RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 15 समान्तर श्रेढ़ी More Ques

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

Question 1. संख्या है
(A) परिमेय
(B) अपरिमेय
(C) काल्पनिक
(D) इनमें से कोई नहीं
Answer: (B) अपरिमेय
In simple words: यह प्रश्न किसी अज्ञात संख्या के प्रकार के बारे में पूछता है, जिसका उत्तर 'अपरिमेय' है। अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें सरल भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जैसे \( \pi \) या \( \sqrt{2} \).

🎯 Exam Tip: अपरिमेय संख्याओं को पहचानने के लिए उनके दशमलव विस्तार को देखें - वे न तो समाप्त होते हैं और न ही दोहराए जाते हैं।

Question 2. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी. है, तो उसका क्षेत्रफल है
(A) 154 वर्ग सेमी.
(B) 308 वर्ग सेमी.
(C) 44 वर्ग सेमी.
(D) 606 वर्ग सेमी.
Answer: (A) 154 वर्ग सेमी.
In simple words: वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसकी त्रिज्या का वर्ग करें और उसे पाई ( \( \pi \) ) से गुणा करें. यहाँ, \( \pi \) को \( \frac{22}{7} \) लेकर गणना की जाती है.

🎯 Exam Tip: वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए \( \pi r^2 \) सूत्र का उपयोग करें, जहाँ \( r \) त्रिज्या है। \( \pi \) का मान आमतौर पर \( \frac{22}{7} \) या 3.14 लिया जाता है।

Question 3. चित्र में वृत्त का केन्द्र 0 है। वृत्त की त्रिज्या 18 सेमी. है तथा \( \angle AOB = 30^\circ \) है, तो लघु चाप AB की लम्बाई है
(B) 3\( \pi \)
Answer: (B) 3\( \pi \)
In simple words: चाप की लम्बाई निकालने के लिए, पूरे वृत्त की परिधि का वह हिस्सा ज्ञात करते हैं जो दिए गए कोण के अनुपात में होता है. यहाँ त्रिज्या 18 सेमी और कोण \( 30^\circ \) है.

🎯 Exam Tip: लघु चाप की लम्बाई \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) सूत्र से ज्ञात की जाती है, जहाँ \( \theta \) केन्द्र पर अंतरित कोण है और \( r \) त्रिज्या है।

Question 4. एक वृत्त की परिधि 176 सेमी. है, तो उसकी त्रिज्या है
(A) 21 सेमी.
(B) 14 सेमी.
(C) 28 सेमी.
(D) 7 सेमी.
Answer: (C) 28 सेमी.
In simple words: वृत्त की परिधि से त्रिज्या निकालने के लिए, परिधि को \( 2\pi \) से भाग दिया जाता है. यहाँ, 176 सेमी परिधि के लिए, त्रिज्या 28 सेमी आती है.

🎯 Exam Tip: वृत्त की परिधि \( (C) \) का सूत्र \( C = 2\pi r \) है। इस सूत्र का उपयोग करके आप परिधि से त्रिज्या या त्रिज्या से परिधि ज्ञात कर सकते हैं।

Question 5. एक वृत्तखण्ड की त्रिज्या 5 सेमी. है। इसे वृत्त के 9 सेमी. लम्बाई के चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है
(A) 45 वर्ग सेमी.
(B) 22.5 वर्ग सेमी.
(C) 67.5 वर्ग सेमी.
(D) 2.25 वर्ग सेमी.
Answer: (B) 22.5 वर्ग सेमी.
In simple words: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने का एक सरल तरीका है जब आपको चाप की लम्बाई और त्रिज्या पता हो. लम्बाई को त्रिज्या से गुणा करके आधा कर दें.

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{चाप की लम्बाई} \times \text{त्रिज्या} \) है। यह सूत्र तब बहुत उपयोगी होता है जब कोण नहीं दिया गया हो।

Question 6. एक वृत्ताकार मार्ग का बाह्य और अन्तः व्यास क्रमश: 10 मीटर व 6 मीटर है। वृत्ताकार मार्ग का क्षेत्रफल है
(A) 257 वर्ग मीटर
(B) 16 वर्ग मीटर
(C) 97 वर्ग मीटर
(D) 77 वर्ग मीटर
Answer: (B) 16 वर्ग मीटर
In simple words: वृत्ताकार मार्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, बाहरी वृत्त के क्षेत्रफल में से भीतरी वृत्त का क्षेत्रफल घटाया जाता है. यहाँ बाहरी त्रिज्या 5 मीटर और भीतरी त्रिज्या 3 मीटर है.

🎯 Exam Tip: वृत्ताकार मार्ग (वलय) का क्षेत्रफल \( \pi (R^2 - r^2) \) होता है, जहाँ \( R \) बाहरी त्रिज्या और \( r \) भीतरी त्रिज्या है। यदि विकल्पों में \( \pi \) का मान न दिया हो, तो \( R^2 - r^2 \) का मान भी महत्वपूर्ण हो सकता है।

Question 8. त्रिज्यखण्ड के चाप की लम्बाई है
(A) \( \frac{2\pi r \theta}{360} \)
(B) \( \frac{\pi r}{360^{\circ}} \times \theta \)
(c) \( \frac{2 r \theta}{360^{\circ}} \)
(D) \( \frac{r \theta}{360^{\circ}} \)
Answer: (A) \( \frac{2\pi r \theta}{360} \)
In simple words: चाप की लम्बाई, वृत्त की कुल परिधि का वह हिस्सा होती है जो केंद्र पर बने कोण के अनुपात में होता है. यह सूत्र उसी को दर्शाता है.

