेमी.\( ^2 \) ... (2)
हम जानते हैं कि \( (l + b + h)^2 = l^2 + b^2 + h^2 + 2(lb + bh + hl) \)
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(lb + bh + hl) \)
समीकरण (1) और (2) से मान रखने पर:
\( (19)^2 = 121 + 2(lb + bh + hl) \)
\( 361 = 121 + 2(lb + bh + hl) \)
\( \implies 2(lb + bh + hl) = 361 - 121 \)
\( \implies 2(lb + bh + hl) = 240 \) वर्ग सेमी.
अतः घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 240 \) वर्ग सेमी.
In simple words: घनाभ की भुजाओं के योग और विकर्ण की लम्बाई का उपयोग करके, हम \( (l+b+h)^2 \) सूत्र को फैलाते हैं। इस सूत्र में मान रखने से हमें घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिल जाता है।
🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए \( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \) सूत्र को याद रखना महत्वपूर्ण है। विकर्ण का वर्ग हमेशा \( l^2+b^2+h^2 \) के बराबर होता है।
प्रश्न 7. 6 मीटर भुजा के वर्गाकार फर्श के कमरे में 180 घन मीटर हवा है। कमरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: कमरे की भुजा \( = 6 \) मीटर
कमरे का आयतन (हवा का आयतन) \( = 180 \) घन मीटर
कमरा वर्गाकार फर्श का है, इसलिए लम्बाई और चौड़ाई दोनों \( 6 \) मीटर होंगी।
कमरे के फर्श का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = 6 \times 6 = 36 \) वर्ग मीटर
हम जानते हैं कि कमरे का आयतन \( = \text{फर्श का क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies 180 = 36 \times \text{ऊँचाई} \)
\( \implies \text{ऊँचाई} = \frac{180}{36} \)
\( \implies \text{ऊँचाई} = 5 \) मीटर
अतः कमरे की ऊँचाई \( = 5 \) मीटर है।
In simple words: कमरे में जितनी हवा होती है, वह कमरे का आयतन होता है। कमरे का आयतन पता होने पर और फर्श का क्षेत्रफल ज्ञात होने पर, हम ऊँचाई को आयतन को क्षेत्रफल से भाग देकर निकाल सकते हैं।
🎯 Exam Tip: वर्गाकार फर्श का मतलब है कि कमरे की लम्बाई और चौड़ाई समान हैं। आयतन, क्षेत्रफल और ऊँचाई के बीच के संबंध को याद रखना इस प्रकार के प्रश्नों के लिए महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 8. 44 मीटर लम्बी, 1.5 मीटर ऊँची और 35 सेमी. चौड़ी दीवार बनाने में 22 सेमी. × 10 सेमी. ×7 सेमी. माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
Answer: दीवार की लम्बाई \( = 44 \) मीटर \( = 44 \times 100 = 4400 \) सेमी.
दीवार की ऊँचाई \( = 1.5 \) मीटर \( = 1.5 \times 100 = 150 \) सेमी.
दीवार की चौड़ाई \( = 35 \) सेमी.
दीवार का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 4400 \times 35 \times 150 \)
\( = 23100000 \) घन सेमी.
एक ईंट की लम्बाई \( = 22 \) सेमी.
एक ईंट की चौड़ाई \( = 10 \) सेमी.
एक ईंट की ऊँचाई \( = 7 \) सेमी.
एक ईंट का आयतन \( = 22 \times 10 \times 7 \)
\( = 1540 \) घन सेमी.
आवश्यक ईंटों की संख्या \( = \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} \)
\( = \frac{23100000}{1540} \)
\( = 15000 \)
अतः \( 15000 \) ईंटों की आवश्यकता होगी।
In simple words: पहले दीवार के सभी मापों को सेमी. में बदलें। फिर दीवार और एक ईंट दोनों का आयतन ज्ञात करें। दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग देकर आवश्यक ईंटों की कुल संख्या निकालें।
🎯 Exam Tip: माप की इकाइयों का ध्यान रखें! सभी मापों को एक ही इकाई (जैसे सेमी.) में बदलना बहुत महत्वपूर्ण है, ताकि गणनाएँ सही हों।
प्रश्न 9. 10 मीटर लम्बे, 8 मीटर चौड़े और 6 मीटर ऊँचे कमरे में अधिक से अधिक कितनी लम्बी छड़ रखी जा सकती है?