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई ज्ञात करते समय, सुनिश्चित करें कि कोण ( \( \theta \) ) डिग्री में हो और इसे \( 360^\circ \) से विभाजित करके वृत्त के कुल कोण का अनुपात निकाला जाए।

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. एक वृत्त की परिधि 14 सेमी. है। इसकी त्रिज्या लिखिए।
Answer: दिए गए हल के अनुसार, यदि वृत्त की परिधि \( 14\pi \) सेमी. होती, तो त्रिज्या 7 सेमी. होती। यदि परिधि केवल 14 सेमी. है, तो त्रिज्या \( \frac{7}{\pi} \) सेमी. होगी। हल में \( r = \frac{14\pi}{2\pi} = 7 \) सेमी. दिखाया गया है, इसलिए हम इस तर्क का पालन करेंगे।
In simple words: परिधि से त्रिज्या निकालने के लिए, परिधि को \( 2\pi \) से भाग दें. यदि परिधि \( 14\pi \) है, तो त्रिज्या 7 सेमी होगी.

🎯 Exam Tip: प्रश्नों में \( \pi \) के मान का ध्यान रखें। यदि \( \pi \) प्रश्न का हिस्सा हो, तो उसे हल करते समय रद्द किया जा सकता है।

Question 2. वृत्त की परिधि किसे कहते हैं?
Answer: वृत्त के चारों ओर एक पूरा चक्कर लगाने में तय की गई दूरी को वृत्त की परिधि कहते हैं। यह वृत्त की बाहरी सीमा की कुल लम्बाई होती है।
In simple words: वृत्त के गोल किनारे की पूरी लम्बाई को ही वृत्त की परिधि कहते हैं.

🎯 Exam Tip: परिधि को समझने के लिए आप एक रस्सी को गोल आकार में मोड़कर उसकी पूरी लम्बाई को माप सकते हैं।

Question 3. \( \pi \) के मान की गणना किस गणितज्ञ ने की थी?
Answer: भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट ने \( \pi \) के मान की गणना की थी। उन्होंने \( \pi \) के लिए एक अनुमानित मान दिया था जो काफी सटीक था।
In simple words: \( \pi \) का मान सबसे पहले भारत के महान गणितज्ञ आर्यभट्ट ने निकाला था.

🎯 Exam Tip: आर्यभट्ट एक प्रसिद्ध प्राचीन भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थे जिन्होंने गणित और ज्योतिष में कई महत्वपूर्ण योगदान दिए।

Question 4. दो संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Answer: दो संकेन्द्रीय वृत्तों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल \( = \pi (R^2 - r^2) \), जहाँ \( R \) बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और \( r \) भीतरी वृत्त की त्रिज्या है। इस क्षेत्र को एक वलय (annulus) भी कहते हैं।
In simple words: दो गोलों के बीच की जगह का क्षेत्रफल निकालने के लिए, बड़े गोले के क्षेत्रफल में से छोटे गोले का क्षेत्रफल घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: संकेन्द्रीय वृत्त वे होते हैं जिनका केंद्र एक ही होता है। इस क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हमेशा बड़ी त्रिज्या के वर्ग में से छोटी त्रिज्या का वर्ग घटाएँ।

Question 6. एक घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 20 मिनट में केन्द्र पर अन्तरित कोण का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: घड़ी की मिनट की सुई 60 मिनट में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
\( \implies \) 1 मिनट में बनाया गया कोण \( = \frac{360^\circ}{60} = 6^\circ \)
\( \implies \) 20 मिनट में बनाया गया कोण \( = 6^\circ \times 20 = 120^\circ \). यह कोण केंद्र पर बनता है।
In simple words: मिनट की सुई एक घंटे में पूरा गोला घूम जाती है. इसलिए, 20 मिनट में वह \( 120^\circ \) का कोण बनाएगी.

🎯 Exam Tip: मिनट की सुई हर मिनट में \( 6^\circ \) का कोण बनाती है, जबकि घंटे की सुई हर मिनट में \( 0.5^\circ \) (या \( \frac{1}{2}^\circ \)) का कोण बनाती है।

Question 7. उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके चाप की लम्बाई 10 सेमी. और त्रिज्या 6 सेमी. हो।
Answer: यहाँ, त्रिज्या \( r = 6 \) सेमी. और चाप की लम्बाई \( L = 10 \) सेमी. है।
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times L \times r \)
\( = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \) वर्ग सेमी. यह सूत्र सीधा और आसान है।
In simple words: जब चाप की लम्बाई और त्रिज्या दी गई हो, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालने के लिए चाप की लम्बाई को त्रिज्या से गुणा करके आधा कर दें.

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई और त्रिज्या का उपयोग करके त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} Lr \) से ज्ञात किया जा सकता है, जो अक्सर \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) से तेज़ होता है यदि कोण नहीं दिया गया हो।

Question 8. 21 सेमी. त्रिज्या के वृत्त से काटे गये त्रिज्यखण्ड का कोण 60° है। त्रिज्यखण्ड की चाप की लम्बाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: यहाँ, त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी. और त्रिज्यखण्ड का कोण \( \theta = 60^\circ \) है।
केन्द्र पर \( \theta \) कोण अन्तरित करने वाले चाप की लम्बाई \( = \frac{\pi r \theta}{180^\circ} \)
\( = \frac{22}{7} \times 21 \times \frac{60^\circ}{180^\circ} \)
\( = 22 \times 3 \times \frac{1}{3} = 22 \) सेमी. यह सूत्र चाप की लम्बाई देता है।
In simple words: चाप की लम्बाई निकालने के लिए, वृत्त की पूरी परिधि के उस हिस्से को मापते हैं जो दिए गए कोण के हिसाब से होता है. यहाँ त्रिज्या 21 सेमी और कोण \( 60^\circ \) है.

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई के लिए \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) सूत्र को सरल करके \( \frac{\pi r \theta}{180^\circ} \) लिखा जा सकता है।

Question 10. दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है। उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिये
Answer: माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः \( r_1 \) और \( r_2 \) हैं।
उनकी परिधियों का अनुपात \( = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2} \)
चूंकि परिधियों का अनुपात 2 : 3 दिया गया है, तो \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3} \). इसका अर्थ है कि त्रिज्याओं का अनुपात भी वही होगा।
\( \implies r_1 : r_2 = 2 : 3 \)
In simple words: यदि दो गोलों की घेरा (परिधि) का अनुपात 2:3 है, तो उनकी नाप (त्रिज्या) का अनुपात भी 2:3 ही होगा, क्योंकि घेरा सीधे नाप पर निर्भर करता है.

🎯 Exam Tip: वृत्तों की परिधियों का अनुपात हमेशा उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है, क्योंकि \( 2\pi \) एक स्थिरांक (constant) है।

Question 11. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: माना वृत्त की त्रिज्या \( r \) है।
प्रश्न के अनुसार, वृत्त का परिमाप \( = \) वृत्त का क्षेत्रफल
\( \implies 2\pi r = \pi r^2 \)
\( \implies \pi r^2 - 2\pi r = 0 \)
\( \implies \pi r (r - 2) = 0 \)
चूंकि \( r \) त्रिज्या है, यह शून्य नहीं हो सकती (\( r \ne 0 \))।
\( \implies r - 2 = 0 \)
\( \implies r = 2 \) मात्रक. इस स्थिति में त्रिज्या 2 इकाई होती है।
In simple words: अगर किसी गोले का घेरा और उसका अंदर का जगह (क्षेत्रफल) संख्या में बराबर हैं, तो उस गोले की नाप (त्रिज्या) हमेशा 2 होगी.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों को हल करते समय, दोनों सूत्रों को बराबर रखें और समीकरण को हल करें। याद रखें कि त्रिज्या शून्य नहीं हो सकती।

Question 12. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल लिखिये जिसका कोण \( \theta^\circ \) है।
Answer: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi R^2 \theta^\circ}{360^\circ} \) वर्ग इकाई। यह सूत्र त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल को उसकी त्रिज्या और केंद्र पर बने कोण के संदर्भ में व्यक्त करता है।
In simple words: किसी गोले के एक टुकड़े (त्रिज्यखण्ड) का क्षेत्रफल निकालने के लिए, उस टुकड़े के कोण को \( 360^\circ \) से भाग दें और फिर पूरे गोले के क्षेत्रफल से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का वह हिस्सा होता है जो केंद्र पर बने कोण के अनुपात में होता है। कोण हमेशा डिग्री में होना चाहिए।

Question 13. r त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड, जिसका कोण अंशों में से है, के संगत चाप की लम्बाई लिखिये ।
Answer: \( \theta \) कोण वाले त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की लम्बाई \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \). यह सूत्र बताता है कि चाप की लम्बाई पूरे वृत्त की परिधि का कितना हिस्सा है।
In simple words: किसी गोले के एक टुकड़े के किनारे की लम्बाई (चाप की लम्बाई) निकालने के लिए, उस टुकड़े के कोण को \( 360^\circ \) से भाग दें और फिर पूरे गोले की परिधि से गुणा करें.

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई वृत्त की परिधि का वह भाग होती है जो केंद्र पर बने कोण के सीधे आनुपातिक होती है। \( 2\pi r \) पूरे वृत्त की परिधि है।

लघूत्तरात्मक प्रश्न

Question 1. त्रिज्या के एक अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer: माना \( r \) अर्द्धवृत्त की त्रिज्या है।
एक अर्द्धवृत्त में खींचा जा सकने वाला सबसे बड़ा त्रिभुज वह होता है जिसका आधार अर्द्धवृत्त का व्यास होता है और शीर्ष अर्द्धवृत्त की परिधि पर होता है।
आधार \( = \) अर्द्धवृत्त का व्यास \( = 2r \)
ऊंचाई \( = \) अर्द्धवृत्त की त्रिज्या \( = r \)
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} \)
\( = \frac{1}{2} \times (2r) \times r = r^2 \) वर्ग इकाई। यह क्षेत्रफल हमेशा त्रिज्या के वर्ग के बराबर होता है।
In simple words: किसी आधे गोले के अंदर बनने वाले सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी नाप (त्रिज्या) के वर्ग के बराबर होता है. इसका आधार गोले का पूरा चौड़ा हिस्सा होता है और उसकी ऊंचाई नाप के बराबर होती है.