Answer: कमरे की लम्बाई (l) \( = 10 \) मीटर
कमरे की चौड़ाई (b) \( = 8 \) मीटर
कमरे की ऊँचाई (h) \( = 6 \) मीटर
कमरे में अधिक से अधिक लम्बी रखी जाने वाली छड़ कमरे के विकर्ण की लम्बाई के बराबर होगी।
कमरे का विकर्ण \( = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \)
\( = \sqrt{(10)^2 + (8)^2 + (6)^2} \)
\( = \sqrt{100 + 64 + 36} \)
\( = \sqrt{200} \)
\( = \sqrt{100 \times 2} \)
\( = 10\sqrt{2} \)
\( \sqrt{2} \) का मान लगभग \( 1.414 \) होता है।
विकर्ण \( = 10 \times 1.414 \)
\( = 14.14 \) मीटर
अतः कमरे में अधिक से अधिक \( 14.14 \) मीटर लम्बी छड़ रखी जा सकती है।
In simple words: एक कमरे में सबसे लम्बी छड़ उसके एक कोने से विपरीत कोने तक जाती है, जिसे विकर्ण कहते हैं। इस लम्बाई को खोजने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का एक विस्तारित रूप उपयोग करते हैं।
🎯 Exam Tip: 3D आकृति में सबसे लंबी दूरी हमेशा उसके विकर्ण के बराबर होती है। \( \sqrt{l^2+b^2+h^2} \) सूत्र को याद रखें।
प्रश्न 10. एक घन का आयतन 512 घनमीटर है। उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
Answer: घन का आयतन \( = 512 \) घनमीटर
माना घन की भुजा \( x \) मीटर है।
घन का आयतन \( = (\text{भुजा})^3 \)
\( \implies x^3 = 512 \)
भुजा \( x \) ज्ञात करने के लिए, हमें \( 512 \) का घनमूल निकालना होगा।
\( \implies x = \sqrt[3]{512} \)
\( \implies x = 8 \) मीटर
अतः घन की भुजा \( = 8 \) मीटर है।
In simple words: घन का आयतन उसकी भुजा का तीन बार गुणा करने से मिलता है। यदि आयतन दिया गया हो, तो भुजा ज्ञात करने के लिए आयतन का घनमूल निकालते हैं।
🎯 Exam Tip: घनमूल ज्ञात करने के लिए, आपको कुछ छोटी संख्याओं के घनों को याद रखना सहायक हो सकता है। \( 8^3 = 512 \)।
प्रश्न 11. एक दीवार जिसकी लम्बाई 5 मीटर, चौड़ाई 30 सेमी और ऊँचाई 3 मीटर है, उसे बनाने के लिए 20 सेमी. \( \times \) 10 सेमी. \( \times \) 7.5 सेमी. माप की कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी?
Answer: दीवार की लम्बाई \( = 5 \) मीटर \( = 5 \times 100 = 500 \) सेमी.
दीवार की चौड़ाई \( = 30 \) सेमी.
दीवार की ऊँचाई \( = 3 \) मीटर \( = 3 \times 100 = 300 \) सेमी.
दीवार का आयतन \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊँचाई} \)
\( = 500 \times 30 \times 300 \)
\( = 4500000 \) घन सेमी.
एक ईंट की लम्बाई \( = 20 \) सेमी.
एक ईंट की चौड़ाई \( = 10 \) सेमी.
एक ईंट की ऊँचाई \( = 7.5 \) सेमी.
एक ईंट का आयतन \( = 20 \times 10 \times 7.5 \)
\( = 1500 \) घन सेमी.
आवश्यक ईंटों की संख्या \( = \frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} \)
\( = \frac{4500000}{1500} \)
\( = 3000 \)
अतः दीवार बनाने में \( 3000 \) ईंटों की आवश्यकता होगी।
In simple words: पहले दीवार और ईंट दोनों के सभी मापों को एक ही इकाई (सेमी.) में बदलें। फिर दीवार और एक ईंट का आयतन निकालें। दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से भाग देने पर कुल आवश्यक ईंटों की संख्या मिलती है।
🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि दीवार और ईंट दोनों के सभी आयाम (लम्बाई, चौड़ाई, ऊँचाई) एक ही इकाई में हों, आमतौर पर सेमी. में। यह गलती से बचने में मदद करता है।
प्रश्न 12. एक घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5:3:2 है। यदि घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 558 सेमी\(^2\) है तो उसकी कोरों का माप ज्ञात कीजिए।
Answer: घनाभ की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात \( = 5:3:2 \)
माना घनाभ की लम्बाई \( = 5x \)
चौड़ाई \( = 3x \)
ऊँचाई \( = 2x \)
घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 558 \) सेमी\(^2\).
घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है \( 2(lb + bh + hl) \)
\( \implies 2(5x \times 3x + 3x \times 2x + 2x \times 5x) = 558 \)
\( \implies 2(15x^2 + 6x^2 + 10x^2) = 558 \)
\( \implies 2(31x^2) = 558 \)
\( \implies 62x^2 = 558 \)
\( \implies x^2 = \frac{558}{62} \)
\( \implies x^2 = 9 \)
\( \implies x = \sqrt{9} \)
\( \implies x = 3 \)
अब, \( x \) का मान रखकर विमाएँ ज्ञात करें:
लम्बाई \( = 5x = 5 \times 3 = 15 \) सेमी.
चौड़ाई \( = 3x = 3 \times 3 = 9 \) सेमी.
ऊँचाई \( = 2x = 2 \times 3 = 6 \) सेमी.
अतः घनाभ की लम्बाई \( = 15 \) सेमी., चौड़ाई \( = 9 \) सेमी. तथा ऊँचाई \( = 6 \) सेमी. है।
In simple words: लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई को \( 5x, 3x, 2x \) के रूप में लिखें। घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र उपयोग करें और इसे दिए गए क्षेत्रफल के बराबर रखें। \( x \) का मान हल करने के बाद, \( x \) को अनुपात में वापस रखकर प्रत्येक विमा की वास्तविक लम्बाई ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, विमाओं को \( x \) के गुणज के रूप में मानना चाहिए। \( x \) का मान ज्ञात करने के बाद, सुनिश्चित करें कि आप सभी विमाओं का सही माप निकालें।
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