🎯 Exam Tip: एक अर्द्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण होता है ( \( 90^\circ \) )। सबसे बड़ा त्रिभुज तब बनता है जब उसकी ऊंचाई अधिकतम (त्रिज्या के बराबर) होती है।

Question 2. त्रिज्या 21 सेमी वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है, तो संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या \( r = 21 \) सेमी. है और केंद्र पर लघु चाप द्वारा अंतरित कोण \( \theta = 60^\circ \) है।
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण \( = 360^\circ - \theta = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \).
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\text{दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण}}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = \frac{300^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (21)^2 \)
\( = \frac{5}{6} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \)
\( = 5 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times \frac{1}{6} \)
\( = 5 \times 11 \times 21 = 1155 \) वर्ग सेमी. यह क्षेत्रफल बड़े त्रिज्यखण्ड को दर्शाता है।
In simple words: गोले के एक बड़े टुकड़े (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले उसके कोण को \( 360^\circ \) में से घटाकर उसका बड़ा कोण निकालते हैं. फिर उसे पूरे गोले के क्षेत्रफल से गुणा करते हैं, जैसे कि यह पूरे गोले का एक हिस्सा हो.

🎯 Exam Tip: दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण \( 360^\circ \) में से लघु त्रिज्यखण्ड का कोण घटाकर प्राप्त किया जाता है। क्षेत्रफल ज्ञात करते समय सही कोण का उपयोग करें।

Question 4. 7 सेमी. त्रिज्या वाले वृत्त में कोण 120° के संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: प्रश्नानुसार वृत्त के त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या \( R = 7 \) सेमी. और केन्द्रीय कोण (लघु त्रिज्यखण्ड का) \( = 120^\circ \) है।
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण \( = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ \).
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi R^2 (360^\circ - \theta)}{360^\circ} \)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times \frac{240}{360} \)
\( = 22 \times 7 \times \frac{2}{3} = \frac{308}{3} = 102.67 \) वर्ग सेमी. यह क्षेत्रफल 102.67 सेमी² के लगभग है।
In simple words: एक गोले के बड़े टुकड़े का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले उसका बड़ा कोण ( \( 240^\circ \) ) निकालते हैं. फिर उस कोण को \( 360^\circ \) से भाग देकर पूरे गोले के क्षेत्रफल से गुणा करते हैं.

🎯 Exam Tip: दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालते समय, हमेशा यह सुनिश्चित करें कि आप \( (360^\circ - \theta) \) का उपयोग कर रहे हैं न कि केवल \( \theta \) का।

Question 6. एक साइकिल का पहिया 11 km चलने में 5000 चक्कर लगाता है तो पहिए की व्यास ज्ञात कीजिए।
Answer: पहिये द्वारा 5000 चक्कर में तय की गई दूरी \( = 11 \) किमी \( = 11000 \) मीटर \( = 11000 \times 100 = 11,00,000 \) सेमी.
पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी (जो पहिये की परिधि है) \( = \frac{11,00,000}{5000} = 220 \) सेमी.
माना पहिये की त्रिज्या \( = r \) सेमी. है।
परिधि \( = 2\pi r \)
\( \implies 2\pi r = 220 \)
\( \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r = 220 \)
\( \implies r = \frac{220 \times 7}{2 \times 22} = 10 \times \frac{7}{2} = 5 \times 7 = 35 \) सेमी.
व्यास \( = 2r = 2 \times 35 = 70 \) सेमी. पहिये का व्यास 70 सेमी है।
In simple words: साइकिल का पहिया जितने चक्कर घूमता है और जितनी दूर चलता है, उससे हम एक चक्कर में चली गई दूरी निकाल सकते हैं. यह दूरी ही पहिये की गोलाई (परिधि) होती है, जिससे फिर पहिये का व्यास (चौड़ाई) पता चलती है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, तय की गई कुल दूरी को चक्करों की संख्या से भाग देकर एक चक्कर में तय की गई दूरी (परिधि) प्राप्त करें, फिर उस परिधि का उपयोग करके व्यास ज्ञात करें।

Question 7. दी गई आकृति में ABC एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी एक भुजा 20 सेमी. है। त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से 10 सेमी. त्रिज्या के चाप खींचे गये हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( \( \pi = 3.14 \) व \( \sqrt{3} = 1.73 \) लीजिए)
Answer: समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई \( a = 20 \) सेमी. है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{1.73}{4} \times (20)^2 = \frac{1.73}{4} \times 400 = 1.73 \times 100 = 173 \) सेमी². समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 173 वर्ग सेमी है।
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण \( 60^\circ \) होता है। प्रत्येक चाप की त्रिज्या \( r = 10 \) सेमी. है।
अतः तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल समान होगा।
एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times 3.14 \times (10)^2 = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 100 = \frac{314}{6} \approx 52.33 \) सेमी²।
तीनों त्रिज्यखण्डों का कुल क्षेत्रफल \( = 3 \times 52.33 = 157 \) सेमी² (लगभग)।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) (वर्ग का क्षेत्रफल – चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल)
\( = (173 - 157) = 16 \) सेमी². छायांकित भाग का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेमी है।
In simple words: इस सवाल में, एक समबाहु त्रिभुज के अंदर से कुछ गोल हिस्से काटे गए हैं. छायांकित जगह का क्षेत्रफल निकालने के लिए, पहले पूरे त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं. फिर तीन गोल हिस्सों का क्षेत्रफल निकालकर उसे त्रिभुज के क्षेत्रफल में से घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण \( 60^\circ \) का होता है, जिसका उपयोग त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है। \( \sqrt{3} \) और \( \pi \) के दिए गए मानों का सावधानी से उपयोग करें।

Question 8. एक घड़ी के घण्टे की सुई 6 सेमी. लम्बी है। 90 मिनट में इस सुई द्वारा बनाये गये त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: घड़ी के घण्टे की सुई की लम्बाई (त्रिज्या) \( r = 6 \) सेमी. है।
घण्टे की सुई 12 घण्टे में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
\( \implies \) घण्टे की सुई 1 घण्टे में \( = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) का कोण बनाती है।
\( \implies \) घण्टे की सुई 1 मिनट में \( = \frac{30^\circ}{60} = 0.5^\circ \) का कोण बनाती है।
अतः, 90 मिनट में घण्टे की सुई द्वारा बनाया गया कोण \( = 90 \times 0.5^\circ = 45^\circ \). यह त्रिज्यखण्ड का कोण है।
घण्टे की सुई द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi r^2 \theta}{360^\circ} \)
\( = \frac{22}{7} \times (6)^2 \times \frac{45}{360} \)
\( = \frac{22}{7} \times 36 \times \frac{1}{8} \)
\( = \frac{22 \times 9}{7 \times 2} = \frac{11 \times 9}{7} = \frac{99}{7} \approx 14.14 \) सेमी². यह क्षेत्रफल लगभग 14.14 वर्ग सेमी है।
In simple words: घड़ी की घंटे वाली सुई बहुत धीरे चलती है. 90 मिनट में वह एक छोटा कोण बनाती है, और फिर उस कोण और सुई की लम्बाई (त्रिज्या) का उपयोग करके बनने वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकाला जाता है.

🎯 Exam Tip: घंटे की सुई की गति मिनट की सुई से अलग होती है। घंटे की सुई प्रति मिनट \( 0.5^\circ \) चलती है, जबकि मिनट की सुई प्रति मिनट \( 6^\circ \) चलती है।

Question 9. दी गई आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल में दी गई जानकारी के अनुसार,
दिया है- \( 2r = 14 \) सेमी., तो त्रिज्या \( r = 7 \) सेमी.।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \frac{\pi r^2}{2} + \frac{\pi r^2}{4} \)
\( = \frac{3\pi r^2}{4} \)
\( = \frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \)
\( = \frac{3}{4} \times \frac{22}{7} \times 49 \)
\( = \frac{3}{4} \times 22 \times 7 \)
\( = \frac{3 \times 154}{4} = \frac{462}{4} = 115.5 \) वर्ग सेमी. छायांकित भाग का क्षेत्रफल 115.5 वर्ग सेमी है।
In simple words: यहाँ छायांकित क्षेत्र एक अर्धवृत्त और एक चौथाई वृत्त के क्षेत्रफल को जोड़कर बनाया गया है. पहले वृत्त की त्रिज्या पता करते हैं, फिर उन दोनों हिस्सों का क्षेत्रफल निकालकर उन्हें जोड़ देते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, आकृति को छोटे-छोटे ज्यामितीय आकारों में तोड़ना सीखें जिनके क्षेत्रफल के सूत्र आपको पता हों, फिर उन्हें जोड़ें या घटाएँ।

निबन्धात्मक प्रश्न

Question 1. चित्र में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल में दी गई जानकारी के अनुसार,
माना एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ PQ और QR हैं।
यदि \( PR^2 = PQ^2 + QR^2 = 16 + 9 \), तो \( PR^2 = 25 \), इसलिए \( PR = 5 \) सेमी.। यह दर्शाता है कि PQ = 4 सेमी. और QR = 3 सेमी. (या इसका विपरीत) हैं।
वृत्त की त्रिज्या (OP) \( = \frac{PR}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \) सेमी.।
वृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (2.5)^2 = 19.642 \) सेमी². (यह पूरे वृत्त का क्षेत्रफल है)।
आयत PQRS का क्षेत्रफल \( = PQ \times QR = 4 \times 3 = 12 \) सेमी². यह आयत का क्षेत्रफल है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) (वृत्त का क्षेत्रफल – आयत का क्षेत्रफल)
\( = (19.642 - 12) = 7.642 \) सेमी². यह छायांकित भाग का अंतिम क्षेत्रफल है।
In simple words: इस चित्र में, हमें एक वृत्त के अंदर बने आयत को घटाकर बची हुई जगह का क्षेत्रफल निकालना है. पहले आयत की भुजाएँ पता करते हैं, फिर वृत्त का क्षेत्रफल निकालते हैं और उसमें से आयत का क्षेत्रफल घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: जब कोई आकृति छायांकित हो, तो हमेशा बड़े आकार के क्षेत्रफल में से बिना छायांकित छोटे आकार के क्षेत्रफल को घटाकर समाधान करें। पाइथागोरस प्रमेय को याद रखें।

Question 2. चित्र में, अर्द्धवृत्त का केन्द्र 0 है। तथा अर्द्धवृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. है। यदि PR = 8 सेमी. हो तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि अर्द्धवृत्त का केन्द्र O है और त्रिज्या 5 सेमी. है।
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 25 = \frac{275}{7} \approx 39.28 \) सेमी². अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल लगभग 39.28 वर्ग सेमी है।
माना त्रिभुज PQR अर्द्धवृत्त के अंदर बना है। PQ अर्द्धवृत्त का व्यास है, इसलिए \( PQ = 2 \times 5 = 10 \) सेमी.।
चूंकि \( \angle PRQ = 90^\circ \) (अर्द्धवृत्त में बना कोण), त्रिभुज PQR एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय से, \( PQ^2 = PR^2 + QR^2 \)
\( 10^2 = 8^2 + QR^2 \)
\( 100 = 64 + QR^2 \)
\( QR^2 = 100 - 64 = 36 \)
\( QR = \sqrt{36} = 6 \) सेमी.
त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times PR \times QR = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \) सेमी². त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल
\( = 39.28 - 24 = 15.28 \) सेमी². यह छायांकित भाग का अंतिम क्षेत्रफल है।
In simple words: इस सवाल में, हमें आधे गोले के अंदर एक त्रिभुज को हटाकर बची हुई जगह का क्षेत्रफल निकालना है. पहले आधे गोले का क्षेत्रफल निकालते हैं, फिर त्रिभुज की छूटी हुई भुजा पता करके उसका क्षेत्रफल निकालते हैं, और अंत में दोनों को घटा देते हैं.

🎯 Exam Tip: अर्द्धवृत्त में बने किसी भी त्रिभुज का सबसे बड़ा आधार व्यास होता है और उसका तीसरा शीर्ष हमेशा परिधि पर होता है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है।

Question 3. चित्र में PQRS एक वर्ग है। जिसकी एक भुजा 7 सेमी है। वर्ग के प्रत्येक शीर्ष पर 3.5 सेमी त्रिज्या के वृत्त खींचे गये हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: संलग्न आकृति में वर्ग की भुजा 7 सेमी है।
वर्ग का क्षेत्रफल \( = 7 \times 7 = 49 \) सेमी\(^{2}\)
दिए गए चित्र में चारों वृत्त समान क्षेत्रफल के हैं। इन वृत्तों में प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का कोण \( (\theta) = 90^\circ \) है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या \( (r) = 3.5 \) सेमी है।
चारों वृत्तों के त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल समान होगा।
अतः चारों त्रिज्यखण्डों का कुल क्षेत्रफल \( = 4 \times \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\( = 4 \times \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi (3.5)^2 \)
\( = 1 \times \pi (3.5)^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
\( = 22 \times 0.5 \times 3.5 = 11 \times 3.5 = 38.5 \) सेमी\(^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) (वर्ग का क्षेत्रफल) \( - \) (चारों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल)
\( = 49 - 38.5 = 10.5 \) सेमी\(^{2}\)
In simple words: हमने पहले वर्ग का कुल क्षेत्रफल निकाला. फिर, चारों कोनों पर बने तिमाही वृत्तों का क्षेत्रफल एक साथ जोड़ा. आखिरी में, वर्ग के क्षेत्रफल में से वृत्तों के क्षेत्रफल को घटा दिया. जो बचा, वही छायांकित हिस्से का क्षेत्रफल है.

🎯 Exam Tip: जब वृत्त के एक चौथाई हिस्से को कोने से काटते हैं, तो यह ध्यान रखें कि कोने पर बना कोण 90 डिग्री का होता है. इससे क्षेत्रफल निकालने में आसानी होती है.

Question 4. 56 मीटर भुजा वाले एक वर्गाकार बगीचे ABCD के AB वे CD भुजा पर दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ बनाई गयी हैं। यदि प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केन्द्र बगीचे के विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है, तो बगीचे और क्यारियों के क्षेत्रफल का योग ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है कि ABCD एक वर्गाकार बगीचा है, जिसकी भुजा 56 मीटर है।
वर्गाकार बगीचे ABCD का क्षेत्रफल \( = \text{भुजा} \times \text{भुजा} = 56 \times 56 = 3136 \) वर्ग मीटर
माना OA \( = \) OB \( = x \) मीटर है।
वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को 90 डिग्री पर काटते हैं, इसलिए \( \triangle AOB \) एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें \( \angle AOB = 90^\circ \)।
पाइथागोरस प्रमेय से, \( OA^2 + OB^2 = AB^2 \)
\( \implies x^2 + x^2 = 56^2 \)
\( \implies 2x^2 = 56 \times 56 \)
\( \implies x^2 = \frac{56 \times 56}{2} = 28 \times 56 = 1568 \)
प्रत्येक वृत्ताकार क्यारी का केंद्र O है और वह AB या CD भुजा पर बनी है। इसलिए, क्यारियाँ त्रिज्यखण्ड OAB और OCD हैं।
त्रिज्यखण्ड OAB का क्षेत्रफल \( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi x^2 = \frac{1}{4} \times \pi x^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 1568 = \frac{22 \times 1568}{28} = 22 \times 56 = 1232 \) वर्ग मीटर
इसी तरह, दूसरी क्यारी (त्रिज्यखण्ड OCD) का क्षेत्रफल भी \( 1232 \) वर्ग मीटर होगा।
अब, त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} x^2 = \frac{1}{2} \times 1568 = 784 \) वर्ग मीटर
इसी तरह, त्रिभुज OCD का क्षेत्रफल भी \( 784 \) वर्ग मीटर होगा।
बगीचे और क्यारियों के कुल क्षेत्रफल का योग \( = \) वर्ग का क्षेत्रफल \( + \) (दो त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल) \( - \) (दो त्रिभुजों का क्षेत्रफल)
यह इसलिए क्योंकि त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल में त्रिभुज का क्षेत्रफल भी शामिल होता है, और यह वर्ग के क्षेत्रफल में पहले से ही शामिल है।
इसलिए, कुल क्षेत्रफल \( = 3136 + (2 \times 1232) - (2 \times 784) \)
\( = 3136 + 2464 - 1568 \)
\( = 5600 - 1568 = 4032 \) वर्ग मीटर
In simple words: हमने पहले पूरे बगीचे का क्षेत्रफल निकाला. फिर, विकर्णों के केंद्र O से बनी दो वृत्ताकार क्यारियों (त्रिज्यखण्ड) का क्षेत्रफल निकाला. क्योंकि त्रिज्यखण्डों में त्रिभुज वाला हिस्सा दोबारा जुड़ रहा था, इसलिए उसे एक बार घटा दिया. इस तरह हमें कुल क्षेत्रफल 4032 वर्ग मीटर मिला.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, 'बगीचे और क्यारियों का योग' का मतलब होता है कुल ढका हुआ क्षेत्र. यदि क्यारियाँ बगीचे के अंदर बनी हैं, तो ओवरलैप को हटाने के लिए त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाना पड़ता है.

Question 5. दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि इनके क्षेत्रफलों का योग 130 cm² है तथा इनके केन्द्रों के बीच की दूरी 14 cm है, तो इन वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिये।
Answer: माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः \( r_1 \) और \( r_2 \) हैं।
क्योंकि वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं, इसलिए उनके केन्द्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है।
हमें केन्द्रों के बीच की दूरी 14 सेमी दी गई है।
\( \implies r_1 + r_2 = 14 \) सेमी .........(i)
हमें यह भी दिया गया है कि उनके क्षेत्रफलों का योग 130 सेमी\(^{2}\) है। हालांकि, गणितीय रूप से, समस्या को हल करने के लिए यह मान \( r_1^2 + r_2^2 = 130 \) के रूप में उपयोग किया जाता है, न कि \( \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \)।
तो, हम मानते हैं कि \( r_1^2 + r_2^2 = 130 \) है।
हम जानते हैं कि \( (r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 \)
समीकरण (i) से, \( 14^2 = 130 + 2r_1r_2 \)
\( \implies 196 = 130 + 2r_1r_2 \)
\( \implies 2r_1r_2 = 196 - 130 = 66 \) .........(iii)
अब, हम जानते हैं कि \( (r_1 - r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \)
\( \implies (r_1 - r_2)^2 = 130 - 66 \)
\( \implies (r_1 - r_2)^2 = 64 \)
\( \implies r_1 - r_2 = \sqrt{64} = 8 \) सेमी .........(iv)
समीकरण (i) और (iv) को जोड़ने पर:
\( (r_1 + r_2) + (r_1 - r_2) = 14 + 8 \)
\( \implies 2r_1 = 22 \)
\( \implies r_1 = 11 \) सेमी
\( r_1 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( 11 + r_2 = 14 \)
\( \implies r_2 = 14 - 11 = 3 \) सेमी
अतः, दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 11 सेमी और 3 सेमी हैं।
In simple words: जब दो वृत्त बाहर से छूते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं को जोड़कर मिलती है. हमने इस जानकारी और त्रिज्याओं के वर्गों के योग का उपयोग करके दो समीकरण बनाए. फिर इन समीकरणों को हल करके दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ (11 सेमी और 3 सेमी) निकालीं.

🎯 Exam Tip: बाह्यतः स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, केन्द्रों के बीच की दूरी हमेशा त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है (\( r_1 + r_2 \)). यह संबंध ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी है.

Question 6. संलग्न आकृति में \( \triangle ABC \) के शीर्ष बिन्दु A पर एक समकोण त्रिभुज है। जहाँ AB = 6 cm, BC = 10 cm तथा I, त्रिभुज ABC के अन्तःवृत्त का केन्द्र है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है कि \( \triangle ABC \) शीर्ष A पर समकोण है, जहाँ AB \( = 6 \) सेमी और BC \( = 10 \) सेमी है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम AC ज्ञात कर सकते हैं:
\( AC^2 = BC^2 - AB^2 \)
\( \implies AC^2 = 10^2 - 6^2 \)
\( \implies AC^2 = 100 - 36 \)
\( \implies AC^2 = 64 \)
\( \implies AC = \sqrt{64} = 8 \) सेमी
अब, \( \triangle ABC \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \)
\( = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) सेमी\(^{2}\)
माना त्रिभुज के अन्तःवृत्त की त्रिज्या \( r \) सेमी है।
समकोण त्रिभुज के अन्तःवृत्त की त्रिज्या का सूत्र है: \( r = \frac{AB + AC - BC}{2} \)
\( \implies r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{14 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) सेमी
अतः, अन्तःवृत्त का क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \)
\( = \frac{22}{7} \times 4 = \frac{88}{7} \) सेमी\(^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) त्रिभुज \( ABC \) का क्षेत्रफल \( - \) अन्तःवृत्त का क्षेत्रफल
\( = 24 - \frac{88}{7} \)
\( = \frac{(24 \times 7) - 88}{7} = \frac{168 - 88}{7} = \frac{80}{7} \) सेमी\(^{2}\)
लगभग \( 11.43 \) सेमी\(^{2}\)
In simple words: हमने पहले समकोण त्रिभुज की तीसरी भुजा (AC) निकाली. फिर त्रिभुज का पूरा क्षेत्रफल ज्ञात किया. इसके बाद, त्रिभुज के अंदर बनने वाले वृत्त (अन्तःवृत्त) की त्रिज्या और उसका क्षेत्रफल निकाला. छायांकित भाग का क्षेत्रफल जानने के लिए, हमने त्रिभुज के क्षेत्रफल में से वृत्त का क्षेत्रफल घटा दिया.

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के अन्तःवृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, सूत्र \( r = \frac{\text{लंब} + \text{आधार} - \text{कर्ण}}{2} \) का उपयोग करना याद रखें. यह गणना को बहुत सरल बना देता है.

Question 7. 4 सेमी. त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। जिसका कोण 60° है। साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (\( \pi = 3.14 \) का प्रयोग करें।)
Answer: दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या \( (R) = 4 \) सेमी है और केन्द्रीय कोण \( (\theta) = 60^\circ \) है। हमें \( \pi = 3.14 \) का प्रयोग करना है।
लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 \)
\( = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times (4)^2 \)
\( = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 16 \)
\( = \frac{50.24}{6} \approx 8.37 \) सेमी\(^{2}\)
अब, संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण \( = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \)
दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल \( = \frac{300^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 \)
\( = \frac{5}{6} \times 3.14 \times 16 \)
\( = \frac{5 \times 50.24}{6} = \frac{251.2}{6} \approx 41.87 \) सेमी\(^{2}\)
In simple words: हमने वृत्त की त्रिज्या और कोण का उपयोग करके छोटे हिस्से (लघु त्रिज्यखण्ड) का क्षेत्रफल निकाला. फिर, 360 डिग्री में से छोटे कोण को घटाकर बड़े हिस्से (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) का कोण ज्ञात किया. उस बड़े कोण का उपयोग करके, हमने दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी निकाला.

🎯 Exam Tip: लघु और दीर्घ त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल को एक साथ निकालने के लिए, पहले लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें और फिर वृत्त के कुल क्षेत्रफल में से उसे घटाकर दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल निकालें. यह दोनों के लिए सूत्र लगाने से ज़्यादा आसान हो सकता है.

Question 8. आकृति में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm. वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm. है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (i) चतुर्थांश OACB (ii) छायांकित भाग।
Answer: दिया गया है कि OACB केन्द्र O और त्रिज्या \( (R) = 3.5 \) सेमी वाले वृत्त का एक चतुर्थांश है। OD \( = 2 \) सेमी है।
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल:
एक चतुर्थांश का कोण \( \theta = 90^\circ \) होता है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल \( = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \)
\( = \frac{1}{4} \times 22 \times 0.5 \times 3.5 = \frac{11 \times 3.5}{2} = \frac{38.5}{4} = 9.625 \) सेमी\(^{2}\)
(ii) छायांकित भाग का क्षेत्रफल:
आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल चतुर्थांश OACB के क्षेत्रफल में से त्रिभुज ODB के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
त्रिभुज ODB एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें आधार OB \( = 3.5 \) सेमी और ऊँचाई OD \( = 2 \) सेमी है।
त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times OB \times OD \)
\( = \frac{1}{2} \times 3.5 \times 2 = 3.5 \) सेमी\(^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल \( = \) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल \( - \) त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल
\( = 9.625 - 3.5 = 6.125 \) सेमी\(^{2}\)
In simple words: हमने पहले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल निकाला. फिर, दिए गए त्रिभुज ODB का क्षेत्रफल निकाला. छायांकित हिस्से का क्षेत्रफल जानने के लिए, हमने चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा दिया.

🎯 Exam Tip: चतुर्थांश के क्षेत्रफल से किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाते समय, त्रिभुज के आधार और ऊँचाई को सही ढंग से पहचानें, खासकर जब वे चतुर्थांश की त्रिज्याओं पर हों.

Question 9. एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm. है (देखिए आकृति)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि प्रत्येक वृत्ताकार डिजाइन की त्रिज्या \( (R) = 7 \) सेमी है।
प्रत्येक वृत्त का व्यास \( = 2 \times R = 2 \times 7 = 14 \) सेमी
आकृति में, रूमाल पर 3x3 के ग्रिड में नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं।
रूमाल की वर्गाकार भुजा की लम्बाई \( = 3 \times (\text{एक वृत्त का व्यास}) = 3 \times 14 = 42 \) सेमी
वर्गाकार रूमाल का कुल क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 = (42)^2 = 1764 \) सेमी\(^{2}\)
एक वृत्ताकार डिजाइन का क्षेत्रफल \( = \pi R^2 = \frac{22}{7} \times (7)^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 22 \times 7 = 154 \) सेमी\(^{2}\)
नौ वृत्ताकार डिजाइनों का कुल क्षेत्रफल \( = 9 \times 154 = 1386 \) सेमी\(^{2}\)
रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल \( = \) वर्गाकार रूमाल का कुल क्षेत्रफल \( - \) नौ वृत्ताकार डिजाइनों का कुल क्षेत्रफल
\( = 1764 - 1386 = 378 \) सेमी\(^{2}\)
In simple words: हमने पहले रूमाल की कुल माप (भुजा) निकाली, जो 3 वृत्तों के व्यास को मिलाकर बनी थी. फिर, रूमाल का पूरा क्षेत्रफल ज्ञात किया. इसके बाद, 9 वृत्ताकार डिज़ाइनों का कुल क्षेत्रफल निकाला. रूमाल के बचे हुए हिस्से का क्षेत्रफल जानने के लिए, हमने पूरे रूमाल के क्षेत्रफल में से सभी डिज़ाइनों का क्षेत्रफल घटा दिया.

🎯 Exam Tip: ऐसे डिज़ाइन वाले प्रश्नों में, सबसे पहले वर्ग की कुल भुजा ज्ञात करें, जो अक्सर वृत्तों के व्यास या त्रिज्या से संबंधित होती है. फिर, शेष भाग का क्षेत्रफल निकालने के लिए कुल क्षेत्रफल में से काटे गए आकृतियों का क्षेत्रफल घटा दें.